Matrices elementales

Transcripción

1 Matrices elementales Jana Rodriguez Hertz GAL 1 IMERL 4 de abril de 2013

2 transformaciones elementales transformaciones elementales recordemos: transformaciones elementales llamamos transformación elemental en una matriz a 1 multiplicar una fila por una constante α 0 2 intercambiar dos filas de lugar 3 sumarle a una fila un múltiplo de otra

3 matrices elemental matriz elemental matriz elemental llamamos matriz elemental a toda matriz que resulte de aplicar una transformación elemental a la matriz identidad

4 matrices elemental matriz elemental matriz elemental tipo E α i = α F i

5 matrices elemental matriz elemental matriz elemental tipo E i,j = F i F j

6 matrices elemental matriz elemental matriz elemental tipo E i+α j = 0 α F j F i + αf j

7 proposición proposición A M m n (K) matriz m n realizamos una transformación elemental y obtenemos una matriz B M m n (K) entonces B = EA donde E es la matriz elemental asociada a la transformación

8 ejemplo ejemplo A = E = asociada con la operación: F 3 F 3 + 3F

9 ejemplo ejemplo A = E 1,2 = asociada con la operación: F 2 F

10 ejemplo ejemplo A = E 5 1 = asociada con la operación: F 1 5 F

11 a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a m1 a m2 a mn a 11 a 12 a 1n 0 α 0 αa i1 αa i2 αa 1n a m1 a m2 a mn

12 ejercicio: completar para los otros dos casos

13 escalerizando corolario corolario toda matriz A puede reducirse a su forma escalerizada multiplicándola por un número finito de matrices elementales o sea, existen E 1,, E k matrices elementales tales que E k E 2 E 1 A = B escalerizada

14 escalerizando es una consecuencia del hecho de que toda matriz se puede escalerizar en un número finito de transformaciones elementales

15 escalerizando proposición proposición consideremos una matriz cuadrada A M n (K) si rango(a) = n, entonces hay un número finito de matrices elementales E 1,, E k tales que E k E 2 E 1 A = I

16 escalerizando recordemos que rango(a) =número escalones de A = n entonces, multiplicando a A por un número finito de ME obtenemos α 11 α 12 α 1n 0 α 22 α 2n 0 0 α nn con α ii 0

17 escalerizando como todos los α ii 0 podemos multiplicar por E i α 1, i = 1,, n ii y obtenemos 1 α 12 α α 11 1n 11 α 0 1 2n α

18 escalerizando es decir multiplicamos por E i n con i = 1,, n

19 escalerizando y obtenemos luego multiplicamos por E i (n 1) con i = 1,, n 1 y asísucesivamente, obtenemos I

20 invertibilidad proposición invertibilidad de las matrices elementales toda matriz elemental es invertible la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental

21 invertibilidad : matrices de tipo 1 la inversa de E i α con α 0, es E i α α α

22 invertibilidad del mismo modo la inversa de E i,j es E i,j la inversa de E i+α j es E i α j ejercicio: demostrar

23 invertibilidad corolario criterio de invertibilidad una matriz es invertible si y sólo si se puede escribir como producto de matrices elementales es decir, A invertible A = E 1 E 2 E k

24 invertibilidad A invertible rango(a) = n E k E 1 A = I x proposición anterior como cada E i es invertible: A = E 1 1 E 1 k la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental

25 invertibilidad supongamos que A es producto de matrices elementales E 1 A = E k E 1 1 E 1 k A = E 1 1 E 1 k E k E 1 = I A tiene inversa a izquierda A es invertible