Apéndice Números Complejos

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1 Aédice Números Comlejos 1 Números comlejos. Geeralidades. Oeracioes co úmeros comlejos Potecia y raíz de úmeros comlejos. 4 Fució exoecial y forma exoecial. E.U.Politécica de Sevilla. Fudametos Matemáticos de la Igeiería. Esecialidad Mecáica y Electricidad. Curso Números comlejos. Geeralidades. El úmero comlejo. Llamaremos úmero comlejo a toda exresió de la forma a + bi, dode a y b so úmeros reales; i es la uidad imagiaria, defiida i = i = or: 1 o -1. a es la arte real y b es la arte imagiaria del úmero comlejo. Sea z = a+ bi u úmero comlejo, su cojugado es z = a bi. Si a = 0, el úmero comlejo 0 + bi = bi es u úmero imagiario uro. Dos úmeros comlejos a + bi y a + b i so iguales si: a = a y b = b Si a+ bi = 0, etoces a = 0 y b = 0.

2 Reresetació gráfica. a+ bi ( a, b) θ r ( ab, ) (, r θ ) r módulo θ argumeto a b = rcosθ = r se θ r = a + b tg θ = b a a+ bi = r(cos θ + i se θ ) Forma trigoométrica z = a+ bi r = z = a+ bi Forma trigoométrica z = a+ bi = r(cos θ + i se θ ) Todo úmero real uede escribirse e forma trigoométrica a = a (cos 0 + i se 0), si a > 0 a = a (cos π + i se π), si a < 0 El cero se escribiría del siguiete modo 0 = 0 (cos θ + i se θ), 0 = 0. Forma olar z = r θ

3 .- Oeracioes co úmeros comlejos. Suma ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) a bi a b i a a b b i Producto or u úmero real ( ) λ a+ bi = λa+ λbi Producto ( + ) ( + ) = ( ) + ( + ) a bi a bi aa bb ba ab i Divisió a + bi a a + bb a b ab = + i a b i a b a b Oeracioes co úmeros comlejos. Forma trigoométrica. z = r(cos θ + i se θ ) z = r(cos θ + i se θ) Producto ( θ θ ) ( θ θ ) z z = rr cos + + i se Divisió z z r = cos + se r 1 1 ( θ θ ) i ( θ θ ) 1 1

4 .- Potecia y raíz de úmeros comlejos. Potecia (Fórmula de Moivre) Sea z = a+ bi = r(cos θ + i se θ ) y, se verifica: z = r (cos θ + i se θ) Nota: Si r = 1, (cos θ + i se θ) = cos θ + i se θ Si =, (cos + i se ) = cos + i se θ θ θ θ (cos + i se ) = cos + i cos se cos se i se θ θ θ θ θ θ θ θ ( cos θ cos θ se θ) i ( cos θse θ se θ) = + cos cos cos se θ = θ θ θ θ θ θ θ se = cos se se Raíz Sea z = a+ bi = r(cos θ + i se θ ), ua raíz sima de z es u úmero comlejo z= ρ(cos ϕ + i se ϕ) tal que ρ ( cos ϕ + i se ϕ)= r(cos θ + i se θ) ρ =, r ϕ = θ + kπ θ + kπ ρ= r, ϕ = dode k = 0,1,..., 1

5 Ejemlo : Calcula 1. E este caso 1= cos0 + i se 0, 0+ kπ ρ= 1, ϕ = dode k = 0,1, Las raices edidas so: 1, 1, 1. 0 π π ρ=1, ϕ = 0,,. 1 =1(cos 0 + i se 0)=1 (raiz ricial) 0 π π 1 1 =1( cos + i se ) = + i π 1 1 =1( cos + i se ) = i 4.- Fució exoecial y forma exoecial. Sea z = x+ yi. Si x e y so variables reales, z es ua variable comleja. Se defie la exoecial comleja como sigue: z x+ yi x w= e = e = e (cos y+ i se y) Ejemlo : π z π π e e Sea z = + i, e = e (cos + i se ) = + i Proiedades 1 Si z y z so úmeros comlejos, se verifica: z1+ z z z 1) e = e e. z1 z z z ) e = e / e. z ( ) mz ) Si m es u úmero etero, e = e. z+ πi z z 4) e = e (cos + i se ) = e. π π m

6 Fórmula de Euler x+ yi x Sea e = e (cos y+ i se y), si hacemos x = 0, se obtiee: yi e = cos y+ i se y (1) exresió coocida como fórmula de Euler. yi Si se cambia y or y se obtiee: e = cos( y) + i se( y) yi e = cos y i se y () e + e e e A artir de (1) y (): cos y =, se y = i yi yi yi yi Forma exoecial Sea z = a+ bi = r(cos θ + i se θ ), a artir de la fórmula de Euler se verifica: e iθ iθ = cos θ + i se θ z = re Nota : iθ iθ1 iθ Dados z = re, z = re y z = re, se verifica: 1 1 a) z z = re re = rre iθ1 iθ i(θ1+ θ ) re r b) z / z e iθ = = iθ re r i(θ -θ ) 1 i c) z = r e siedo etero ositivo. θ iϕ θ + kπ k d) z = re, ϕk = dode k= 0,1,..., 1

7 Nota : ( ) ( ) E forma olar, z = r, z = r y z = r θ 1 1 θ 1 θ a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z = r r = rr 1 1 θ θ 1 θ +θ ( r ) ( r ) θ θ r 1 1 b) z1 / z = = r θ θ +θ 1 c) z = r siedo etero ositivo. θ + kπ d) z = r, ϕk = dode k = 0,1,..., 1 ϕk

8 ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA Igeiería Técica Idustrial. Esecialidades Mecáica y Electricidad FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA NÚMEROS COMPLEJOS 1.- Escribir e forma olar y e forma exoecial los siguiete úmeros comlejos. a) 1 + i b) 5 5i c) + i d) 5 e) 6i f) 5 + 5i g) 1 i h) + i i) 1 i j) i 5.- Escribir e forma biómica los siguiete úmeros comlejos..- Calcular: a) 4 b) 4 c) i d)5e e) e 4 i f) e 7i g) 4e 5i=6 h) e i= i) e i j) 1 ei=4 a) ( i) i(1 d) ( i)( + i) 4i i) b)8 + ( + 4i)5i + 9i g) 5e i= + e i=6 h) 1 + i 6 c)( + i)( i)( i) e) ( i) 5 f) (5e i= )(e i=6 ) i) 1 + i e 4 i 4.- Ecotrar la forma olar y cartesiaa de los comlejos: a) 5.- Calcular: a) i 0 i 19 b) (1 i) 5 c) 1 i 7 d) i + + i e 4 i 11 e) b) 6e i 1 i i f) 1 i 6.- Calcular: a) i b) 4 + 4i c) 4 81 d) 5 1 e) + i f) 5 e i 7.- Calcular: a) r i 1 i i b) (1 + i) i 8.- Hallar todas las solucioes de las ecuacioes: a) z 6 1 = 0 b) z + z + 6 = 0 c) z (6 + 8i) z + (1 + 0i) = 0 d) (1 + i)z i = Exresar e fució de se x y cos x las siguietes exresioes: a) se x; cos x: b) se 4x; cos 4x: 10.- Es cierto que z = e 4 i se exresa e forma biómica como z = (1 + i)? 11.- Dados z 1 = + i y z = 1 + i: Exresar e forma exoecial: a) z 1 y z b) z 1 z c) z 1 =z : 1.- Hallar las raices de la ecuació 1 x i = + i 1.- Demostrar que el roducto de las raices -simas de la uidad vale 1 ó 1: 14.- Resolver la siguiete ecuació: z 6 iz 1 = 0

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