1. La semirrecta El punto P divide a la recta r en dos semirrectas opuestas. El punto P es el origen de las dos semirrectas.

Transcripción

1 GEOMETRÍA 1. La semirrecta El punto P divide a la recta r en dos semirrectas opuestas. El punto P es el origen de las dos semirrectas. 2. El segmento Los puntos A y B determinan una parte de la recta s que se llama segmento. La s es... Los puntos A y B hacen... El punto A forma... Un segmento. Una recta. Una semirrecta Un segmento. Una recta. Una semirrecta Dos segmentos. Dos rectas. Dos semirrectas 3. Suma de segmentos Los segmentos se pueden sumar. Hay que ponerlos sobre una recta, uno detrás del otro. En este caso el segmento AB + CD = AD El segmento AD = AC+BD AB+CD AD+CD El segmento AB = AC-CD CD+AB AD+CD El segmento CD = AD+AB AB+CD AD-AB 4. Resta de segmentos Si tenemos el segmento MN y queremos restarle el segmento PQ, los pondremos de forma que empiecen en el mismo punto M. El segmento QN es la diferencia. El segmento QN = El segmento MN = El segmento MQ = MN+PQ PQ+QN MN-PQ PQ+QN PQ-QN MN-PQ MN+QN MN-QN QN-PQ 1

2 5. Multiplicación de segmentos Para multiplicar el segmento AB por 3, tomaremos una recta y pondremos tres veces seguidas ese segmento. El segmento MN = ABx2 MN:3 ABx3 El segmento AB = MN:3 MN+AB MN-AB 6. Segmentos concatenados y consecutivos Los segmentos AB y BC no están sobre la misma recta y se llaman concatenados. Los segmentos PQ y QR se llaman consecutivos porque están en la misma recta. Los segmentos PQ y QR son... Los segmentos AB y BC son... Los segmentos BC y AB son... Concatenados. Consecutivos Concatenados. Consecutivos Concatenados. Consecutivos 7. Ángulo. Es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen El ángulo del dibujo superior tiene dos lados: BC y BA. El origen de las dos semirrectas es el vértice B. Este ángulo se lee ABC, nombrando el vértice en el medio. 8. El ángulo recto. En la figura de la izquierda hay dos ángulos: ABC y CBD; la suma de los dos es ABD. Los dos ángulos son agudos. En la figura de la derecha vemos dos rectas CD y EF que se cortan en el punto O. En este caso las dos rectas son perpendiculares y forman cuatro ángulos rectos como el EOD. El ángulo agudo es menor que el recto. 2

3 El ángulo EOD es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo ABC es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo CBD es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo COE es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo COF es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo ABD es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo FOD es... Recto. Agudo. Obtuso 9. Clases de ángulos. El ángulo menor que el recto se llama agudo, como el A. El ángulo recto está formado por dos rectas perpendiculares y mide 90 grados, como el B. El obtuso es mayor que el recto, como el C. El ángulo que vale dos rectos se llama ángulo llano, como el D. El que vale más de dos rectos se llama cóncavo, como el E. El ángulo que vale cuatro rectos es un ángulo completo, como el F. El ángulo B es... El ángulo A es... El ángulo C es... El ángulo F es... El ángulo D es... El ángulo E es... Agudo. Recto. Obtuso Agudo. Recto. Obtuso Agudo. Recto. Obtuso Llano. Cóncavo. Completo Agudo. Recto. Obtuso Agudo. Recto. Obtuso El ángulo 1 es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo 5 es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo 2 es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo 3 es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo 4 es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo 6 es... Recto. Agudo. Obtuso 10. Ángulos consecutivos y adyacentes. Dos ángulos consecutivos son aquellos que tienen el mismo vértice y un lado común entre ellos. Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes están en la misma recta. 3

4 Los ángulos 1 y 2 son... Los ángulos 3 y 4 son... Consecutivos. Adyacentes Consecutivos. Adyacentes 11. Ángulos complementarios. Dos ángulos se llaman complementarios cuando suman un ángulo recto ó 90º. 12. Ángulos suplementarios. Ángulos suplementarios son dos ángulos que sumen un ángulo llano ó 180º. El ángulo 1 es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo 2 es... Recto. Agudo. Obtuso La suma es... Recto. Agudo. Obtuso El ángulo 3 es... Agudo. Obtuso. LLano El ángulo 4 es... Agudo. Obtuso. LLano La suma es... Agudo. Obtuso. LLano 13. Ángulos opuestos por el vértice. Son aquellos que tienen el mismo vértice y sus lados son semirrectas opuestas. En el dibujo son opuestos los ángulos a y c y también los b y d. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales, es decir a = c y b = d. También observamos que a y b son suplementarios y valen 180º. También son suplementarios los c y b. Como el sumando común es b, tenemos que a = c. Los ángulos a y b son... Suplementarios. Iguales Los ángulos a y c son... Suplementarios. Iguales Los ángulos a y d son... Suplementarios. Iguales Los ángulos b y c son... Suplementarios. Iguales Los ángulos b y d son... Suplementarios. Iguales Los ángulos b y a son... Suplementarios. Iguales 4

5 1. Empareja las distintas expresiones con su correspondiente definición: Recta. Semirrecta. Segmento. Parte de una recta delimitada por dos puntos. Recta con principio pero sin final. Línea sin principio ni fin formada por infinitos puntos. 2. Empareja las distintas posiciones relativas de dos rectas en el plano, con su correspondiente definición: Se les llama así cuando dos rectas secantes dividen el Paralelas plan en cuatro partes iguales. Coincidentes. Se les llama así cuando no tienen ningún punto en común. Secante. Se les llama así cuando las dos rectas se cortan en un Perpendiculares. punto. Se les llama así cuando todos sus puntos son comunes. 3. Di que tipo de posición relativa tienen estos dos ángulos. Opuestos. Adyacentes. Complementarios. Consecutivos. 4. Empareja los tipos de ángulos con su principal característica. Ángulo agudo. Ángulo recto. Ángulo obtuso. Ángulo nulo. Ángulo llano. Sus lados son dos semirrectas coincidentes. Sus lados son perpendiculares. Su abertura es superior a la de un ángulo recto. Su abertura es inferior a la de un ángulo recto. Sus lados están sobre la misma recta y no son coincidentes. 5. Expresa estas medidas de ángulos en las unidades que indican en segundos " 870 en grados... 15º 30 20" es en minutos... 23º 45 15" es en segundos " 85515" 14º Calcula la siguiente operación: 15º 32 47" - 7º 46 54" 6º 45 52" 7º 53 46" 8º 47 54" 7º 46 53" 7. Calcula la siguiente operación: 2º 5 23" - 1º 45 15" 20 8". 19 7". 21 9". 1º 20 8" 5

6 8. Luis, Carlos y Mariano se están comiendo un pastel. Luis se come un trozo que equivale a 25º 36 15", Carlos 35º 15 25" y Mariano 60º 45 30". Qué porción de pastel se han comido entre los tres? 60º 51 40" 121º 37 10" 120º 96 70" 54º 34 25" 9. Empareja las horas del reloj con los grados que le corresponden: Las 12 en punto. 60º Las 9 menos cuarto. 30º Las 5 y cuarto. 270º Las 9 en punto. 0º 10. Sean a, b, c y d cuatro segmentos de 2 cm, 5 cm, 8 cm y 11 cm respectivamente. Calcula la longitud de los segmentos que resultan de hacer las siguientes combinaciones: a + b + c = cm 2c b = cm 3a (2c 3b) = cm (c : 4 + a + c) : 6 + d = cm 11. Dos segmentos consecutivos tienen... Un extremo en común y misma dirección. Un extremo en común, pero no tienen la misma dirección. La misma dirección. 12. Dos segmentos concatenados... Pertenencen a la misma recta. No pertenecen a la misma recta. Tienen un extremo en común. 13. Si tenemos una pizza dividida en 8 partes, dos porciones de la misma forman un ángulo de... 45º 90º 135º 14. Realiza las siguientes operaciones: 35º 33' 54'' + 7º 42' 25'' = 25º 12' 4'' 5º 19' 30'' = (35º 33' 54'') 4 = (35º 33' 54'') : 3 = 15. Completa según se indique: El ángulo complementario de 57 es. El ángulo suplementario de 123. El ángulo complementario de 35 25' 56''es. El ángulo suplementario de 35 25' 56'' es. 16. Si tenemos cuatro ángulos opuestos por el vértice y uno de ellos mide 60, los otros tres miden respectivamente... 60º 120º y 120º 60º 240º y 240º 6

7 ÁNGULOS CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS 1. Entre los siguientes pares de ángulos comprueba si son complementarios o suplementarios: =24º y Bˆ =73º =72º y Bˆ =18º =120º y Bˆ =60º Â Â Â Â =83º y Bˆ =117º 2. Dos rectas paralelas cortadas por una tercera: Cuántos ángulos determinan? Si n=38º, cuánto miden los restantes 3. Calcula con los siguientes ángulos: A = 84º B = 54º 3 12 C = 174º D = 47º A+B = B-D = C-(A+B) = A+B+D-C = 4. Dos ángulos de un triángulo miden 50º20'y 60º57' respectivamente. Calcula la medida del tercer ángulo. 5. Cuánto mide el ángulo da figura? 6. En un círculo se dibujan sectores iguales, de modo que llenen todo el círculo. Halla la medida del ángulo central de cada sector si se dibujan: a) 5 sectores. b) 10 sectores. c) 20 sectores. 7. Calcula los valores de los ángulos indicados con letras, en el cuadrilátero de la figura. 8. En un triángulo isósceles el ángulo desigual mide 70º. Calcula la medida de cada uno de los ángulos iguales. 7

8 9. Halla el valor de los ángulos desconocidos: 10. Ángulo central de un polígono regular Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360 : n Ángulo interior de un polígono regular Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior = 180 Ángulo central Ángulo exterior de un polígono regular Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º. Ángulo exterior = Ángulo central 11. Calcula el ángulo central, el interior y el exterior de un: a) Pentágono regular. b) Eneágono regular. c) Decágono regular 12. Suma de ángulos interiores de un polígono: Si n es el número de lados de un polígono: (n 2) Sabiendo que la suma de los ángulos interiores de cierto polígono es de 720, cuántos lados tiene dicho polígono? 14. Realiza la clasificación de los triángulos según sus lados y según sus ángulos 15. La suma de los ángulos de un triángulo siempre es salvo que el triángulo sea rectángulo 160 8

9 16. El ángulo central de un triángulo equilátero mide º 120º 60º 17. Atendiendo al siguiente dibujo escoge la opción correcta Los segmentos del contorno del polígono se denominan... Diagonales Lados Los puntos señalan... Los 6 vértices Los puntos donde se unen algunos lados En el dibujo... Están dibujadas todas las diagonales del polígono Faltan dos diagonales falta una diagonal La suma de los ángulos interiores de este polígono es de º 720º 360º 18. En una habitación penetra un rayo de luz por una ventana que forma con el suelo un ángulo de 43. Qué ángulo forma el rayo de luz con la pared de la ventana por la que entra? 19. Realiza la clasificación de los cuadriláteros 20. Un rombo se diferencia de un cuadrado en... Que puede tener sus lados iguales dos a dos Que puede tener sus ángulos iguales dos a dos Ambas respuestas son verdaderas 21. Los trapecios son... Cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo. Cuadriláteros con los lados paralelos dos a dos. Cuadriláteros con dos lados paralelos. 22. Los rombos, romboides, cuadrados y rectángulos se denominan... Paralelepípedos Paralelogramos Paraleloides 23. Si tres de los cuatro ángulos de un cuadrilátero miden respectivamente 100, 90 y 85, entonces el cuarto ángulo mide... 35º 85º 120º 24. Indica si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera (V) o falsa (F): El punto en que se cortan las bisectrices de un triángulo se llama baricentro. Dos de las medianas de un triángulo isósceles miden lo mismo. El punto donde se cortan las bisectrices de un triángulo está a la misma distancia de todos los vértices. El punto donde se cortan las bisectrices está a la misma distancia de todos sus lados. 25. Clasifica los siguientes triángulos según sus ángulos y sus lados: 9

10 UNIDADES DE SUPERFICIE Y AGRARIAS 26. Pasa a metros cuadrados las siguientes unidades de superficie. 32 dam 2 = 1,6 hm 2 = 1,16 hm 2 = 0,00001 km 2 = 0,008 km 2 = 3,008 dam 2 = 0,4 dam 2 = 3,6 km 2 = 27. Completa la siguiente tabla: hm 2 dam 2 m 2 cm 2 0, , Escribe los símbolos >, < o = entre las siguientes medidas: 3 áreas 300 m 2 0,5 dam 2 5 áreas 7 ha 0,7 km Compara las siguientes medidas de superficie escribiendo el símbolo <, > o = según corresponda: 140 ha 1,4 km 2 35 a 350 m dm 2 2,9 a 30. Pasa a áreas las siguientes unidades: 42,1 ha= 2,14 ca = 14,6 dm 2 = 3,21 cm 2 = 25,86 km 2 = 3,6 ha = 1,6 dm 2 = 18,24 mm 2 = 10

11 TEOREMA DE PITÁGORAS Escribe el enunciado del teorema 31. Calcula el valor del lado indicado 32. La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2,4 metros y la distancia desde el punto de penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros. Qué distancia recorre un balón que se lanza desde el punto de penalti y se estrella en el punto central del larguero? 33. La Torre de Pisa está inclinada de modo que su pared lateral forma un triángulo rectángulo de catetos 5 metros y 60 metros. Cuánto mide la pared lateral? 34. Una escalera de 15 metros se apoya en una pared vertical, de modo que el pie de la escalera se encuentra a 9 metros de esa pared. Calcula la altura en metros, que alcanza la escalera sobre la pared. 11

12 POLÍGONOS: PERÍMETROS Y ÁREAS Escribe el nombre de los siguientes polígonos regulares Define los distintos elementos del poligono 12

13 1. Calcula el área de las siguientes figuras cuyas longitudes vienen dadas en cm: 2. Calcula el área de las siguientes figuras: 3. Dibuja y calcula el área de: a) Un trapecio rectángulo de bases 3cm y 2cm y altura 2,5cm. b) Un trapecio isósceles de bases 3cm y 1cm y altura 1,7cm 4. Calcula el área de: a) Un cuadrado de lado 3,4 cm. b) Un rectángulo de 1,6 dm de longo y 9,5 cm de ancho. 13

14 5. Calcula el área de las siguientes figuras geométricas: 6. Un adorno en forma de rombo, de diagonales 12 cm y 10 cm, se parte en dos mitades, por la diagonal de 12 cm. Qué superficie tiene cada parte? 7. Dibuja y calcula el área de: a) Un cuadrado de 20 mm de lado. b) Un rectángulo de 3 cm de base y 1,5 cm de altura. 8. Cuántas baldosas cuadradas, de lado 4 cm, se necesitan para embaldosar el suelo de una cocina de 3,4 m de largo por 3 m de ancho? 9. Calcula el área de un pentágono regular de lado 2,9 cm y apotema 2 cm. 10. El área de un decágono regular de 42 mm de lado es 44,1 cm 2. Calcula su apotema. 11. En las siguientes figuras las medidas vienen dadas en dm. Calcula su área. 12. Halla el área de las siguientes figuras cuyas medidas vienen dadas en cm: 13. La superficie de una plancha metálica triangular es 23,25 m 2, y uno de sus lados mide 6,2 m. Halla la altura sobre ese lado. Qué dimensiones tendría una plancha rectangular cuya superficie es el doble que la del triángulo? 14. Calcula el área de las siguientes figuras cuyas medidas vienen dadas en mm: 14

15 15. Se quiere pintar una pared de 5,6 m de largo por 3,5 m de alto, en la que hay una puerta de 1,5 m de ancho por 2,6 m de alto. Cuánto costará pintarla, si se cobra a 2,3 el metro cuadrado? 16. Una vidriera tiene forma de hexágono regular de lado 2,5 m y apotema 2,16 m. Calcula su superficie. 17. Calcula el área de los siguientes polígonos regulares: 18. El bordo de una piscina en forma de pentágono regular tiene de área 39,6 m 2, aproximadamente, y su lado mide 4,8 m. Calcula su apotema. 19. Para hallar el área de un terreno como el de la figura se tomaron las medidas siguientes: AD=30 m, AB = 10 m, BC = 15 m, BF = 15 m, CE = 20 m. Halla el área del terreno. 20. Cuánto mide la apotema de un octógono regular de 352 cm 2 de área y 6 cm de lado? 21. Calcula el área de la cometa: 22. El área de un octógono regular es 168 cm 2 y la apotema 60 mm. Calcula la medida del lado. 23. Calcula el área del siguiente hexágono: AB=BC=DE=EF=5 dm; BE=20 dm; CD = 13 dm 24. Qué es mayor, un sector circular de ángulo central 60º en una circunferencia de 6 cm de radio o un sector circular de 120º en una circunferencia de 3 cm de radio? 25. Calcula el área en cm 2 de: a) Un sector circular de 45º en un círculo de 9 dm de diámetro. b) La corona circular comprendida entre dos circunferencias de 2 dm y 14 cm de diámetro cada una de ellas. 15

16 26. Calcula el área de un círculo de diámetro: a) 4,6 cm. b) 12 mm 27. Calcula el área de: a) Una corona circular siendo el radio de la circunferencia mayor 1,6 cm y el de la menor 1,2 cm. b) Un sector circular de ángulo central 120º en una circunferencia de 1,6 cm de radio. 28. Una pista de patinaje circular tiene de radio 6,5 m. Calcula la longitud de la circunferencia y la superficie de la pista. 29. Un estanque circular tiene 15 m de diámetro y está rodeado de un sendero de 0,75 m de ancho. Calcula el área del sendero. 30. De una chapa rectangular se recorta un sector circular, como muestra la figura. Calcula el área de la chapa que queda. 31. Halla el área de la superficie en blanco entre el cuadrado y el círculo sabiendo que el lado del cuadrado mide 5 cm: 32. Calcula a área das superficies: AB = 4 cm y BC = 2 cm AD = 6 cm, AB = CD = 1 cm 33. Calcula el área de la porción comprendida entre las semicircunferencias de la figura, siendo AB = 6 cm y BC=4cm los diámetros de las semicircunferencias interiores de diámetro AC. 34. El lado del cuadrado es 1 dm. Calcula el área de la zona rayada en cm 2 : 16