TEMA 4 P (X = 1) = 0,4 P (X = 2) = 0,6 P (Y = 3) = 0,7 P (Y = 9) = 0,3

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Trinidad Padilla Nieto
hace 6 años
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1 TEMA 4. Dada una v.a. bivariante cua distribución de probabilidad es: P (, ) 4, P (, ), P (, ) 4 a) Obtener la distribución de probabilidad marginal de la v.a. X. b) Obtener la distribución de probabilidad marginal de la v.a. Y. c) ¾Son X e Y independientes?. Sean X e Y dos v.a. cuas distribuciones de probabilidad son P (X ),4 P (X ),6 P (Y ),7 P (Y ), Obtener la distribución conjunta de la v.a. (X, Y ) en el supuesto de que ambas componentes sean independientes.. Se dene la distribución de probabilidad de la v.a. (X, Y ) dando a cada uno de los diez puntos siguientes la probabilidad.. Es decir: P (, ) P (, ) P (, ) P (4, ) P (, 4) P (, 4) P (4, 4) P (, 6) P (4, 6) P (4, 8), Hallar: a) La función de distribución en los puntos (, 7) (, 6). b) La distribución de probabilidad de la v.a. Y X. c) Estudiar la independencia entre X e Y. 4. La función de cuantía conjunta de dos variables viene dada por: { cx si x,,,,, P (x, ) en otro caso Hallar: a) El valor del parámetro c b) P (X, Y ) c) P ( X, Y ) d ) F (x, ). La función de cuantía conjunta de una variable aleatoria bidimensional (X, Y ) viene dada por: Y X a a) Calcular el valor de a b) Obtener las funciones de cuantía marginales de las v.a. X e Y

2 c) Calcular la función de cuantía la función de distribución de probabilidad de la v.a. X Y d) P (X X + Y ) e) P (Y > X > ) f) ¾Son X e Y v.a. independientes? 6. Sean X e Y dos v.a. con la siguiente distribución de probabilidad conjunta: Y Y Y X X X a) Obtén las funciones de cuantía marginales de X e Y. b) Calcula el valor de P (X + Y X ). c) Calcula el valor de P (X + Y ). 7. La v.a. (X, Y ) tiene función de densidad conjunta dada por: { kx f(x, ) si x,, x en otro caso a) Calcular k. b) Calcular P ( < X <, Y ). c) Obtener las funciones de densidad marginales. d ) Estudiar la independencia entre X e Y. 8. La v.a. (X, Y ) tiene función de densidad conjunta dada por: { kx si x, f(x, ) en otro caso a) Calcular k de modo que f(x, ) sea función de densidad. b) Obtener las funciones de densidad marginales. c) Calcular P ( < X <, < Y < ). d ) Estudiar la independencia entre X e Y. e) Calcular P (X ).. Una empresa se dedica a la venta de dos productos: el primero da unos benecios que, expresados en millones de euros, se distribuen uniformemente en el intervalo [, 6]. El segundo da unas pérdidas que se distribuen uniformemente en el intervalo [, ]. Se sabe que los benecios o pérdidas resultantes de la producción de ambos productos son v.a. independientes. Calcular la probabilidad de que el benecio neto de la empresa sea superior a millones de euros.. Una empresa comercializa dos productos. Los benecios mensuales obtenidos por la venta de ambos productos (X, Y ) en millones de euros, sigue una distribución cua función de densidad conjunta es: { x + si x, f(x, ) en otro caso a) Calcular la función de densidad marginal de los benecios de cada uno de los productos. ¾ Son independientes?

3 b) Calcular la probabilidad de que el benecio total de la empresa durante un mes no supere el millón de euros.. Sea (X, Y ) una v.a. cua función de densidad conjunta viene dada por f(x, ) { cx, si x, en otro caso a) Halla el valor de la constante c para que f(x, ) sea una función de densidad completamente especicada. b) Halla la función de densidad marginal de la v.a. X. c) Calcula E(X).(Este apartado corresponde al Tema ). d ) Calcula razonadamente la probabilidad P (X + Y ). e) Razona gráca o algebráicamente el valor de la probabilidad condicionada P (X + Y X,).. La v.a. (X, Y ) representa los benecios anuales, medidos en millones de euros, de dos empresas A B de accesorios de automóviles. Su función de densidad conjunta viene dada por: donde k (e ),68. f(x, ) ke x+, < < x < a) ¾Cuál es la probabilidad de que los benecios anuales de la empresa B superen el medio millón de euros? b) ¾Cuál es la probabilidad de que los benecios anuales de B sean menores que medio millón de euros, si los de la empresa A han sido exactamente tres cuartas partes de un millón de euros? NOTA: para evitar errores de cálculo, trabajar con la letra k sustituir su valor después de hacer todas las operaciones. Soluciones a los problemas. Tema 4. a) P (X ) 4, P (X ) 4. b) P (Y ), P (Y ). c) No son independientes. P (, ) P (X )P (Y ) 8.. P (, ),8, P (, ),, P (, ),4 P (, ),8. a) F (, 7),. F (, 6),6. b) P (Y X ), P (Y 4 X ), P (Y 6 X ). c) No son independientes. Por ejemplo: P (, 4) P (X )P (Y 4),. 4. a) c 6. b) P (, ) 6. c) P ( X, Y ) 4.

4 d ) F (x, ) x < ó < 6 x <, < 6 x <, < 6 6 x, < 6 x <, < 6 x <, < 8 6 x, < 6 6 x <, 8 6 x <, x,. a) a 6,67 b) S(X) {,, }; P X (), P X() 6, P X() S(Y ) {, }; P Y (), P Y () c) Z X Y ; S(Z) {, }; P Z () P (,) P Y (), P Z() P (,) si z < F (z) P (Z z) si z < si z d) e) P (X, X + Y ) P (X X + Y ) P (X + Y ) 6/ 8/ 6 8 4,7 P (Y >, X > ) P (Y > X > ) P (X > ) 6/ 8/ 4,7 P Y () P (X, Y ) P (X, Y ) + P (X, Y ) P (Y, X ) + P (Y, X ) P (X ) f) X, Y independientes P X (x)p Y () P (x, ) x S(X) S(Y ) P X ()P Y () 6 P (, ) 6. a) La distribución marginal de la v.a. X, es: P (X ) P (X ) P (X ) Y la de la v.a. Y, es: P (Y ) P (Y ) P (Y ) Es decir ambas variables tienen la misma distribución. b) donde P (X + Y X ) P [(X + Y ) (X )] P (X ) P [(X + Y ) (X )] P [(X + Y ) (X )] + + P [(X + Y ) (X )] P (, ) + P (, ) + 4

5 P (X ) P (X ) + P (X ) Luego, P (X + Y X ) c) P (X + Y ) P (X Y ) P (, ) + P (, ) + P (, ) a) k 6. b) P ( < X <, Y ) x c) f(x) x4, si x. f() 6 6 x dxd 6 x ddx +,46 ( 8 ), si. 6 x ddx d ) No son independientes. Por ejemplo en el punto (., ), la función de densidad conjunta es nula, f(,, ), mientras que el producto de marginales es distinto de cero. f X (,),76, f Y (),7. 8. a) k. b) f(x) x, si x. f(), si. c) P ( < X <, < X < ) 6. d ) Son independientes, puesto que en cualquier punto del plano,(x, ), se verica f(x, ) f X (x)f Y (). e) P (X,).. Z X Y. P (Z > ),.. a) f X (x) x +, si x. f Y () +, si. No son independientes, puesto que f(x, ) x + (x + )( + ). b) P (X + Y ).. a) Sabemos que la función de densidad debe integrar la unidad en el recinto en el que está denida. Esto es: cxdxd c(, )d,c ( x c ) d 4,c 4 ) ) c 8 de donde, c 8.

6 b) f(x) { ( ) x 8xd 8x x 4x, si x, en otro caso c) E(X) xf(x)dx ( x x 4x dx 4 ) 4 d ),, ( x P (X + Y ) 8xdxd 8, [ ] ( ) 8 d,, 4 d 8 d 4,,,666 ) ), d 8 ), e) En el triángulo en el que está denida la v.a (X, Y ), pintamos la recta X,. Si estamos sobre dicho segmento de recta, estamos siempre en el semiplano X + Y, luego la probabilidad condicionada es la del suceso seguro, que es. Algebráicamente P (X + Y X,) P (Y, X,) para calcular esta probabilidad condicionada, tenemos que obtener la función de densidad de la distribución condicionada de Y X,, que es: f( x,) f(,, ) f X (,) 8, 4, 8 si,, cero en otro caso. Entonces: P (Y, X,), 8d 8 ),. a) f Y () f(x, )dx R ke x+ dx ke [e x ] ke (e e ) k(e + e ), P (Y >,) P (Y,) k, k(e + e )d ], [e + e k(e,,e e +,),88 6

7 b) f X (x) f(x, )d x R ke x+ d ke x [e ] x ke x (e x ) k(e x e x ), x f Y Xx (x) f(x, ) f X (x ) ke x+ k(e x e x ) e x e e x (e x ) e e x, < x P (Y <, X,7), f Y X,7 ()d, e e,7 d e,7 [e ], e, e,7,47 7

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