6. DISTRIBUCIONES MUESTRALES CONTENIDO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES INTRODUCCION PARÁMETROS Y ESTADÍSTICOS...

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1 6. DISTRIBUCIONES MUESTRALES CONTENIDO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES INTRODUCCION PARÁMETROS Y ESTADÍSTICOS DISTRIBUCIÓN DEL PROMEDIO MUESTRAL DISTRIBUCIÓN DE LA FRECUENCIA RELATIVA DISTRIBUCION DE LA VARIANZA MUESTRAL EJERCICIOS PROPUESTOS...37 APÉNDICE...39

2 7 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES 6. INTRODUCCIÓN E el capítulo hemos defiido la iferecia estadística como u proceso que usa iformació proveiete de la muestra para geeralizar y tomar decisioes acerca de toda la població e estudio. Si embargo, hasta el mometo hemos trabajado la muestra y la població por separado. E el capítulo, trabajamos herramietas útiles e el aálisis exploratorio de los datos proveietes de ua muestra, tato gráficos como resúmees uméricos para extraer iformació de iterés para la iferecia. Hablamos de distribucioes de frecuecias y estadísticos. E los capítulos 3, 4 y 5, a través del leguaje de la probabilidad, tratamos los modelos para las poblacioes que puede ser de iterés, sobre las cuales os iteresa sacar coclusioes, o tomar ua decisió. Defiimos las variables aleatorias, sus distribucioes de probabilidad, parámetros y alguos modelos frecuetes. Podemos hacer u cuadro comparativo etre características del aálisis exploratorio de datos y de la iferecia estadística: Aálisis exploratorio de datos Su objetivo es la exploració de los datos muestrales, e busca de regularidades iteresates. Las coclusioes sólo se aplica a las uidades de aálisis y a las circustacias para las cuales se obtuviero los datos. Las coclusioes se basa e lo que vemos e los datos. Iferecia estadística Su objetivo es respoder pregutas cocretas sobre la població, plateadas ates de la obteció de los datos. Las coclusioes se extiede a toda la població e estudio. Las coclusioes se explicita co u grado de cofiaza. Muchas de las técicas utilizadas e iferecia exige, tambié, que la distribució de los datos tega determiadas características. El aálisis de datos es de gra ayuda e este aspecto, para descubrir observacioes atípicas y otras desviacioes que pueda perturbar ua correcta iferecia. Por lo tato, e la práctica podemos observar cómo el aálisis exploratorio de los datos y la iferecia estadística se complemeta. Como se mecioó e el capítulo I, muy frecuetemete es ecesario seleccioar ua muestra de uidades de la població, para extraer coclusioes respecto de la misma, e base a las observacioes muestrales (ver Muestra, pag. 7). Sitetizado: Cuado el iterés reside e geeralizar las coclusioes de los resultados observados a la població e estudio o queremos tomar ua decisió sobre la població e base a ua muestra, estamos frete a u problema de iferecia estadística. Para que este proceso sea adecuado, debemos teer e cueta: G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

3 8 Platear claramete el problema. Delimitar la població e estudio Defiir si el objetivo reside e estimar el valor de u parámetro descoocido de la població (por ej. µ,, p) a partir de u estadístico calculado co los datos de ua muestra o decidir sobre valores hipotéticos que asigamos a dichos parámetros. Hacer u correcto diseño para la obteció de los datos muestrales. Los resultados de las técicas para la iferecia que se utilizará sólo será válidos si la muestra es obteida por métodos aleatorios, que so los métodos que da cofiaza de seleccioar muestras represetativas de la població. U bue diseño para la obteció de los datos, es la mejor garatía de que la iferecia tega valor. Teer e cueta y verificar los requerimietos de las técicas a aplicar 6. PARÁMETROS Y ESTADÍSTICOS U parámetro es u úmero que describe algú aspecto de la població e estudio. E la práctica, e la mayoría de los casos (població ifiita, pruebas destructivas, etc) el valor del parámetro es descoocido. U estadístico es u úmero que se calcula a partir de los datos muestrales. Si se lo utiliza para estimar u parámetro descoocido, se lo cooce co el ombre de estimador. El objetivo de este capítulo y los próximos es desarrollar el por qué y cómo se utiliza los estadísticos para estimar a los correspodietes parámetros. Tegamos e cueta que el valor del parámetro es fijo, mietras que el valor de u estadístico está e fució de la muestra seleccioada y por lo tato podrá variar de ua muestra a otra. Si de algua maera, pudiéramos medir la precisió de este proceso, es decir, si pudiéramos evaluar si el valor del estadístico va a estar cerca del valor del parámetro correspodiete, para cualquier muestra extraída de la població, etoces estaríamos e codicioes de hacer bueas iferecias. Es aquí dode la técica de muestreo y el tamaño de la muestra juega u papel fudametal. Como se mecioó e el capítulo I, pag. 8 trabajaremos co muestras aleatoria simples, e dode cada elemeto de ua muestra de tamaño es ua variable aleatoria, siedo X, X, X, variables idepedietes etre sí 3. Sólo cuado se utiliza el azar para escoger los elemetos que coforma ua muestra, podemos describir cómo varía el estadístico. Al obteer de forma repetida de ua població distitas muestras del mismo tamaño, podemos ecotrar la distribució muestral del estadístico, como veremos seguidamete. Así, por ej., si se quiere aalizar cierta característica de los alumos que cursaro e la Fac. Reg. Rosario de la UTN e los años 005 y 006 y la muestra se elige seleccioado alumos al azar solamete de los que cursaro durate esos años e ISI, las coclusioes que se extraiga a partir de esta muestra será válidas sólo para la població de los alumos de ISI, pero o para todos los alumos de la Fac. Reg. Rosario. Ya hemos dicho que e el curso sólo se trabajará co muestras aleatorias simples. 3 E el caso de poblacioes fiitas, el muestreo debe ser co reposició para que la ocurrecia de ua observació o aumete o dismiuya la probabilidad de ocurrecia de otra (ver ej. y, pag. 58, Cap. III) G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

4 9 Deomiamos variabilidad muestral al hecho de que el valor de u estadístico varía e u muestreo aleatorio repetido. Para comprederlo podemos recurrir a la teoría de la probabilidad o la simulació a partir de u ejemplo secillo, como el que se platea a cotiuació. 6.3 DISTRIBUCION DEL PROMEDIO MUESTRAL Cosideramos: Variable aleatoria X: edad de hermaos de ua familia, e años Tamaño de la població N = 4 Espacio muestral S x = {, 4, 6, 8} Distribució de probabilidad Uiforme discreta Tabla x P(X=x) 0,5 4 0,5 6 0,5 8 0,5 Parámetros: Esperaza Matemática µ x = 5 Variaza x = 5 Probabilidad Distribució de Probabilidad de X 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0, x: edad e años Tomamos muestras de tamaño, co reposició. Cada muestra es de la forma (x ; x ), dode: Tabla X i es el i-ésimo elemeto de la muestra. Muestra, = Simbolizaremos co x al promedio muestral y co S al desvío estádar de la muestra. E la tabla está todas las posibles muestras co sus correspodietes promedios. Observamos que tato el primer elemeto de la muestra como el segudo so variables aleatorias, ya que, ates de realizar el muestreo, o sabemos qué valores tomará. Si cosideramos la distribució de probabilidad de cada ua de ellas, resulta idéticas a la distribució de probabilidad de la població de la cual fuero extraídas las muestras, siedo por lo tato, iguales los parámetros estadísticos: µ xi = 5 y xi = 5 E la tabla, tambié se visualiza que el promedio muestral es ua variable aleatoria. x x Promedio G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

5 30 Cosideramos ahora esta ueva variable aleatoria X : edad promedio de hermaos elegidos al azar de etre los 4, co reposició. Como podemos observar e la Tabla, para la variable X : Espacio muestral S x = {, 3, 4, 5, 6, 7, 8} La distribució de probabilidad es: Tabla 3: = x Probabilidad 0, ,50 4 0, , , ,50 8 0,065,0000 Probabilidad Distribució del promedio muestral, = 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0, Promedio de la muestra de tamaño Parámetros: Esperaza Matemática µ x = 5 Variaza x =.5 Observemos que la distribució del promedio adopta ua forma completamete distita de la distribució uiforme de los datos de orige. Repitiedo la experiecia, co muestras de tamaños 3, 4 y 5 respectivamete, obteemos las distribucioes de los promedios que mostramos a cotiuació, acompañadas de las gráficas respectivas: = 3 = 4 = 5 Promedio Probabilidad Promedio Probabilidad Promedio Probabilidad,00 0,0565 0, , ,67 0,046875,5 0,056500,4 0, ,33 0, , ,8 0, ,00 0,5650 3,5 0, , 0, ,67 0, , ,6 0, ,33 0, ,5 0, , ,00 0, , ,4 0, ,67 0, ,5 0, ,8 0, ,33 0, , , 0, ,00 0,0565 6,5 0, ,6 0, , , ,5 0, ,4 0, , ,8 0, , 0, ,6 0, , G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

6 3 0,30 Distribució del promedio muestral, = 0,5 Probabilidad 0,0 0,5 0,0 0,05 0, Promedio de la muestra de tamaño 0,0 Distribució del promedio muestral, =3 0,5 Probabilidad 0,0 0,05 0,00,00,67 3,33 4,00 4,67 5,33 6,00 6,67 7,33 8,00 Prom edio de la m uestra de tam año 3 0,0 Distribució del promedio muestral, =4 Probabilidad 0,5 0,0 0,05 0,00,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 Promedio de la muestra de tamaño 4 0,0 Distribució del promedio muestral, =5 Probabilidad 0,5 0,0 0,05 0,00,4,8 3, 3,6 4 4,4 4,8 5, 5,6 6 6,4 6,8 7, 7,6 8 Promedio de la muestra de tamaño 5 G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

7 3 E las gráficas ateriores podemos comprobar ua aplicació del Teorema Cetral del Límite: a medida que aumeta el tamaño de la muestra la distribució de probabilidad del promedio muestral se hace cada vez más acampaada, cocetrádose alrededor del promedio de la població origial. La Tabla 4 permite comparar los parámetros esperaza matemática y variaza de la població origial, co la esperaza matemática y variaza de las poblacioes de los promedios muestrales ates descriptas. Vemos que las medias poblacioales se matiee iguales a 5 (la esperaza matemática de las edades de los 4 hermaos), mietras que las variazas poblacioales dismiuye su valor a medida que aumeta el tamaño de la muestra. Tabla 4 Població µ x =5 x = 5 Tamaño de muestra Al cosiderar la distribució de los valores tomados por el estadístico X e todas las muestras de u mismo tamaño de la misma població, obteemos la distribució muestral de X. µ x x 5,5 3 5, ,5 5 5 G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

8 33 Geeralizado: Distribució muestral de la media muestral X Si las muestras aleatorias simples de tamaño so tomadas de ua població co media poblacioal µ y desvío estádar poblacioal, la distribució muestral de X tiee las siguietes propiedades: ) µ x = E( X ) = µ Es decir, el promedio de todos los posibles valores de X es igual al parámetro µ ) x = Cuado el tamaño de la muestra aumeta, la medida de dispersió dismiuye. Es decir, a medida que el úmero de observacioes obteidas aumeta, el promedio de los valores observados se acerca más y más a µ (Ley de los grades úmeros) 3) Si la població de la cual se extrae las muestras es ormal, la distribució de X es tambié ormal co media y desvío como los dados e los putos ateriores, para cualquier tamaño muestral. 4) Si la població de la cual se extrae las muestras o es ormal, pero el tamaño muestral es suficietemete grade, la distribució de X es aproximadamete ormal co media y desvío como los dados e los putos ateriores. Suficietemete grade e la práctica sigifica u tamaño de muestra 30 (Teorema Cetral del Límite). El tamaño de la muestra, ecesario para que X se aproxime a ua distribució ormal depede de la distribució de la població. E el caso de que las muestras se extraiga de ua població uiforme so suficiete 6 observacioes para que la distribució del promedio muestral sea aproximadamete ormal. 5) Si la població de la cual se extrae las muestras es ormal, co media poblacioal µ y desvío estádar poblacioal, pero ésta es descoocida, se reemplaza por S (desvío estádar muestral) y la estadística ( x µ ) deja de teer distribució ormal estadarizada y tiee ua distribució t S/ Studet co - grados de libertad (a) : ( X µ ) S/ (Ver demostracioes e el Apédice) t ; α (a) La apariecia geeral de la distribució t es similar a la de la distribució ormal estádar: ambas so simétricas y uimodales y el valor máximo de la ordeada se alcaza e la media µ = 0. Si embargo esta distribució tiee colas más amplias que la ormal. Existe ua distribució t distita para cada tamaño de muestra. Ua distribució t viee determiada por u parámetro llamado grados de libertad. A medida que aumeta los grados de libertad, la curva de desidad t se parece más a la curva de la N(0,), ya que la estimació de por s se va haciedo más precisa. G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

9 34 La propiedad idica que el estimador X es isesgado, ya que el cetro de su distribució muestral es igual al valor del parámetro poblacioal correspodiete. La propiedad hace a la variabilidad o precisió del estimador y vemos que a medida que el tamaño muestral crece la precisió del estimador es mayor, ya que la variació alrededor del parámetro descoocido dismiuye (propiedad de covergecia). Si la distribució de u estadístico muestra valores muy alejados, se dice que carece de precisió. Idealmete buscamos u estimador que cumpla estas dos propiedades: que sea isesgado y covergete 4 : U estadístico es isesgado si el cetro de su distribució muestral es igual al valor del parámetro poblacioal correspodiete. U estadístico es covergete si su desviació estádar dismiuye a medida que el tamaño de muestra crece. El estadístico X, por poseer estas propiedades, es u bue estimador de µ. Estas propiedades tambié se cumple para la proporció muestral o frecuecia relativa ( f r ) y la variaza muestral ( S ), siedo por lo tato respectivamete, bueos estimadores de la proporció poblacioal (p) y variaza poblacioal ( ), como veremos e los putos 6.4 y E geeral, la otació que utilizaremos para los estimadores es la siguiete: Parámetro Estimador µ µˆ = X p pˆ = f r ˆ = S - 4 Estas codicioes permite cotrolar los errores de estimació al aumetar el tamaño de la muestra, como veremos más adelate. G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

10 DISTRIBUCION DE LA FRECUENCIA RELATIVA o PROPORCIÓN MUESTRAL El estadístico probabilidad). p ˆ = fr es u bue estimador del parámetro p (proporció poblacioal o Si simuláramos tomar muchas muestras de igual tamaño y e cada ua de ellas calculáramos la proporció de veces que ocurre u suceso A, hallaríamos: La distribució de la proporció muestral es aproximadamete ormal 5 Su media se ecuetra cerca de la proporció poblacioal p Su desviació estádar se hace meor a medida que el tamaño de la muestra se hace mayor. Geeralizado: Distribució muestral de la p ˆ = fr (proporció muestral) Si de ua població dode p represeta la proporció de elemetos que tiee cierta característica A, se toma muestras aleatorias simples de tamaño, la distribució muestral de la proporció muestral o frecuecia relativa ( p ˆ = fr ) de las veces que ocurre A e, tiee las siguietes propiedades: ) E (f r ) = p Es decir, el promedio de todos los posibles valores de f r es igual al parámetro p. ) p( p) ) ) p = Var(p) = Cuado el tamaño de la muestra aumeta, la medida de dispersió dismiuye. Es decir, a medida que el úmero de observacioes obteidas aumeta, el promedio de los valores observados se acerca más y más a p (Ley de los grades úmeros). Observe que para u tamaño de muestra fijo, la máxima desviació estádar se ecuetra e p = 0,5 3) Si es suficietemete grade (b), la distribució de p ˆ = fr se comporta aproximadamete como ua distribució ormal co media y desviació estádar como las dadas e los putos y. p(- p) p ) es aproximadamete N p; (Ver demostracioes e el Apédice) 5 Para poder aproximar la distribució Biomial a la Normal, el tamaño de muestra debe ser suficietemete grade. Como regla empírica esta aproximació es apropiada si p > 5 (Cap. 4). G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

11 DISTRIBUCION DE LA VARIANZA MUESTRAL El estadístico S es u bue estimador del parámetro (variaza poblacioal). 6 Si simuláramos tomar muchas muestras de igual tamaño y e cada ua de ellas calculáramos la variaza muestral, hallaríamos: La media de la variaza muestral se ecuetra cerca de la variaza poblacioal Su desviació estádar se hace meor a medida que el tamaño de la muestra se hace mayor. Geeralizado: Distribució muestral de la S (variaza muestral) Si de ua població se toma muestras aleatorias simples de tamaño, la distribució muestral de la variaza muestral S, tiee las siguietes propiedades: ) E ( S ) = Es decir, el promedio de todos los posibles valores de 4 S es igual al parámetro ) V(S ) = = S - Cuado el tamaño de la muestra aumeta, la medida de dispersió dismiuye. Es decir, a medida que el úmero de observacioes obteidas aumeta, el promedio de los valores observados de S se acerca más y más a (Ley de los grades úmeros). 3) ( ) S la variable libertad (b) : Si la població de la cual se extrae las muestras es ormal, tiee ua distribució ji cuadrado ( χ ) co - grados de ( ) S χ - 4) Si es suficietemete grade, la distribució de la variable χ se ve como ua distribució ormal co media y desviació estádar como las dadas e los putos y. (Ver demostracioes e el Apédice) (b) Las distribucioes ji cuadrado so ua familia de distribucioes que sólo toma valores positivos y que so asimétricas hacia la derecha. Ua distribució ji cuadrado viee determiada por u parámetro llamado grados de libertad. A medida que aumeta los grados de libertad, las curvas de desidad so meos asimétricas y por lo tato, los valores mayores so más probables. 6 Utilizaremos la otació S para idetificar a la variable S - (variaza muestral). G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

12 37 E este material hemos tratado el comportamieto de las distribucioes muestrales de alguos estimadores cuado se toma muestras aleatorias simples. Se aalizó que si el tamaño de muestra es más grade, la distribució de estos estimadores tiede a cetrarse más y más alrededor del valor del parámetro que se quiere estimar. E la práctica o se coocerá el verdadero parámetro poblacioal (por eso la estimació) y se tomará ua sola muestra (o muchas como cuado se simuló la distribució del promedio muestral), pero so las propiedades (isesgado y covergecia) las que garatiza que cuado la muestra que se toma sea grade habrá ua alta probabilidad de que el valor que toma el estimador (estimació) esté cerca del verdadero valor del parámetro que se quiere estimar. 6.6 EJERCICIOS PROPUESTOS 7.- El 9 % de los idividuos de ua regió tiee sagre tipo B. E ua muestra simple al azar de 400 persoas de esa població se ecotró que,5 % teía sagre tipo B. a) Idique: - valor umérico del parámetro:. - valor umérico del estadístico:. - idetifique e térmios del problema al parámetro y al estadístico b) Cuál es la probabilidad de que ua ueva muestra aleatoria de tamaño 400 cotega por lo meos u porcetaje de,5 % de persoas co sagre tipo B?.- Cosidere la variable aleatoria X: peso de alumos varoes de UTN, FRRO. Se cooce que esta variable tiee ua distribució ormal co promedio 75 kg y ua desviació estádar de 7 kg. a) Grafique y compare las distribucioes muestrales de X cuado se extrae muestras aleatorias simples de: * 0 alumos * 30 alumos * 00 alumos b) Cuál es la proporció de muestras de tamaño 30 que arrojará u valor del promedio alejado del promedio poblacioal e a lo sumo desviacioes estádares? 3.- Supoga que el 60% de todos los estudiates de la UTN, Reg. Rosario accede a iformació sobre cursos por medio de Iteret. a) Grafique e forma aproximada la distribució para la posible proporció muestral basada e ua muestra aleatoria simple de 00 estudiates. b) Cuál es la probabilidad de observar ua proporció muestral de 0,50 basada e ua muestra aleatoria simple de tamaño 00 si la proporció poblacioal fuese de 0,60? Explique. 4.- Sea X el úmero de accidetes por semaa e ua esquia dada. Supoga que la media de X es, y el desvío estádar de X es,4. a) Sea X el úmero promedio de accidetes por semaa e u año, o sea, = 5 semaas. cuál es la distribució aproximada de la media muestral? Bosquéjela. 7 Los ejercicios, 3 y 4 fuero extraídos y adaptados del módulo Número 7: Distribucioes muestrales de la Colecció Métodos Estadísticos I., redactado por docetes de la UNR y extractado del libro Iteractive Statistics de Martha Aliaga, Uiversidad de Michiga, 00. G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

13 38 b) cuál es la probabilidad de que el promedio de accidetes por semaa e u año sea meor que? c) Cuá probable es que el úmero total de accidetes por año sea meor que 00?. 00 Sugerecia: P (Total < 00) = P (Promedio < ) U cotratista de obras viales ha tomado u cotrato para costruir ua carretera de hormigó de 800 km. de logitud. La carretera a costruir será ispeccioada por vialidad tomado muestras de tamaño 9 por cada 5 km. costruidos. El tramo de 5 km. se aceptará si objecioes si la media de los espesores de las 9 determiacioes supera 49 mm. E este caso la gaacia para el cotratista es de 5000$ e los 5 km. Si el promedio de las 9 determiacioes de los espesores se ecuetra etre 40 mm y 49 mm tambié se aprueba el tramo pero co ua quita e el precio, obteiédose etoces ua utilidad de 300$. E cualquier otro caso se debe rehacer el tramo, lo que sigifica ua pérdida de 3000$. La variable aleatoria espesor tiee distribució ormal co esperaza matemática igual a 45 mm y desvío estádar igual a 5 mm. Cosidere la variable aleatoria utilidad por tramo de 5 km. Ecuetre su distribució de probabilidad, esperaza matemática y variaza. Cuál es la probabilidad de que la costrucció de los 800 km. dé ua utilidad iferior a $ si los espesores so idepedietes de tramo a tramo? 6.- Demuestre que X es u estimador cosistete de µ mediate el empleo de la desigualdad de Chebyshev (vea ley de los grades úmeros e apédice) G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

14 39 APÉNDICE.- Promedio Muestral o Media Aritmética X = Xi Siedo E(X) = µ y V(X) = y teiedo ua Muestra Aleatoria Simple de tamaño (X, X,..X ), etoces E( X i ) = µ y V(X i ) = (estas codicioes fuero visualizadas e pag. 9 para muestras de tamaño ). Luego E ( X )= E [ Xi ] = E Xi = E( Xi) = µ = µ V ( X )=V [ Xi ] = V Xi = VXi = V Xi = Co respecto a la distribució la variable promedio muestral podemos decir: a) Si la variable aleatoria X se distribuye ormalmete, por propiedad reproductiva : X N µ, b) Si la variable X tiee cualquier distribució pero 30 aplicado el Teorema Cetral del Límite, la distribució aproximada es : X N µ,.- Proporció Muestral o Frecuecia Relativa Sea ua experiecia aleatoria y u suceso A asociado a la misma. Se realiza repeticioes idepedietes de la experiecia. Se defie las variables: A : úmero de veces que ocurre A e las repeticioes idepedietes de la experiecia f A :proporció de veces que ocurre A e las repeticioes idepedietes de la experiecia siedo f A = A La variable aleatoria A tiee distribució biomial co E ( A ) =.p y ( A ) =.p.(-p) y e cosecuecia E ( f A ) = p y ( f A ) = p ( p) G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

15 Variaza muestral (S ) E la págia 35 se platea, para el caso e que la variable X se distribuya ormalmete, que: E ( S ) = V ( S ) = S = 4 - A cotiuació se demuestra ambas igualdades. Si X N ( µ, ) ( X µ) N (0, ) ( X µ) χ y e cosecuecia : ι= (X µ) i χ por propiedad reproductiva de la distribució ji cuadrado Se demuestra que: ι= ( X X) i χ - o e forma equivalete: ( ) S χ - Además, para ua variable χ sus parámetros so E (χ ) = y V (χ ) = y e cosecuecia para χ - E (χ - ) = y V (χ -) = ( ) () Reemplazado e () ( ) S E = ( ) E ( S ) = ( ) S V = ( ) 4 V(S ) = ( ) 4 V ( S ) = ( ) G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso

16 4 4.- LEY DE LOS GRANDES NUMEROS E el capítulo 3 se dijo que después de u gra úmero de repeticioes de ua experiecia, la proporció de veces que ocurre u suceso e las repeticioes (frecuecia relativa), se acerca a la probabilidad de ese suceso. Esto se cooce como ley de los grades úmeros y se puede demostrar matemáticamete a partir de las leyes de probabilidad 8. Cosideremos ua experiecia aleatoria y u suceso A asociado a la misma. Se realiza repeticioes idepedietes de la experiecia y se defie las variables: A : úmero de veces que ocurre A e las repeticioes de la experiecia : proporció de veces que ocurre A e las repeticioes de la experiecia f A siedo f A = A Se cooce que P(A) = p se matiee costate e las repeticioes de la experiecia. Se demuestra que para u úmero positivo ε: P ( f A p < ε ) > - p (- p) ε y lím P ( f A p < ε ) = es decir, que cuado tiede a ifiito la frecuecia relativa tiede a la probabilidad ( defiició frecuecial de probabilidad ). Demostració : A Bi (, p ) E ( A ) = p ( A ) = p ( p ) y e cosecuecia E ( f A ) = p ( f A ) = p ( p) Aplicado la desigualdad de Tchebychev : P f A p k p ( p) > () k Sea ε = k p ( p) etoces k = ε p( p) Reemplazado e (), se obtiee lo que se quería demostrar: P ( f A p < ε ) > - p (- p) ε 8 La ley de los grades úmeros se puede demostrar tambié a partir del comportamieto del promedio muestral. A medida que el úmero de observacioes obteidas aumeta, la media de los valores observados se acerca más y más a µ. G.Carevali-E.Frachelli-G.Gervasoi-M.Grasso