Matemática II Tema 14: valores extremos
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- Ana María Toro Torregrosa
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1 Matemática II Tema 14: valores extremos Índice Valores extremos y puntos silla 1 Criterio de las derivadas para extremos locales 1 Máximos y mínimos absolutos 5 Trabajo práctico 7 Valores extremos y puntos silla Criterio de las derivadas para extremos locales Máximos y mínimos locales Definición 1. Tenemos una función f (x, y) definida en una región R que contiene al punto (x 0, y 0 ). Entonces, 1. f (x 0, y 0 ) es un máximo local de f si f (x 0, y 0 ) f (x, y) para todo (x, y) en un disco abierto con centro en (x 0, y 0 ). 2. f (x 0, y 0 ) es un mínimo local de f si f (x 0, y 0 ) f (x, y) para todo (x, y) en un disco abierto con centro en (x 0, y 0 ). En el gráfico z = f (x, y), los máximos locales son los picos de las montañas, y los mínimos locales son el fondo de los valles. Los extremos locales también se conocen como extremos relativos. Figura 1: los máximos relativos son los picos de las montañas, los mínimos relativos son el fondo de los valles. 1 f (x, y) = x 2 +(y 3) 2 +1 { } R = (x, y) R 2 3 x 3 6 y 6 x 2 +(y+3) x 2 +(y 1)
2 tema 14: valores extremos 2 Qué sucede cuando f (x, y) tiene un extremo? Teorema 1 (criterio de la primera derivada). Si f (x, y) tiene un valor máximo o mínimo relativo en un punto interior (x 0, y 0 ) de su dominio R, y si las primeras derivadas parciales existen allí, entonces f x (x 0, y 0 ) = 0 y f y (x 0, y 0 ) = 0. Puntos críticos y puntos de silla Definición 2 (punto crítico). Un punto interior del dominio de f (x, y) donde tanto f x como f y se anulan, o donde alguna de estas nos existe, es un punto crítico de f. Definición 3 (punto silla). Una función derivable f (x, y) tiene un punto de silla en un punto crítico (x 0, y 0 ) si en cualquier disco abierto con centro en (x 0, y 0 ) existen Figura 2: si hay un máximo (o un mínimo) relativo en (x 0, y 0 ), entonces las primeras derivadas parciales f x (x 0, y 0 ) y f y (x 0, y 0 ) se anulan. a) puntos (x, y) donde f (x, y) > f (x 0, y 0 ) b) puntos (x, y) donde f (x, y) < f (x 0, y 0 ). Ejemplo 1. Encontrar los extremos relativos de f (x, y) = x 2 + y 2 4y El dominio de f es todo el plano R 2, y las derivadas parciales f x = 2x y f y = 2y 4 existen en todas partes. 2. Entonces los extremos relativos solo pueden estar donde Figura 3: z = xy(x2 y 2 ) tiene un x 2 +y 2 punto de silla en (0, 0). f x = 2x = 0 f y = 2y 4 = 0 3. La única posibilidad es el punto (0, 2), donde el valor de f es Como f (x, y) = x 2 + y 2 4y + 9 = x 2 + (y 2) nunca es menor a 5, concluimos que f tiene un mínimo relativo en (0, 2). Ejemplo 2. Determine, si existen, todos los valores extremos relativos de la función f (x, y) = y 2 x Dom( f ) = R 2 (todo el plano), o sea que no hay puntos de frontera. 2. Las derivadas parciales f x = 2x y f y = 2y existen en todas partes. Figura 4: z = y 2 y 4 x tiene un punto de silla en (0, 0). 3. El único extremo relativo podría estar en el origen (0, 0), donde f x = 0 y f y = Sin embargo, sobre el eje x + resulta f (x, 0) = x 2 < 0, pero sobre el eje y + resulta f (0, y) = y 2 > Entonces f tiene en (0, 0) un punto de silla, y no tiene ningún extremo relativo.
3 tema 14: valores extremos y Figura 5: gráfico y curvas de 1 x 3 5 nivel de f (x, y) = y 2 x 2. La función f tiene un punto de silla en el origen (0, 0) Qué sucede cuando f (x, y) tiene un punto crítico? Teorema 2 (criterio de la segunda derivada). Supongamos que f (x, y) y sus primeras y segundas derivadas parciales son continuas en un disco con centro en (x 0, y 0 ), y que f x (x 0, y 0 ) = 0 y f y (x 0, y 0 ) = 0. Entonces i) f tiene un máximo relativo en (x 0, y 0 ) si f xx < 0 y f xx f yy f 2 xy > 0 en (x 0, y 0 ). ii) f tiene un mínimo relativo en (x 0, y 0 ) si f xx > 0 y f xx f yy f 2 xy > 0 en (x 0, y 0 ). iii) f tiene un punto de silla en (x 0, y 0 ) si f xx f yy fxy 2 (x 0, y 0 ). < 0 en iv) El criterio no es concluyente si f xx f yy f 2 xy = 0 en (x 0, y 0 ). Observaciones acerca del Teorema 2 La expresión f xx f yy f 2 xy se conoce como discriminante o Hessiano de f. Es más fácil recordarlo como un determinate f xx f xy = f xx f yy fxy 2 f xy f yy El Teorema 2 dice que si el discriminate es positivo tendremos un valor extremo en (x 0, y 0 ), y si es negativo tendremos un punto de silla (x 0, y 0 ). Si el discriminante es nulo no podremos afirmar nada acerca del punto crítico (x 0, y 0 ). Ejemplo 3. Determinar los valores extremos relativos de la función f (x, y) = xy x 2 y 2 2x 2y La función está definida, y es derivable, en todas partes, y su dominio no tiene puntos de frontera.
4 tema 14: valores extremos 4 2. Entonces f solo puede tener extremos en los puntos donde f x y f y se anulen simultáneamente, o sea f x = y 2x 2 = 0 f y = x 2y 2 = 0 cuya única solución es x = 2 e y = Por lo tanto, el punto ( 2, 2) es el único punto critico de f. 4. Para ver que tipo de punto es este calculamos f xx = 2 f yy = 2 f xy = 1 Y entonces el discriminante de f en (x 0, y 0 ) = ( 2, 2) es f xx f yy f 2 xy = ( 2)( 2) 1 2 = 4 1 = 3 5. Los resultados f xx = 2 < 0 f xx f yy f 2 xy = 3 > 0 nos dicen que f tiene un máximo relativo en ( 2, 2). El valor de f en ese punto es f ( 2, 2) = 8. Ejemplo 4. Obtener los valores extremos relativos de f (x, y) = 3y 2 2y 3 3x 2 + 6xy 1. Como f es derivable en todos lados, los valores extremos solo pueden estar donde f x = 6y 6x = 0 f y = 6y 6y 2 + 6x = 0 2. De la primer ecuación tenemos que x = y. Reemplazando en la segunda ecuación obtenemos 6x 6x 2 + 6x = 6x x = 0 o 6x(x 2) = 0 por lo que los dos puntos críticos son (0, 0) y (2, 2). 3. Para clasificar los puntos críticos, calculamos las segundas derivadas f xx = 6 f yy = 6 12y f xy = 6 y el discriminante quedará f xx f yy f 2 xy = ( y) 36 = 72(y 1) 4. En el punto (0, 0) el discriminante vale 72 < 0, por lo que allí la función tiene un punto de silla. 5. En el punto (2, 2) el discriminante vale 72 > 0. Como f xx = 6 < 0, resulta que allí la función tiene un máximo relativo. Este extremo vale f (2, 2) = = 8.
5 tema 14: valores extremos 5 Máximos y mínimos absolutos Búsqueda de los extremos absolutos de f (x, y) La búsqueda de los valores extremos de f (x, y) en una región R cerrada y acotada debe organizarse en tres pasos. 1. Hacer una lista con los puntos interiores de R donde f pueda tener algún valor extremo relativo (o sea, sus puntos críticos), y evaluar la función en esos puntos. 2. Hacer una lista con los puntos de frontera de R donde f pueda tener algún valor extremo relativo, y evaluar la función en esos puntos. 3. Buscar en ambas listas los valores máximos y mínimos de f. Estos serán los valores máximos y mínimos absolutos de f en R. x = 0 y B(0, 9) y = 9 x Ejemplo 5. Obtener los valores máximos y mínimos absolutos de f (x, y) = 2 + 2x + 2y x 2 y 2 en la región triangular, en el primer cuadrante, limitada por las rectas x = 0, y = 0 e y = 9 x. 1. Como f es derivable, los únicos puntos donde puede haber valores extremos es en los puntos interiores, con f x = 0 y f y = 0, o en los puntos de frontera. O y = 0 A(9, 0) Figura 6: la región triangular R es el dominio de la función del Ejemplo 5. x 2. Para los puntos interiores f x = 2 2x = 0 f y = 2 2y = 0 de donde el único punto es (1, 1), con f (1, 1) = 4 3. Para los puntos frontera, sobre la recta y = 0, tenemos que f (x, y) = f (x, 0) = 2 + 2x x 2 es una función de una variable, con x [0, 9]. 4. Sus extremos pueden estar en las fronteras, o sea x = 0 o x = 9, o en donde f (x, 0) = 2x + 2 = 0, o sea x = 1 x = 0 f (0, 0) = 2 x = 1 f (1, 0) = 3 x = 9 f (9, 0) = = Para los puntos frontera, sobre la recta x = 0, tenemos que f (x, y) = f (0, y) = 2 + 2y y 2 es una función de una variable, con y [0, 9]. 6. Sus extremos pueden estar en las fronteras, o sea y = 0 o y = 9, o en donde f (0, y) = 2y + 2 = 0, o sea y = 1 y = 0 f (0, 0) = 2 y = 1 f (0, 1) = 3 y = 9 f (0, 9) = = 61
6 tema 14: valores extremos 6 7. Para los puntos frontera, sobre la recta y = 9 x, solo hace falta estudiar los puntos interiores al segmento AB, donde f (x, y) = f (x, x 9) = x 2x 2 es una función de una variable, con x [0, 9]. y B(0, 9) y = 9 x 8. Haciendo f (x, 9 x) = 18 4x = 0, se encuentra que x = 18/4 = 9/2, de donde y = 9 9/2 = 9/2. Con lo que f (9/2, 9/2) = 41/2. x = 0 (9/2, 9/2) 9. En resumen, encontramos que la función f (x, y) = 2 + 2x 2y x 2 y 2, definida en la región triangular R, tiene estos puntos de interés: O (1, 1) y = 0 A(9, 0) x (x, y) f (x, y) extremo (0, 0) 2 (1, 0) 3 (9, 0) 61 mín. abs. (1, 1) 4 máx. abs. (0, 1) 3 (0, 9) 61 mín. abs. (9/2, 9/2) 41/2 Figura 7: puntos de interés encontrados en el Ejemplo 5.
7 tema 14: valores extremos 7 Trabajo práctico 1. En cada caso, determine todos los máximos relativos, los mínimos relativos y los puntos de silla de las funciones indicadas. a) f (x, y) = x 2 + xy + y 2 + 3x 3y + 4 b) f (x, y) = x 2 + xy + 3x + 2y + 5 c) f (x, y) = 2xy x 2 2y 2 + 3x + 4 d) f (x, y) = 2x 2 + 3xy + 4y 2 5x + 2y e) f (x, y) = x 2 y 2 2x + 4y + 6 f) f (x, y) = 56x 2 8y 2 16x x g) f (x, y) = x 3 y 3 2xy + 6 h) f (x, y) = 6x 2 2x 3 + 3y 2 + 6xy i) f (x, y) = y sin x j) f (x, y) = e y (x 2 + y 2 ) k) f (x, y) = 1 x + xy + 1 y l) f (x, y) = e x2 +y 2 4x 2. En cada caso, determine todos los máximos y mínimos absolutos de las funciones dadas, en los dominios indicados. a) f (x, y) = 2x 2 4x + y en una región triangular cerrada y acotada por las rectas x = 0, y = 0, e y = 2x en el primer cuadrante. b) f (x, y) = x 2 xy + y en una región triangular cerrada y acotada por las rectas x = 0, y = 4 e y = x en el primer cuadrante. c) f (x, y) = 48xy 32x 3 24y 2 en la región rectangular 0 x 1 y 0 y 1. d) f (x, y) = (4x x 2 ) cos y en la región rectangular 1 x 3 y π/4 y π/4.
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