MCD Y MCM DE POLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS
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- Ángeles Rey Godoy
- hace 6 años
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1 TRILE pítulo MD Y MM DE POLINOMIOS FRAIONES ALGEBRAIAS Rgl pr lulr l MM y MD Poliomios :. S ftoriz los poliomios os.. El MD strá formo por l multipliió toos los ftors primos omus los poliomios os, osiros o su mor pot.. El MM stá formo por l multipliió ftors primos o omus y omus, los poliomios os, osiros o su myor pot. Ejmplo : Hllr l MD y MM los poliomios: P() Q() Ftorizo : P() ( ) ( ) " Q() ( )( ) MD[P();Q()] MM[P();Q()] ( ) ( )( ) Propi : Dos los poliomios A y B. MD ( A, B).MM (A, B) A FRAIÓN ALGEBRAIA Es to prsió l form B A o por lo mos "B" sr litrl. Ejmplo : * So frios lgris,, pro :, 7 5 o so frios lgris B Simplifiió Frió Algri Pr por simplifir, l umror y omior str ftorizos pr lugo lr los ftors qu prst omú. Ejmplo : Simplifir : Rsoluió : 9 5 ( )( ) = = 5 ( 5)( ) 5 Oprios o Frios 5 I. Aiió y/o Sustrió : E st so, s srio r omú omior (MM los omiors), slvo qu ls frios s homogés (omiors iguls). Así tmos : A. Frios Homogés : Ejmplo : A B A B B. Frios Htrogés : Ejmplo : A B Ap Bmp m m p mp. Rgl Práti (pr frios): A B AD B D BD 59
2 Álgr II. Multipliió : E st so, s multipli umrors tr sí, igul mr los omiors. Ejmplo : A B D A B D III. Divisió Frios : E st so, s ivirt l sgu frió y lugo s jut omo u multipliió. Importt : grlmt s ovit simplifir ls frios ts, y spués oprr frios. Trsformió Frios Frios Prils Est s u proso ivrso l iió o sustrió frios. Es ir u frió s trsform l iió o sustrió frios qu l iro orig, vmos : Ejmplo : A B D A B D A B ó D AD B A B D * Eftur : * Trsformr frios prils : 0
3 TRILE EJERIIOS PROPUESTOS 0. Hllr l MD los poliomios : M() N() ( ) ( 7) ( 9) ( 0) ( 7) ( ) ) (-7)(+) ) + 9 ) + 0 ) ( 7) ( ) ) (+0)(+9)(+)(-7) 0. Iir l MM los poliomios : P() F() ( ) ( )( ) ( ) ( ) ) (-)(+)(+) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 0. Hllr l MD los poliomios : P(; y) F(;y) y y y y ) + y ) - y ) - y ) + y ) - y 0. El vlor umério l MD los poliomios : F() P() pr : =, s : ) 5 ) ) 5 ) ) 05. uátos ftors urátios prst l MM los poliomios? P() 8 Q() 5 8 R() 8 ) 0 ) ) ) ) 0. lulr l MD os poliomios, si l prouto llos s ( ) y l ivisió tr l MD y l MM s ( ). ) + ) - ) ( ) ) ( ) ) 07. Lugo ftur : l umror otio, s : ) ) - ) + ) + ) Eftur : Iir l uo l omior. ) ) ) ) ( ) ) ( ) 09. L frió quivl : m, tos ; m - s igul : ) - ) ) ) - ) - 0. Eftur :. Iir l otv prt l umror simplifio. ) 0,5 ) 0,5 ) 0,5 ) 0,5 ) 0,5. Eftur : ) ) ) ). Al simplifir : ) () otmos (m)() lulr : m, si : m, Z.
4 Álgr ) 7 ) 8 ) ) ) 57. Simplifir ls frios : ; iir l sum los omiors. ) - ) + ) - ) + ) +. Simplifio : ; otmos : ) ) ) ) 5. Simplifio : ) ) ) ) ) ) 9. Al sompor lulr : ( 5 ). otmos : ) ) 7 ) ) ) m 0. Si l frió : P(; ) s ipit sus vrils, tos quivl : ) 0 ) 80 ) 0 ) ) 00 m y ; tmos :. Hllr l M..D. los siguits poliomios : A B ) - y ) y y ) ) ) y y. Eftuo : otmos l umror. ) ) - ) - ) ) 7. Simplifir : 8 sñlr u térmio l omior. ) -7 ) -5 ) -8 ) ) - 8. Simplifir ls frios : y ; y y y y iir l ifri los omiors. ) ) ) ) ). Si : P y Q so os poliomios ftorizls fiios por : P() Q() Tl qu, l MD (P, Q) = (-)(+), tos l sum ofiits l poliomio MM (P, Q), s : ) 9 ) 8 ) ) ) 0. Eftur : 5 ) ) ) ) ) 0
5 TRILE. Rsolvr : f() ) - ) + ) ) ) 0 5. L frió : 7 5 A B frios : ;. lulr : (A.B). ) 0 ) -0 ) ) -5 ) -. Sio qu : + y + z =. lulr : ; s otuvo sumo ls y z M y yz z yz ) ) - ) - ) ) 7. ooio qu rsult :, l prsió : ( )( ) ) 0 ) ) - ) ) 8. Si : + + = 0. lulr : () () () K ( ) ) ) ) ) ) 9. Al rlizr : s oti u poliomio sguo gro. Iir l sum ofiits iho poliomio. ) 8,5 ) 9,5 ) 0,5 ),5 ),5 0. Eftur : ( )( ) ( )( ) ( )( ) R ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) 0 ) - ) ) ). L prsió simplifi :. Si : s : ) ) ) ) ) A B ( ) 5 ( 5) ( 5)[( 5) ] Hllr : ( A B). ) ) ) 7 ) 9 ). Si : = 0. Hllr : S ) ) ) ) / ) /. L prsió : quivl : ) ) m m m m ) ) m m m m m 5. Pr qué vlor "" s umpl qu : ) m m ( y ) y( ) ; y 0 ( y ) y( )
6 Álgr ) - ) 0 ) ) ). Eftur : 8y y y Z 8 y y ( )( ) 8 y y ) ) ) ) 0 ) - 7. Simplfiir : ) ) ) ) 5 ) 5 Tomr l vlor. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ),5 ) 7, ) 0, ), ). Si l MD los poliomios : P() 8 Q() s sguo gro, otrr l sum los ftors o omus. ) + ) + ) + ) + ) + 5. Eftur : ) y z K ( y)( z) (y )(y z) (z y)(z ) ) ) 8. Si : M ; N Etos MN, s igul : ( ) ) ) ( ) ( ( ) ) ) ) ) ( ) ) ). Sio qu : A ; B. lulr : A. B 9. Si : lulr : ) ) - ) ) - ) 0. A prtir l rlió : ( ) ( ) ( ) M ) ) ) ). Si : + y + z + yz = 0. lulr : ) ( )(y )(z ) ( )(y )(z ) ) 0 ) ) - ) ) Dtrmir l vlor "M" qu h qu l frió :
7 TRILE 5. Si s umpl :. Si : otr E prtir : E ) ) 7 ) ) 9 ) 8 ; y y más : ( lul : ) ; z ( ) y z. ( ) ) ) 5 ) 7 ) 9 ) 7. lulr l vlor : sio qu : ( y) (y z) (z ) E y z ( y z) 5 5 y z 5 ) ) -/ ) -/ ) / ) 8. Si :,,, so úmros ifrts y : P() ( )( )( ) lulr : M P() P() P() ) - ) - ) 0 ) ) 9. Si : (y z) (z ) ( y) lulr : y z. S ; y z z y ) 8 ) ) ) ) 50. Sio qu : 5. Si : 5. Si : lulr : ) 0 ) ) - ) ) - Hllr : M ) ) - ) ) ) -8 lulr : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P () () () ) ) ) ) 8 ) 5. Simplifir : M 5 (p q) p q (p q) p q (p q) p q ) ) p q pq p q p q q p ) p q ) p q p q ) q p p q 5
8 Álgr 5. Si : y y y lulr : ) ) / ) / ) / ) / 55. Sio qu : 5. Si : Hllr : 0 ( ) ( ) ( ) ) ) 0 ) - ) ) Ruir : ( )(z ) ( )(z ) ( )( y) ( )(y z) ( )(y z) ( )( y) y y ( )(z ) ) ) yz ) 0 ) ) N.A. 57. Si : + + = 0 Sñl l sum ofiits los térmios otios l ruir : 58. Si : + y + z = 0. Ruir : ( y) R (y ) (y z) (z y) (z ) ( z) ) ) ++ ) ) ) Ruir : Iio : E. 000 k 000 E k 000 k ) ) - ) ) - ) 0. Ruir : ) ) ( ) ( ) ) ) 000 ( ) ( )... ( )... ( ) ) ( ) ) ) ) ) ) 5
9 TRILE 7 lvs lvs
10 Álgr 8
11 TRILE pítulo 7 TEOREMA DEL BINOMIO Trt l srrollo o psió : ( ) pr "" tro y positivo. Prvimt stuirmos lguos optos ásios srios pr st pítulo. Ftoril El ftoril u úmro "" (tro y positivo), s l prouto multiplir toos los úmros osutivos s l ui hst l úmro "". Smiftoril S rprst por : N!! y su fiiió p, si "N" s pr o impr. N (pr ) ()!! ()!! (!)... Notió! ftoril "" N ( impr) ( )!! 5... ( ) ()! ( )!!! Por fiiió : Osrvió :!... ( )!! smiftoril "". (!)! ftoril ftoril "" Ej. *! *! 5 70 Dfiiios : Ftoril ro 0! Ftoril l ui! Propi 78!! ( )! Ej. 80! ! 79! 80 79! 80! 78! Igul Ftoril : I. Si :! 0 ó II. Si :!! (, 0, ) Ej. (!)! =! = 7!! = = PERMUTAIONES ANÁLISIS OMBINATORIO Prmutr "" lmtos s formr grupos "" lmtos uo, tl qu u grupo s ifri l otro por l or : Ej. Pmutr :,, ( lmtos) Formo grupos Númro Prmutios # prmuts = S rprst por : P y s oti por l siguit fórmul: Ej. P! P! 9
12 Álgr VARIAIONES Formr vriios o "" lmtos tomos "k" "k". Es formr grupos "k" lmtos uo, tl mr qu u grupo s ifri l otro l or, o lgú lmto. Ej. : Formr vriios o :,,,. Trmos : # vriios = El úmro Vriios s rprst por : Fórmul :! Vk ( k)!! Ej. V ( )!! OMBINAIONES V k Formr omiios o "" lmtos tomos "k" "k". Es formr grupos "k" lmtos uo, tl qu u grupo s ifri l otro por lo mos u lmto. Ej. Formr omiios o :,,,,. Trmos : Númro omitorio # omiios = El úmro omiios forms s omi úmro omitorio, s rprst por : Fórmul :! k ( k)!k!! Ej. ( )!! Propis l Númro omitorio k. Sum omitorios k k k. Dgrió omitorios * * * k k k k k k k k k k FÓRMULA DEL TEOREMA DEL BINOMIO Est fórmul triui iorrtmt Nwto os prmit otr l srrollo ( ), sio "" tro y positivo. (El port Nwto fu l srrollo uo "" s gtivo y/o friorio). Fórmul : ( ) 0... Ej. ( ) 0 ( ) Osrvios l srrollo ( ). El úmro térmios l srrollo, s l pot l iomio umto uo. Es ir : # térmios = +. Si l iomio s homogéo, l srrollo srá homogéo l mismo gro.. Si los ofiits l iomio so iguls, los ofiits los térmios quiistts los trmos, so iguls.. Roro qu l sum ofiits s oti pr = =, trmos : omitorios omplmtrios k k FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL S utiliz pr otr u térmio ulquir l srrollo fuió l lugr qu oup. S rprst por : T k 70
13 TRILE Fórmul : E ( ) II. Fórmul pr : k k Tk k ( ) : gtivo y/o friorio - < < ; 0 E o : pot l iomio k+ lugr l térmio, térmios l iomio Ej. Hll l térmio lugr 0 l srrollo : trmos : T 0 ( y ) ( ) ( y ) y T ( ) ( 0) ( ) ( ) ( )... III. Númro térmios :... k) : tro y positivo. ( ( k )! # térmios!(k )! IV. E : (... k) : tro y positivo. OTRAS DEFINIIONES Y FÓRMULAS I. ofiit Bióio : S rprst por ( ) ; k R ; k Z sio su srrollo : ofiit! l... k!!!...! ( )( )...[ (k )] ( ) k k! Osrvios ; * Si Z : ( ) k k * ( ) 0 7
14 Álgr 0. Ruir : 0! 5! M 5!! EJERIIOS PROPUESTOS ) U úmro primo. ) U uro prfto. ) U úmro impr. ) U úmro pr. ) U múltiplo. ) ) ) ) 5 0. lulr "", si : ) 8 5 ( )( )!( )! 7! ( 5)! ( )! ) ) 0 ) ) ) 8 0. Rsolvr :! ( )!!! ( )! ) ) ) 5 ) ) 7 0. lulr "" qu vrifiqu : 8 0 ) 7 ) 8 ) ) ) Rsolvr : (!) ()! 7 9 ) 5 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. Dtrmir "" qu vrifi l uió : ) 8 ) 0 ) ) ) 07. E l sum omitori : o : N,. S Al simplifir, s oti simpr. 08. Dtrmir l térmio lugr 0 l psió : ) ) 5 0 ) 0 ) ) Pr qué vlor "" l trr térmio l srrollo ( : 7 ) l ofiit s igul l pot ) 5 ) ) 7 ) 9 ) 8 0. lulr "", si l srrollo : ( 0,5 ) l ovo térmio s gro 0. ) 5 ) 5 ) 0 ) 5 ) 0. lulr ( + k), si s s qu l urto térmio l srrollo ( ) s k 80. ) 5 ) 9 ) ) 0 ) 7. Hllr l lugr qu oup u térmio l srrollo : ( ) qu ti omo prt litrl ) 9 ) 5 ) ) 7 ).. lulr l térmio ipit l srrollo : ( 5 ) 97 ) 8 ) 8 ) 5 ) 7 7. Al srrollr ( 5 y ) l sum toos los pots "" "y" s "" vs l sum ofiits, hllr "". 5 ) ) ) 5 ) ) 7 ) 7
15 TRILE 5. El prouto ls sums ofiits los srrollos : ( y ) ; ( 5y) s 7. Hll l úmro térmios l srrollo : (9 y). ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. Si : ( + )! -! = 8. El vlor : (+)! +! s : ) ) ) 0 ) 5 ) 0 7. Rsolvr : ( ).() 9 ) ) 8 ) ) 8 ) 8. L sum "" y l mor vlor "k", qu stisf ls siguits oiios :! = 70 y = 5 s : k ) 8 ) ) ) 9 ) 7 9. Dtrmir "" y "" l igul :!.! (!) ) = 7, = ) = 8, = 9 ) =, = ) =, = ) = 5, = 0. lulr "" l uió : (! )! 5 (! 5) (! 5) ) ) ) ) ) 5. Dtrmir l púltimo térmio l srrollo : ( y ). ) ) y ) y ) y ) y! y. Proporior l ofiit l térmio gro 7 l srrollo ( ). ) ) 5 ) ) 70 ). Qué lugr oup l térmio qu oti srrollo ( )? ) 5to. ) to. ) 8vo. ) to. ) vo.. Si l srrollo : B() y 9 l ist u térmio uyos pots "" é "y" so rsptivmt 5 y 8. Hll l úmro térmios l srrollo. ) 8 ) 7 ) 9 ) ) 0 5. El térmio ipit "", : 9 ( ) s : 5 ) 0,08 ) 0,00 ) 0,08 ) 0,00 ) 0,05. Dtmir l térmio riol l srrollo : 5 ( ) ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) E l srrollo ( y), l ofiit s : ) 80 ) 50 ) 0 ) 0 ) 55 y 8. Iir l lugr qu oup l térmio qu sólo p "" : 00 y y ) ) ) 9 ) ) Es imposil trmirlo. 9. lulr "", si l srrollr : ( ).( ) ( ), s oti 5 térmios. ) 0 ) 8 ) 8 ) 0 ) 0. Dos térmios osutivos l srrollo ( ) ti igul ofiit; lugo stos térmios so : ) Primro y sguo. ) Sguo y trro. ) Trro y urto. ) Atpúltimo y púltimo. ) Púltimo y último. 7
16 Álgr. uátos térmios irriols prst l srrollo : 8? ) ) ) ) ). uátos térmios friorios hy l srrollo : 00 ) 8 ) ) ) 5 ) 7. El srrollo ( ), pos térmios más qu l srrollo ( ). lulr :. ) ) 0 ) 5 ) ) 8. lulr : +, si :!! ( 0. ) ((!)!) 70 ) 5 ) ) 7 ) 8 ) 9 5. Dtrmir l vlor "m" l prsió : (m)! m.m! (m ) ) 5 ) 5 ) ) 7 ) 777. lulr "+k", : 9 k 0 k k k ) 0 ) ) 7 ) 50 ) Hy orrts 7. Sio qu : m m m m m m lulr l vlor "m-", sio : 0. ) ) ) ) ) 8. Si : k k0 k k ( )! k k!( k)! lulr : k k ) ) ) ) ) 9. lulr "", si Z : y F( ;y) y pr qu l srrollo ih poti os térmios osutivos l mismo s ipits "" "y" rsptivmt. ) ) ) ) 5 ) 0 0. E l srrollo : ( ), l ofiit s vs l ofiit. lulr l térmio ipit l srrollo. ) ) 9 ) 5 ) ). Hllr l térmio trl l srrollo : B( ;y) ( y ) si iho térmio trl s gro "". ) 0 y 9 ) 0 y 9 ) 9 y ) 0 y 5 ) 0 y. Los ofiits los térmios trls los srrollos : ( ) y ( ) ; Z ; so tr sí omo 5 s. lulr "". ) ) ) ) ) Hy os orrts.. Do los térmios smjts uo l srrollo ( y ) y otro y ( y ) mos oup l mism posiió poliomio. Dtrmir l vlor : ( ) ) ) ) ) 9 ) 7
17 TRILE. Si l srrollo ( ), los térmios lugrs + y - quiist los trmos; más l sum toos los ofiits s 7. Hllr l sum toos los pots vril "" su srrollo. ) 0 ) 8 ) ) ) 5 ( ) 5. lulr : ; 0. () Sio qu os térmios ulsquir l srrollo : F(, y) ( y ) prst l mismo gro soluto. ) ) ) ) ) 8. El míimo tro "m", tl qu : m ( y 7 9y ) tg l mos 998 térmios s: ) 0 ) ) ) 7. Simplifir : ( ) ( ) ( )... ( )... ) ) ) ) - 8. Dtrmir l ofiit ( ) ) ) ( ) ) ) ( ) ) ( 9. Si : Z, lulr : ) l srrollo :...) ; ( ) M ( ) ( )... k k... k ( )... k ) + ) ) ) ) lulr : +, si u térmio y z. ) 5 ) ) 8 ) ) 50 7 ( y z) s 5. Hllr l ofiit y l srrollo : ( y ) 7. ) 0 )05 ) 0 ) 0 ) Dtrmís l ofiit l térmio srrollo : 7 ( ) ) 807 ) 98 ) 9 78 ) 5 ) 5 0 l 5. Dtrmir l sum toos los térmios uyo gro rltivo "" s l srrollo : 5 ( y) ) ( 0y) ) 0( y ) ) 5( y ) ) 5(y y) ) 0(y ) 5. E l srrollo : 8 ( y ) ofiits los térmios l form : 0 y m, o "m" s pr o ulo. ) 8; 5 ) 0 ) -0 ) ) 55. El ofiit l térmio ( ) ; s : I. ; si : = k; k Z II. 0 ; si : = k-; k Z III. -; si : = k+; k Z, trmir los l srrollo : ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) II y III ) Tos 75
18 Álgr 5. Dtrmir l ofiit l térmio l srrollo ( ) ( ) l ul l gro (++) uis l lugr qu oup y ést s u trio l vlor "". ) 00( ) ) 0( ) ) 0( ) ) 0 ) 0( ) 57. Do l iomio : ( y ), si u térmio su srrollo s oto s l fil. E qué posiió s ui, si iho térmio l G.R.(y) = G.R.()? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) Hllr l quivlt umério : 70 E [ ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) 59. Al pir : uy prt litrl s ] 8 y y, s oti u térmio ( y). lulr "". ) ) ) 78 ) 9 ) Iir l gro l prouto los térmios trls otios l ftur : ( ) ) ) 7 ) 58 ) 78 ) 7
19 TRILE 77 lvs lvs
20 Álgr 78
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lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.
Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..
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Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució
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6 EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.
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