Un modelo de optimización estocástica para la valuación de una franquicia: un enfoque de opciones reales

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1 Un modelo de opimización esocásica para la valuación Análisis Económico Núm. 57, vol. XXIV Tercer cuarimesre de 009 Un modelo de opimización esocásica para la valuación de una franquicia: un enfoque de opciones reales Resumen (Recibido: mayo/09 aprobado: sepiembre/09) Salvador Cruz Aké * Francisco Venegas-Marínez * Alfredo Sánchez Daza ** Ese rabajo exiende el méodo radicional de valuación de franquicias basado en el flujo desconado de efecivo al enfoque de opciones reales, las cuales surgen de manera naural como resulado de un proceso de opimización esocásico donde el franquiciane busca maximizar su uilidad desconada por su coso de capial sujeo a la riqueza que posee. Esa riqueza incluye los cosos de deuda y los cosos adicionales a pagar por concepo de regalías. Se examina como es afecado el valor de la franquicia por disinas formas de pago de regalías, a saber: suma fija y porcenaje de las venas, ese úlimo es modelado como un bono a asa variable con reversión a la media, la cual se supone esocásica y conducida por un movimieno geomérico browniano correlacionado con los beneficios. También se muesra la validez de la irrelevancia en la esrucura de capial cuando la esrucura de plazos de la asa de inerés es plana. Por úlimo, se esablecen algunas recomendaciones de esraegias de negocios basadas en las sensibilidades de las opciones reales. Palabras clave: opciones reales, esrucura ópima de capial, valuación de franquicia. Clasificación JEL: G31, G3. * Sección de Esudios de Posgrado e Invesigación de la ese ipn yahoo.com.mx). ** Deparameno de Economía, uam Azcapozalco

2 Cruz, Venegas-Marínez, Sánchez Inroducción La discriminación enre producos mediane la marca es una acción común enre los consumidores acuales. De ese fenómeno surge la imporancia de la marca en los esquemas acuales de negocio, a al grado que buena pare de los acivos de algunas compañías esá inegrado por el inangible crédio mercanil o good will; como ejemplos noables, pueden omarse: Coca-Cola, Mc Donald s o El Tizoncio. Esas marcas han enido un rápido crecimieno por medio de las franquicias. Los rasgos comunes de esas compañías es que han logrado un posicionamieno de marca imporane y una esandarización en sus méodos de negocio. Se define como franquiciamieno al proceso de uilizar el méodo y filosofía de negocio de oro a cambio del pago periódico de una canidad denominada regalía. En ese sisema, el franquiciane (dueño de la marca) se compromee con el franquiciaario (o franquiciado) a permiir el uso de su marca y comparir sus méodos de negocio en la elaboración y disribución de un bien o servicio, además de diseñar campañas de posicionamieno de marca para odos los operadores a cambio de una canidad mensual (regalía) que puede ser fija o un porcenaje de las venas. Los conraos más comunes ienen vigencias de cinco a reina años e incluyen cláusulas que buscan oorgar al dueño de la marca conroles sobre la calidad y méodos usados por el operador independiene (franquiciaario). Esos conroles van desde el uso de uniformes hasa la imposición de proveedores. En los conraos ambién se incluyen pagos iniciales (independienes de la inversión) para acceder al conrao y penas pecuniarias (incluso la rescisión premaura del conrao si el franquiciaario incumple con alguna norma). Los moivos más comunes para acceder a una franquicia son la garanía de un rápido crecimieno sin la resricción de recolección de capial con la subsecuene pérdida de conrol sobre el negocio principal, además de la esabilización y aumeno de los ingresos mediane las regalías. Asimismo resula una solución parcial al problema de agencia que surge con los gerenes del negocio ane una expansión pues se convieren en dueños de sus unidades, lo cual alinea sus inereses con los del dueño de la marca. Para el franquiciaario, represena una venaja el iniciar con un negocio posicionado que ambién minimizará su curva de aprendizaje (y con ello cosos), además de conar con acceso a campañas publiciarias que de oro modo serían inalcanzables. El objeivo de ese rabajo es mosrar que el uso de la écnica de valuación de opciones financieras es aplicable a la valuación de franquicias. También se resala la conveniencia de modelar el cobro de regalías como el planeamieno de un problema de opimización dinámica esocásica. Asimismo se proporciona un conjuno de recomendaciones de esraegias empresariales basadas en las sensibilidades (griegas)

3 Un modelo de opimización esocásica para la valuación de las opciones financieras. Adicionalmene, se muesra la validez de la irrelevancia de la esrucura de capial bajo el supueso de que el refinanciamieno de las deudas se lleva a cabo con una esrucura de plazo plana para la asa de inerés. Ese rabajo esá organizado de la siguiene manera. En la siguiene sección se esablece el proceso de valuación de proyecos uilizando flujos de efecivos desconados y su relación con el Capial Asse Pricing Model (capm). En la segunda sección se inroduce el concepo de opción real, para poseriormene, en el ercer aparado, mosrar la posibilidad de valuar un proyeco de franquicia usando las herramienas de las opciones reales. En el ranscurso de las cuara y quina secciones se muesra que el uso de las opciones reales esá asociado con un proceso de opimización dinámica esocásica independienemene de la forma del cobro de las regalías, y que la irrelevancia de la esrucura de capial depende de la posibilidad de refinanciar las deudas sobre una esrucura plana de la asa inerés, en sexo aparado se esablecen algunas políicas de gesión de negocios basadas en la sensibilidad de las opciones. Por úlimo, se presenan las conclusiones. 1. Valuación de franquicias usando flujos de efecivo desconados La meodología radicional para la valuación de un proyeco cualquiera, en ese caso una franquicia, implica la consrucción de esados financieros pro-forma, la elaboración de flujos de efecivo esperados (φ i ) basados en dichos esados y, por úlimo, el ajuse de los flujos de caja (φ i ) del proyeco haciendo uso de la correspondiene asa de descueno a. En lo subsecuene no hará supueso alguno sobre la forma en que la empresa es financiada, pues el cambio en la esrucura de capial es compensado por un ajuse en la asa de descueno aplicada a los flujos de efecivo, lo cual en úlima insancia vuelve irrelevane la elección de la combinación elegida de capial y deuda para financiar el negocio. Ese concepo, revolucionario y conrario a la inuición financiera, fue propueso por primera vez en 1958 por Modigliani y Miller. A grandes rasgos, los auores posulan en ese rabajo que el valor de un proyeco permanece consane independienemene de la forma en cómo se financien sus acividades, lo cual implica que el valor del negocio desapalancado (financiado con acciones) es el mismo que el del negocio apalancado (financiado con acciones y deuda), siempre y cuando se encuenre en un ambiene libre de impuesos, cosos de quiebra y asimerías de información. A ese principio se le conoce como principio de la irrelevancia de la esrucura de capial. Como exensión del arículo original, Miller y Modigliani (1963) relajaron sus supuesos iniciales al incorporar el escudo fiscal, ello no es ora cosa que las

4 10 Cruz, Venegas-Marínez, Sánchez deducciones permiidas por la auoridad fiscal a las empresas por concepo de pago de inereses, lo que conlleva la inegración del gobierno y su prerrogaiva imposiiva al modelo. Cuando los rabajos de Modigliani y Miller fueron publicados, aún no era desarrollada una meodología esadísicamene robusa para valuar el rendimieno del capial de las empresas. Eso cambió en 1964 después de los rabajos de Treynor (196), Sharpe (1964), Linner (1965) y Mossin (1966), los cuales desembocaron en lo que hoy se conoce como el capm. Esa meodología, surgió de una opimización con resricciones (minimización de la varianza sujea a un rendimieno dado) en la cual las fuenes de inceridumbre son variables aleaorias independienes e idénicamene disribuidas como normales, a saber: s.a. E r p min σ = n n i=1 j=1 n [ ] = E [ r i ] i=1 x i x j σij n x i ; x i =1, x i 0 (1) Esa opimización, después de combinarse con el acivo libre de riesgo, permie hacer un esimado del rendimieno de la empresa en función del premio al riesgo de mercado y el rendimieno de un acivo libre de riesgo crédio, específicamene: E[r i ] = r i + b i (E[r m ] r i ). Si se hace uso de ese herramenal, es posible valuar un proyeco de inversión independienemene de si ése es un nuevo proyeco o la replica de uno exisene, es decir una franquicia (F). En paricular, el méodo de flujos de efecivo desconados aplicado a una franquicia puede resumirse como el valor presene de los flujos de caja esperados por el nuevo proyeco, eso es: i=1 n F L = φ i (1+ α ) -i () i=0 Como puede verse, en ese méodo de valuación de un nuevo proyeco se soslaya el valor pecuniario de la flexibilidad de poder ceder a una conrapare el riesgo de implemenar el nuevo proyeco, la franquicia, a cambio de una suma fija de efecivo, represenada por el precio de ejercicio (K) y de ora canidad por concepo de regalías (R). También deja de lado el valor que represena la posibilidad de quiar la franquicia si el franquiciane merma el valor de la marca al incumplir con los esándares de calidad o servicio de la marca. Esas posibilidades pueden ser raducidas en un valor juso de mercado usando la meodología de opciones reales la cual concibe la posibilidad de oorgar una franquicia como una posición cora en

5 Un modelo de opimización esocásica para la valuación 11 una opción de compra, mienras que la posibilidad de reirar la concesión de marca es visa como una posición larga en una opción de compra (recompra) pues el franquiciane debe vender al franquiciaario el negocio por un precio preesablecido si no respea las cláusulas del conrao. Anes de seguir con el análisis del problema, se revisará someramene la meodología de las opciones reales; para mayores referencias, se recomiendan ampliamene los rabajos de Copeland y Anikarov (001) y Copeland, Koller y Murrin (1991).. Revisión de la meodología de opciones reales y planeamieno del problema La primera referencia formal asociada con el érmino de opciones reales esá referida al profesor Sewar Mayers del Massachuses Insiue of Technology en La idea subyacene en odo el aparao meodológico es la aplicación de la fórmula desarrollada por Black y Scholes (1973) y Meron (1973) para valuar opciones europeas sobre acivos financieros, a un proyeco cuya realización depende del buen desempeño del negocio principal. Es imporane hacer noar que por su nauraleza una opción real debe ser valuada como una opción americana, pues los proyecos son ejecuables en cualquier puno en el iempo, no sólo al final del periodo de valuación (véase Bhaacharya, 1978), por lo cual el uso de opciones europeas es una simplificación del problema que busca hacerlo más sencillo de analizar y manejable. Esa simplificación iene como coso la subvaluación de las opciones, ya que no oma en cuena el valor de la ejecuabilidad inmediaa. Para profundizar en el ema se refiere al lecor ineresado a Dixi (1993, 1993b), Dixi y Pindyck (1994, 1995, 000), Kaslow y Pindyck (1994), Bell (1995), Kulailaka (1995), Gardner y Zhuang (000) y Angelis (000). El problema de la subvaluación puede ser especialmene grave cuando se raa de proyecos que pagan dividendos, en especial si ésos son cuaniosos pues se puede demosrar que es ópimo el ejercicio adelanado de las opciones americanas ano de compra como de vena (véanse Hull, 006; Broadie, 1996). Aun suponiendo que odo el flujo de efecivo es reinverido en el negocio en aras de su crecimieno, se puede demosrar que puede ser ópimo el ejercer anes de expiración una opción americana de vena, no así con la de compra. Si se supone que los dividendos pagados son suficienemene pequeños o inexisenes, y que, por lo ano, el valor de la subvaluación es despreciable, se puede ver al valor de concesión de la franquicia como la prima pagada (ϕ ) por una opción europea de compra sobre el valor presene de los flujos esperados de efecivo de la expansión del proyeco (F ) los cuales serán cedidos al franquiciane a cambio de una inversión inicial (K 1 ). Todo eso es posible ya que se planea, para el franquiciane,

6 1 Cruz, Venegas-Marínez, Sánchez la vena de la licencia y beneficios propios de la franquicia como la suscripción, al franquiciaario, de una opción de compra sobre los flujos del proyeco, los cuales omará si son posiivos, por lo que el valor de la marca y del know how esán dados por el valor presene del valor esperado, condicionado a la información acual, del máximo enre el remanene del valor presene de los flujos del proyeco y el coso de inversión y cero, es decir: ϕ = E[e r(t 1 ) max(f K 1,0) I ], donde I es oda información relevane al iempo. Por ora pare, el franquiciaario se reserva el derecho de quiar la franquicia al franquiciane si ese incumple con la calidad, el servicio o los esándares propios del negocio de forma al que afece el valor de la marca del franquiciane. Esa cláusula, común denro de los conraos de franquicia, puede raducirse como una posición larga en ora opción europea de compra (υ ) para el franquiciaario quien a cambio de un pago fijo (K ), esablecido por conrao como indemnización, recupera el conrol de la unidad problemáica, y con ello el valor esperado, condicional a la información de ese momeno, del valor presene del máximo enre la diferencia del valor del proyeco ajusado por la minusvalía (una suma fija) produco de la mala adminisración del franquiciaario y el mono de la indemnización y cero, es decir: υ = E[e r(t ) max(f K,0) I ]. Todo el aparao eórico anerior sólo puede ser usado si se acepan los supuesos y ambién las limiaciones dadas por el modelo de Black y Scholes (1973), enre las limiaciones desacan la necesidad de suponer la volailidad del proyeco (σ F ) como consane, la acepación de una esrucura de plazo plana represenada por una asa de inerés libre de riesgo (r f ), ambién consane, y la suposición que los rendimienos del proyeco original esán dados por variables aleaorias independienes e idénicamene disribuidas como normales. Observe que las opciones a las cuales se ha hecho referencia ienen dos iempos de ejecución disinos, la opción de compra hace mención a un iempo T 1 referido al inicio del horizone de planeación del nuevo proyeco (el momeno de la firma del conrao de franquicia), en ano la opción de recompra de la franquicia esá referida al momeno de revisión conracual cuando se decide si se maniene o se reira la concesión. Por simplicidad se supone ese momeno como único, pues de no hacerlo sería necesario usar árboles binomiales como en cualquier opción americana, lo cual dificularía el análisis. 3. Por qué evaluar la franquicia como una opción real? Si se sigue con la noación inroducida aneriormene, se mosrará que el valor juso de mercado de la franquicia esá regido por una ecuación diferencial parcial

7 Un modelo de opimización esocásica para la valuación 13 de segundo orden que cumplen odos los derivados, razón por la cual es posible valuarlo con la fórmula de Black y Scholes (1973). Se inicia enonces el análisis suponiendo que los rendimienos del proyeco en funcionamieno son conducidos por la siguiene ecuación diferencial esocásica: df = (m d + σ F dw )F (3) Donde: W N(0,). Eso implica que, al aplicar el cálculo de Iô, el diferencial del valor de la franquicia, el cual es función del valor del negocio original (una variable aleaoria), esá dado por: d (F, )= ϕ d + ϕ df F + 1 ϕ ϕ df F (4) Después de susiuir la ecuación diferencial esocásica del rendimieno del proyeco (df ) en la ecuación diferencial del rendimieno de la franquicia y aplicando el cálculo esocásico (véanse Lamberon y Lapeyre, 1996; Mikosch, 1998; Gikhman y Skorokhod, 003), se iene que: dϕ F, ( )= ϕ + ϕ F σ F F + 1 ϕ F σ FF d + ϕ F F F dw µ (5) Si se supone que los mercados son compleos y que no exise posibilidad alguna de arbiraje, se sigue el argumeno clásico de los porafolios replicanes. En lo subsecuene se inenará eliminar el riesgo de un porafolio (P ) que coniene al valor del negocio en funcionamieno (F ) y a la franquicia (ϕ ), igualándolo con el valor del mismo porafolio inverido en un bono que paga una asa libre de riesgo consane (r), es decir: P = w 1 F + w ϕ (6) A coninuación se deermina el cambio marginal en el valor de ese porafolio donde las proporciones w i, i = 1, permanecen consanes a lo largo de odo

8 14 Cruz, Venegas-Marínez, Sánchez el ejercicio. Para ello, se iene que deerminar la diferencial (esocásica) de dicho porafolio y, poseriormene, susiuir las diferenciales de cada una de sus componenes, lo cual conduce a: ϕ d Π = F F + + ϕ 1 ϕ FF + F F ϕ µ µ σ ω d + ω1 + ω σ F F dw (7) F F F Para eliminar el riesgo de ese porafolio, se desea que la pare esocásica del mismo sea anulada, lo cual se logra haciendo w 1 + w ( ϕ/ F ) = 0. Eso implica que una posibilidad de los ponderadores sea w 1 = ϕ/ F y w = 1, en cuyo caso, se iene que: d Π = ϕ + 1 ϕ F F F σ T d (8) Por oro lado, el supueso de no arbiraje y la compleiud del mercado, conduce a que un porafolio libre de riesgo como el descrio aneriormene enga un rendimieno equivalene a una inversión segura que paga una asa libre de riesgo (r). El rendimieno de ese porafolio esá dado por: ϕ d Π = F + ϕ r d (9) F Dada la exisencia de un mercado compleo, es posible igualar las ecuaciones (8) y (9) para obener la ecuación diferencial parcial que debe cumplir cualquier derivado incluidas las opciones reales (véase Abel, 1983), eso es: ϕ + 1 ϕ F σf V F + r ϕ F + ϕ r = 0 (10) F Es bien conocido el hecho de que la solución de esa ecuación diferencial parcial de segundo orden fue obenida por Black y Scholes (1973) para valuar una opción europea. Esa fórmula será usada para valuar las opciones reales implicadas por la franquicia y su cláusula de rescisión del conrao.

9 Un modelo de opimización esocásica para la valuación El conrao de franquiciamieno viso como un porafolio de bonos y opciones Al enfrenar la decisión de replicar el negocio, el dueño de la empresa busca maximizar su beneficio sujeo a la riqueza que posee, la cual puede ser enendida como un porafolio inegrado por el valor de su negocio original (F ), la posibilidad de exploar el poder de mercado que represena su marca al franquiciar su modelo de negocio represenado por la prima (ϕ ) que obiene al firmar el conrao de franquicia, los pagos que recibirá del franquiciaario (inicialmene supuesos como una canidad fija) represenados por un bono (B r* ) que paga la asa libre de riesgo más un diferencial (r*). A la riqueza del dueño del negocio se añaden los pagos que debe realizar a disinos proveedores y oros cosos no especificados en el modelo represenados por un bono (B rf ) que, por simplicidad, se supone que paga la asa libre de riesgo (r f). Por úlimo se incorpora a la riqueza del dueño del negocio el valor de la cláusula de rescisión, la cual es represenada por una posición larga en ora opción de compra (υ ) con vencimieno (T ) y precio de ejercicio (K ) diferenes a la primera. Como consecuencia de lo anerior, el pago inicial que recibirá el franquiciane por concepo de celebración del conrao puede ser aproximado mediane la solución propuesa por Black y Scholes (1973) para valuar una opción de compra, a saber: ϕ = F Φ(d 1 ) K 1 e r (T ) Φ (d ) (11) Por su pare, el valor de la cláusula de rescisión esá dado por la prima pagada a cambio de la opción de recompra, es decir: υ = F Φ(d 1 ) K e r (T ) Φ (d ) (1) ln F K 1 + r + 1 d 1 = σ F (T ) σ T F (13) d = d 1 σ υ T (14) Es imporane aclarar que Φ(d) es la función de disribución acumulada de una variable aleaoria normal esándar (ε N(0,1)), es decir:

10 16 Cruz, Venegas-Marínez, Sánchez Φ(d) = IP { ε d} = ε d 1 e 1 x dx = 1 Φ ( d) π (15) Una vez esablecidos los elemenos inegranes del porafolio del franquiciaario, se deerminarán las paricipaciones ópimas de cada uno de ellos a fin de maximizar su beneficio esperado desconado por la asa promedio ponderada del mismo, es decir la asa promedio del coso de capial (wacc: weighed average cos of capial). Como puede observarse, la búsqueda de una proporción ópima de enencias sobre el bono a pagar a los acreedores y el proyeco original equivale a vincular las proposiciones de Modigliani y Miller (1958) con el resulado de la opimización dinámica esocásica, ese puno será aclarado en la siguiene sección. 5. Proporciones ópimas de enencias de acivos como resulado de una opimización dinámica esocásica Anes de iniciar con la deerminación de los valores ópimos de las proporciones de las enencias de acivos, es imporane hacer una revisión de los supuesos subyacenes en el proceso. El primero de ellos es que el franquiciane es un agene económico racional, adverso al riesgo, el cual prefiere más a menos beneficios cuya función de beneficios esá dada por P /. También se supone que el franquiciane oma una decisión sobre las proporciones una vez que ha analizado oda la información hisórica disponible al momeno. Eso incluye cualquier clase de filro o combinación lineal o no lineal a su alcance y los precios de los acivos públicos relacionados. Toda esa información esá conenida y represenada por una sigma álgebra (I ) que condiciona la esperanza de la opimización. En una primera aproximación, se supone una única fuene de inceridumbre denro del análisis, pues a pesar de que los rendimienos de las primas por firma de conrao y cláusula de rescisión son variables aleaorias, ésas dependen (por eso se les llama derivados) de la suere de los rendimienos del subyacene, en ese caso del negocio principal. Resula imporane aclarar que aunque el ejercicio de la cláusula de rescisión de conrao no esá dada por el deseo de obener una ganancia per se, sino por el deseo de frenar la caída del valor de la marca ane el mal manejo de una de las unidades, sigue la misma lógica (función de pago) que las opciones comunes, eso es υ = E [e r(t ) max(f K,0) I ].

11 Un modelo de opimización esocásica para la valuación 17 Suponga un escenario donde el negocio principal se encuenra inmerso en un enorno de bonanza, pero el franquiciaario incumple con las condiciones esipuladas en el conrao, en ese caso, el valor de la prima (υ ) será posiivo, por lo que exise una razón pecuniaria para ejercer la opción. Ahora suponga el escenario conrario, en el cual el valor del negocio principal esá por debajo del precio de ejercicio (K ). En ese caso, el franquiciane decidirá cerrar la unidad franquiciada si y sólo si el valor presene del valor esperado del máximo enre la diferencia del valor de los flujos de la unidad en cuesión menos el precio de recompra es mayor que cero. Ese hecho conduce a una políica de recompra por pare del franquiciane asociada con la kappa (sensibilidad de la opción respeco al precio de ejercicio) la cual indica que a mayor precio de recompra (K ) en la cláusula de cierre de la franquicia, mayor será la liberad del franquiciaario pues no resulará ópimo para el dueño de la marca omar el conrol de su unidad. Una vez analizado el mecanismo de acción de la cláusula de rescisión a la luz de la meodología de las opciones reales, se procede a esablecer la ecuación de evolución de la riqueza del franquiciane. Ésa incluye una proporción (w 1 = F /a ) desinada a su negocio inicial (F ); ora (w = ϕ /a ) desinada a la posición cora en una opción de compra cuya prima represena el pago inicial para ceder la franquicia (ϕ ); una ercera (w 3 = υ /a ) desinada a la cláusula de rescisión de conrao represenada por una posición larga en una opción de compra con un segundo precio de ejercicio (υ ); una cuara (w 4 = B r*, /a ) asignada a la posición larga en un bono (B r* ) que paga una asa de inerés * la cual represena pagos fijos periódicos que recibirá por concepo de regalías; y el remanene (1 (w 1 + w + w 3 + w 4 = B r, /a ) desinado a una posición cora en oro bono (B r ) que represena obligaciones a cubrir con sus proveedores. Todo eso puede resumirse en: a = w 1 F w ϕ + w 3 υ + w 4 B r*, (1 (w 1 + w + w 3 +w 4 ))B r*, (16) Si se desea conocer la forma cómo cambiará marginalmene esa riqueza (su diferencial), es necesario conocer la diferencial de cada uno de sus elemenos, omando en cuena que algunos de ellos son variables aleaorias que dependen del valor del proyeco original. Se iniciará recordando que la diferencial del valor del proyeco original esá dada por la ecuación diferencial esocásica expresada por (3), mienras que la diferencial del valor del pago inicial por ceder la franquicia esá dada por (5), por simplicidad se denoará:

12 18 Cruz, Venegas-Marínez, Sánchez ϕ + ϕ F F F + 1 ϕ µ σ F F F T 1 ϕ = µ ϕ y ϕ σ F 1 ϕ = σ ϕ Lo anerior reduce (5) a: dϕ (F,) = (m ϕ d + σ ϕ dw ) ϕ (17) Al seguir el mismo procedimieno, se puede obener la ecuación diferencial esocásica que conduce a la opción de recompra, lo cual finalmene produce: Donde: υ σ σ F 1 υ = υ dυ (F,) = (m υ d + σ υ dw ) υ (18) µ υ = υ + F µ F F + 1 υ υ F σ F. F 1 ; y Por ora pare, los bonos por concepos de regalías y pago a acreedores (insrumenos libres de riesgo crédio) saisfacen, respecivamene, las siguienes ecuaciones diferenciales: υ db r* = r* d (19) dbr = rd (0) Resula prudene aclarar que, por consisencia con el diferencial, las asas de inerés pagadas deben cumplir con r* r.

13 Un modelo de opimización esocásica para la valuación 19 Al proceder con la meodología esándar de opimización dinámica esocásica, se considera una función de beneficios (esocásicos) cóncava que responde a los beneficios decrecienes del negocio Esa función de beneficios será desconada por la wacc, denoada por W, del porafolio, resringiendo la opimización a los cambios en la riqueza del franquiciane, odo lo cual se resume (véanse Meron, 1973b y 1974) en: max E Π Π e Wu du F s.a. da = a w 1 df + a w dϕ + a w 3 dυ + a w 4 db r*, +a (1 (w 1 + w + w 3 + w 4 ))db r, + P (1) Si se susiuyen los rendimienos marginales de cada uno de los componenes de la riqueza del franquiciane en la resricción, se iene que la diferencial de la riqueza esá dada por: da = ( ) + ω ( µ ϕ r f ) + ω 3 µ υ r f r f + µ F r f ( )+ ω 4 r* r f + a ( σ F + σ ϕ ω + σ υ ω 3 )dw ( ) Π a d a () Con base en el problema anerior se puede definir la siguiene funcional: J (a, ) = max E Π Π e Ws ds I forma: A parir de la expresión anerior se obiene una ecuación recursiva de la J (a, ) = max E Π,+d Π e Ws ds + o d + J (a 1, ) + dj (a 1,) I (3) Aplicando el lema de Iô, omando esperanzas y dividiendo enre d para después omar el límie cuando d iende a cero:

14 0 Cruz, Venegas-Marínez, Sánchez 0 = Π,ω, ω max,ω, ω J a a r f + ( µ F r f ) + µ ϕ r f ω ( ) + µ υ r f + 1 ω J aa a σ F + σ ϕ + ω 3 Π e Ws +J ( )ω 3 + ( r* r f )ω 4 Π a ( ) σ υ (4) Para obener la solución de esa ecuación diferencial separable de segundo orden, se considera como candidao de solución a J(a,) = V(a )e W, donde V(a )= b (a / ). La susiución de esa función lleva a la ecuación de Hamilon- Jacobi-Bellman: β H = 0 = Π W a a r f + ( µ F r f ) + ω ( µ ϕ r f ) + ω 3( µ υ r f ) + ω 4 r* r f + 1 ω a β 1 ( σ F + σ ϕ + σ ω 3 ) υ ( ) β ( ) + Π a (5) Para calcular los valores ópimos de las proporciones de cada acivo y la riqueza ópima, se deriva la ecuación de Hamilon-Jacobi-Bellman con respeco a cada uno de las proporciones y de los beneficios, para después igualarlos a cero, y así obener: H Π = 0 = Π 1 β a 1 (6) H = 0 = β a ω µ F r 1 H ω ( )σ F (7) ( ) + β a ( 1) σ F + σ ϕ ω + σ υ ω 3 = 0 = β a ( µ ϕ r) + β a ( 1) ( σ F + σ ϕ ω + σ υ ω 3 )σ ϕ (8) H = 0 = β a ω µ υ r 3 ( )σ υ (9) ( ) + β a ( 1) σ F + σ ϕ ω + σ υ ω 3

15 Un modelo de opimización esocásica para la valuación 1 H = 0 = β a ω r* r f 4 ( ) (30) Ese grupo de condiciones de primer orden puede ser resuelo como un sisema de cinco ecuaciones con cinco incógnias (con un vecor de soluciones único) del cual se obienen premios al riesgo equivalenes para las enencias de los acivos riesgosos 1 represenados por (7), (8) y (9), eso es: µ F r f σ F = µ ϕ r f σ ϕ = µ υ r f = 1 (31) σ υ ( )( σ F + σ ϕ ω +σ υ ω 3 ) Si se reescribe la ecuación (31) y se susiuyen en ella las definiciones usadas para simplificar (17) y (18), se obiene que la ecuación diferencial parcial de segundo orden la cual cumple cada una de las opciones de compra conenidas en el porafolio del franquiciane es la misma, eso es: ϕ + ϕ µ F F + 1 ϕ F F σ F F r f F = 0 = υ + υ µ F F + 1 F υ F σ F, F r f F (3) Se puede verificar en la lieraura (véase, por ejemplo, Venegas-Marínez, 008) que la solución a esas ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden esá dada por la fórmula de Black y Scholes (1973) mosrada en (1), (13) y (14). Eso muesra la uilidad de las opciones reales para valuar los proyecos de franquicias. También resula ineresane el resulado arrojado por la quina condición de primer orden, ecuación (30), la cual implica la validación de la irrelevancia de la esrucura de capial planeada inicialmene por Modigliani y Miller en un enorno de eficiencia de mercados, compleiud de los mismos, esrucura plana de la asa de inerés y una disribución normal de las fuenes de inceridumbre. Ese resulado puede ser adjudicado a la posibilidad de refinanciamieno ilimiado de las deudas roll over sobre una esrucura plana de la asa de inerés, ello implica liquidez insanánea del mercado crediicio, razón por la cual r* = r f. La violación de esos supuesos es una explicación eórica a la preferencia de alguna esrucura de capial específica por pare de las empresas. 1 A saber: el proyeco original, la posición cora en la opción de compra que represena el pago inicial por la franquicia y la cláusula de recompra.

16 Cruz, Venegas-Marínez, Sánchez Por úlimo, se deermina el beneficio ópimo esperado de la firma y la rayecoria de la riqueza, los cuales se obienen a parir (6), el primero esá dado por: 1 Π = ( β a ) 1 1 = β 1 1 a Para obener el valor del parámero b, es necesario susiuir los beneficios esperados ópimos en la ecuación de Hamilon-Jacobi-Bellman evaluada en los valores ópimos, lo cual implica que: β 1 1 = 1 + W Γ σ F + σ ϕ ω + σ υ ω 3 ( ) (33) En ese caso, por simplicidad en la noación, se ha escrio: Γ = r f + w 1 ( m F r f ) + w ( m ϕ r f ) + w 3 ( m υ r f ) + w 4 ( r* r f ) Lo anerior permie expresar las rayecorias de la riqueza y el beneficio en función de parámeros conocidos. Una vez realizado ese primer ejercicio con pagos fijos por concepo de usufruco de marca, el lecor puede pregunarse qué sucede en el caso más común en el cual el pago de regalías esá vinculado con las venas (no beneficios) del franquiciaario. Por simplicidad en el análisis y ambién mayor realismo, se supondrá que el pago de regalías esá dado por un bono a asa variable cuya asa cora esá modelada conforme al modelo de Vasicek (1977) con una fuene de inceridumbre disina a los beneficios aunque correlacionada a ésa por un facor ρ. El supueso anerior obedece a la necesidad de incorporar en una sola variable disinas disorsiones a lo largo del esado de resulados que pueden desviar (momenáneamene) la rayecoria de los beneficios de la rayecoria de las venas. Aunque es claro que en el largo plazo ésas convergen a una asa media (por simplicidad, la asa libre) represenada empleando la reversión del modelo de Vasicek, se esablece que la dinámica de la asa cora seguida por el bono el cual represena los beneficios pagados por regalías esá dado por: dr* = a(b r f ) d + a r* dw * (34)

17 Un modelo de opimización esocásica para la valuación 3 Donde: (3), (17), (18) y (0) se manienen sin cambios para la resolución de ese problema. En afán de manener la coninuidad de la exposición y por claridad en la explicación, se usará la misma función de uilidad en ese nuevo proceso de opimización dinámica esocásica el cual supone que la asa cora pagada por el bono recibido por concepo de regalías sigue la ecuación diferencial esocásica (34), con ello el nuevo modelo ambién puede ser descrio por (1), aunque la resricción asociada se modifica de al forma que: da = r f + ( µ F r f ) + ω ( µ ϕ r f ) + ω 3 ( µ υ r f ) + ω 4 α ( b r f ) r f * + a ( σ F + σ ϕ ω + σ υ ω 3 )dw + a ( σ r* ω 4 )dw ( ) Π a a d (35) Observe que la función de uilidad no ha cambiado, por lo que la funcional usada para resolver el problema puede ser represenada vía (3). El cambio en la asa cora del bono de regalías es percibido cuando se aplica la regla de Iô para obener el diferencial de la funcional dj(a,). Una vez obenida la diferencial, se oma la esperanza condicional y se divide odo el argumeno sobre d, para después omar el límie cuando d ienda a cero, con lo cual se obiene: max Π Π,, ω,ω 3,ω 4 0 = e Ws + J + J a a + 1 J aa a σ F +σ ϕ ω + σ υ ω 3 ( ) + σ F +σ ϕ ω + σ υ ω 3 r f + ( µ f r f ) + ( µ ϕ r f )ω + ( µ υ r f )ω 3 + ( α( b r f ) r f )ω 4 Π a ( )( σ r* ω 4 )ρ + ( σ r* ω 4 ) (36) Al igual que en el problema de opimización dinámica esocásica anerior, se propone un candidao con una forma funcional separable J(a,) = V(a )e W, donde V(a ) = b(a / ). Como bien puede observarse, el candidao de solución es el mismo que en el proceso anerior, pues ése depende de la forma de la función de uilidad, no de la resricción. Al omar las derivadas correspondienes y susiuir se llega a una nueva ecuación de Hamilon-Jacobi-Bellman, de la forma:

18 4 Cruz, Venegas-Marínez, Sánchez H = 0 = Π W β a ( ) + 1 β a 1 +βa ( ) + ω ( µ ϕ r f ) +ω 3 ( µ υ r f ) + ω 4 ( α( b r f ) r f) + Π a r f + µ F r f ( σ F +σ ϕ ω +σ υ ω 3 ) +( σ F +σ ϕ ω + σ υ ω 3) ( σ r* ω 4 )ρ + σ r* ω 4 ( ) (37) Después de seguir el mismo proceso que en la opimización previa, se obienen las condiciones de primer orden derivando la expresión anerior con respeco a cada una de las variables de conrol, obeniendo: H = 0 =β a ω µ F r 1 H = 0 =β a ω µ ϕ r H = 0 =β a ω µ υ r 3 H Π = 0 = Π 1 β a 1 [ ] ( ) + β a ( 1) ( σ F +σ ϕ ω +σ υ ω 3 )σ F +( )( )ρ (38) σ F σ r* ω 4 (39) [ ] ( ) + β a ( 1) ( σ F +σ ϕ ω +σ υ ω 3 )σ ϕ +( )( )ρ σ ϕ ω σ r* ω 4 (40) [ ] ( ) + β a ( 1) ( σ F +σ ϕ ω +σ υ ω 3 )σ υ +( )( )ρ H = 0 =βa ω b r f 4 ( ) r f ) +β a 1 ( ) ( σ F +σ ϕ ω +σ υ ω 3 )σ +( ) σ ω r* 4 σ υ ω 3 σ r* ω 4 (41) [ ] ( r*ρ σ r* (4) Como en el caso anerior, es posible demosrar que los premios al riesgo del negocio principal y sus derivados son iguales (suponiendo proporciones iguales) y que, después de susiuir las medias y desviaciones de cada acivo, cumplen con la ecuación diferencial parcial de segundo orden de Black y Scholes, a saber: µ F r f σ F µ ϕ r f σ ϕ µ υ r f σ υ ( ) σ F + σ ϕ ω + σ υ ω 3 = 1 = 1 (( ) + ( σ r* ω 4 )ρ) ( ) + ω ( σ r* ω 4 )ρ ( ) (( ) + ω 3 ( σ r* ω 4 )ρ) ( ) σ F + σ ϕ ω + σ υ ω 3 ( ) σ F + σ ϕ ω + σ υ ω 3 = 1 (43)

19 Un modelo de opimización esocásica para la valuación 5 En virud de lo anerior, aquí ambién es válido usar el herramenal de valuación de opciones. En cuano a la quina condición de primer orden, se genera un premio al riesgo de la forma: α( b r f ) r f σ r* = ( 1 )[( σ F + σ ϕ ω + σ υ ω 3 )ρ + ( σ r* ω 4 )] Esa ecuación, una vez omados como dados el reso de los ponderadores, sugiere un único puno de endeudamieno ópimo al resular único el valor de w 4. Ese hecho confirma la explicación acerca del cumplimieno de Modigliani y Miller debido al roll over sobre una esrucura plana de la asa de inerés. En cuano a la rayecoria ópima de los beneficios (P = (ba 1 ) 1/ 1 = b 1/ 1 a ), ésa cambia en la medida que lo hace la riqueza, (a ), del franquiciane, aunque su forma sigue igual. Por úlimo, el parámero b ahora esá dado por: β 1 1 = 1 + ( σ F + σ ϕ ω + σ υ ω 3 ) W Γ + σ F + σ ϕ ω + σ υ ω 3 ( )ρ + σ r* ω 4 ( ) σ r* ω 4 ( ) (44) Con lo anerior se muesra la uilidad de las opciones reales en la valuación de las franquicias aun cuando no se cumpla la proposición Modigliani y Miller a causa de una esrucura basada en el modelo de Vasicek (1977) de la asa de inerés. 6. Esraegias para el manejo de la franquicia En el ranscurso de las secciones aneriores, se esableció que la empresa es un porafolio formado por un subyacene (el proyeco original), posiciones coras y largas en opciones de compra para el oorgamieno de la franquicia y rescisión del conrao y un par de bonos que represenan los ingresos obenidos por regalías y las erogaciones hacia proveedores. También se esableció que la herramiena usada para la valuación de opciones es úil en la valuación de franquicias y que, por lo ano, las conclusiones y acoaciones obenidas en la valuación de opciones se pueden exrapolar a las franquicias. Al respeco, se pueden realizar recomendaciones

20 6 Cruz, Venegas-Marínez, Sánchez de esraegia en el manejo de las franquicias haciendo uso de las griegas de las opciones, en paricular, se sabe que el cambio del valor de la opción con respeco al precio de ejercicio es negaivo ( c / K < 0), ello implica que se puede esablecer que el franquiciaario iene menos incenivos a rescindir el conrao si la indemnización a pagar al franquiciane (K ) es demasiado ala, por lo cual endrá que hacer uso de oras medidas para garanizar el cumplimieno del conrao. La eoría de opciones es capaz incluso de predecir un umbral cuando la rescisión de conrao es una amenaza creíble y por lo ano efeciva, dada por el puno donde la posición larga en la opción de recompra (υ ) comienza a ener un valor disino de cero. Del mismo modo, se puede esablecer que la posibilidad de franquiciamieno se vuelve más araciva para el franquiciaario conforme aumena el valor del negocio original si se hace la analogía enre la dela de la opción ( c / S > 0) y la dela de la concesión de la franquicia ( ϕ / F > 0). En ese caso, la posición cora de la opción, el franquiciane, no necesia preocuparse por el ejercicio de ésa, ya que no deberá desembolsar canidad alguna para honrarla (basará con la rena de la marca y la ransmisión del conocimieno), pues los beneficios asociados esán dados por la réplica del negocio original en un mercado virgen que no canibaliza sus ganancias al comparir su poder de marca. Siguiendo el análisis de la opción asociada con la firma del conrao, se puede decir que a mayores inversiones K 1 requeridas para el lanzamieno de la franquicia, ésa se vuelve menos araciva para el franquiciaario pues al igual que en las opciones financieras, la kappa de la opción es negaiva ( ϕ / K < 0). Ese hecho lleva a pensar que de ser demasiado grande la inversión inicial, el franquiciaario puede ofrecer algún financiamieno al franquiciane para volver araciva la posibilidad. Los esquemas dependerán de las condiciones crediicias locales. Al analizar las políicas de cobro de regalías y asociarlas con la vega de las opciones financieras ( ϕ / σ F > 0), el lecor enenderá que a mayor volailidad la opción se vuelve más araciva para el franquiciane (la prima recibida aumena). Si a eso se añade que lo común es ver correlaciones posiivas enre las venas y los beneficios (ρ > 0), se eniende que el cobro basado en las venas, las cuales ienen su propia fuene de inceridumbre (dw ) y que añaden a la volailidad del negocio, se conviere en el esquema más socorrido por los franquicianes. Conclusiones A lo largo de ese rabajo se ha demosrado mediane un proceso de opimización dinámica esocásica que la ecnología empleada para valuar opciones financieras puede ser usada en la valuación franquicias, ya que ésas saisfacen la ecuación

21 Un modelo de opimización esocásica para la valuación 7 diferencial parcial de segundo orden que siguen odos los derivados independienemene del esquema de cobro de las regalías por uso de marca y ransmisión del conocimieno know how. También se mosró que la validez del eorema de Modigliani y Miller en un enorno de opimización dinámica esocásica depende de la exisencia de una esrucura de plazo plana para que el roll over sobre las deudas sea perfeco. Asimismo, se hicieron varias recomendaciones de esraegia de negocios asociadas con las sensibilidades de las opciones respeco de algunos de sus parámeros, haciendo énfasis en que la amenaza de rescisión del conrao sólo es creíble cuando la opción de recompra iene algún valor y que a mayor compensación para el franquiciaario, menor es el conrol que puede ejercer el franquiciane sobre las unidades de negocio franquiciadas. Se deja como línea de invesigación fuura el análisis de la políica de pago de regalías como función de las venas cuando se hace explícia la dependencia de los beneficios hacia las venas, pues eso genera la necesidad del uso de la regla de la cadena en el cálculo de Iô. Aun con esa limiación, se puede adelanar que asociando una fuene de inceridumbre con las venas, una políica de cobro de regalías basada en las venas es la mejor para los franquicianes. También queda como posible línea de invesigación el validar los resulados cuando el bono asociado con el pago de regalías sigue una asa cora disina a la especificada por Vasicek (1977), pues esa modelación de la asa cora iene probabilidades posiivas de arrojar asas de inerés negaivas. En la lieraura exisen varias especificaciones de la asa cora que enmiendan esa limiación. Referencias bibliográficas Abel, A. B. (1983). Opimal Invesmen under Uncerainy, American Economic Review, vol. 73, num. 1, pp Angelis, D. I. (000). Capuring he Opion Value of R&D, Research Technology Managemen, vol. 43, num. 4, pp Bell, G. K. (1995). Volaile Exchange Raes and he Mulinaional Firm: Enry, Exi, and Capaciy Opions, Real Opions, L. Trigeorgis (ed.), Capial Invesmens: Models, Sraegies, and Aplicaions, Wespor: Praeger Publisher, pp Bhaacharya, S. (1978). Projec Valuaion wih Mean-Revering Cash-Flow Sreams, Journal of Finance, vol. 33, num. 5, pp Black, F. and M. Scholes (1973). The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies, Journal of Poliical Economy, vol. 81, num. 3. pp

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