Teoría de Colas. Quién es el último? 1 ROGLE

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1 Teoría de Colas. Qué es el últmo? 04/05/20

2 Teoría de Colas Itroduó Desrpó de u problema de olas Caraterístas Notaó Medbles Resultados Geerales Cómo se obtee datos para u sstema de olas partular. El aálss de ua ola roesos de Nameto y Muerte Modelos de olas smples M/M/, M/M/, M/M//K, M/M/f Más varates G/G/, G/G/ Varates Cletes mpaetes, oblaó Lmtada, Tempos varables de Servo Redes y Seres Colas e Sere Agregado y desagregado flujos Redes de Jakso abertas Redes de Jakso erradas Smulaó Más roblemas Aexos 2 04/05/20

3 Teoría de Colas Itroduó Desrpó de u problema de olas roesos de Nameto y Muerte Modelos de olas smples Redes y Seres Smulaó Más roblemas Aexos 3 04/05/20

4 Qué es u Sstema de Colas 04/05/20

5 Alguas deas mportates or qué la teoría de olas puede ompetr o la smulaó. Qué sgfa los valores que os da la teoría de olas. Qué osas podemos saber sí o sí, porque lo da los resultados aalítos. ara qué puede servr saber alular ua ola e oreto s hay exels que ya lo hae. 04/05/20

6 Desrpó de u problema de olas letes llegado servo letes servdos Caraterístas de los sstemas de olas Notaó letes que abadoa Cómo medr el redmeto del sstema Alguos resultados geerales Como reoger los datos Los proesos de osso y la dstrbuó expoeal roesos de ameto y muerte e el proeso estable 6 04/05/20

7 Caraterístas de los Sstemas de Colas I atró de llegada de los letes Llegada estoásta. Llegada por lotes. Cletes mpaetes atró de llegada varable atró de servo de los servdores Tempo de servo ostate o varable Servo e lotes o dvdual atró de servo o estaoaro Dspla de Cola FIFO, LIFO Co prordades 7 04/05/20

8 Caraterístas de los Sstemas de Colas II Capadad del Sstema Lmtaó de apadad de la ola Número de aales de servo Ua ola o múltples olas Los measmos de servo opera de maera depedete Número de etapas de servo 8 04/05/20

9 Notaó A / B / X /Y / Z A: da la dstrbuó de tempo etre llegadas oseutvas B: alude al patró de servo de servdores X: es el úmero de aales de servo Y: es la restró e la apadad del sstema Z: es la dspla de ola C arate rísta S ím b olo E xp laó D strbu ó de te m po s de llegada A D strbu ó de te m po s de serv o B M D E k H k H G E xpo ea l D eterm sta E rla g tpo -k k=,2,... M ez la de k expo e ale s T po fase G eera l N ú m ero de servdo res D sp la de o la,2,..., FIFO L IFO R S S R G D S ervr al prm ero que llega E l ú ltm o que lle ga se srve prm ero S e le ó a leato ra de serv o ro rdad D s p la ge eral 9 04/05/20

10 Cómo medr el redmeto de u Sstema Tempo de Espera de u lete Tempo e la ola Tempo e el sstema Cómo se aumula los letes Número de letes e la ola Número de letes e el sstema Cuáto tempo está los servdores vaíos Cual es el throughput del sstema El dseño exge defr el vel de servo al lete que ompesa el oste de mplataó y ejeuó 0 04/05/20

11 Nomelatura I = Número de llegadas por udad de tempo = Número de servos por udad de tempo s el servdor está oupado = Número de servdores e paralelo Cogestó de u sstema o parámetros,, Nt: Número de letes e el sstema e el state t Nqt: Número de letes e la ola e e el state t Nst: Número de letes e servo e el state t t: robabldad que haya letes e el sstema e el state t=r{nt=} N: Número de letes e el sstema e el estado estable : robabldad de que haya letes e estado estable 04/05/20

12 Nomelatura II L : Número medo de letes e el sstema Lq : Número medo de letes e la ola Tq : Represeta el tempo que u lete verte e la ola S : Represeta el tempo de servo T = Tq+S: Represeta el tempo total que u lete verte e el sstema Wq= E[Tq]:Tempo medo de espera de los letes e la ola W=E[T]:Tempo medo de estaa de los letes e el sstema b : probabldad de que ualquer servdor esté oupado 2 04/05/20

13 3 Relaoes Geerales Teorema de Lttle L= W L q = W q Otros resultados 0 p E L q q E L q W W q q W W L L r 0 p p p p L L q p b 04/05/20

14 Lq = =40 4

15 Teoría de Colas Itroduó Desrpó de u problema de olas Caraterístas Notaó Medbles Resultados Geerales Cómo se obtee datos para u sstema de olas partular. El aálss de ua ola roesos de Nameto y Muerte Modelos de olas smples M/M/, M/M/, M/M//K, M/M/f Varates Cletes mpaetes, oblaó Lmtada, Tempos varables de Servo Más varates G/G/, G/G/ Redes y Seres Colas e Sere Agregado y desagregado flujos Redes de Jakso abertas Redes de Jakso erradas Smulaó Más roblemas Aexos Estadísta elemetal Uso del QTS-plus Dstrbuoes Estadístas Uso de Exel para la resoluó de roblemas de rogramaó Leal. 5 04/05/20

16 Cómo reoger datos e u sstema de olas La formaó se reoge uado algo ourre Los datos a reoger a Cada uáto llega u lete. b Cuáto se tarda e servr a ada lete R e lo j t Tempo etre llegadas etre + e Tempo de servo al lete E trad a/ sa ld a d e l le te T e m p o e q u e e l le te etra e serv o T e m p o e q u e e l le te sa le d e l serv o T e m -p o e la o la T e m p o e e l sste m a 6 T a m a ño d e o las d esp u é s d e t C le tes e e l sste m a d esp u és d e t 0 -E S E E /05/20

17 roesos de ameto y muerte e el estado estaoaro U proeso estoásto es la abstraó matemáta de u proeso empíro, uyo desarrollo está goberado por algua ley de probabldad. Desde el puto de vsta de la teoría de probabldades, u proeso estoásto se defe omo ua famla de varables aleatoras {Xt,tT} defdas sobre u horzote T. Xt es el estado del sstema. Se de que u proeso estoásto {Xt,t=0,,...} es u proeso de Markov s, para ualquer ojuto de states t<t2<...<t, la dstrbuó de Xt depede úamete del valor de Xt-. Es der: Dada la stuaó presete, el futuro es depedete del pasado y el proeso aree de memora Ua ola, o proeso de llegada osso-expoeal de meda, y o proeso de servo osso-expoeal de meda, se puede modelar omo ua adea de Markov otua, dode e ada tervalo ftesmal de tempo puede ourrr u ameto llegada o ua muerte salda 04/05/20 7

18 8 roesos de ameto y muerte e el estado estable E el estado estaoaro, 0, t o t t t t e t o t t t t e r r /05/20

19 Teoría de Colas Itroduó Desrpó de u problema de olas Caraterístas Notaó Medbles Resultados Geerales Cómo se obtee datos para u sstema de olas partular. El aálss de ua ola roesos de Nameto y Muerte Modelos de olas smples M/M/, M/M/, M/M//K, M/M/f Varates Cletes mpaetes, oblaó Lmtada, Tempos varables de Servo Más varates G/G/, G/G/ Redes y Seres Colas e Sere Agregado y desagregado flujos Redes de Jakso abertas Redes de Jakso erradas Smulaó Más roblemas Aexos Estadísta elemetal Uso del QTS-plus Dstrbuoes Estadístas Uso de Exel para la resoluó de roblemas de rogramaó Leal. 9 04/05/20

20 Sstema M/M/ La probabldad de que haya elemetos e el estado estable es: - De dode los valores de tempo de estaa meda y ola meda so: L W L W q L q /05/20

21 eluquería La peluquería está drgda y gestoada úamete por su propetara. Atede segú el prpo de que el prmero que etra es el prmero que sale. La peluquería, dado su aráter beréto está muy oupada los sábados por la mañaa y la propetara se platea la posbldad de otratar a ua ayudate. Así pues, hae u estudo y se da ueta de que los letes llega o ua dstrbuó de posso de meda 5 letes por hora. Debdo a su exelete reputaó los letes está dspuestos a esperar lo que haga falta. La propetara, señora urfaó, sgue o sus estudos y estma que el tempo medo e el que atede u lete es de 0 mutos segú ua dstrbuó expoeal. Dede prmero alular el umero medo de letes e el saló y el úmero de medo de letes esperado u orte de pelo. Sólo tee 4 sllas además del slló de peluquera, uál es la probabldad de que llegue u lete y o euetre sto?, ual es la probabldad de que algue espere más de 45 mutos? 2 04/05/20

22 22 Sstema M/M/ La probabldad de que haya elemetos e el estado estable es: De dode los valores de tempo de estaa meda y ola meda so:!! 0 0!! 0 0 r r r 0 2! r L q 0 2! r W W q 2! r r L 0 2! r L W q q 04/05/20

23 23 Sstema M/M//K La probabldad de que haya elemetos e el estado estable es: De dode los valores de tempo de estaa meda y ola meda so: K!! 0 0!!!! K r r K r r K K q K r L! 2 0 K q r L L K L W K q L W K eff 04/05/20

24 24 M/M//K

25 25 M/M/2/K

26 26 M/M/5/K

27 27 M/M/0/K

28 ITV Ua estaó de ITV ueta o tres puestos para speó y e ada uo sólo puede ser ateddo u ohe. Cuado u ohe sale de u puesto la vaate es oupada por otro que está e ola. La llegada de ohes sgue ua dstrbuó de osso o ua meda de u ohe por muto e sus horas puta. E el párkg sólo abe 4 vehíulos. El tempo de speó sgue ua dstrbuó expoeal de meda 6 mutos. El spetor jefe desea saber el úmero medo de ohes e la estaó, el tempo medo luda la speó de espera, y el úmero medo de ohes e ola debdo a que los puestos está oupados /05/20

29 Sstema M/G// La Fórmula de Erlag La probabldad de que haya letes e el sstema es: / / La probabldad de que el sstema 0 esté! lleo es: r!, r r! 0 eff K 29 04/05/20

30 Cola s lmte de servdores M/M/ Asumremos que el tempo el tempo de servo tee gual dstrbuó o el úmero de servdores =. r e! r 0 r L W 30 04/05/20

31 3 Colas o límte e la fuete M M M M L 0 M eff L M M L M r L eff L L q L M L W L M L W q q M r r M M!! !! M M r r 04/05/20

32 roblema Ua fabra de semodutores usa o robots para la fabraó de sus plaas de rutos. Los robots se estropea peródamete, y la ompañía tee dos reparadores para las reparaoes. Cuado u robot es arreglado, el tempo hasta que el sguete se rompe se ree que es ua expoeal dstrbuda o ua meda de 30 horas. La empresa tee sufete trabajo e ola para asegurarse que todos los robots e odoes de trabajar estará fuoado. El tempo de reparaó se dstrbuye segú ua expoeal de meda 3 horas. Al eargado le gustaría saber: el úmero medo de robots operatvos e ualquer mometo, el tempo que u robot tarda e ser reparado, el poretaje de tempo e que algú operaro está parado /05/20

33 Teoría de Colas Itroduó Desrpó de u problema de olas El aálss de ua ola Modelos de olas smples M/M/, M/M/, M/M//K, M/M/f Varates Cletes mpaetes, oblaó Lmtada, Tempos varables de Servo Más varates G/G/, G/G/ Redes y Seres Smulaó Más roblemas Aexos 33 04/05/20

34 M/G/ L W q z Wq M G Wq M M 2 04/05/20

35 G/G/ Cuado la etrada tampoo sgue ua dstrbuó expoeal se puede utlzar la aproxmaó de dfusó Kgma para alular el valor del tempo de espera e ola e fuó de los oefetes de varaó al uadrado de la etrada y de la salda. De heho esta es ua aproxmaó que además es sempre ua ota superor Wq G G Wq M M 2 e s 04/05/20

36 G/G/ S el aso G/G/ ya es ua geeralzaó o exata, meos exata aú es la geeralzaó G/G/. E ualquer aso dado que el error es pequeño es teresate la sguete fórmula que permte alular el tempo de estaa medo e ola para u sstema ualquera. Wq G G e s 04/05/20

37 Varabldad e el tempo de servo. Varabldad atural Varabldad debda a fallos de máqua Varabldad debda la teraó hombre máqua Varabldad debda a la exstea de tempos de preparaó. 04/05/20

38 Rotura y Reparaó U sstema de u úo servdor que sufra averías que deba ser reparadas, ve afetado su tempo de servo y su dspobldad. E[ Ta ] ETe a 2 E[ F ] a C R a a E[ R ] Ce C E[ F ] E[ R ] Te Cs ET S e a W q 2 2 Ca C e e 2 e E T e 04/05/20

39 Iteraó Hombre-Máqua No hay resultados geerales. Debe ser dervados e ada aso. La propuesta de Curry y Feldma para u sstema o dos máquas détas y u operador es que ada estado lo represeta ua trpleta,,j dode es el úmero de trabajos e el sstema, y j so el estado de ada ua de las máquas, pudedo ser 0;s;p. 0 da que la máqua está vaía y parada, s da que la máqua está sometda a u setup y p da que la máqua está e produó. 04/05/20

40 Teoría de Colas Itroduó Desrpó de u problema de olas El aálss de ua ola roesos de Nameto y Muerte Modelos de olas smples M/M/, M/M/, M/M//K, M/M/f Más varates G/G/, G/G/ Varates Cletes mpaetes, oblaó Lmtada, Tempos varables de Servo Redes y Seres Colas e Sere Agregado y desagregado flujos Redes de Jakso abertas Redes de Jakso erradas Smulaó Más roblemas Aexos 40 04/05/20

41 4 El servo depede del úmero de letes. k k k k k k L k k k 0 L L q L W q q L W 0 0 k k 0 k k 04/05/20

42 El ohe felz epe y Jua ha patetado u veto para pulr automóvles y ha motado su propa empresa de pulr ohes, para ello ha alqulado u vejo loal. El loal solo se abre los sábados Los letes so ateddos segú orma FIFO. Se supoe que su loal está stuado e ua zoa dode puede aparar y esperar los letes s problemas. La máqua de pulr puede fuoar a dos velodades, a míma velodad tarda ua meda de 40 mutos y la máxma tarda ua meda de 20 mutos, se puede asumr los tempos dstrbudos de forma expoeal. Los letes llega segú ua dstrbuó de osso de meda 30 mutos. Jua tee u urso de teoría de olas y ha deddo estudar el efeto de dos polítas: poer la máqua a máxma velodad s hay algue esperado y 2 poer a máxma velodad solo s hay más de uo esperado 3 o más e el sstema. La velodad se puede ambar e ualquer mometo, luso s la máqua está trabajado. Se quere saber el tempo medo de espera bajo estas dos políta 42 04/05/20

43 43 Cletes mpaetes Los que o se ue a la ola La sere debe ser moótoa dereete Los que abadoa r es la probabldad de que u lete abadoe s tee letes delate de él. 0 b b b b 0 r b r b 04/05/20

44 Teoría de Colas Itroduó Desrpó de u problema de olas El aálss de ua ola roesos de Nameto y Muerte Modelos de olas smples M/M/, M/M/, M/M//K, M/M/f Más varates G/G/, G/G/ Varates Cletes mpaetes, oblaó Lmtada, Tempos varables de Servo Redes y Seres Colas e Sere Agregado y desagregado flujos Redes de Jakso abertas Redes de Jakso erradas Smulaó Más roblemas Aexos 44 04/05/20

45 Redes de Colas Las redes de olas se puede represetar o odos e el que ada odo represeta ua stalaó de servo. Redes de Jakso: so u tpo espeal de Redes de Colas.. Las llegadas desde el exteror al odo sgue u proeso de osso de meda 2. Los tempos de servo e ada odo y so depedetes y sgue ua dstrbuó egatva expoeal o parámetro, que podría ser depedete del estado 3. La probabldad de que u lete que haya ompletado su servo e el odo vaya al odo j es r j o =,2,...,k, j=0,,...,k. 4. r,0 da la probabldad de que u lete abadoe desde el odo Tpos de Redes de Jakso: E Sere Geerales Cerradas 45 04/05/20

46 Redes esere... r 0 r j 0 j k k j 0 e los demás asos,2...k = 2... k El omportameto de ada ola, s o hay límtes de apadad es depedete /05/20

47 Meraoa Jo Ros, presdete de Meraoa, está expermetado ua uevo tpo de tedas y para ello ha remodelado ua de ellos omo sgue. E vez de las típas olas e el ajero ha puesto ua sala dode esperar tu turo para pagar. Coforme va llegado los letes, ua vez heha la ompra, pasa a la sala, s todos los ajeros está oupados etoes oge úmero y espera setados. Ta proto omo ua aja esté lbre el sguete úmero será llamado para que pase por ella. E la sala o hay límte de letes que pueda estar esperado. El geero estma que durate las horas puta los letes llega de auerdo a ua dstrbuó de osso de meda 40 por hora, tarda por térmo medo ¾ de hora para llear sus arros dstrbuó expoeal. El tempo que tarda u ajero e pasar toda la ompra tee de meda 4 mutos expoeal, depedetemete de la atdad de ompra ada aja tee u ajero y u embolsador. Ros quere saber lo sguete: a Cuál es el úmero mímo de ajas durate las horas puta? b S se poe ua aja más que el mímo requerdo, uál es el tempo medo de espera e la ola? Cuáta gete habrá e ajas? uáta gete habrá e todo el supermerado? 47 04/05/20

48 48

49 49

50 50

51 Redes de Jakso Geerales I a La llegada extera a ualquer odo es osso btodos los servdores de ada etapa tee u servo expoeal de meda De ada etapa u lete se mueve a otra etapa o probabldad r j, y al exteror o probabldad r,0 r,0 r,0 r, j r,0 r,0 r,0 5 04/05/20

52 52 Redes de Jakso Geerales II El rato de llegada a ada etapa se obtee medate las deomadas euaoes de tráfo La probabldad de que e el estado estaoaro haya letes e el odo, 2 e el odo 2, etétera S = k j j j r R R I o k a r a! /, o o a r k k k k /05/20

53 53 Redes de Jakso Geerales III uede exstr dferetes tpos de letes o dferetes matres de trasó R t t t t R I t t t t L L /05/20

54 roblema La ompañía de seguros La otra vda tee ua etralta telefóa. Las llamadas llega segú ua dstrbuó de meda 35 ada hora. Los letes llama para dos osas: para relamaoes o para soltar formaó, para ello debe apretar el botó o el 2. Se ree que el tempo que tarda u lete e tomar la desó y apretar el botó tee ua meda de tempo de 30 segudos segú ua dstrbuó expoeal. Las llamadas realzadas solo puede ser proesadas por este otestador de ua e ua, s algue llama metras tato se le poe ua bota músa, se le de que espere y se le poe e ola. Aproxmadamete el 55% de las llamadas so para relamaoes, el resto para demada de servos. El odo de relamaoes tee 3 servdores e paralelo y se estma que el tempo medo e que atede u lete es de 6 mutos expoeal. El odo de soltud de formaó tee 7 servdores e paralelo o u tempo de servo medo de 20 mutos expoeal. Se asume que puede haber todos los letes que se quera esperado e los odos. Alrededor del 2% de llamadas que va al odo de relamaoes aaba e el de demada de formaó, y el % que llama al odo de demada de formaó se va al odo de relamaoes. Se desea saber por térmo medo el tamaño de las olas e ada odo y el tempo medo que u lete pasa e el sstema /05/20

55 R I R

56 56

57 57 Redes de Jakso Cerradas r,j 2... k k a N G a!! N k k a N G... 2 j j j a a 04/05/20

58 58 Algortmo de Valor Medo para Redes Cerradas aso Resolver las euaoes de tráfo k j j j r v v asumedo v l = aso 2 Ialzar L 0, p 0,0=, p j,0=0 =..k, j0 aso 3 ara = hasta N, alular aso3. 2 0, j j p j L W aso 3.2 k l v W o v l aso 3.3 l v l, aso 3.4 W L aso 3.5 j k j j j..,..,,

59 Servo de Matemeto Se desea que dos máquas esté operatvas e ualquer mometo. La máqua se rompe de auerdo o ua expoeal de meda =2. Ua vez rota, ua maqua tee ua probabldad r 2 =0.75 de ser reparada loalmete por u resposable de matemeto que trabaja o ua meda de tempo de 2 =. Co probabldad - r 2 la máqua debe ser reparada por u espealsta, que també trabaja segú ua expoeal de meda 3 =3. Más allá, después de ua reparaó loal, exste ua probabldad r 23 =0.33 de que la máqua requera u servo espeal. Después del servo o el espealsta la máqua sempre se poe a trabajar. Se desea saber ómo se dstrbuye los tempos de estaa de las máquas e reparaó /05/20

60 Smulaó Seleó de los datos de etrada Seleó de la famla estadísta adeuada Seleó de los parámetros. Smulaó Dferetes measmos de smulaó Búsqueda de estaoaro Subrus, Repeated Rus Aálss de Resultados Naturaleza estadísta de ada resultado Aálss de expermetos Itervalos de Cofaza Valdaó del Modelo Sufetemete smple Creíble Reprodue la realdad? 60 04/05/20

61 Más problemas 04/05/20

62 Seleó de Maquara Tee que dedr que máqua omprar para la estampaó de pezas metálas. La máqua A uesta udades/hora La máqua B uesta udades/hora Las pezas llega segú ua dstrbuó de osso de meda 8 por hora y tee u oste de espera de 2 por hora debdo a las espeales odoes de matemeto que exge. La plata opera durate 24 horas por día y 360 días al año /05/20

63 roblema La aadema Grades Esrtores ofree u urso por orrespodea para apreder a esrbr. Las soltudes so aeptadas e ualquer mometo y el urso empeza medatamete. La llegada de uevas soltudes sgue ua dstrbuó de osso o ua meda de 8 ada mes. Se estma que el tempo medo e que se aaba el urso es de 0 semaas dstrbuó expoeal. or térmo medo, uátos alumos hay matrulados e la aadema e ualquer mometo? 63 04/05/20

64 Ofa baara Ua pequeña suursal de u bao tee dos empleados, uo para los pagos y otro para los obros. Los letes llega a ada aja sguedo ua dstrbuó de osso o ua meda de 20/hora. el total de llegada al bao es de 40/hora. El tempo de servo de ada empleado es ua expoeal de meda 2 mutos. El eargado de la seó está pesado haer u ambo e que los dos empleados pueda haer tato pagos omo obros para evtar stuaoes e que ua ola está llea y la otra parada. S embargo, se estma que uado los empleados se eargue de las dos osas el tempo de servo aumetará a ua meda de 2,4 mutos. Compara el sstema que se emplea ahora o el propuesto, alulado el total de gete e el bao, el tempo medo que pasaría u lete e el bao hasta que es ateddo, la probabldad de que u lete espere más de o mutos y el tempo medo que está parados los empleados /05/20

65 roblema Las máquas que dspesa blletes para el metro e la ompañía RNFV se suele estropear ada 45 horas. Se supoe que el úo reparador de la estaó tarda 4 horas e reparar la máqua. Se asume que los dos tempos so la meda de ua dstrbuó expoeal. Cuál es el mímo úmero de máquas que debe haber para asegurarse que haya al meos 5 máquas e servo o ua probabldad mayor que 0.95? 65 04/05/20

66 Meda, varaza 04/05/20

67 Defoes Meda Varaza Desvaó Estadísta Coefete de Varaó al uadrado. Coefete de Varaó

68 Dstrbuoes Importates Dsreta toma valores de u ojuto umerable o Dsreta-Uforme o Beroull o Bomal o Geométra o osso Cotua toma valores e u tervalo o Cotua-Uforme o Expoeal o Erlag o Gamma o Webull o Normal o LogNormal

69 Dstrbuoes Estadístas 04/05/20

70 Dstrbuoes Dsretas Las dstrbuoes estadístas de tpo dsreto toma valores de u ojuto fto de posbldades. E teoría de olas so relevates porque permte represetar el úmero de letes e u tervalo de tempo. S las posbles ourreas so u ojuto fto y uforme de valores e.g. el lazameto de u dado perfeto se ooe omo varable Uforme Dsreta. S la varable se da etre los valores a y b eteros, la meda de la dstrbuó es a+b/2 y la varaza es b-a+^2-/2 S la probabldad de ada ourrea es dferete, la más sella de todas las dstrbuoes de Beroull dode la varable puede sólo tomar dos valores e.g. ho o ha, A o B o ua erta probabldad p para el prmero membro del par, que suele deomarse éxto. La meda es p y la varaza es p-p La dstrbuó Bomal represeta la probabldad de obteer k suesos A o probabldad p, a partr de tetos. Es por tato la suma de Beroull de probabldad p. La meda es p y la varaza es p-p La dstrbuó Geométra represeta la probabldad de obteer la prmera ourrea A e el lazameto. Esta varable tee u rago fto auque sgue sedo dsreta. La meda es /p y la varaza es -p/p^2 També tee u rago fto la ooda omo osso e la que se represeta ourreas para u ojuto grade e depedete de evetos dstrbudos a lo largo del espao o del tempo La dstrbuó tee propedades matemátas teresates que la hae muy utlzada. La meda es y la varaza es també. 04/05/20

71 Dstrbuoes Cotuas La Cotua Uforme toma valores equprobables e u determado rago [a,b]. La meda de esa fuó es a+b/2 y la varaza es b-a^2/2 La expoeal o egatva expoeal es la omplemetara de la dstrbuó de osso. Su meda es / y la varaza es /^2 La Erlag[k,β] es ua dstrbuó que es la suma de k expoeales de meda β/k. La meda de dha dstrbuó es β y la varaza es β^2/k. De heho la dstrbuó Erlag es ua parte de ua lase más ampla que so las dstrbuoes gamma. Cada fuó gamma es defda por dos parámetros α y β. La meda es βα y la varaza es αβ^2 La dstrbuó Webull permte desrbr la ruptura de materales por uso otuado. La dstrbuó Normal. Qué der de la dstrbuó ormal, pues que permte que los valores sea egatvos. La dstrbuó lognormal desrbe adeuadamete los tempos de reparaó de Maquara. 04/05/20

72 Los proesos de osso y la dstrbuó Expoeal p t t t! e p0 t El úmero de llegadas e tervalos de tempo o superpuestos es estadístamete depedete 2 La probabldad de que ua llegada ourra etre el tempo t y t+t es t+ot, dode es la tasa de llegada y ot umple o t lm 0 to t 3 La dstrbuó estadísta del úmero de llegadas e tervalos de tempo guales es estadístamete equvalete t s t s! e ts e t t, s 0, t s 72 04/05/20

73 Los roesos de osso-expoeal 4 S el úmero de llegadas sgue ua dstrbuó de osso el tempo etre llegadas sgue ua dstrbuó expoeal de meda / y al otraro t t! t e o t 5 S el proeso de llegada es osso, los tempos de llegada so ompletamete aleatoros o ua fuó de probabldad uforme sobre el perodo aalzado. f 6 ara ooer los datos que defe u proeso de osso solo es eesaro ooer el úmero medo de llegadas 7 Amesa de la Dstrbuó Expoeal: La probabldad de que falte t udades para que llegue el sguete lete es depedete de uato tempo llevamos s que llegue gú lete. e t 0, T k t, t2,..., tk / k llegadas e r T / T t T t t 0 r 0 0 k! T 73 04/05/20

74 Geeralzaoes al roeso osso- Expoeal Varabldad de Se puede admtr que varíe o el tempo. E este aso m t m t t e, m t s ds Llegadas múltples! o t Se puede admtr que e ada eveto de llegada apareza letes, dode: E este aso la probabldad de que e el state t haya aparedo m letes es: r N t m e t t k! k k m 74 04/05/20

75 Bomal Número de aertos al observar B resultados dotómos o sere de Beroull. B=, dstrbuó de Beroull La probabldad de observar u úmero de aertos e B esayos depedetes o ua proporó de aertos A Hpergeométra: Bomal e u otexto de muestreo de elemetos o reemplazameto, Np aertos, Nq fallos, N=Np+Nq y DF = C Np yc Nq -x/c N Mea = p, Varae = pqn-/n- Multomal: resultados e más de dos lases o ategorías.

76 Geométra. Número de esayos depedetes hasta el prmer aerto, o ua propoó A de aerto Versó dsreta de la dstrbuó otua Expoeal

77 Bomal egatva Bomal Negatva Número de esayos hasta ompletar B aertos e ua sere de Beroull. B=, dstrbuó geométra.

78 osso Número de evetos e u perodo de tempo soporte dado o ua tasa fja y estable A. Soporte otuo: tempo, logtud, superfe,

79 Logartma Número de evetos e u perodo de tempo dado. Número de artíulos adqurdos por u omprador e u perodo de tempo dado.

80 Normal La dstrbuó de errores de observaoes físas que mafesta rudo blao e la medda Dstrbuó smétra Asoadas a la dstrbuó Normal está las Dstrbuoes Ch-uadrado y t-studet

81 Expoetal Dstrbuó asoada al soporte otuo de La varable aleatora dsreta de osso Caso partular de la dstrbuó Gamma y Webull Tempo de vda o etre fallos de proesos s memora

82 Gamma C=, dstrbuó Expoeal Modela dstrbuoes uya asmetra es muy sgfatva Co C grade se aproxma a la Normal

83 Webull C=, dstrbuó Expoeal Geeralzaó de la Dstrbuó Expoeal Modelzaó de tempos e fabldad de sstemas

84 Uform Desrbe la goraa detro de u tervalo Los úmeros pseudo-aleatoros que se geera e las smulaoes so uformes e el tervalo [0,] osteromete se utlza para geerar valores del proeso aleatoro de terés.

85 Beta Estmaó bayesaa Dstrbuó de probabldad de los parámetros de u Modelo

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