Una relación no lineal entre inflación y los medios de pago

Transcripción

1 BANCO DE LA REPUBLICA Subgerenca de Esudos Económcos Una relacón no lneal enre nflacón y los medos de pago Munr A. Jall Barney Lus Fernando Melo Velanda * Sanafé de Bogoá, Dcembre de 999 * Los resulados y opnones son responsabldad exclusva de los auores y su conendo no compromee al Banco de la Repúblca n a su juna Drecva. Se agradecen los comenaros y sugerencas a una versón preva del rabajo de Lus E. Arango, Aruro Galndo, Andrés González, Carlos F. Jaramllo, Enrque López, Fabo Neo, Marha Msas, Hugo Olveros, Jesús Oero y Adrana Ponón.

2 Resumen Con la adopcón de la políca de 'Inflacón Objevo' en un buen número de países, uno de los prncpales objevos de los bancos cenrales se ha converdo en enconrar modelos que puedan dar una dea de la rayecora de la nflacón en el largo plazo. En ese orden de deas el presene arículo raa de esablecer una relacón enre nflacón y un agregado monearo para el caso colombano ulzando nformacón mensual desde febrero de 985 hasa abrl de 999. Una de las resrccones comunes que mplcan el esudo de la relacón enre M e nflacón ulzando modelos lneales consse en la smería de la funcón de mpulso respuesa (FIR). Así, un choque posvo sobre M ene el msmo efeco sobre el ssema que uno negavo. Más aún, la dnámca de la FIR no depende de la fecha cuando el choque es dado. Sn embargo, dadas las caraceríscas especales que gobernan esa relacón en Colomba, es posble pensar que las resrccones anerores no son necesaramene váldas. En ese documeno se encuenra una relacón no-lneal enre nflacón y crecmeno de M ulzando un modelo de Regresón de Transcón Suave (STR). Una de las prncpales caraceríscas de ese nuevo modelo esá relaconada con su capacdad de pronósco. Ulzando varos esadíscos de evaluacón y comparando esos con oros modelos ulzados en el Banco de la Repúblca, el modelo aquí hallado es el mejor para pronoscar la nflacón de largo plazo (8 a 24 meses). Adconalmene, ese modelo puede ser ulzado para probar la exsenca de comporameno asmérco en la nflacón orgnado por un choque en M. Sobre ese úlmo puno la evdenca enconrada no es clara para el caso colombano. JEL: C32, E3,E37 2

3 . Inroduccón La políca de 'Inflacón Objevo' es uno de los emas más mporanes de dscusón en los años recenes. Países como Nueva Zelanda, España, Reno Undo, Canadá, Sueca, Ausrala y Brasl han mplemenado ese mecansmo y en países como Chle y Colomba las condcones para llevar a cabo ese po de políca- la cual esá basada en el connuo monoreo de los pronóscos de nflacón- esán dadas. En ese conexo, modelos que puedan pronoscar adecuadamene la nflacón en el largo plazo y que puedan explcar la dnámca enre el dnero y la nflacón pueden jugar un papel mporane. Buscando cubrr dnámcas mucho más rcas y realsas que provean unos pronóscos más adecuados en ese documeno se nena especfcar una relacón no lneal enre la nflacón y el crecmeno de M para Colomba ulzando nformacón mensual desde febrero de 985 hasa abrl de 999. Exsen varos rabajos anerores en los cuales se nvolucran especfcacones no lneales para la nflacón de Colomba, uno de los prmeros rabajos explca el proceso nflaconaro como un modelo 'Swchng' con res esados (Ver Melo y Msas (998)). Trabajos poserores han raado de explcar la nflacón como un proceso GARCH (Ver Jall y Tobón (999)) y como un proceso Auorregresvo de Transcón Suave (STAR) (Ver Arango y González (999)). Todas las dnámcas no lneales anerormene descras esán úncamene en funcón de la nflacón pasada de al forma que no se ncluyen oras varables que puedan explcar el comporameno de la sere y adconalmene, en nnguno de esos rabajos se explora el comporameno de pronóscos de la nflacón bajo esos pos de modelos. En ese documeno se esma una relacón no lneal ulzando un modelo de Regresón de Transcón Suave enre la nflacón y agregados monearos, realzando énfass en el análss de pronóscos. Una venaja de ulzar una especfcacón no lneal esá relaconada con las propedades de la funcón de mpulso respuesa (FIR). Las resrccones comunes que son generadas del esudo de la relacón enre M y la nflacón ulzando modelos lneales consse en la smería de la FIR. Así, un choque posvo sobre M ene el msmo efeco sobre el ssema que uno negavo. Mas aún, la dnámca de la FIR no depende de la fecha cuando el choque es dado, lo cual sgnfca, que la fecha no nfluye en los resulados de un choque dado. El modelo propueso aquí puede ser ulzado para probar la exsenca de comporamenos asmércos en la funcón de mpulso respuesa. Eso puede ser nerpreado como una prueba sobre posble exsenca de rgdeces nomnales en nflacón. El documeno esá organzado como sgue, la seccón 2 ncluye una breve explcacón de las meodologías economércas ulzadas para la esmacón del modelo no lneal, la seccón 3 muesra los resulados para el caso de la economía colombana y fnalmene, en la seccón 4 se concluye. 3

4 2. Meodología Economérca 2.. Modelos Auorregresvos de ranscón suave (STAR) Los modelos po STAR corresponden a una gama de modelos no lneales donde se supone que el proceso generador de la sere ( ) oscla de forma suave enre dos regímenes exremos, específcamene: α + = + α + β + β F ( d ) ε () 2 donde ε N (, σ ) d ε y F ( ) d es una funcón no lneal de -d que oma valores enre y, frecuenemene denomnada funcón de ranscón ; los dos modelos más comunes suponen las sguenes funcones: Modelo LSTAR: F ( ) = { + exp[ γ ( c) ]} γ > d d (2) 2 { [ ]} γ > Modelo ESTAR: F ( ) exp γ ( c) d = d (3) por lo ano la no-lnealdad que nroduce los cambos de régmen por medo de la funcón F( -d ) depende de los parámeros γ y c. En parcular, para un modelo LSTAR los regímenes de ranscón ocurren alrededor de -d = c donde el parámero γ ndca el grado de no lnealdad, es decr qué an rápdo ocurre la ranscón enre los dos regímenes exremos o el paso de cero a uno en F( -d ). Por ejemplo, basados en daos smulados, los Gráfcos A y B muesran la funcón de ranscón F( -d ) para c = 6 con dos valores dferenes en el parámero γ (.2 y.8 respecvamene), claramene se puede observar que ese parámero es menor en el gráfco A. F ó ( ) = Bajo esa especfcacón los dos regímenes lneales exremos ocurren cuando ( ) = d defndos como α + α + ε α + β + α + β + ε = = y ( ) F y son d, respecvamene. Los regímenes resanes corresponden a una combnacón lneal de esos dos, donde la ponderacón es esablecda por. F ( ) d 4

5 Gráfco A Gráfco B F ( ) d F ( ) d Régmen exremo Régmen exremo 2 Transcón d ( daos ordenados) d ( daos ordenados) Para los modelos ESTAR la funcón de ranscón F( -d ) ene en la sguene forma: Gráfco F( ) exremo 2 Régmen d Régmen exremo d ( daos ordenados ) Transcón Como se observa en el gráfco 2, la funcón F( -d ) es smérca con respeco al parámero c, en ese ejemplo de nuevo c = 6. Para los dos pos menconados de modelos STAR la ranscón enre los dos regímenes exremos se realza suavemene dependendo de los valores de -d a ravés de F( -d ), sn embargo la ranscón funcona de forma dferene. En los modelos LSTAR se enen dferenes dnámcas locales de regímenes exremos para valores bajos o alos de -d (gráfcos A y B). En conrase en los modelos ESTAR la dnámca local es la msma para valores bajos o alos de -d (régmen exremo 2, gráfca 2), menras que para los valores cercanos a c se ene la dnámca del oro régmen exremo (régmen exremo, gráfca 2). Los modelos STAR 2 presenan varas venajas con respeco a oros pos de modelos no lneales; son localmene lneales, relavamene sencllos de nerprear y adconalmene, ese po de modelos es más general de aquellos que suponen un número fno de regímenes o esados de la economía. 2 Una descrpcón complea de los modelos STAR se encuenra en Tong 99, Ullah & Gles 998 y Franses

6 For nsance, nsead of assumng ha an economy jus has wo dscree saes, expanson and conracon, say, may be more convenen and realsc o assume a connuum of saes beween he wo exremes. Teräsvra (998) 3 Es de noar que el modelo auorregresvo lneal es un caso parcular de los modelo STAR cuando γ = ó odos los parámeros β son guales a cero Proceso de Modelacón Para la modelacón de los procesos STAR se consderó la esraega sugerda por Teräsvra (994) y Erhem y Teräsvra (996), la cual es smlar en érmnos de las eapas a la propuesa por Box y Jenkns para los modelos ARIMA y se dvde en las fases de: especfcacón, esmacón y dagnosco o evaluacón del modelo. Un supueso mporane denro de la mayoría de los modelos no lneales y en parcular para las seres que sguen una dnámca descra por los modelos STAR es que esas deben ser esaconaras. Sn embargo, las pruebas radconales de raíces unaras y conegracón no consderan procesos no lneales en la hpóess nula o en la alerna, por lo ano s se esá consderando modelar dnámcas no lneales no es convenene consderar ese po de pruebas. Con respeco a ese problema Caner y Hansen (998) desarrollan una nueva meodología que perme consderar smuláneamene modelos no lneales y raíces unaras, sn embargo ellos sólo desarrollan esas pruebas de hpóess para modelos auoregresvos con umbral TAR 4 ( Threshold Auoregressve Models ). Una prueba más apropada para los modelos po STR es la propuesa por Enders y Ludlow en 999, esos auores consderan pruebas de raíz unara y conegracón denro de un conexo no lneal más general, en ese caso el proceso no lneal es consderado ulzando aproxmacones de Fourer, una mayor explcacón de esa meodología se encuenra en el Anexo. Una vez conocdo el orden de negracón de la sere, se desarrolla la eapa de especfcacón sobre la sere esaconara, el prmer paso consse en realzar una prueba de lnealdad donde en la hpóess alerna se ene un proceso no lneal po STAR. Para realzar esa prueba prmero se esman los resduales de un modelo lneal auorregresvo sobre la sere (ecuacón 4), poserormene se regresan esos resduales conra los érmnos que resulan de una aproxmacón de Taylor de ercer orden de la funcón no lneal del modelo STAR (ecuacón 5). Por úlmo, para probar la lnealdad se ulza un es po LM sobre la regresón fnal (expresón 6). Los modelos de regresón ulzados en esa prueba son los sguenes: 3 Capulo 5 del Handbook of apples economc sascs, Los modelos TAR consuyen un caso parcular de los modelos STAR donde solo exsen dos regímenes exremos sn ranscón. 6

7 = ς + φ + u (4) u ˆ + v 2 3 = + β + β + β + β 2 d 3 d 4 d β (5) La hpóess nula de lnealdad es: H : β β = β = = (6) En ese procedmeno se supone que el rezago d asocado con la varable de ranscón -d es conocdo. Teräsvra propone que para selecconarlo se realce esa prueba de lnealdad para varos rezagos y se seleccone d como el rezago con el cual se rechaza el es con el menor p-value, s nnguno de los p-values es sufcenemene pequeño la lnealdad no es rechazada. Una vez se ha rechazado la lnealdad del proceso que genera la sere, el sguene paso es escoger enre los modelos ESTAR y LSTAR, para ello se realzan res pruebas (F 2, F 3 y F 4 ) 5 ), s el menor p-value ocurre con la prueba F 3 se seleccona un modelo ESTAR, de lo conraro se escoge un modelo LSTAR. Los dealles de esa prueba se pueden enconrar en Teräsvra, 94. La sguene eapa de la modelzacón corresponde a la esmacón del modelo, esa es realzada por máxma verosmlud, pero debdo a las no-lnealdades en la funcón de verosmlud esa es efecuada ulzando algormos numércos de opmzacón. Como es usual en ese po de problemas numércos los valores ncales de los parámeros juegan un papel mporane denro del proceso de opmzacón. Sn embargo, debdo a la dnámca local lneal de los modelos STAR, los valores ncales dependen báscamene de los parámeros γ y c 6. Una alernava para la seleccón de los valores ncales consse en realzar una malla bdmensonal de posbles valores de esos parámeros 7, los valores ncales son escogdos como la combnacón de los dos parámeros que opmza la funcón objevo evaluada en la malla. Una vez se obenen los parámeros esmados del modelo es mporane verfcar que esas esmacones no camben sgnfcavamene para dferenes combnacones de valores ncales de γ y c. 5 Específcamene, se enen las sguenes hpóess sobre el modelo especfcado en (5): F H : β = 4 4 F H β = = : β H : β β = β F = = 6 Es decr, se ene un modelo lneal cuando se condcona un modelo STAR a valores fjos de γ y c. 7 Para especfcar los posbles valores que pueden omar esos dos parámeros se deben ener en cuena las sguenes observacones:. Debdo a que c es un parámero de localzacón ese se debe enconrar denro del rango que oma la varable -d. 2. Para evar valores esmados muy grandes de γ -d se puede dvdr por su desvacón esándar. 7

8 En la úlma eapa de la meodología de modelacón, se debe verfcar la valdez de los supuesos del modelo. Esas pruebas consderadas en Erhem y Teräsvra (996) ncluyen ess de no auocorrelacón en los resduales, ess de no-lnealdad remanene en el modelo y ess de consanca de los parámeros Prueba de causaldad de Granger y modelos Sar Hasa el momeno en los procesos STAR dscudos la sere analzada depende de forma no lneal de sus propos rezagos. Para consderar modelos que ncluyan relacones con oras varables es necesaro esudar en una prmera eapa relacones de causaldad denro de ese conexo no lneal. Suponendo un proceso advo de regresón de ranscón suave (STR 8 ) para dos seres y X se ene el sguene modelo: α + ( d ) + δ X + π + π X G( X e ) ε = + α + β + β F (7) donde G(X -e ) es una funcón de ranscón smlar a las defndas en (2) y (3). Skaln y Teräsvra (999), generalzando el es de causaldad de Granger, consderan que X no causa en sendo Granger a en el modelo (7) s G(.) = y δ = π =. Debdo a problemas de no denfcacón bajo la hpóess nula de no causaldad y suponendo que el rezago e es desconocdo, la prueba de causaldad es realzada sobre el modelo (7) consderando una expansón de Taylor para G(.): 3 = α + α + β + β F( d ) + κ X + ηj X X j + τ X + u (8) j en ese caso la hpóess nula de no causaldad: H : κ = η j = τ =,j es evaluada medane una prueba po LM. S el proceso de es lneal y X sgue sendo no lneal, se puede connuar ulzando esa prueba, lógcamene consderando que F(.) = y β = β = Funcón de Impulso Respuesa La Funcón de Impulso Respuesa (FIR) descrbe el efeco en el empo de un choque sobre la sere bajo análss. Por lo ano esa puede ser calculada como la dferenca enre el valor esperado condconal de la sere 8 A dferenca del modelo STAR, en el modelo STR la sere depende de oras varables en adcón de rezagos de ella msma. 8

9 con y sn choque: FIR para k =, 2,... (, T ) k = E ( ε = δ, ε =,, ε =,,, ) T + k T T + T + k T T 2 E ( ε =, ε =,, ε =,,, ) δ (9) T + k T T + T + k T T 2 En la ecuacón (9) la funcón de mpulso respuesa ndca el efeco que ene un choque de magnud δ sobre la sere { } en = T, k perodos después de haberse realzado. Funcones de Impulso Respuesa para modelos lneales S se supone que una sere esaconara { } sgue un proceso ARMA(p,q) por el eorema de descomposcón de Wold exse la sguene represenacón: 2 donde ε (, σ ) d ε = 2 2 µ + ψ ε + ψ ε + ψ ε + (), en ese caso ulzando la defncón (9) se ene que: FIR ( δ, T ) = ψ δ () k k Del resulado descro en (), basado en un modelo lneal, resalan res caraceríscas:. La funcón de mpulso respuesa es smérca, es decr un choque de magnud -δ ene el efeco exacamene opueso a un choque de magnud +δ. 2. La FIR es lneal en el sendo que un choque, por ejemplo, de magnud 2δ corresponde a dos veces el efeco de un choque de magnud δ. 3. La funcón de mpulso respuesa depende del número de perodos ranscurrdos después de efecuarse el choque (k) pero no depende del perodo de empo en el cual se realza el choque, es decr no depende de T. Esas caraceríscas ambén se cumplen para modelos con procesos no esaconaros 9, por ejemplo para un modelo ARIMA(p,,q) : Φ ( B) = ς + Θ ( B) ε (2) p q 9 Inclusve como lo menconan Koop, Pesaran y Poer (996), esas caraceríscas ambén se enen para modelos muvarados como los modelos VAR o VEC. 9

10 se ene el resulado: los érmnos k FIR ( δ, T ) = δ ψ (3) k = ψ del polnomo Ψ ( B ) se obenen de la relacón Ψ ( B ) Φ ( B ) = Θ ( B ) p q, donde: Φ p p ( B) = φ B φ B 2 2 φ p B ; Θ ( B) = θ B θ B q 2 2 θ B q q B es el operador de rezago y = (-B). La FIR descra en (3) confrma ese resulado, es decr, esa sujea a las res propedades o caraceríscas comenadas anerormene. En la prácca esas caraceríscas pueden ser muy resrcvas, esas propedades mplcarían que por ejemplo choques que ocurren durane una recesón enen un efeco de la msma magnud que choques durane una expansón. Cuando se analzan las funcones de mpulso respuesa de un modelo lneal como un VAR o un VEC se esa suponendo que los efecos de un choque son los msmos sn mporar en que perodo se realza. Por ejemplo, s un esudo se efecúa para una muesra enre 98 y 999, se esa suponendo que los efecos de un choque realzado en 98 son los msmos que producría un choque en Funcones de Impulso Respuesa para modelos no lneales Cuando se ulzan modelos no lneales como los procesos STAR, no se enen las resrccones de la funcón de mpulso respuesa de los modelos lneales. Los efecos de choques posvos no son necesaramene de la msma magnud, en valor absoluo, que los efecos de choques negavos y adconalmene la FIR depende del perodo en el cual se realza el choque. Para los modelos no lneales po STAR la funcón de mpulso respuesa no ene una solucón analíca, como las obendas en () o (3), sn embargo esa puede ser esmada numércamene ulzando la defncón descra en (9). Adconalmene, debdo a que esos modelos no enen la resrccón de smería dscuda para los modelos lneales, Poer (995) defne la sguene medda de asmería en la funcón de mpulso respuesa: para k =, 2,... ( δ, T ) k FIR( δ, T ) k + FIR( δ T ) k ASIM, = (4)

11 S sgue un proceso lneal ese medda de asmería será sempre gual a cero, menras que para modelos no lneales esa medda dependerá del amaño choque y del perodo del empo donde se realza. Para conocer la sgnfcanca esadísca ano de las funcones de mpulso respuesa como de la medda de asmería dscuda en (4) para los modelos STAR se pueden realzar nervalos de confanza ulzando écncas de Boosrappng. Véase anexo 2.

12 4. Resulados En el análss no lneal enre la nflacón y los agregados monearos se ulzaron seres mensuales en el perodo comprenddo enre febrero de 985 y abrl de 999. La nflacón fue omada como la varacón anual del índce oal de precos al consumdor y los agregados ulzados fueron Base Moneara, Base moneara ajusada, Medos de pago (M), M3 y M3 más bonos, odos meddos en varacones anuales. Pruebas de Raíz Unara Tomando en cuena que los modelos consderados en ese rabajo enen como supueso la esaconaredad de las seres, se llevaron a cabo dos pos de pruebas de raíz unara; la de Dckey y Fuller y la de Enders y Ludlow (999), la segunda prueba fue realzada debdo a que esa ene una mayor poenca en conexos no lneales. Los resulados presenados en la abla, bajo ambos ess, muesran que odas las seres consderadas se pueden omar como negradas de orden uno. Tabla Pruebas de Raíz Unara* Prueba D-F Prueba de Enders y Ludlow Sere Esadísca P-Value L-B** F_all F_rg C CR P-Value L-B** Inflacón τ µ = (-2.88) (6.72) (7.24) (-3.) (9.92) V_Base τ µ = (-2.88) (6.72) (7.24) (-3.) (9.92) V_Base Aj. τ µ = (-2.88) (6.72) (7.24) (-3.) (9.92) V_M τ µ = (-2.88) (6.72) (7.24) (-3.) (9.92) V_M3 τ µ = (-2.88) (6.72) (7.24) (-3.) (9.92) V_M3B τ µ =-.26 (-2.88) (6.72) 4.67 (7.24) -.74 (-3.).64 (9.92).35 * Los valores crícos para un nvel de sgnfcanca del 5% son ndcados enre paréness, V_ ndca varacones anuales. ** P-value asocado a la esadísca de Ljung y Box para n/4 rezagos. Las esadíscas F_all, F_rg y C (Anexo ) ndcan que se cumplen las hpóess de que los coefcenes c, a, y b, de la ecuacón (a..) del anexo, son odos guales a cero. Adconalmene, la esadísca CR muesra que se acepa que c=r 2 /4, ndcando que no exse un comporameno de decameno en las seres (c no es menor que r 2 /4). Por lo ano, las cnco pruebas ndcan que no exse evdenca para rechazar la hpóess nula de que las seres son I(). 2

13 Pruebas de No lnealdad El prmer paso en el proceso de esmacón sugerdo por Teräsvra (994) consse en probar la lnealdad versus una especfcacón de po STAR. La manera de llevar a cabo esa prueba de hpóess, consse en esmar ncalmene un modelo auorregresvo (AR) lneal sobre cada una de las seres esaconaras. Bajo la hpóess nula el modelo lneal AR es adecuado, menras que la hpóess alerna ndca que se ene un modelo no lneal STAR. Esa prueba es realzada ulzando dferenes modelos STAR, específcamene cada uno de esos modelos consdera como varable de ranscón a dsnos rezagos de la sere analzada. La esadísca (F- L) con la que se rechace más fueremene la prueba de no lnealdad es la que deermna cuál es la varable de ranscón que se debe ulzar en el modelo STAR 2. Los resulados presenados en la Tabla 2 para odas las varables analzadas muesran que la nflacón es la únca sere en la que claramene se obenen p-values muy bajos. Con M se presena un p-value de. lo cual podría ser nerpreado como una posble exsenca de no lnealdad, sn embargo cuando se esmó el modelo no lneal sobre esa sere, el ajuse de ese comparado con el modelo lneal fue práccamene el msmo, por lo que se decdó raarlo como un proceso lneal. Tabla 2. Tes de No lnealdad (FL) para Inflacón y agregados monearos =d(nflacón) =d(v base) =d(v base aj) =d(v m) =d(v m3) =d(v m3b) Delay F-L P-value F-L P-value F-L P-value F-L P-value F-L P-value F-L P-value * d(x) corresponde a la dferenca de la sere x. 2 El érmno fuere es ulzado en el sendo como lo planean Skaln y Teräsvra (999). El p-value con cual debe rechazarse la lnealdad debe ser muy bajo ya que el nvel de sgnfcanca ulzado en la prueba puede verse afecado por el número de veces que esa se realza para la msma sere. 3

14 Pruebas de Conegracón Una vez esablecdo que las seres analzadas son I() y que algunas de esas se pueden represenar adecuadamene por procesos no lneales, el sguene paso del análss para enconrar un modelo STR adecuado enre la nflacón y los agregados monearos es verfcar prmero, s exse conegracón enre las seres y segundo, en caso de no exsr conegracón, deermnar s exsen causaldades y en que sendos. Los resulados de las pruebas de conegracón de Enders y Ludlow 3 presenados en la abla 3 ndcan que no exse conegracón enre la nflacón y nnguno de los agregados monearos consderados. Tabla 3 Prueba de Conegracón de Enders y Ludlow* Seres F_all F_rg C CR P-Value L-B** Inflacón y V_Base 3.7 (7.79) 4. (7.22) -.9 (-3.53) Inflacón y V_Base Aj (7.79) (7.22) (-3.53) Inflacón y V_M (7.79) (7.22) (-3.53) Inflacón y V_M (7.79) (7.22) (-3.53) Inflacón y V_M3B (7.79) (7.22) (-3.53) (3.77) (3.77) (3.77) (3.77) (3.77) * Los valores crícos para un nvel de sgnfcanca del 5% son ndcados enre paréness. ** P-value asocado a la esadísca de Ljung y Box para n/4 rezagos. Pruebas de Causaldad en un conexo no lneal Dado que la nflacón no esá conegrada con nngún agregado monearo, el sguene paso para esablecer un modelo enre esas seres es consderar las pruebas de causaldad denro de un conexo no lneal sobre las varables en prmeras dferencas, para ello se ulza la meodología propuesa por Skaln y Teräsvra (999), la cual ha sdo explcada anerormene. Los resulados de dcha prueba se presenan en la Tabla 4 y muesran que el únco agregado que causa en el sendo de Granger a la nflacón es M 4. 3 Se decdó ulzar solamene la prueba de conegracón de Enders y Ludlow, excluyendo a pruebas como la de Johansen debdo a que ésas úlmas enen menor poenca en conexos no lneales. 4 Con respeco a los resulados obendos es mporane realzar dos aclaracones; prmero, como ya se ha comenado, los agregados monearos son meddos en varacones anuales y segundo, esos resulados son obendos sobre las varables en prmeras dferencas. 4

15 Tabla 4. Pruebas de Causaldad Prueba de Causaldad de Granger No lneal Ho: El agregado no causa D(nflacón) Rezagos=3 Agregado F P-value d(v_m) d(v_m3) d(v_m3b) d(v_base) d(v_base Aj) Prueba de Causaldad de Granger Ho: D(nflacón) no causa al agregado Agregado F P-value d(v_m) d(v_m3) d(v_m3b) d(v_base) d(v_base Aj) En la segunda pare de la abla 4 se presenan las causaldades en el sendo nverso, es decr, s la nflacón causa a los agregados monearos. Como ya se ha comprobado que odos los agregados enen una esrucura lneal, las pruebas de causaldad en el sendo de Granger se realzan bajo la modfcacón anoada al fnal de la seccón 3.3. Los resulados de esa abla ndcan que no se presena causaldad en ese sendo. De lo aneror se puede conclur que el agregado con el que se debe rabajar es M dado que presena las caraceríscas planeadas por los modelos monearos radconales: causa la nflacón, pero la nflacón no lo causa a él. Debdo a que exse causaldad en un solo sendo, la relacón enre la nflacón y M puede ser descra adecuadamene por un modelo unecuaconal STR donde la nflacón en dferencas es explcada por rezagos de ella msma y de rezagos de la dferenca de M. Para complear la especfcacón del modelo STR aneror, se requere conocer la varable de ranscón y el po de modelo (LSTR ó ESTR). Las pruebas se presenan en la Tabla 5 y permen conclur que la varable de ranscón es el rezago 8 de la nflacón y el po de modelo que se debe esmar es un LSTR 5. 5 Para comprender el carácer de las pruebas véase la seccón

16 Tabla 5: Tes de No lnealdad (FL) para d(nflacón) Delay F-L P-value F4 P-val F3 P-val F2 P-val d(nflacón){} d(nflacón){2} d(nflacón){3} d(nflacón){4} d(nflacón){5} d(nflacón){6} d(nflacón){7} d(nflacón){8} d(nflacón){9} d(nflacón){} d(nflacón){} d(nflacón){2} d(nflacón){3} d(nflacón){4} d(nflacón){5} d(nflacón){6} d(nflacón){7} d(nflacón){8} d(nflacón){9} d(v_m){} d(v_m){2} d(v_m){3} d(v_m){4} d(v_m){5} d(v_m){6} d(v_m){7} d(v_m){8} d(v_m){9} d(v_m){} d(v_m){} d(v_m){2} d(v_m){3} El modelo fnal esmado se presena en la Tabla 6, las pruebas de dagnósco muesran que los resduos del modelo no presenan problemas de auocorrelacón n de no normaldad 6. 6 En el anexo 4 se presenan pruebas adconales de dagnósco. En general, odas esas pruebas muesran que el modelo STR esmado es adecuado. 6

17 Tabla 6: Esmacón LSTR Varable Dependene: D(INFLACIÓN) Varable de Transcón: D(INFLACIÓN){8} Coefcene STD gamma c Lneal No Lneal Varable Coefcene STD Coefcene STD cons d d d d(nflacón){} d(nflacón){2} d(nflacón){3} d(nflacón){4} d(nflacón){5} d(nflacón){6} d(nflacón){7} d(nflacón){8} d(nflacón){} d(nflacón){2} d(nflacón){3} d(nflacón){4} d(nflacón){5} d(nflacón){6} d(nflacón){8} d(nflacón){9} d(nflacón){22} d(nflacón){23} d(nflacón){24} d(v_m){} d(v_m){2} d(v_m){5} d(v_m){6} d(v_m){7} d(v_m){9} d(v_m){} d(v_m){2} d(v_m){3} d(v_m){4} d(v_m){6} d(v_m){7} d(v_m){8} d(v_m){23} Error esándar de los resduales.437 Asmería -.39 Log lkelhood Exceso de Kuross.72 AIC SBIC Esadísco Sgnfcanca R-cuadrado.884 Jarque-Bera Var(Noln)/Var(Ln).43 Q(24)

18 Los gráfcos 4 y 5 juno con la Tabla 7 permen enender mejor el comporameno descro por el modelo esmado. En el gráfco 4 se encuenra la funcón de ranscón del modelo en funcón del empo, debe recordarse que dcha funcón descrbe la ranscón que se presena enre dos regímenes exremos (ver seccón 3.). En esa gráfca se puede observar que a parr de 992 esa funcón oma en general valores menores comparados con los obendos al nco de la muesra. Al observar la gráfca 5, en la que la funcón de ranscón esá organzada en orden ascendene, se encuenra que la gran mayoría de daos se ubcan en los valores nermedos y no en los exremos. Lo aneror sgnfca que denro del perodo de análss la nflacón en Colomba se encuenra en un posble proceso en ranscón, aunque es dfícl observar algún parón en la funcón de ranscón, se puede ver un cambo mayor en la dnámca de la sere desde de la década de los novena. En la abla 7 se ermna de lusrar el comporameno descro por el modelo. En esa se observa que exsen, dependendo del valor de la funcón de ranscón (F), procesos esaconaros juno con oros que no lo son. Los valores esperados condconados a dsnos valores de F permen conclur que exse una relacón nversa enre los valores que oma esa funcón y las varacones mensuales absoluas de la nflacón. Así, enre más bajo el valor de la funcón de ranscón mayor es la dsmnucón en la varacón de la nflacón. Ese puno concuerda con el hecho eslzado que planea que en la década de los 9, la nflacón ha presenado una dsmnucón. Gráfco 3. 8

19 Gráfco 4. Gráfco 5. 9

20 Tabla 7. Raíces, Módulo, Período y Valor esperado condconado a valores de la funcón de ranscón. F= F=. F=.2 F=.3 Raíz Módulo Período Raíz Módulo Período Raíz Módulo Período Raíz Módulo Período Valor esperado Valor esperado Valor esperado Valor esperado condconado a F *** condconado a F -.24 condconado a F -.66 condconado a F -.9 F=.4 F=.5 F=.6 F=.7 Raíz Módulo Período Raíz Módulo Período Raíz Módulo Período Raíz Módulo Período Valor esperado Valor esperado Valor esperado Valor esperado condconado a F -.88 condconado a F -.66 condconado a F *** condconado a F *** F=.8 F=.9 F= Raíz Módulo Período Raíz Módulo Período Raíz Módulo Período Valor esperado Valor esperado Valor esperado condconado a F *** condconado a F *** condconado a F *** *** No se presena el valor esperado debdo a la no esaconardad del proceso local. Se muesran las raíces con los módulos más alos Funcones de mpulso respuesa Para el modelo fnal especfcado en la abla 6 se procedó a esmar la funcón de mpulso respuesa. Esa funcón mde el efeco en el empo ane un choque sobre la sere en análss o sobre una varable explcava de la sere. Esa herramena es de gran uldad debdo a que perme cuanfcar las reaccones que se presenan en la nflacón ane cambos en la políca moneara o ane cambos en la msma sere. En un conexo no lneal es de mucha uldad ya que los efecos producdos por la accón de un choque posvo no son necesaramene de la msma magnud que los efecos producdos por choques negavos, además el período de empo en el cual se realza el choque se convere en un facor deermnane de la reaccón fnal que endrá la sere. S el efeco de los choques posvos y negavos son dsnos en valor absoluo, se puede decr que se presena un comporameno asmérco en la nflacón y ello sería evdenca a favor de la exsenca de rgdeces nomnales a nvel agregado 7. El procedmeno llevado a cabo para al fn, conssó en esmar la funcón de mpulso respuesa (FIR) para choques a comenzos de algunos años ncludos en la muesra. 7 La aproxmacón conocda como 'rgdeces nomnales', descra por Ball y Mankw (994) y Mankw y Romer (99) ha sdo probado usualmene en ambenes mcroeconómcos más que a nvel macro debdo a la fala de nformacón que se puede generar con el uso de un índce al como fue planeado por Carlon (986). Sn embargo, algunos rabajos han sdo realzados con índces de precos (Ver por ejemplo el rabajo de George Sgler y James Kndhal (97)). En Colomba, las rgdeces has sdo probadas a nvel mcro, ver Jaramllo y Cerquera (999). 2

21 En los gráfcos 6 y 7 se presenan los resulados para los años 989, 993 y Las esmacones de la FIR y de los coefcenes de asmería para cada choque ncluyen nervalos de confanza al 95% ulzando écncas de Boosrappng basadas en. replcacones. Los resulados obendos muesran que se presena un comporameno asmérco posvo en odos los períodos, ello sgnfca que el choque posvo ene un efeco mayor, en valor absoluo, que el producdo por un choque negavo. Sn embargo, al 95% los nervalos de confanza obendos para la asmería generada con choques de M, en érmnos generales, pasan por cero; cuando se ulzan nervalos de confanza del 85% se obene un mayor conjuno de observacones con asmería sgnfcavamene dsna de cero 9. En conclusón, en ese ejercco se obene una asmería posva que en érmnos generales no es sgnfcavamene dferene de cero, lo cual ndca que no exse una fuere evdenca a favor de la exsenca de rgdeces nomnales a la baja a nvel agregado. Con respeco a los choques realzados a la nflacón, se observa una asmería posva y además sgnfcava en un mayor número de observacones 2. Análss de capacdad de pronósco del modelo Se realzó un análss para mosrar la efcenca de pronósco del modelo no lneal comparándolo con los modelos de proyeccón de nflacón más ulzados, con base en las proyeccones "rollng" fuera de muesra enre enero de 994 y el marzo de 999. Las esadíscas de evaluacón de pronósco ulzadas corresponderon al Error Medo (ME), la Raíz del Error Cuadráco Medo (RMSE), el Error Absoluo Medo (MAE) y la U de Thel (U-Thel). En la Tabla 8 se presenan los resulados de esas meddas para horzones de a 8 rmesres 2. Los resulados obendos muesran que en odos los horzones el modelo LSTR ene un comporameno sasfacoro y en los úlmos res rmesres obene los mejores resulados lo que mplca, que denro de las especfcacones consderadas, es el mejor modelo para pronoscar a horzones largos. 8 En esas gráfcas se puede observar que la asmería es sempre gual cero para las prmeras observacones, ese hecho es debdo a las caraceríscas del modelo STR. S se realza un choque en la sere en el perodo = T, sguendo el modelo () el efeco no lneal se comenza a reflejar después de d perodos (=T+d). Por lo ano, debdo a las caraceríscas de la FIR menconadas en la seccón 3.4 y 3.5, anes de d perodos después del choque el coefcene de asmería debe ser gual a cero. 9 A pesar de ese resulado, al ulzar nervalos de confanza al 85%, odavía se ene que la mayor pare de las observacones presenan una asmería que no es sgnfcavamene dferene de cero. 2 Ese resulado es más claro cuando se emplean nervalos de confanza al 85%. 2 Se presena la nformacón en rmesres debdo a que la gran mayoría de esos modelos son de frecuenca rmesral. 2

22 Tabla 8. Análss de la capacdad de pronósco del modelo no lneal comparado con oros modelos ulzados. Horzone Horzone 2 Modelo ME RMSE MAE U-THEIL Modelo ME RMSE MAE U-THEIL CurPhll CurPhll LSTR CurPhll CurPhll Psar Psar ARIMA ARIMA LSTR Escandnavo Escandnavo Pralm Pralm Horzone 3 Horzone 4 Modelo ME RMSE MAE U-THEIL Modelo ME RMSE MAE U-THEIL CurPhll CurPhll Psar Psar CurPhll LSTR LSTR CurPhll Escandnavo Escandnavo ARIMA ARIMA Pralm Pralm Horzone 5 Horzone 6 Modelo ME RMSE MAE U-THEIL Modelo ME RMSE MAE U-THEIL CurPhll LSTR Psar CurPhll LSTR Psar ARIMA ARIMA CurPhll CurPhll Escandnavo Escandnavo Pralm Pralm Horzone 7 Horzone 8 Modelo ME RMSE MAE U-THEIL Modelo ME RMSE MAE U-THEIL LSTR LSTR CurPhll CurPhll Psar Psar ARIMA ARIMA CurPhll Escandnavo Escandnavo CurPhll Pralm Pralm

23 5. Conclusones Se enconró una relacón no lneal enre nflacón y el crecmeno de M la cual puede ser ulzada para pronoscar la nflacón. Además esa srve para probar la exsenca de comporameno asmérco relaconado con la dferenca enre los efecos de un choque posvo y uno negavo. La exsenca de causaldad en un sendo perme esmar un modelo de unecuaconal en el cual la nflacón se encuenra explcada por un componene auorregresvo y por rezagos del crecmeno de M. El modelo no lneal esmado muesra que la nflacón se encuenra durane el período analzado, en general, denro de una fase de ranscón. Aunque es dfícl enconrar algún parón en la funcón de ranscón, desde comenzos de los 9s se puede denfcar un cambo mayor en la dnámca de la sere. Esa dnámca del modelo es compable con el hecho de una nflacón descendene desde comenzos de esa década. Una de las venajas que surgen del uso de los modelos no lneales es que es posble evaluar la exsenca de asmerías en dos sendos: prmero, con respeco a choques monearos y, segundo, con respeco a choques sobre la msma nflacón. Cuando los choques son dados a la nflacón, exse una asmería posva lo cual sgnfca que un choque posvo ene un efeco mayor en la nflacón que uno negavo. Además, comparado con los años anerores (989 y 993), ese efeco ene menor magnud cuando el choque es dado en 999. Aunque los choques en M generan una asmería posva, ese resulado no es sgnfcavo. Así, no hay una evdenca clara en favor de un comporameno asmérco de la nflacón ane choques de M y por consguene, de rgdeces nomnales a nvel agregado. La capacdad de pronósco del modelo es parcularmene buena en lo que se refere al largo plazo (8 a 24 meses), lo cual convere a ese modelo en una herramena mporane en érmnos de pronósco. El sguene paso sería nclur en ese modelo oros pos de varables ales como el produco y las asas de nerés. Aunque ese modelo presena varas venajas con respeco a oras especfcacones de la nflacón, es mporane ener en cuena algunas de sus lmacones; debdo a su esquema dnámco bvarado esa especfcacón no puede ser ulzada como un modelo esrucural; además, la nformacón ulzada para el calculo de la nflacón corresponde a un índce agregado el cual puede esconder algunos cambos de precos. Así, la nformacón brndada por el modelo no puede responder odas las pregunas que usualmene se pueden hacer acerca de la exsenca de rgdeces nomnales a la baja. 23

24 Gráfco 6. Respuesa de la nflacón ane choques del 5% en M Inervalos de confanza del 95% 24

25 Gráfco 7. Respuesa de la nflacón ane choques del 5% en Inflacón Inervalos de confanza del 95% 25

26 Referencas Arango, L. y A. González (998). Some Evdence of Smooh Transon Nonlneary n Colomban Inflaon. Borradores de Economía No. 5, Banco de la Repúblca. Ball, L and Mankw, N. G. (994), "A Scky Prce Manfeso", NBER Workng Paper, no Brockwell, P. J., Davs, R. A. (99) Tme Seres : Theory and Mehods. Sprnger - Verlag. Second edon. Caner, M. and B. Hansen (998). Threshold Auoregresson wh a Near Un Roo. Unversy of Wsconsn. Carlon, D. (986), "The Rgdy of Prces", Amercan Economc Revew, 76, Chafeld, C. (989) The Analyss of Tme Seres, An Inroducon. Fourh edon, Chapman & Hall. Erhem, O and T. Teräsvra (996). Tesng he Adequacy of Smooh Transon Auoregressve Models. Journal of Economercs, 74, Enders, W and J. Ludlow (999). Non-lnear Decay: Tess for an Aracor Usng a Fourer Approxmaon, Iowa Sae Unversy. Franses, P. H. (998). Tme seres models for busness and economc forecasng. Cambrdge Unversy Press. Jall, M. C. Tobón, (999), Inflaon Uncerany n Colomba: A GARCH model, Workng Paper, Banco de la Repúblca. Jaramllo, C.F. and D. Cerquera. (999), "Prce behavor n an Inflaonary envronmen: Evdence from Supermarke Daa", MIMEO. Koop, G., Pesaran M. and S. Poer (996). Impulse response analyss n nonlnear mulvarae models. Journal of Economercs 74, 9-47.

27 Mankw, N. (985), "Small Menu Coss and Large Busness Cycles", Quarerly Journal of Economcs, Vol, Melo, L.F., M. Msas, (998), Análss del comporameno de la nflacón rmesral en Colomba bajo cambos de régmen: una evdenca a ravés del modelo 'swchng' de Hamlon, Borradores de Economía, No. 86, Banco de la Repúblca. Poer, S., (995). A nonlnear approach o US GNP, Journal of Appled Economercs, Skaln J, and T. Teräsvra, (999). Anoher look a Swedsh busness cycles, Journal of Appled Economercs 4-4, Sgler, G and J. Kndhal, (97), "The Behavor of Indusral Prces, Naonal Bureau of Economc Research, General Seres, no. 9. Teräsvra, T.(994). Specfcaon, Esmaon and Evaluaon of Smooh Transon Auoregressve Models. Journal of he Amercan Sascal Assocaon, 89, Teräsvra, T. (998 ). Modellng economc relaonshps wh smooh ranson regressons. n A. Ullah and D. E. A. Gles (eds). Handbook of Appled Economc Sascs. Dekker, New ork, pp Tong, H (99). Non-lnear Tme Seres. A Dynamcal Sysem Approach, Oxford: Oxford Unversy Press. 27

28 ANEXO Pruebas de Raíz Unara de Enders y Ludlow (999) Para el desarrollo de esa prueba ncalmene se consdera un modelo de la sguene forma: () ε = α + (a..) donde la sere {ε } corresponde a un proceso rudo blanco con varanza σ 2 y α() es una funcón en el empo que puede ser no lneal. Realzando j reemplazamenos haca arás con ese msmo modelo se ene: = ε + α( ) ε + α( ) α( ) ε + + α( ) α( ) α ( j) 2 j (a..2) s se connua erando, el decameno de la secuenca {} mplca la sguene condcón: p N lm α ( ) = (a..3) N = El puno cenral de la prueba de Enders y Ludlow consse en represenar α() medane una aproxmacón Fourer 22 consderando una sola frecuenca k: 2πk 2πk α( ) = a + a sen + b cos T T (a..4) donde T corresponde al numero oal de observacones y k es un número enero enre y T/2. Esa aproxmacón ene la venaja de que no se requere especfcar el proceso de ajuse no lneal, solo se deben enconrar valores apropados para a, a, b, y k. Para enconrar las condcones de esaconaredad, la ecuacón (a..4) se expresa de la sguene forma: donde: = ( q() ) α ( ) = a + r cos (a..5) 2 2 2πk a a + b ; q() = + d ; d = arcsen T r r (a..6) realzando operacones algebracas se obene ene que la condcón para que la secuenca de {} converja es: 28

29 p lm N = N [ a + r ( q( ) )] = cos (a..7) por lo ano la condcón de decameno depende de a y r y no de la frecuenca k o el desplazameno d. Analzando la dnámca de un proceso caracerzado por esos modelos, los auores encuenran que las condcones necesaras y sufcenes para el decameno de la secuenca { } son las sguenes: 2 a < + r y r < 2 (a..8) 4 bajo esa meodología se ene la venaja que se permen varos pos de decameno, parculares en las dnámcas no lneales. Es así como los auores encuenran cuaro pos de decameno, dependendo los valores de a y r 23 : a > r y a + r, decameno dreco donde la velocdad del ajuse camba en el < empo. > r y a + r a, en ese caso aunque exse decameno la secuenca { } > puede ener algunos perodos de comporameno explosvo. a < r y a + r, decameno osclaoro. < Fnalmene, para a < r y a + r se ene decameno osclaoro con perodos de comporameno explosvo. > Para consderar dnámcas más generales el modelo básco especfcado en (a..) puede ser aumenado con dferencas rezagadas de la sere: p () + γ ε = α + (a..9) = donde el número de rezagos especfcado por p puede ser enconrado medane los procedmenos radconales como la esadísca Ljung-Box ulzada para el dagnosco de los resduales, creros de nformacón, ec. 22 En el anexo 3 se encuenra una breve nroduccón al análss especral de seres de empo, el cual ulza ransformacones de Fourer. 29

30 Para enconrar los valores más apropados para a, a, b, y k en (a..4) los auores recomendan esmar el sguene modelo para cada uno de los valores de k enre y T/2 : = c + a donde c = a -. Los valores de c, a,b, y resduos cuadrácos de (a..). 2πk 2πk + b cos T T + p j= γ j + ε sen (a..) k son selecconados como los resulanes de la menor suma de Una vez especfcado el modelo (a..) para una frecuenca k, se desarrollan las sguenes pruebas de hpóess: F_all: H : c = a = b = F_rg: H : a = b = C: H : c = CR: H : c = r 2 /4, donde r = a b Las esadíscas asocadas a esas pruebas de hpóess son calculadas de la forma usual medane las formulas F ó 24. S el proceso que genera la sere ene una raíz unara, se aceparía la hpóess nula asocada a las esadíscas F_all, F_rg y C. En caso conraro, es decr, cuando no exse una raíz unara las esadíscas F_rg y C servrían para especfcar s se enen decamenos lneales (a =b =)o no lneales (a ó b ). La acepacón de la hpóess nula asocada a la esadísca CR ndcaría que el proceso que genera la sere no cumple la condcón (a..8) 25. Enders y Ludlow reporan los valores crícos de esas cuaro esadíscas para dferenes nveles de sgnfcanca y amaños de muesra. Adconalmene, esos valores son abulados para dos pos 23 Los cuaro pos de decameno corresponden a una parcón del espaco defndo por la regón 2 a < + r y r < Es mporane anoar que el esadísco de la prueba CR se calcula de la forma radconal pero enendo en cuena que esa resrccón no es lneal. 25 Es de anoar que al gual que en la prueba de raíz unara de Dckey y Fuller, la hpóess alerna asocada a las esadíscas F_all, F_rg, C y CR ndca convergenca. 3

31 de modelacón deermnísca; uno consderando nercepo y el oro ncluyendo una endenca deermnísca 26. Enders y Ludlow ulzando ese po de écncas ambén proponen una nueva prueba de conegracón, esa prueba se puede consderar como una modfcacón a la meodología de dos eapas de Engle y Granger (E-G). La prmera eapa se realza de la msma forma propuesa orgnalmene 27 y en la segunda se desarrolla la meodología expuesa para la ecuacón (a..) pero sobre el resduo {e } de la prmera eapa de la prueba de E-G, es decr: e = c + a 2πk 2πk + b cos e T T + p j= γ e j + ε sen (a..) 2 a r y < se puede conclur que la 4 como en los casos anerores, s < + r 2 secuenca {e } converge a cero de al forma que las seres en análss esarían conegradas. Al gual que para las pruebas anerores, Enders y Ludlow presenan las ablas de los valores crícos de esa prueba de conegracón para las cuaro esadíscas F_all, F-rg, c y cr. 26 Para la consderacón de la pare deermnísca se regresa la sere en nveles conra un nercepo o un nercepo y endenca, conservando la sere de resduales. Poserormene, el reso de la meodología, ncluyendo la esmacón del modelo de (a..), es desarrollada ulzando como sere de análss a esos resduales. 27 Por ejemplo para dos seres X y, en la prmera eapa se esma la sguene regresón: * = β + β X + ε 3

32 32 ANEXO 2 Inervalos de confanza de la funcón de mpulso respuesa basados en écncas Boosrap La dea prncpal del uso de esas écncas es obener una esmacón de la dsrbucón en muesras pequeñas de los parámeros nvolucrados en la funcón de mpulso respuesa y asmería, sn suponer nngún po de dsrbucón sobre los errores del modelo. Esa écnca se puede mplemenar de la sguene forma: En la eapa ncal se esma el modelo STAR: ( ) d F ε β β α α = (a.2.) y se obene la sere de los resduales { } ε para =,...,T. Poserormene se mplemena un proceso eravo, donde para la eracón j se realzan los sguenes pasos: ) Se genera una muesra aleaora, {ε * (j) }, de amaño T de los resduales del modelo (a.2.) ulzando écncas con reemplazameno, donde odos los resduales enen gual probabldad de ser selecconados. ) Dados esos nuevos resduales, los valores de la sere son reconsrudos de la sguene forma: ( ) ) *( ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ j d j F ε β β α α = ( ) ) *( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j d j j j F ε β β β α α α = > > ( ) ) *( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ j T j d T j T j T j T F ε β β α α = ) Una vez obenda la nueva sere },,, { ) ( ) ( 2 ) ( j T j j en el paso aneror, se esman de nuevo los parámeros del modelo STAR y su correspondene funcón de mpulso respuesa y meddas de asmería.