6 Vectores. Dependencia e independencia lineal.

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1 6 Vectores. Dependencia e independencia lineal. Introducción Hay fenómenos reales que se pueden representar adecuadamente mediante un número con su adecuada unidad de medida. Sin embargo para representar otros fenómenos hay que hacer uso del concepto de vector: conjunto ordenado de números que se caracteriza por el número de elementos que lo componen y por el lugar que ocupa cada elemento. Por ejemplo, si queremos representar el precio de un bien, este queda perfectamente determinado por un número real con su unidad de medida ( ). Sin embargo, si queremos representar los precios que comercializa una determinada empresa, si esta comercializa n bienes necesitaremos un vector de n componentes (uno para cada precio de cada bien): Si fuese un bien, si fuesen bienes, si fuesen 3 bienes, etc. Nota: Normalmente y por comodidad, los vectores no se representan como matrices columna, sino como n-uplas: Definición 6.,,,,,,,,, Definimos el espacio vectorial como el conjunto de todos los vectores de n componentes,,,,,, Nota: En un sistema de coordenadas cartesianas el vector,,, es un vector orientado que queda determinado por su longitud, dirección y sentido. Un representante de este vector es el segmento cuyo punto inicial es el origen de coordenadas y su punto final es el punto de coordenadas,,,.,, conjunto de todos los vectores de componentes.,,, conjunto de todos los vectores de 3 componentes.

2 Como vemos, se pueden representar los vectores de dos componentes en el plano y los de tres componentes en el espacio, pero no se pueden representar geométricamente vectores con un número mayor de componentes. Definición 6. Operaciones con vectores: El vector suma de dos vectores,,, y,,, es el vector:,,, Por ejemplo, si,, y,,, entonces 3, 3, El producto de un escalar por un vector,,, es el vector:,,, Por ejemplo, si,,, y 5, entonces 5,, 5, 5 Proposición 6.3 (Propiedades de la suma de vectores)., ó..,,. 3.,,,,,. 4. El vector opuesto de,,,, definido por,,,, verifica:. 5.,. Luego,, tiene estructura de grupo conmutativo. Proposición 6.4 (Propiedades del producto de un escalar por un vector). ó..,. 3.,. 4.,. 5. El conjunto de todos los vectores de n componentes con las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar por un vector,, tiene estructura de espacio vectorial. Nota: Dado que un vector es una matriz columna, verifica las propiedades de la suma de matrices y del producto de un escalar por una matriz. Definición 6.5 Sean,,,. Una combinación lineal de,,, es cualquier expresión de la forma: con,,,, Ejemplo 6.6 Dados los vectores 3,,,,3 de, una combinación lineal de ellos será: con,

3 Por ejemplo: 3 33,,,,3 9,3,6,4, 6 7, 7, dicho de otra manera, el vector 7, 7, es combinación lineal de los vectores 3,,,,3 Otra combinación lineal será: 3,,,,3 3,,, 4,6 7, 7, 7 7, 7, 7 ó 3,,,,3 Definición 6.7 Dependencia e independencia lineal Los vectores,,, son linealmente dependientes (o ligados) si existen números (escalares),,, no todos ceros tales que Si la ecuación anterior se verifica solamente cuando,,, se dice que los vectores son linealmente independientes (o libres). Ejemplo 6.8 Dados los vectores 3,,,,3 4,3, 9 de, comprobar que son linealmente dependientes. Interpretar el resultado. Solución: 3,,,,3 4,3, 9,, 3 4, 3, 3 9,, es un sistema homogéneo que estudiamos de la forma habitual , ó Interpretación del resultado: ) Para saber si un conjunto de vectores es dependiente o independiente hay que estudiar un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, en el que la matriz asociada tiene por columnas las coordenadas de los vectores que queremos estudiar ) El nº de incógnitas del sistema homogéneo coincide con el nº de vectores que estamos estudiando. 3) No hace falta resolver el sistema para saber si los vectores son dependientes o independientes. Lo que necesitamos saber es si el sistema tiene sólo la solución trivial (los vectores serán linealmente independientes) o

4 tiene infinitas soluciones (los vectores serán linealmente dependientes). Para ello, hay que estudiar el rango de la matriz del sistema. º ó º ó ú º ó º En resumen: Para saber si un conjunto de vectores es libre o ligado se estudia el rango de la matriz que forman dichos vectores escritos por columnas. Si el rango coincide con el nº de vectores, dichos vectores son independientes o libres Si el rango es menor que el nº de vectores, dichos vectores son dependientes o ligados. Ejemplo 6.9 Estudiar si los siguientes vectores son libres o ligados:,,,,,,,, 3 3 º Proposición 6. Sean,,, restantes. son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los Demostración: Supongamos que,,, son linealmente dependientes, existen unos escalares,,, no todos nulos tales que Supongamos por comodidad que ó ó Supongamos que un vector se puede expresar como combinación lineal de los restantes. Supongamos por comodidad que es Tenemos una combinación lineal de los vectores,,, igualada al vector nulo donde, no todos los coeficientes son nulos ya que el coeficiente de es. Luego,,, son linealmente dependientes. Ejemplo 6. Dados los vectores 3,,,,3 4,3, 9 de, demostrar que son dependientes y expresar como combinación lineal de y.

5 Vamos a expresar como combinación lineal de y : º.. º ,3, 9 3,,,, Ejemplo 6. Estudiar el sistema de vectores,,,,,,,. Se puede expresar como combinación lineal de?. Veamos si son dependientes o independientes º.. º 3 Como, son dependientes sabemos que uno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. Elegido un vector cualquiera, se puede poner como combinación lineal del resto? No, de hecho es fácil ver que no se puede poner como combinación lineal de Se obtiene el sistema:,,,,,, que es una contradicción Se puede comprobar que.

6 Nota: Se verifica. Cualquier conjunto de vectores que contenga al vector nulo es linealmente dependiente. : 3,,,,,3,,,, 3 3 º 3. Un conjunto formado por un único vector distinto del vector nulo es linealmente independiente. :,,,5 º 5 3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, cualquier conjunto que lo contenga será linealmente dependiente :,,,,,,,,..:, º 3.. é ñ á?,,,,,,,,,,,, º º Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, cualquier subconjunto suyo será linealmente independiente. :,,,,,,,,..: 3 º é?,,,,, º.. é?,,,,, º..

7 é?,,,,, º En hay como máximo n vectores l.i. : é 5,,,,, á 4 4 á á 4.. Consecuencia: En puede haber como máximo vectores l.i., por tanto 3 vectores o más serán siempre dependientes. En puede haber como máximo 3 vectores l.i., por tanto 4 vectores o más serán siempre dependientes. En puede haber como máximo 4 vectores l.i., por tanto 5 vectores o más serán siempre dependientes, etc 7 Subespacios vectoriales. Base y dimensión. Definición 7. Sea tal que (subconjunto no vacio de ) es un subespacio vectorial de si verifica:,. Nota: Un subespacio vectorial es un subconjunto de que hereda las buenas propiedades de, es decir,,,. tiene estructura de espacio vectorial. Nota: Si es un subespacio vectorial de entonces Nota: Los subespacios de tienen como representantes: El origen, que recibe el nombre de subespacio trivial (dimensión ) Las rectas que pasan por el origen (dimensión ) El espacio bidimensional, que recibe el nombre de espacio total (dimensión ) Los subespacios de tienen como representantes: El origen, que recibe el nombre de subespacio trivial (dimensión ) Las rectas que pasan por el origen (dimensión ) Los planos que pasan por el origen (dimensión ) El espacio tridimensional, que recibe el nombre de espacio total (dimensión 3)

8 Proposición 7. Las soluciones de un sistema lineal homogéneo forman un subespacio vectorial de. Demostración: Sea es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineal y homogéneo Veamos que se verifican las dos propiedades de la definición 7.,?? Como se verifican las dos propiedades F es un subespacio vectorial. Definición 7.3 Sean un subespacio vectorial de y Las ecuaciones del sistema reciben el nombre de ecuaciones implícitas del subespacio F. Proposición 7.4 Sean,,, El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de,,, es un subespacio vectorial de que recibe el nombre de variedad lineal generada por,,,, y se denota por,,, o bien,,, Demostración: Sea Veamos que se verifican las dos propiedades de la definición 7.,? ó,,,? ó,,, Como se verifican las dos propiedades F es un subespacio vectorial. Definición 7.5 Sean un subespacio vectorial de y,,,,,,,,,. Dicho de otra manera,,,, es un sistema generador de F si, cualquier vector de F se puede expresar como combinación lineal de,,,. Nota: Veamos con un ejemplo qué significa 4,,,3,,,,5 F es el subespacio vectorial de formado por todas las combinaciones lineales que se pueden hacer con 4,,,3 y,,,5, es decir:,,,,,, 4,,,3,,,5 De donde se obtiene el sistema:

9 4 Estas ecuaciones reciben el nombre de é o í 3 5 Ejercicio 7.6 Comprobar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales,, No, el vector nulo,,,,. Si, ya que las soluciones de un sistema lineal homogéneo forman un subespacio vectorial. En este caso, como º ó, la única solución es la trivial y se trataría del subespacio trivial:,,,,,, Sí, porque el conjunto formado por las combinaciones lineales de dos vectores de es un subespacio vectorial de. Definición 7.7 Sean un subespacio vectorial de y,,, Decimos que,,, es una base del subespacio F si:.,,, es un sistema generador de F..,,, es linealmente independiente. El número de vectores de cualquier base de F, que siempre es el mismo, recibe el nombre de dimensión del subespacio F y se denota por dim(f). Nota: Si nos dan un sistema generador de un subespacio y queremos una base, lo único que hay que hacer es eliminar los vectores que dependen de los demás. Ejemplo 7.8 Consideremos el subespacio vectorial,,,,,,,,,,,,,,3. Veamos cómo obtener una base: orlamos: 3,,,,, dim 3

10 8 Bases de. Componentes de un vector. Definición 8. Sea,,,. El conjunto de vectores,,, es una base de si.,,, es un sistema generador de..,,, es linealmente independiente. El número de vectores de cualquier base de, que siempre es el mismo, recibe el nombre de dimensión de y se denota por dim( ). Nota: Las bases de están formadas por n vectores y la dimensión de es n, dim. Ejemplo 8. Veamos que,,,. Es sistema generador:,,,,? Para que sea cierto el sistema ó ú 3 3. Son linealmente independientes rg Conclusión:,,, º ó Nota: Un conjunto de n vectores de linealmente independientes siempre es una base. Definición 8.3,,,, con,,,.. ó ú,,, el vector con todas sus componentes iguales a excepto la i-ésima que es igual a, es una base de que recibe el nombre de base canónica de,,, ó,,,,,,,, ó,,,,,,,,,,,,,,, ó, etc Proposición 8.4 Sea,,, una base de y. se puede expresar de forma única como. En este caso diremos que,,, son las coordenadas de v respecto a B y escribimos,,,. Demostración: Queremos demostrar que las coordenadas respecto a una base son únicas. Supongamos que se puede expresar de dos formas distintas respecto a la base B Tenemos una combinación lineal de los vectores,,, igualada al vector nulo, como los vectores son linealmente independientes, necesariamente los escalares tienen que ser cero:,,,,,, Por tanto la hipótesis de partida es falsa las componentes de un vector respecto a una base son únicas.

11 Ejercicio 8.4 Probar que,,, y calcular las coordenadas del vector 5,4 respecto a ella. Tenemos vectores de, si son independientes, serán base de.,,.. Buscamos las coordenadas del vector 5,4 en función de esta base. 5,4,, ,

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