U nidad. Números naturales y sistema de numeración decimal

Transcripción

1 1 Números naturales y sistema de numeración decimal SUMARIO 1. Sistema de numeración decimal 2. Definición de números naturales 3. Operaciones de números naturales. Propiedades TÉCNICAS DE TRABAJO Manejo de los algoritmos ACTIVIDADES FINALES

2 1 Números naturales y sistema de numeración decimal Orden posicional Con cada 10 unidades del mismo orden, se forma una unidad del orden posterior: 10 unidades = 1 decena 10 decenas = 1 centena 10 centenas = 1 millar 10 millares = 1 decena de millar 1 Sistema de numeración decimal Nuestro sistema de numeración es: Decimal, porque utiliza diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Posicional, porque el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar, unidades de millón, decenas de millón (Ejemplo 1) Ejemplo 1 El número = decenas de millar 2 unidades de millar 3 centenas 7 decenas 6 unidades Un número natural se puede descomponer de distintas formas. (Ejemplo 2) Ejemplo = = = Escribe en tu cuaderno el número que se corresponde con: a) 7 centenas, 9 decenas y 2 unidades b) 25 millares, 8 centenas y 43 unidades 2. Escribe en tu cuaderno el siguiente número de: a) b) c) d) Piensa y contesta en tu cuaderno: a) Cuántas decenas hay en 10 centenas? b) Cuántas unidades hay en 3 unidades de millar? c) Cuántas centenas hay en un millón? 4. Teniendo en cuenta el primer apartado resuelto, expresa el número en tu cuaderno como: a) La suma de dos productos b) La suma de tres productos. c) La suma de cuatro productos. d) La suma de cinco productos. 5. Copia en tu cuaderno estas igualdades y complétalas escribiendo un número. a) = b) = c) = d) = e) = Completa en tu cuaderno estas descomposiciones como en el ejemplo del primer apartado resuelto. a) = b) c) d) Copia en tu cuaderno y descompón cada número de tres formas distintas. a) b) c) d)

3 2 Definición de números naturales El conjunto de números naturales se representan con la letra N, y está formado por los siguientes números: N = {0, 1, 2, 3, 4, } Código de barras Los códigos de barras aparecen en envases o etiquetas de numerosos productos que pasan por nuestras manos. Los códigos de barras que comienzan por 84, identifican a los productos fabricados en España. Se utilizan para contar, ordenar, medir o identificar. (Ejemplo 3) Ejemplo 3 Contar. El número de alumnos de una clase. Ordenar. La clasificación de la liga de futbol. Medir. La duración de una película, por ejemplo, 96 minutos. Identificar. Números de teléfono, códigos de barras, códigos postales o DNI. Los números naturales se representan en una recta numérica así: Leer y escribir números naturales Para leer o escribir con palabras un número natural, por ejemplo, 4 123: 1. Se separan las cifras en grupos de tres, empezando por la derecha. El primer grupo es 123, y el segundo, Se lee de izquierda a derecha, añadiendo mil, si corresponde a los millares, millón, si corresponde a millones, billón, si corresponde a billones, etc.: se lee: cuatro mil ciento veinte tres Cuando un grupo son tres ceros, no se nombra ese grupo, por ejemplo, : veinticinco mil. (Ejemplo 4) Ejemplo dos mil trescientos cincuenta un millón quinientos ochenta y ocho mil ciento once dos millones setecientos diez mil trescientos cincuenta millones doce mil dos billones cinco mil setenta y uno 8. Dibuja en tu cuaderno una recta y representa estos números: a) 2 b) 7 c) 11 d) 23 e) 30 f) Lee y escribe en tu cuaderno el número anterior y posterior de: a) 232 b) c) d) Copia en tu cuaderno y escribe con cifras estos números. a) Un millón y medio. b) Doce billones trescientos veinticinco mil. c) Noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve. d) Dos mil dieciséis. 7

4 1 Números naturales y sistema de numeración decimal 3 Operaciones de números naturales. Propiedades 3.1 Suma de números naturales Ejemplo = = 37 Se suman dos números naturales para añadir o juntar dos o más cantidades. a + b = c suma sumandos (Ejemplo 5) Las propiedades de la suma de números naturales son: Propiedades de la suma de números naturales Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Elemento neutro El orden de los sumandos no altera el resultado: a + b = b + a Para sumar dos o más sumandos, se agrupan de dos en dos, sin importar el orden, ya que no altera el resultado: (a + b) + c = a + (b + c) Si se suma el 0 a un número natural, el resultado es ese número natural: a + 0 = 0 + a = a Ejemplo = = 13 (3 + 1) + 7 = = (1 + 7) = = = = 42 Problema resuelto 1 Se va a celebrar un concierto en un estadio de futbol, que tiene una capacidad de personas sentadas, en tribuna, y de pie, en el campo. Cuántas entradas hay disponibles a la venta? Las entradas disponibles son de dos tipos, sentadas en tribuna, , y de pie, El número total de entradas a la venta es el resultado de sumar estas dos cantidades: para las personas sentadas en tribuna para las personas que estén de pie entradas a la venta = entradas a la venta. 11. Copia en tu cuaderno y resuelve estas operaciones: a) b) c) d) e) f) Lara va a celebrar su cumpleaños y ha invitado a 12 amigos. Tres días antes de la celebración, le han llamado o escrito 7 amigos más para preguntarle si pueden asistir, incrementándose así la lista de invitados. Finalmente, si acepta que vengan todos, cuántas personas habrá en la fiesta de Lara? 13. Silvia es ilustradora y trabaja como autónoma en su casa. Este mes le pagarán tres trabajos que ha hecho para diferentes empresas, cuyas facturas tienen unos importes de: 442, 480 y 264 respectivamente. Cuál es el total que recibe Silvia por su trabajo de ilustración este mes? 8

5 3.2 Resta de números naturales Se restan dos números naturales para sustraer o quitar un número de otro. a b = c resta o diferencia minuendo sustraendo (Ejemplo 6) Ejemplo = = 11 En una resta o diferencia siempre se cumple: minuendo = sustraendo + diferencia Esta última operación sirve como comprobación de que una resta está bien hecha. (Ejemplo 7) Ejemplo = 5. Comprobación: 7 = = 11. Comprobación: 24 = La resta de números naturales no tiene las mismas propiedades que la suma: La resta no tiene la propiedad conmutativa: La resta no tiene la propiedad asociativa: (8 4) 3 = 4 3 = (4 3) = 8 1 = 7 Problema resuelto 2 David ha tenido un problema en su ordenador y, al intentar arreglarlo, ha borrado 48 archivos de música de los 157 que tenía guardados en la carpeta llamada canciones favoritas. Cuántos archivos de música ha salvado? Los archivos son de dos tipos, guardados y borrados archivos guardados 4 8 archivos borrados archivos salvados El número de archivos salvados por David es el resultado de restar estas dos cantidades. Así que David ha salvado 109 archivos de música. 14. Efectúa las siguientes operaciones en tu cuaderno: a) 7 3 c) b) d) Daniela tiene ahorrados 60 y quiere comprar un bolso a su hermana Diana por su cumpleaños, que cuesta 20. Cuánto dinero le quedará a Daniela después de comprar el regalo a Diana? 16. Carlota compra una mesa de escritorio, por 82,90, y una silla giratoria, por 48,99. Entrega en la tienda 70 en efectivo y el resto lo pagará cuando le entreguen los muebles en casa. Cuánto tendrá que dar al transportista? 9

6 1 Números naturales y sistema de numeración decimal 3.3 Operaciones con sumas y restas Si en una operación hay sumas y restas, siempre se realizan siguiendo un orden de izquierda a derecha. (Ejemplo 8) Ejemplo = 7 4 = = = = = = = 5 4 = Copia en tu cuaderno y resuelve las siguientes operaciones: a) b) c) d) Pablo, Luis y Marta compran un caja de 30 rotuladores. Pablo pone 5, Luis aporta 2 menos que Pablo, y Marta contribuye con 8 más que Pablo. Cuál es el precio de la caja de rotuladores? 19. Copia en tu cuaderno y escribe en cada casilla libre el número que hay que sumarle al anterior, para obtener el número siguiente Multiplicación de números naturales Ejemplo 9 Para multiplicar 7 por 2, lo que se hace es sumar dos veces 7. Así, 7 2 = = 14 Multiplicar dos números naturales consiste en sumar el primero de ellos, tantas veces como indique el segundo número. a b = c multiplicación o producto factores (Ejemplo 9) Al multiplicar dos números naturales, siempre se obtiene otro número natural. El signo que se utiliza puede ser un punto,, o un aspa,. Para multiplicar dos números naturales, se colocan los números como se muestra en los siguientes ejemplos. (Ejemplos 10, 11 y 12) Ejemplo 10 Para multiplicar un número natural de más de una cifra, por otro número natural de una cifra se realiza de la siguiente forma: º º º

7 Ejemplo 11 Para multiplicar un número natural de más de una cifra por otro número natural de dos cifras, se realiza de la siguiente forma: º º Ejemplo 12 Para multiplicar un número natural de más de una cifra por otro número natural de tres cifras, se realiza así: º º º Problema resuelto 3 Quedan dos semanas para el final de curso y en la clase de Ana van a celebrar una fiesta. Han acordado que cada compañero ponga 2 y, con lo recaudado, comprar un detalle a su tutor, y algo de comer y beber. Si son 28 alumnos en clase, cuánto dinero recaudarán? Hay 28 alumnos y cada uno pone 2. Para calcular el dinero recaudado hay que multiplicar 2 por 28: 28 2 = 56 Así, 56 es el dinero recaudado para comprar el detalle para el tutor y la comida y la bebida para la fiesta. Problema resuelto 4 Ya han salido a la venta las entradas del concierto del problema resuelto 1. El precio de las entradas es de 40 en la tribuna del campo de futbol y de 35 las de pie. Cuánto dinero recaudarán los organizadores si tienen un lleno absoluto? En tribuna hay plazas, a un precio de 40, y en el campo hay plazas, a 35. La recaudación será el resultado de sumar lo que ganen por cada tipo de entradas = = Realiza las siguientes operaciones en tu cuaderno: a) 56 6 c) e) g) b) d) f) h) Pablo, su esposa Natalia y sus dos hijos, Marcos y Cecilia, han contratado un viaje a Menorca, que incluye una excursión extra. Cuáles de estos cálculos permiten saber cuánto dinero deben pagar en total? a) 2 ( ) c) ( ) 2 + ( ) 2 b) ( ) 2 d) VIAJES A MENORCA ADULTOS MENORES CADA EXCURSIÓN EXTRA: 45 por persona los precios incluyen media pensión 11

8 1 Números naturales y sistema de numeración decimal Las propiedades de la multiplicación de números naturales son: Propiedades de la multiplicación de números naturales Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Propiedad distributiva respecto a la suma Elemento neutro El orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación: a b = b a Para multiplicar dos o más números, se hace de dos en dos, sin importar el orden, ya que no altera el resultado: (a b) c = a (b c) La multiplicación de un número por una suma, es igual a la suma de la multiplicación de dicho numero por el primer sumando más la multiplicación de ese número por el segundo sumando: a (b + c) = a b + a c Si se multiplica el 1 por un número natural, el resultado es ese número natural: a 1 = 1 a = a Ejemplo 5 8 = = 40 (3 2) 7 = 6 7 = 42 3 (2 7) = 3 14 = 42 2 (5 + 6) = 2 11 = 22 2 (5 + 6) = = = = = 1 42 = 42 Ejemplo = (5 3) (8 2) = = = = = = 6 30 = 180 Ejemplo = 55 ( ) = = = = 76 ( ) = = = Aplicaciones de las propiedades de la multiplicación de números naturales Se pueden hacer algunos cálculos de multiplicaciones de números naturales de una forma más sencilla aplicando la propiedad asociativa. (Ejemplo 13) Al aplicar la propiedad distributiva también pueden simplificarse algunos cálculos, ayudando al cálculo mental de la multiplicación. (Ejemplo 14) Una aplicación directa de la propiedad distributiva es sacar factor común. Para ello, se aplica la propiedad distributiva al revés, es decir, el número que se repite, el factor común, se saca fuera del paréntesis, que incluye una suma o una resta, según corresponda. (Ejemplo 15) Ejemplo = (4 5) + (4 3) (4 6) = 4 ( ) = (5 7) (5 1) + (5 12) = 5 ( ) Multiplicación por la unidad seguida de ceros El resultado de multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros, 10, 100, etc., es ese mismo número seguido de tantos ceros como ceros acompañan a la unidad. (Ejemplo 16) Ejemplo = = = = Copia en tu cuaderno y resuelve aplicando la propiedad distributiva, como en el ejemplo resuelto: = 59 ( ) = = a) b) c) Copia en tu cuaderno y saca factor común en estas operaciones: a) d) b) e) c) f)

9 3.5 División de números naturales Dividir dos números naturales es repartir un número, llamado dividendo, D, en tantas partes iguales como indica el divisor, d. El resultado de esa división o reparto es el cociente, c. Si en la división o reparto no sobra ningún elemento, el resto r es 0 (r = 0), y la división es exacta. Si sobra algún elemento, el resto r es distinto de 0 (r 0), y la división se llama inexacta o entera. dividendo D d divisor resto r c cociente Por tanto, en una división siempre se cumple: D = d c + r. Esta última operación sirve como comprobación de que una división está bien hecha. (Ejemplo 17) División de números acabados en cero por la unidad seguida de ceros Para dividir un número terminado en ceros por 10, 100, 1000,, se eliminan en el número, tantos ceros finales como ceros tenga el divisor. Por ejemplo: : 100 = = 7450 Ejemplo Esta división es exacta, ya que el resto es 0. 0 Comprobación: (5 25) + 0 = Esta división es inexacta o entera, ya que el resto es 2. 2 Comprobación: (3 41) + 2 = = 125 Cuando hay varias divisiones seguidas, o multiplicaciones y divisiones seguidas, siempre se opera de izquierda a derecha. (Ejemplo 18) Problema resuelto 5 La zapatería Pisadas ha pedido a fábrica 108 pares de botas de un determinado modelo para la temporada de invierno. Si cada caja de botas recibida en la zapatería contiene 12 pares, cuántas cajas recibirán? En la fábrica, al meter en cajas los 108 pares de botas, están repartiéndolas en grupos de 12. Para saber cuántas cajas recibirán (con 12 pares de botas cada una), se divide 108 entre 12: 108 : 12 = 9 Por tanto, la zapatería Pisadas recibirá 9 cajas de botas, con 12 pares cada una. Ejemplo 18 8 : 4 : 2 = 2 : 2 = 1 12 : 3 4 = 4 4 = 16 Propiedades de la división La división no es conmutativa: 8 : 4 4 : 8 La división no es asociativa: (16 : 4) : 2 = 4 : 2 = 2 16 : (4 : 2) = 16 : 2 = Cero dividido entre cualquier número, distinto de cero, es cero. 24. Copia en tu cuaderno, opera y comprueba si el resultado es correcto: a) 560 : 16 b) 64 : 16 c) 88 : 22 d) 138 : 22 e) 524 : 23 f) : Adela ha recibido en su frutería una caja con 330 naranjas. Si quiere distribuirlas en bolsas para venderlas por docenas, cuántas bolsas pondrá a la venta? Le sobra alguna naranja sin embolsar? 26. Eva hace limpieza en su habitación y descubre una colección de 216 cromos de hace varios años. Decide repartirlos entre su hermana pequeña y 5 de sus amigas. Cuántos cromos recibirán cada una? 13

10 1 Números naturales y sistema de numeración decimal 3.6 Operaciones combinadas Orden de prioridad de las operaciones 1. Paréntesis y corchetes. 2. Multiplicaciones y divisiones. 3. Sumas y restas. Se llaman operaciones combinadas a las que contienen las cuatro operaciones anteriores, suma, resta, multiplicación y división, o algunas de ellas. También son operaciones combinadas aquellas en las que aparecen paréntesis y corchetes. Veamos cómo se resuelven estas operaciones combinadas. Ejemplo : 5 6 : 3 = 6 6 : 3 = = 36 : 3 = 12 Ejemplo : : 3 10 = = = 5 Si en una operación hay multiplicaciones y divisiones, siempre se realizan de izquierda a derecha. (Ejemplo 19) Si en una operación hay sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, se realizan primero las multiplicaciones y divisiones y, después, las sumas y restas. (Ejemplo 20) Cuando en una operación hay paréntesis y corchetes, con multiplicación, división, suma y resta, primero se resuelven los paréntesis, después los corchetes, luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, las sumas y restas. (Ejemplo 21) Ejemplo [(330 : 11) + 5] 2 = 8 + [30 + 5] 2 = = = 78 Problema resuelto 6 Jaime trabaja repartiendo pizzas los fines de semana: viernes, sábado y domingo. Trabaja 4 horas cada día, 4 semanas al mes, por lo que le pagan 6 la hora. Además, al mes gana: 100 en propinas, más 60 por repartir las pizzas a tiempo. Cuánto gana Jaime al mes? Para saber cuánto gana Jaime, primero hacemos el cálculo de lo que gana por los 6 a la hora. Tenemos los siguientes datos: Jaime cobra 6 a la hora, trabaja 4 horas cada día, 3 días a la semana y 4 semanas al mes. Por lo tanto: = 288 gana al mes, por el pago de 6 la hora Añadiendo los 100 en propinas y los 60 por repartir a tiempo, Jaime gana en total: ( ) = = 448 al mes 27. Copia en tu cuaderno y resuelve las siguientes operaciones combinadas: a) (621 : ) b) 621 : ( ) c) : 5 10 : d) 3 + (100 : 5 10) : e) 252 : ( : 3) f) 252 : ( ) + 12 : 3 g) ( ) : h) 12 + (440 : 2 + 9) 100 i) : j) [( ) : 12] k) ( : 11) (5 1) l) 77 [ : ( )] (5 1) 14

11 Técnicas de trabajo MANEJO DE LOS ALGORITMOS María en su primer día de trabajo tiene como tarea comprobar el dígito de control de los códigos de barras de un lote de productos. Para ello tiene que seguir el siguiente algoritmo: Paso 1: Sumar los dígitos de las posiciones pares y el resultado multiplicarlo por 3. Paso 2: Sumar los dígitos de las posiciones impares, excepto el dígito de control. Paso 3: Dividir la suma de los resultados anteriores entre 10. (Paso 1 + Paso 2) : 10. Si la división es exacta, el dígito de control es cero. Si la división no es exacta, el dígito de control es 10 menos el resto de la división. Podrías ayudar a María a comprobar el dígito de control de los siguientes códigos de barras? Organización Nacional Código de Empresa Código EAN13 de Artículo Dígito de Control 1. Para ayudar a María puedes comprobar cuáles de los siguientes códigos de barras son correctos: a) b) c) Todos los códigos de barras tienen el mismo número de dígitos? Qué capacidad de almacenamiento tienen? Con qué finalidad los utilizarías en tu entorno profesional? Investiga e invéntate un código de barras relacionado con tu entorno profesional. 3. Al día siguiente María tiene que comprobar el dígito de control de las tarjetas de crédito de los clientes de la empresa, con el siguiente algoritmo: Paso 1: Sumar los dígitos de las posiciones impares y el resultado multiplicarlo por 2. Paso 2: Sumar los dígitos de las posiciones pares, excepto el dígito de control. Paso 3: Sumar los dos resultados anteriores y el número de dígitos de las posiciones pares, mayores de 4. Dividir este resultado entre 10. Comprobar: Si la división es exacta el dígito de control es 0. Si la división no es exacta el dígito de control es 10 menos el resto de la división. Comprueba si las siguientes tarjetas de crédito son correctas: a) b) Los códigos QR inicialmente se usaron para registrar repuestos en el área de la fabricación de vehículos, hoy se usan para administración de inventarios en una gran variedad de industrias. Busca información sobre la relación entre códigos de barras y códigos QR. 5. Busca información sobre cómo se averigua la letra que corresponde a un DNI. 15

12 1 Números naturales y sistema de numeración decimal finales 1. Copia en tu cuaderno las siguientes igualdades y complétalas escribiendo un número. a) = b) = c) = d) = Copia en tu cuaderno y completa estas descomposiciones como en el ejemplo del primer apartado. a) = b) c) d) Copia en tu cuaderno y descompón cada número de tres formas distintas. a) b) c) Dibuja en tu cuaderno una recta numérica y representa en ella estos números: a) 22 d) 11 b) 1 e) 16 c) 0 f) 9 5. Lee estos números naturales y escribe en tu cuaderno el número anterior y posterior de cada uno. a) 1232 c) b) 4008 d) Efectúa estas operaciones y comprueba en cada apartado las propiedades de la suma. a) b) c) d) e) Ariadna y Elena fueron de compras. Para ir al centro comercial pagaron 2 cada una por el billete de metro. Ariadna se compró una camiseta por 6 y una pulsera por 3, mientrás Elena compró un vestido por 14. Para volver a casa, gastaron otros 2 cada una en el billete de metro. Cuánto dinero gastó cada una? 8. Resuelve en tu cuaderno estas operaciones: a) 12 7 d) b) e) c) f) Andrés quiere sacarse el carné de conducir, pero aún le quedan 2 años para la mayoría de edad. Cuántos años tiene Andrés? 10. Pablo, Hugo y Javier han quedado en casa de Hugo para ver un partido de futbol. Quieren pedir una pizza. Pablo pone 6, Hugo 10 y Javier 5. Al repartidor le dan de propina 1. Cuánto les ha costado la pizza? 11. Copia en tu cuaderno y realiza estas operaciones: a) c) e) b) d) f) Resuelve en tu cuaderno estos productos aplicando la propiedad distributiva, como en el ejemplo resuelto: a) b) c) = 68 ( ) = = Copia en tu cuaderno y saca factor común: a) d) b) e) c) f) La nueva revista Cerebritos trae en su número de lanzamiento dos lápices de regalo. Si pusieron a la venta ejemplares, cuántos lápices tuvo que comprar la editorial? 15. Resuelve en tu cuaderno estas divisiones y compruébalas. Indica si son exactas: a) 63 : 7 d) 128 : 3 b) 82 : 9 e) 728 : 14 c) 128 : 2 f) 1285 : Al dividir un número entre 12, el cociente da 5 y el resto, 11. Cuál es el número que se divide? 17. Por qué número hay que dividir a 200 para obtener como cociente 27 y resto 4? 18. Para el número 3 de la nueva revista Cerebritos, regalan dos lápices y dos hojas de papel artesanal. Si la editorial compró en total objetos de regalo, cuántos ejemplares imprimieron? 19. Copia en tu cuaderno e identifica cada resultado con su cálculo: a) : 3 2 1) 1218 b) 45 ( ) : 3 2 2) 1755 c) : (3 2) 3) 1227 d) 45 ( : 3 2) 4)