Tema 1: Introducción. Definiciones. Lógica Computacional. Lógica Computacional. Temas Avanzados en Ingeniería Informática I (Lógica)

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1 Temas Avanzados en Ingeniería Informática I (Lógica) Lógica Computacional La mayoría de las ideas fundamentales de la Tema 1: Introducción ciencia son esencialmente sencillas y, por regla general pueden ser expresadas en un lenguaje comprensible para todos. Albert Einstein Lógica Computacional Definiciones La Lógica Computacional aborda el estudio de la Lógica Matemática desde la perspectiva de su aplicación al mundo de la computación Lógica logos:razón, tratado o ciencia La Lógica se utilizará para: Lógica : Ciencia del Razonamiento Como una forma de representación del conocimiento Para la implementación de procesos que permitan la resolución de problemas La lógica surge con la filosofía: Debate entre el materialismo y el idealismo Lógica 1

2 Definiciones Definiciones Lógica Matemática= La Lógica es la ciencia que tiene como objetivo el análisis de los métodos de razonamiento Lógica Matemática = Lógica Formal = Lógica Simbólica Lógica Formal= deducción de conocimiento a partir de otros elementos. Ciencia que estudia la validez formal del razonamiento Razonamiento (deducción, inferencia, argumentación): obtención de nuevo conocimiento (conclusión) a partir de una serie de conocimientos previos (premisas) Validez formal: un razonamiento es formalmente válido si la conclusión es necesariamente verdadera cuando las premisas son verdaderas (es válido en virtud de su forma -su estructura-, es decir, independientemente del conocimiento concreto del que trata). En este caso se dice que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas Breve historia de la Lógica Formal Breve historia de la Lógica Formal Demócrito ( a.c) Fundador de la teoría atomística Sócrates ( a.c.) y Platón ( a.c.): contra la corriente materialista La Lógica fue formalmente introducida en el marco de la Filosofía por el filósofo griego Aristóteles ( A.C.). Teoría del raciocionio y de la demostración: rigurosa diferenciación entre lo verdadero y lo falso También antecedentes en China y la India Edad Media Bacon ( ): lógica inductiva Descartes ( ), Método Científico El matemático alemán Leibniz ( ) fue el primero en plantear una verdadera formalización de la lógica como cálculo matemático Lógica 2

3 Breve historia de la Lógica Formal Breve historia de la Lógica Formal El trabajo es completado a mediados del siglo XIX con los trabajos de los matemáticos ingleses Boole y De Morgan, que aplicaron a la lógica métodos algebraicos: G. Boole( ): Lógica Booleana Augustus de Morgan( ): leyes distributivas de la negación El gran desarrollo de la lógica formal se produjo a finales del siglo XIX y primera mitad del XX, con las aportaciones de: Gottlob Frege( ): fundador de la lógica moderna y de la lógica de primer orden Bertrand Russell( ), Alfred North Whitehead( ): Principia Mathematica: lógica simbólica Kurt Gödel ( ): Teoremas de Gödel Alfred Tarski ( ), Fundamentación de la metalógica y la metamatemática Hilbert, Herbrand Breve historia de la Lógica Formal A partir de los años 50 una parte importante de la investigación en lógica se centra en el estudio de sus aplicaciones en computación, en particular como herramienta de programación Lógica Clásica Considera únicamente construcciones declarativas, sobre las que podemos pronunciarnos acerca de su verdad o falsedad sin consideraciones de contexto Es veritativo-funcional. Una expresión es veritativa-funcional si forma estructuras compuestas en los que basta conocer el valor de verdad de sus partes para saber el valor de verdad de la estructura total Lógica 3

4 Lógica Clásica Lógica Clásica Proposicional (I) Su estudio se realiza en dos niveles de análisis estructural: 1. Se contemplan únicamente construcciones declarativas simples y compuestas: Lógica Clásica Proposicional 2. En cada afirmación simple se distingue qué se declara o de qué o quién se declara: Lógica Clásica de Predicados Representación del lenguaje natural tomando como elemento básico una representación matemática de las frases declarativas simples (o proposiciones) Ej: Jorge es listo (p) Lógica Proposicional (o de enunciados) (II) Estudia el comportamiento de las fórmulas proposicionales, construidas exclusivamente a partir de: proposiciones atómicas (sentencias declarativas sin estructura interna que siempre son o bien ciertas o bien falsas) conectivas lógicas (y, o, no, implica,...) Ejemplos de formalización de frases: llueve (p); me mojo (q) ; llueve o me mojo (p q); no llueve ( p);si llueve, me mojo (p q) Lógica Proposicional (o de enunciados) (III) Ejemplos de formalización de razonamientos: Ejemplo A (razonamiento válido) Premisa 1: Si las rosas son rojas, las violetas son azules: p q Premisa 2: Las violetas no son azules: q Conclusión: Las rosas no son rojas: p Ejemplo B (razonamiento NO válido) Premisa 1: Si los problemas son difíciles, estudiamos: p q Premisa 2: Los problemas no son difíciles: p Conclusión: No estudiamos: q Lógica 4

5 Lógica Clásica de Predicados (I) Lógica Predicados (de primer orden) (II) Representación del lenguaje natural tomando como elemento básico los componentes de algunos tipos de proposición (términos y predicados) Existen razonamientos válidos que no son expresables ni analizables en lógica de proposiciones Ej: Jorge es listo término predicado La lógica de predicados es una extensión de la lógica de proposiciones que tiene en cuenta la estructura interna de los enunciados Lógica Predicados (de primer orden) (II) Lógica Predicados (de primer orden) (II) Introduce los siguientes (nuevos) elementos: Ejemplo de formalización de una frase: predicados, que permiten expresar propiedades o relaciones entre objetos cuantificadores, que permiten expresar la generalidad de los enunciados (enunciados válidos para todos los objetos de un cierto tipo o sólo para algunos) funciones, que permiten expresar transformaciones de objetos constantes y variables, que permiten referirse a objetos concretos u objetos generales a es el límite de una sucesión f(n) si para todo ε > 0 existe un n 0 tal que para todo n n 0 se verifica abs(f(n) - a) < ε" Lógica 5

6 Lógica Predicados (de primer orden) (II) Lógicas de orden superior Ejemplo de formalización de un razonamiento: Premisa 1: Todas las personas son mortales Premisa 2: Sócrates es una persona. P(s) Conclusión: Sócrates es mortal. M(s) (razonamiento formalmente válido) En lógica de predicados de primer orden los cuantificadores sólo se pueden aplicar a objetos (elementos de primer orden) Las lógicas de orden superior son extensiones de la lógica de predicados de primer orden que permiten aplicar cuantificadores a predicados definidos sobre objetos (segundo orden), predicados definidos sobre predicados (tercer orden), etc. Lógicas de orden superior Ejemplos: Todos los múltiplos de 8 comparten una propiedad interesante Todos los problemas filosóficos tienen un rasgo en común" Lógicas No Clásicas Lógicas con mayor poder expresivo Extensiones de la Lógica Clásica: extienden el vocabulario y añaden nuevas leyes Lógica Temporal: considera contextos temporales Lógica Modal: considera contextos de necesidad o posibilidad Lógica Doxástica: considera contextos de creencia Lógica 6

7 Características de una Lógica Lógicas No Clásicas Para definir una lógica es necesario Desviaciones de la Lógica Clásica: no mantienen algunas leyes de la Lógica clásica Lógica Intuicionista: no contempla como ley A o no A (ley del tercero excluido) Lógica 3-valuada: se consideran tres valores de verdad Lógicas que incorporan el tratamiento de la incertidumbre o la imprecisión: Lógicas multivaluadas, Lógicas probabilistas, Lógicas borrosas (fuzzy) Lógica lineal: no es veritativo funcional Un lenguaje formal (sintaxis) Una Semántica (o Teoría de Modelos) Una Teoría de la demostración Automatizar las Deducciones Características de una Lógica Lenguaje Formal Sintaxis Describe los elementos básicos del lenguaje y las reglas que permiten construir las expresiones admitidas por el lenguaje, denominadas fórmulas Semántica Permite asignar un significado (valor de verdad, cierto o falso) a las fórmulas del lenguaje, y definir qué significa que una fórmula o un razonamiento sean válidos Sistemas de demostración Son sistemas formales que permiten averiguar cuándo una fórmula es válida o cuándo un razonamiento es válido Alfabeto: Un alfabeto es cualquier conjunto finito o infinito numerable de símbolos (A) Lenguaje universal sobre A: A* = An n N Lenguaje sobre A: es cualquier subconjunto del lenguaje universal: L A* Lógica 7

8 Lenguaje Formal Semántica o Teoría de Modelos Los elementos de L se denominan fórmulas bien formadas (fbf), o fórmulas sintácticamente correctas (fsc) Una semántica o Teoría de modelos sobre un lenguaje L viene de dada por los siguientes tres elementos : Equivalentemente, un lenguaje L viene determinado por: Alfabeto: Conjunto de símbolos admitidos en el lenguaje Un conjunto de valores semánticos (S) Un conjunto D S de valores destacados Gramática: Conjunto de reglas de formación que determinan quá cadenasde símbolos son fbf en el lenguaje Un conjunto (I) de aplicaciones I : L S denominadas interpretaciones Semántica o Teoría de Modelos Teoría de la demostración Modelo. Una interpretación es un modelo de un conjunto de fbfs Ω si asigna a toda fórmula de Ω un valor destacado Fórmula válida: una fbf es válida si toda interpretación del lenguaje es un modelo para ella; se denota: = α Inferencia semántica: una fbf α se deriva o infiere semánticamente de un conjunto de fbfs Ω, si todo modelo de Ω es modelo de α. Se denota: Ω = α Es un mecanismo deductivo, es decir, un mecanismo que permite obtener una fbf de otras sin hacer referencia a ninguna semántica Tiene como objetivo establecer la noción sintáctica de deducción Sistemas axiomáticos Sistemas de Deducción Natural Sistemas de Gentzen Lógica 8

9 Sistema axiomático Sistema axiomático El mecanismo deductivo viene dado por los dos elementos siguientes: Fórmula válida o teorema. Una demostración es una secuencia finita de fbfs en la cual cada fbf es o un axioma o una consecuencia inmediata de una o varias fórmulas precedentes Axiomas: Conjunto finito o infinito numerable de fbfs de L Reglas de inferencia: Conjunto de reglas deducción o transformación que establecen cuando un fbf es consecuencia inmediata de una o varias fórmulas Si A es la última fórmula de la secuencia, decimos que A es una fórmula válida o teorema; lo denotamos A Deducción o derivación. Una deducción o derivación de una fbf A desde un conjunto Ω de fbfs es una secuencia finita de fbfs en la cual cada fórmula es un axioma, un elemento de Ω o una consecuencia inmediata de una o varias fórmulas precedentes. Lo denotamos: Ω A Corrección y completitud Automatización de las demostraciones Estas nociones se asocian a un sistema de demostración definido sobre un lenguaje con una teoría de modelos Corrección: Una teoría de la demostración es correcta si todo lo derivable en ella es derivable en la semántica: Ω A Ω = A Completitud: Una teoría de la demostración es completa si toda inferencia válida en la semántica es derivable en ella: Ω = A Ω A Decidibilidad: Una lógica se dice decidible, si para ella es posible diseñar un algoritmo que determine si cualquier inferencia es, o no, válida Semidecidibilidad Complejidad de los algoritmos de decisión Lógica 9

10 Lógica computacional Campos de aplicación Lógica computacional Campos de aplicación Lógica de la programación Uso de la lógica formal para describir la semántica de los lenguajes de programación, para verificar la corrección de programas o para probar propiedades de los programas (ejemplo: Lógica de Hoare,1969) Especificación formal Uso de la lógica formal para especificar formalmente programas (ejemplo: lenguaje de especificación Z, 1989) Análisis, síntesis y verificación de Programas Teoría de la especificación Inteligencia Artificial Control de Procesos Robótica Breve historia de la Lógica Computacional Breve historia de la Lógica Computacional Años 50 Nacimiento de la Inteligencia Artificial y del primer lenguaje de programación declarativo (LISP) (McCarthy, 1959) Aparición de los primeros sistemas de demostración automática Años 60 Años 70 Introducción de la programación lógica como mecanismo general de resolución de problemas (Greene, Kowalski) Nuevos sistemas de demostración automática, más eficientes y completos (Gilmore, Davis-Putnam,...) Aparición del sistema de Resolución (Robinson, 1965): sistema muy eficiente, sencillo y de fácil implementación (sistema utilizado por PROLOG) Primera implementación de un lenguaje de programación lógico (Prolog, Colmenauer, 1972) Lógica 10

11 Breve historia de la Lógica Computacional Años 80 en adelante Prolog alcanza su madurez (varias implementaciones comerciales, libros, etc), su uso se empieza a generalizar y se define un estándar Programación lógica concurrente, Programación lógicofuncional, programación lógica con restricciones, sistemas distribuidos y orientación a objetos, uso de otras lógicas,... Constituye una parte fundamental de la Inteligencia Artificial construcción de sistemas informáticos capaces de reproducir comportamientos inteligentes" Se basa en dos ideas fundamentales: 1. El conocimiento" asociado con un sistema se puede expresar de forma declarativa mediante fórmulas lógicas ( uso de la lógica como mecanismo de representación del conocimiento) 2. El razonamiento" de un sistema se traduce entonces en la realización de una serie de operaciones lógicas (deducciones) sobre dicho conocimiento ( uso de la lógica como mecanismo de resolución de problemas) A diferencia del paradigma de programación imperativo o procedural (e.g. Pascal, Ada, C, etc), o del orientado a objetos (C++, Java, Eiffel, Smalltalk, etc.) los programas en un lenguaje de programación lógico no describen cómo resolver el problema sino simplemente especifican qué hay que resolver Lógica 11

12 Escribir un programa lógico consiste en: Funcionamiento de la programación lógica 1. Declarar el conocimiento relativo al problema mediante una serie de fórmulas lógicas ( construir una base de conocimientos) La realización de una consulta se traduce en averiguar si la fórmula existencial es una consecuencia lógica de las fórmulas que constituyen la base de conocimientos 2. Representar el problema a resolver mediante una fórmula lógica de tipo existencial ( realizar una consulta a la base de conocimientos) Para ello, los lenguajes lógicos incorporan mecanismos de demostración automática, basados en sistemas de demostración lógicos Ventajas de la programación lógica Ejemplo Los programas están muy próximos a la especificación de los problemas que pretenden resolver Base de conocimientos Madre(m1,m2);Madre(m2,m3);Madre(m2,m4) Padre(p1,m2); Padre(p1, p2) Son por ello más sencillos, más fáciles de entender y mantener y más fiables Consultas Lógica 12