SUCESOS. PROBABILIDAD. BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS SUCESOS

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1 1 SUCESOS Experimento aleatorio. Es aquel que al repetirlo en análogas condiciones, da resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. Ejemplos: - Lanzar una moneda al aire y observar si sale cara o cruz. - Sacar una carta de una baraja. - Lanzar un dado para observar los posibles resultados de sus caras. Espacio muestral de un experimento aleatorio. Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Ejemplos: El experimento consistente en lanzar dos monedas al aire y anotar los resultados producidos tiene el siguiente espacio muestral: E { cc, cx, xc, xx}. El espacio muestral del experimento que consiste en lanzar un dado de quinielas E 1, X,2 es el siguiente: { } Suceso aleatorio: Es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. Ejemplo: En el experimento que consiste en lanzar una dado con las caras numeradas del 1 al 6, el espacio muestral es E { 1,2,3,4,5,6 } y como ejemplos de sucesos tenemos: A { 2,4,6} que es el suceso salir número par B { 3,6}, suceso salir múltiplo de 3 C { 4} etc. Distintos tipos de sucesos. Sucesos elementales: Están formados por un solo elemento. Sucesos compuestos: Están formados por dos o más elementos. Suceso seguro: Es el que se verifica siempre. Es el propio espacio muestral. Suceso imposible: ES el que no se verifica nunca. Se expresa por φ. Ejemplo: En el experimento anterior de lanzar un dado, tenemos: E { 1,2,3,4,5,6 } (Suceso seguro) A { 2,4,6} (Suceso compuesto) C { 4} (suceso elemental). El suceso imposible sería no obtener ninguno de los números que figuran en sus caras. El conjunto de todos los sucesos de un espacio muestral recibe el nombre de espacio de sucesos y se designa por S. Si consideramos el experimento consistente en lanzar una moneda el espacio muestral será E { c, x} y el espacio de sucesos S { Φ, { c}, { x}, E}. Sucesos contrarios o complementarios. Dado un suceso cualquiera A, se llama suceso contrario a que se realiza cuando no se c realiza A. Se expresa por A, A o bien por A.

2 2 c c En el ejemplo anterior de lanzar el dado A { 1,3,5 } y C { 1,2,3,5,6 } Nótese que la unión de un suceso y de su complementario da siempre el espacio muestral. Operaciones con sucesos - Unión: dados dos sucesos A y B, se llama suceso unión y se escribe A B al suceso formado por los sucesos elementales de A y de B - Intersección: A B es el suceso formado por los sucesos elementales comunes de A y B. Ejemplos: Experimento Lanzar un dado , 3, 5 Sean A sacar mayor que 3 {,, } B sacar impar { } Entonces: A B { 1, 3, 4, 5, 6} ; A B { 5} Las leyes de Morgan relacionan las uniones e intersecciones de dos sucesos y sus contrarios: (A A B (A A B (A A B AA BB (A A B A B Sucesos incompatibles. Son aquellos que no se pueden verificar simultáneamente. Cuando pueden verificarse ambos a la vez se llaman compatibles. Si A y B son incompatibles, entonces A B Φ Si A y B son compatibles, entonces A B Φ En el experimento de lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6, - son sucesos compatibles A { 1,2,3 } y B { 2,4,6}. 2,4,6 I 1,3,5 - son incompatibles P { } e { } Sistema completo de sucesos. De una manera general, se dice que los sucesos A 1, A 2, A 3,...A n constituyen un sistema completo de sucesos para un determinado experimento si se verifica: Experimento compuesto. 1º) A A A... An E º) Los sucesos A 1, A 2, A 3,...A n son incompatibles dos a dos.

3 3 Son los formados por varios experimentos simples. Ejemplo: Lanzar un dado y una moneda. PROBABILIDAD Frecuencia absoluta. Es el número de veces que se repite un suceso cuando el experimento se realiza N veces. Frecuencia relativa. Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de veces que se repite el experimento. Ejemplos: Lanzamos un dado 600 veces y el suceso A { 2} se repite 90 veces. La frecuencia absoluta del suceso A es 90 y la frecuencia relativa 90/6003/20. Ley del azar: En un experimento, al realizar un gran número N de pruebas, la frecuencia relativa de un cierto suceso A, tiende a estabilizarse, aproximadamente a un valor fijo, A), que se llama probabilidad de A: N A [ Pr obabilida de A] A) lím f ( A) lím. N N N Esta es la llamada ley de los grandes números. Cuando lanzamos una moneda muchas veces la frecuencia relativa del suceso salir P c 1 cara tiende a aproximarse al valor de 0,5, decimos entonces que la ({ } ) 2 Definición clásica de probabilidad La probabilidad de un suceso A, es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles. número de casos fvorables ( (Regla de Laplace) número de casos posibles P A) Definición axiomática de probabilidad. La probabilidad es una función que asocia a cada suceso A, del espacio de sucesos, un número real que representamos por A), que cumple las siguientes condiciones: 1º) La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula: A) 0 2ª) La probabilidad del suceso seguro es 1. P ( E) 1 3º) Si dos sucesos A y B son incompatibles, P ( A A) + Otras propiedades. 1.- Si dos sucesos son complementarios A) 1 A) 2.- La probabilidad del suceso imposible es Si un suceso A está contenido en otro B entonces, A) p( 4.- La probabilidad de un suceso cualquiera es siempre igual o menor que 1.

4 4 5.- Si dos sucesos son compatibles, entonces A A) + A Probabilidad condicionada. Observa la siguiente tabla que representa a los empleados de una empresa: Hombres (H) Mujeres (M) Fuman (F) No fuman (no F) Si hay que elegir a uno de ellos, la elección puede realizarse bajo distintos criterios: a) Elección sin condiciones: P ( H ) M ) b) Elección con condiciones: H / a que sea fumador) H / F) M / a que sea fumadora) 10 1 M / F) 80 8 Estas probabilidades pueden obtenerse también de la forma siguiente: H / F) 70 H F) F) M / F) 10 M F) F) Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y denotamos A por P ( B / A), al cociente B ) A A) De aquí se deduce: P ( A p( A). B / A) P ( A. A / Sucesos dependientes e independientes. Cuando B/A) se dice que A y B son sucesos independientes. En caso contrario los sucesos se llaman dependientes. Cuando dos sucesos son independientes se verifica que P ( A A).. La fórmula puede extenderse a tres o más sucesos. Ejercicio. Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja. Calcula la probabilidad de que sean dos reyes. Solución: Sea R 1 sacar rey en la 1ª extracción y R 2 sacar rey en la 2ª extracción. Se pide la probabilidad del suceso R1 R2 : R1 R2 ) R1 ). R2 / R1 ) Teorema de la probabilidad total.

5 5 Sean A 1, A 2,...,A n un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera. Se tiene entonces: S ( 2 A 1 S) ( A S)... ( A n S) P S) A S) + A S) A ) ( 1 2 n S P A ). S / A ) + A ). S / A ) ( An ). S / An En este tipo de probabilidad es recomendable utilizar el diagrama del árbol como se muestra en el siguiente ejercicio: Ejercicio. Tenemos tres urnas. La primera contiene 4 bolas rojas y 4 negras, la segunda 3 rojas y 1 negra y la tercera 2 rojas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y después extraemos una bola. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea negra. Solución. ) Las probabilidades son las que se muestran en el diagrama. Teniendo en cuenta que hay tres caminos para llegar a la bola negra, podemos escribir:

6 N) Teorema de Bayes. Sean A 1, A 2,...,A n un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera. Se tiene entonces que para cada suceso A i se verifica: p ( S Ai ) p( Ai S) p( S). p( Ai / S) p( Ai ). p( S / Ai ) Ai ).S/ Ai ) Ai / S) S) En el ejercicio anterior, supongamos que realizamos el experimento que se indica y la bola extraída ha resultado roja. Calcula la probabilidad de que proceda de la 1ª urna. Para resolver el problema hemos de calcular, en primer lugar, la probabilidad de obtener bola roja por un procedimiento análogo al utilizado para obtener bola negra, es decir, R) Entonces resulta: A. 1). R / A1 ) A1 / R) R) Ejercicios resueltos. 1.- En un hospital hay 10 enfermos: 3 neuróticos, 5 psicópatas y 2 esquizofrénicos. Se eligen tres enfermos al azar. a) Halla la probabilidad de que los tres tengan enfermedad distinta. b) Halla la probabilidad de que los tres tengan la misma enfermedad. Solución: a) probab. pedida número de casos favorables número de casos posibles Los casos posibles son las distintas formas de elegir 3 enfermos entre un conjunto de 10, es decir, Para los casos favorables hemos de escoger 1 enfermo neurótico entre un conjunto de 3, 1 enfermo psicópata entre un conjunto de 5 y 1 enfermo esquizofrénico entre un conjunto de 2, es decir,

7 7 La probabilidad de que los tres enfermos tengan distinta enfermedad es: p ,25 b) La probabilidad de que los tres tengan la misma enfermedad es lo mismo que calcular la probabilidad de que los tres sean neuróticos o los tres sean psicópatas o los tres sean esquizofrénicos. Esta última no es posible puesto que sólo hay dos, por tanto, p( de que los tres tengan la misma enfermedad) ,0916 Recuerda como se calcula un número combinatorio: m n m( m 1)( m 2)... n( n 1)( n (hasta tener n factores en el numerador) 2)... (hasta llegar a 1) m m! O bien, n n!.( m números son grandes) n)! (Forma muy útil para hacerlo con calculadora y cuando los 2.- Cuál es la probabilidad de no coger ningún doble al seleccionar al azar 3 fichas de un dominó? Solución: El dominó tiene 28 fichas, de las cuales 7 son dobles, por tanto, Los casos favorables son: Los casos posibles son: Si llamamos A al suceso no coger ningún doble, resulta: 1330 p( A) , Un examen consta de 2 pruebas que hay que superar para aprobar. Sabemos que la probabilidad de pasar la 1ª prueba es 0,6 y la de pasar la 2ª es 0,7. a.- Cuál es la probabilidad de aprobar el examen? b.- Calcula la probabilidad de suspender el examen en la segunda prueba. Solución: pasar la 2ª prueba)0,7 Ha superado las dos pruebas

8 8 p(pasar la 1ª prueba)0,6 no pasar la 2ª prueba)0,3 Ha superado la 1ª prueba pero la 2ª no p(no pasar la 1ª prueba)0,4 El camino que nos lleva a la meta Ha superado las dos pruebas se obtiene multiplicando las probabilidades, es decir, aprobar el examen)(0,6).(0,7)0,42 El camino para llegar a la meta Ha superado la 1ª prueba pero la 2ª no se resuelve de la misma manera, es decir, superar la primera prueba pero la 2ª no)(0,6).(0,3)0,18 Otra manera: Sea A el suceso pasar la 1ª prueba y B el suceso pasar la 2ª prueba Se cumple entonces que p ( A) 0, 6 ; p ( A) 0, 4 ; p ( 0, 7 ; p( 0, 3 p(aprobar el examen) p( A p( A). p( (0,6).(0,7) 0, 42 p(superar la primera prueba pero no la segunda) p( A p( A). p( (0,6).(0,3) 0, La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es de 0,6, la de que apruebe Lengua es 0,5 y la de apruebe las dos 0,3. Se elige un alumno al azar, calcula las siguientes probabilidades: a) Probabilidad de que apruebe al menos una asignatura. b) Probabilidad de que no apruebe ninguna. Solución: Sea M el suceso aprueba Matemáticas y L el suceso aprueba Lengua p(apruebe al menos una asig.) p( M L) p( M ) + p( L) p( M L) 0,6 + 0,5 0,3 0,8 El suceso contrario de aprobar al menos una asignatura es no aprobar ninguna, por tanto, p(no apruebe ninguna) M L) 1 p( M L) 1 0,8 0, 2 A L

9 9 Ejercicios propuestos. 1.- En un examen de Física, un alumno sólo ha estudiado 15 temas de los 25 que contiene el cuestionario. El examen consiste en contestar dos temas extraídos al azar del total de temas del cuestionario. Halla la probabilidad de que el alumno sepa los dos temas que le han tocado. (Solución: 0,35) 2.- Se tiene una bolsa con 10 bolas rojas y 6 negras, de la que se extraen dos bolas. Halla la probabilidad de que ambas sean negras. a) Con devolución a la bolsa de la 1ª bola extraída. b) Sin devolución. (Solución: 9/64; 1/8 ) 3.- Un ratón huye de un gato. Puede escapar por los callejones A, B y C. La probabilidad de que el ratón huya por el callejón A es 0,3 que lo haga por el B 0,5 y por el C 0,2. Si huye por A la probabilidad de ser alcanzado por el gato es 0,4. Si lo hace por B hay una probabilidad de ser cazado de 0,6 Finalmente, si huye por el callejón C la probabilidad es 0,1. Calcula la probabilidad de que el gato alcance al ratón. Supongamos que el ratón ha sido cazado por el gato. Calcula la probabilidad de que haya huido por el callejón B. (Solución: 0,44; 0,68 ) 4.- Cuántas apuestas habría que rellenar para acertar los 6 números de la lotería primitiva?. Si cada apuesta vale 150 pts, cuánto nos costaría?. (Solución: apuestas; 2, pts. ) 5.- En un sorteo hay 20 papeletas y 5 están premiadas. Si se compran dos papeletas, cuál es la probabilidad de que ambas tengan premio? (Solución: 1/19 ) 6.- Halla la probabilidad de un suceso A sabiendo que la suma de su cuadrado y del cuadrado de la probabilidad del suceso contrario es 5/9 (Solución: 2/3, o también 1/3) 7.- De los sucesos A y B se sabe que p(a) 0,4; p( 0,5 y p( A B ) 0, 3. Halla p( A y p( A Indicación: Aplica la propiedad: A B ( A (Sol. 0,7 y 0,2) 8.- Se consideran dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio con p(a) 0,7, p( 0,6 y p( A B ) 0, 58. Estudia si son independientes A y B. Indicación: Aplica la propiedad A B ( A

10 10 9.-La probabilidad de que un hombre fume es 0,6 y la de que una mujer sea fumadora es 0,3. En una fábrica hay un 75 % de hombre y un 25 % de mujeres. Tomamos una persona al azar. Cuál es la probabilidad de que fume? Una persona desconocida ha dejado un cigarrillo encendido y se ha producido un pequeño incendio. Cuál es la probabilidad de que el causante fuera un hombre?. ( Sol. 0,525; 0,857 ) 10.- Un avión tiene 5 bombas. Se desea destruir un puente. La probabilidad de destruirlo de un bombazo es 1/5. Cuál es la probabilidad de que se destruya el puente si se lanzan las cinco bombas? ( Sol. 0,67232 ) 11- En un cierto país, los ascensos de barrendero a jefe de escoba son muy disputados. Se puede acceder por tres conductos: por oposición, por concurso de méritos o por enchufe con el ministro de Limpieza Pública. La probabilidad de que un opositor alcance la plaza es de 0,2. La probabilidad de que se obtenga la plaza si se concurso es o,8. Todos los enchufados del ministro de Limpieza Pública consiguen puesto. Sabiendo que los aspirantes a jefes de escoba se reparten del siguiente modo: 70 % son opositores; 25 % concursan; 5 % consiguen el enchufe, calcular: a) Cuántos de los 2730 jefes de escoba del país consiguieron el ascenso por enchufe? b) Cuál es la probabilidad de que un cierto jefe de escoba alcance la plaza por oposición? (Sol. 350; 0,358) 12.- Sean A y B dos sucesos tales que p(a)1/2, p(3/5. 4 Probar que si p( A entonces A y B son independientes Un hombre y una mujer de la misma edad se casan a los 20 años. Las probabilidades de que lleguen a los 70 años son 0,76 para el hombre y 0,82 para la mujer. Se pregunta cuál es la probabilidad de que a los 70 años: a) Ambos estén vivos b) No viva ninguno. c) Viva solamente la mujer. d) Viva al menos uno de los dos. (Sol. 0,6232; 0,0432; 0,1968; 0,9568) 14.- Dos sucesos A y B verifican: p( A 0,3; ( c p A ) 0, 4 y p( B ) 0, 5 Halla p( A y p( A/ (Sol. 0,8; 3/5)

11 Laura y Javier se reparten los ejercicios que les ha propuesto su profesora. Laura se queda con el 45 % y Javier con el resto. Por otro lado, sabemos que Laura resuelve incorrectamente un 10 % de los ejercicios que intenta y Javier, un 8 %. a) Halla la probabilidad de que al elegir la profesora un ejercicio al azar, esté mal resuelto. b) Halla la probabilidad de que al elegir la profesora un ejercicio al azar, halla sido hecho por Javier, sabiendo que está mal resuelto.

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