MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Transcripción

1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Septiebre 06. Pregunta A.- Un cuerp que e uee decribiend un iient arónic iple a l larg del eje X preenta, en el intante inicial, una aceleración nula y una elcidad de -5 i r c. La frecuencia del iient e 0,5 Hz. Deterine: a) La elngación en el intante inicial. Jutifique u repueta. b) La expreión ateática que decribe la elngación del iient en función del tiep. Slución. a. Si la aceleración e nula, la elngación e cer, el cuerp e encuentra en la pición de equilibri. La ecuacine de elngación y aceleración de un M.A.S. n: x A en ( ω t + φ ) a Aω en ω t + φ ; Cbinand eta ecuacine, e puede exprear la aceleración en función de la elcidad angular y la elngación x A en ( ω t + φ ) : a ω x a Aω en ( ω t + φ ) Teniend en cuenta que en un M.A.S. ω cntante 0, i: a ω x a 0 x 0 ω 0 b. x A en ( ω t + ) φ La elcidad angular e btiene de la frecuencia: ω f 0,5 rad La aplitud del iient e puede btener del ódul de la elcidad inicial, que e la elcidad áxia ya que crrepnde a la elcidad en el punt de equilibri, c e ha detrad en x t 0 0. el apartad anterir ( ) Aω c ( ω t + φ ) Si c ( ω t + φ ) ax Aω ( t 0) 5 0 A ax c ω ω El defae inicial e btiene cn la elngación inicial y el ign de la elcidad inicial. φ 0 rad x( t 0) A en ( ω 0 + φ ) A enφ 0 enφ 0 : φ rad Para eleccinar el defae e tiene en cuenta que la elcidad inicial e negatia. ( t 0) Aω c ( ω 0 + φ ) Aω cφ Si φ 0 rad cφ Aω > 0 n cuple la cndición inicial φ rad Si φ rad cφ Aω < 0 cuple la cndición inicial 0 x en t + ( t, x( c) ) Juni 06. Pregunta A.- Un blque de g de aa, que decana bre una uperficie hrizntal, etá unid a un extre de un uelle de aa depreciable y cntante elática 4,5 N. El tr extre del uelle e encuentra unid a una pared. Se cprie el uelle y el blque cienza a cilar bre la uperficie. Si en el intante t 0 el blque e encuentra en el punt de equilibri y u energía cinética e de 0, J, calcule, depreciand l efect del rzaient: a) La ecuación del iient x(t) i, en t 0, la elcidad del blque e pitia. b) L punt de la trayectria en l que la energía cinética del blque e 0, J. Slución.

2 a. Miient arónic iple. Su ecuación inuidal tiene la fra: x ( t) A en ( ω t + φ ) uelle. La elcidad angular del iient, e puede calcular a partir de la cntante elática del ω ω 4,5,5 rad La aplitud del iient e calcula ediante la energía ecánica, teniend en cuenta que en el punt de equilibri, la energía ecánica e igual a u energía cinética áxia y que en el punt de áxia elngación, e igual a la energía ptencial áxia, punt en el cual la elngación áxia cincide cn la aplitud del iient. EM Ec( ax) Ep( ax) E c ( ax) E ( ax) A x 0 p x A A E ( ax) 3 c 0,9 0 4,5 El defae inicial e calcula cn la pición inicial y la elcidad inicial x t 0 0 ; t 0 > 0 ( ) x( t 0) A en ( ω 0 + φ ) A enφ d x ( t) t Aω c ( ω t + φ ) ( t 0) Aω c ( ω 0 + φ ) Aω cφ Si : x ( t 0) 0 A enφ φ 0 rad φ rad ( t 0) ( t 0) enφ φ 0 : φ Aω c 0 > 0 φ Aω c < 0 La ecuación del iient e : x( t) 0,0 en (,5 t) 0 rad rad 0 rad 0,0 b. Teniend en cuenta que en el iient arónic iple, i e deprecia el rzaient, la energía ecánica e cnera. E M Ec + Ep E p E M E c 0, , , Ep 0,6 0 E p x x 0,063 4,5 J Mdel 06. Pregunta B.- Una aa puntual de g unida a un uelle de aa depreciable e 3 uee cn una elcidad dada pr la expreión: ( t) 5 en t + c. Deterine: a) La aplitud de cilación y la fae inicial del iient. b) La energía cinética y ptencial en el intante t. Slución. a. Teniend en cuenta que la ecuación de la elcidad iene dada en en, la expreión de la elngación tiene que expreare en cen. x ( t ) A c ( ω t + ) φ La elcidad e btiene deriand la ecuación de la elngación repect al tiep. ( t) Aω en( ω t + φ ) Pr ángul aciad (ángul que diferencian radiane), e puede cabiar el ign de la α en + en función trignétrica: α

3 ( t) Aω en( ω t + φ ) Aω en( ω t + φ ) + Cparand la ecuacine, e calcula la aplitud y la fae inicial Aω A c 3 Aω enω t + φ + + ω 5 en t : ω 3 φ rad 3 φ + ( t) b. - E c La elcidad e calcula ediante u ecuación particularizand para t 3 3 ( t ) 5 en + 5 en ( ) 0 Ec Ep Kx K ω 0 ω x Ep 0 0,5 0 J x( t) A c( ω t + φ ) c t + x( t ) c + c( ) c Septiebre 05. Pregunta A.- Un bjet de aa 0,5 g, unid a un uelle de cntante elática 8 N, cila hrizntalente bre una uperficie in rzaient cn un iient arónic iple de aplitud 0 c. a) Calcule l ódul de la aceleración y de la elcidad cuand el bjet e encuentra a 6 c de la pición de equilibri. b) Si el bjet cienza el iient dede la pición de equilibri en entid piti, qué tiep íni habrá trancurrid cuand alcance una elngación de 8 c? Slución. a. Partiend de la ecuación del M.A.S. e deducen expreine para la elcidad y la aceleración. x ( t) A en ( ωt + φ ) dx ( t) Aωc( ωt + φ ) ; A ω c ( ωt + φ ) ; A ω ( en ( ωt + φ )) ω ( A A en ( ωt φ )) ; ω ( A x ) + a d ( t) Aω en ; ± ω A x A en ( ωt + φ ) ωt + φ a ± ω x La elcidad angular e btiene de la expreión de la cntante elática ω 8 ω 4 rad 0,5 x 0 ± 4 0, 0,06 ± 0,3 a ± 4 0,06 ± 0,96 b. Aplicand la expreión de la elngación en función del tiep: 0,08 4t 0,973 rad x ( t) 0,en ( 4t + 0) 0,en 4t 0, 08 en 4t 0, 8 4 t arcen( 0,8) : 0, 4t,43 rad La priera ez erá para 0,973 t 0,3 4 3

4 Juni 05. Pregunta A.- Un uelle de aa depreciable y de lngitud 5 c cuelga del tech de una caa en un planeta diferente a la Tierra. Al clgar del uelle una aa de 50 g, la lngitud final del uelle e 5,5 c. Sabiend que la cntante elática del uelle e 350 N : a) Deterine el alr de la aceleración de la graedad en la uperficie del planeta. b) El uelle e epara cn repect a u pición de equilibri 0,5 c hacia abaj y a cntinuación e liberad. Deterine, la ecuación que decribe el iient de la aa que cuelga del uelle. Slución. a. Aplicand la Ley de He: F x La fuerza aplicada al uelle e el pe de la aa que e cuelga de él. x g x g x l l 5,5 5 0,5 c ( 0,5 0 ) 350 g 7, b. La aa clgada del uelle cienza un iient arónic iple de aplitud 0,5 c, que eta repreentad pr la ecuación: y ( t) A en ( ω t + φ ) La elcidad angular del iient e calcula a partir de la cntante del uelle y la aa clgada de él. ω ω rad La fae inicial e btiene de la cndicine iniciale ( y( 0) A) 83,67 rad y ( 0) A A en ( ω 0 + φ ) enφ φ rad 3 y( t) 5 0 en 0 70 t Mdel 05. Pregunta A.- Un blque de aa 0, g etá unid al extre libre de un uelle hrizntal de cntante elática N que e encuentra fij a una pared. Si en el intante inicial el uelle etá in defrar y el blque cienza a cilar bre una uperficie hrizntal in rzaient (cpriiend el uelle) cn una elcidad de 5,8 c. Calcule: a) El perid y la aplitud del iient arónic iple que realiza el blque b) La fuerza áxia que actúa bre el blque y la energía ptencial áxia que adquiere. Slución. a. El perid e calcula a partir de la elcidad angular ω, y la elcidad angular de puede T btener del la cntate elática ( ω ). ω 4 0, : ω ; T T T En el intante inicial, el uelle e encuentra en la pición de equilibri (in defrar) y pr tant u elcidad e áxia. d x x ( t) A en ( ω t + φ ) ( t) t Aωc( ω t + φ ) cωt + φ A ax A ω ω ax 5,8 0 0, ax ax 0,05 4

5 b. Según la ley de H, F x, pr l tant, F x A E F áx ax 0,05 0, N ( áx) E ( áx) 0, ( 5,8 0 ) 0,005 J ax p c ax Septiebre 04. Pregunta B.- La figura repreenta la elngación de un ciladr arónic en función del tiep. Deterine: a) La aplitud y el perid. b) La ecuación de la elngación del ciladr en función del tiep. Slución. a. De la gráfica e pueden btener l que e pide: Aplitud ditancia dede la pición de áxia elngación hata la pición de equilibri (x 0). A 8 Perid íni tiep que epara a d punt que etán en igualdad de fae T 60 b. La ecuación ateática de un iient arónic iple eta expreada pr la ecuación: y t A en ω t + φ ω rad T La fae inicial e calcula cn el dat de la elngación inicial ( ( 0) 4 ) y. φ rad y( 0) A en ( ω 0 + φ ) 8 enφ 4 ; enφ : 6 5 φ rad 6 Si e ta hacia arriba el deplazaient piti, la elcidad inicial tabién e pitia, pr l tant el defae inicial e / radiane ya que: dy φ 0 Aω c > 0 ( t) Aω c ( ω t + φ ): ( 0) Aω cφ φ 5 ( 0) Aω c < La ecuación del M.A.S e: y ( t) 8 en t Juni 04. Pregunta A.- Un uelle de lngitud en rep 5 c cuya cntante elática e 0, N c tiene un de u extre fij a una pared. El extre libre del uelle e encuentra unid a un cuerp de aa 300 g, el cual cila in rzaient bre una uperficie hrizntal, iend u energía ecánica igual a 0,3 J. Calcule: a) La elcidad áxia del cuerp. Indique en qué pición, edida cn repect al extre fij del uelle, e alcanza dicha elcidad. b) La áxia aceleración experientada pr el cuerp. Slución. E a. E + E E ( ax) E ( ax) M c p c p 5

6 E M 0,3 E M E c ( ax) áxz,4 áx 0,3 La elcidad áxia e alcanza cuand la aa paa pr la pición de equilibri, y en ete ca e encntrará a 5 c del extre fij. b. La aceleración áxia e puede calcular cncida la fuerza áxia que actúa bre el uelle, la cual e prduce en el punt de ayr elngación (x A). F a A : Fax a ax A a ax F x El alr de A e btiene ediante la energía ecánica igualándla a la energía ptencial áxia. E M EM N 00 c N 0,3 Ep ( ax) A ; A 0, 0 0,73 c 0 A 0 0,73 a ax,55 0,3 Septiebre 03. Pregunta B.- La elcidad de una partícula que decribe un iient arónic iple alcanza un alr áxi de 40 c. El perid de cilación e de,5. Calcule: a) La aplitud y la frecuencia angular del iient. b) La ditancia a la que e encuentra del punt de equilibri cuand u elcidad e de 0 c. Slución. a. La expreión ateática de un iient arónic iple e: y ( t) A en ( ω t + φ ) La elcidad del.a.. e la deriada de la pición cn repect al tiep. d y( t) d t A en ω t + φ Aωc ω t + ( ) φ La expreión de la elcidad áxia erá cuand la parte trignétrica de la ecuación alga. ax Aω La elcidad angular frecuencia angular e puede calcular a partir del perid: 4 ω rad T,5 5 Cncida la elcidad angular, e calcula la aplitud del iient a partir de la elcidad áxia ax Aω A ax c ω 4 5 b. Partiend de la expreión de la elcidad y perand cn la ecuación e puede btener una ecuación que relacina la elcidad y la pición. Aωc ( ω t + φ ) Eleand al cuadrad A ω c ( ω t + φ ) Pr trignetría e tranfra el cen en en: A ω ( en ( ω t + φ )) ω A A en ( ω t + φ ) x La últia expreión perite depejar x en función de A x ; ω ω ( A x ) x A ; ω x A ω 6

7 x ( 0 0 ) ( 4 5) 0,54 5,4 c Juni 03. Pregunta B.- En el extre libre de un rerte clgad del tech, de lngitud 40 c, e cuelga un bjet de 50 g de aa. Cuánd el bjet eta en pición de equilibri cn el rerte, ete ide 45 c. Se deplaza el bjet dede la pición de equilibri 6 c hacia abaj y e uelta dede el rep. Calcule: a) El alr de la cntante elática del rerte y la función ateática del iient que decribe el bjet. b) La elcidad y la aceleración al paar pr el punt de equilibri cuand el bjet aciende. Slución. a. l 0,4 50 g l 0,45 A 0,06 F l 3 F ,8 9,8 N l 0,05 y t A en ω t + La función ateática del iient e: F a a ω x : ω x x ; ω ; ω F x Para calcular el defae inicial, e tiene en cuenta que: y( t) A en ( ω t + φ ) : A A en ( ω 0 + φ ) Para t 0, y( 0) A y t 0,06 en 4t enφ φ 9, φ áx b. En el punt de equilibri: a 0 y ( t) A en ( ω t + φ ) dy d ( t) A en ( ω t + φ ) Aω c ω t + φ ( ω t + φ ) ax c ; ax A ω 0,06 4 0,84 4 rad rad Mdel 03. Pregunta A.- Un bjet etá unid a un uelle hrizntal de cntante elática 0 4 N. Depreciand el rzaient: a) Qué aa ha de tener el bjet i e deea que cile cn una frecuencia de 50 Hz? Depende el perid de la cilacine de la energía inicial cn que e etire el uelle? Razne la repueta. b) Cuál e la áxia fuerza que actúa bre el bjet i la aplitud de la cilacine e de 5 c? Slución. a. Teniend en cuenta la Ley de He, el º principi de la dináica y la expreión de la aceleración en un iient arónic iple (MAS), e btiene una relación para la cntante elática en función de la aa y la elcidad angular. F x : x a F a a ω x ω : f ω f : x ω x ω 4 f , g El perid de cilación n depende de la energía inicial cn la que e etire el uelle, depende de la aa unida al uelle y de la cntante recuperadra del uelle. 7

8 ω : T ω T T b. Aplicand la ley de He (F x), i x A F F ax 4 Fax A 0 0,05 000N Septiebre 0. Pregunta A.- Un bjet de 00 g de aa, unid al extre libre de un rerte de cntante elática, e encuentra bre una uperficie hrizntal in rzaient. Se etira, uinitrándle una energía elática de J, cenzand a cilar dede el rep cn un perid de 0,5. Deterine: a) La cntante elática y ecriba la función ateática que repreenta la cilación. b) La energía cinética cuand han trancurrid 0,. Slución. a. Teniend en cuenta la Ley de He, el º principi de la dináica y la expreión de la aceleración en un iient arónic iple (MAS), e btiene una relación para la cntante elática en función de la aa y la elcidad angular. F x : x a F a a ω x ω 3 : 00 0 ω T T La pición de un MAS iene dada pr la expreión: x t A en ω t + φ : x ω x ω 0,5 63,7 N El alr de la energía ecánica uinitrada al etirar el uelle, perite calcular la aplitud (A) de iient. E E M A A M 0,5 63,7 Para calcular el defae inicial (ϕ ), e tiene en cuenta que la aa epieza a cilar dede la pición de elngación áxia Se etira, uinitrándle una energía elática de J, cenzand a cilar dede el rep. x ( t 0) A Aen( ω 0 + φ ) enφ φ La elcidad angular (ω) e calcular a partir del perid ω 8 rad T 0,5 Sutituyend en la expreión de la pición, e btiene la función ateática que repreenta la cilación. x ( t) 0,5 en 8 t + b. El apartad e puede reler pr d cain diferente: Mediante la definición de energía cinética, calculand la elcidad para t : E c 8

9 dx d ( 0,) c 8 0,+ 3,7 3 Ec ,7 0,7 ( t) 0,5 en 8 t + 0,5 c 8 t + 8 c 8 t + J Expreand la energía cinética en función de la pición: E c A ω c ( ω t + φ ) K A en ( ω t + φ ) K A A en ω t + φ Ec K ( A x ) ( ) La pición para t 0, e: x ( 0,) 0,5 en 8 0, + 0, Sutituyend en la expreión e btiene la energía cinética. Ec K ( A x ) 63, ( 0,5 ( 0,) ) 0,7 J Nta: Para que en l cálcul cincidan ab reultad e tienen d pcine, arratrar l dat en td l cálcul utilizand td l deciale, redndear l reultad a la priera cifra decial. Mdel 0. Pregunta A.- Un bjet de g de aa unid al extre de un uelle cila a l larg del eje X cn una aplitud de 0 c bre una uperficie hrizntal in rzaient. El bjet tarda 9 en cpletar 30 cilacine, y en el intante de tiep t 0 u pición era x +0 c y u elcidad pitia. Deterine: a) La elcidad del bjet en el intante t,. b) La energía cinética áxia del bjet. Slución. 9 A 0 c T 0,3 30 y 0 c 0, Si t 0 : > 0 a. Para calcular la elcidad del bjet en un intante deterinad (t, ) e neceari cncer la ecuación que decribe el iient. El bjet realiza un iient arónic iple que iene decrit pr la ecuación: y A en ( ω t + φ ) 0 Dnde A 0 c 0, ; ω rad ; y el defae inicial e calcula cn l T 0,3 3 dat de cndicine iniciale. φ Para t 0: y 0, 0, en ( ω 0 + φ ) : en φ 6 : 5 φ 6 La pible expreine de la pición n: y 0, en t + y 0, en t El ign de la elcidad para t 0 n perite deducir cual de la d expreine e la que crrepnde al iient La expreión de la elcidad, e la deriada de la pición repect del tiep. 9

10 dy d , en t + 0, c t + c t dy d , en t + 0, c t + c t Pición: y 0, en t Velcidad: c t c 0 + c > 0 3 Para t 0: c 0 + c < t, c, + c 8 + 3, Para t,: b. Se puede hacer de d fra ditinta: Pr definición de energía cinética: E c E c Aω c( ω t + φ ) : áx c( ω t + φ ) ( áx) áx áx Aω 0 Ec 3 ( áx) ( Aω) A ω 0, 7,5 J E c áx Ep ax A 4 4 T : 877,3 N T 0,3 Pr cneración de energía. Ec p ( áx) E ( ax) A 877,3 0, 7,5 J Septiebre 0. Cuetión B.- Se dipne de un ciladr arónic frad pr una aa ujeta a un uelle de cntante elática. Si en auencia de rzaient e duplica la energía ecánica del ciladr, explique que curre cn: a) La aplitud y la frecuencia de la cilacine. b) La elcidad áxia y el perid de cilación. Slución. a. La energía ecánica del ciladr iene expreada pr E KA. Si e duplica la energía ecánica E KA, cparand aba expreine: E E La aplitud auenta. KA : E E : KA A : A A A 0

11 La frecuencia depende de la cntante recuperadra del ciladr y de la aa, c eta n arían, la frecuencia tapc. f b. La elcidad áxia iene dada pr áx A ω, Si auenta la energía ecánica, la nuea elcidad áxia endrá expreada pr áx A ω, cparand: áx áx A ω A ω Teniend en cuenta que A A y que ω ω ya que K y peranecen cntante áx : áx áx áx La elcidad áxia de ciladr auenta. Si la frecuencia peranece cntante, el perid tabién peranece cntante. Juni 0. Prblea A.- Se tiene una aa g ituada bre un plan hrizntal in rzaient unida a un uelle, de aa depreciable, fij pr u extre a la pared, Para antener etirad el uelle una lngitud de x 3 c, repect de u pición en equilibri, e requiere una fuerza de F 6 N. Si de deja el itea aa-uelle en libertad: a) Cuál e el perid de cilación de la aa? b) Deterine el trabaj realizad pr el uelle dede la pición inicial, x 3 c, hata u pición de equilibri, x 0. c) Cuál erá el ódul de la elcidad de la aa cuand e encuentre a c de u pición de equilibri? d) Si el uelle e hubiee etirad inicialente 5 c, cuál ería u frecuencia de cilación? Slución. a. El perid de cilación del uelle e btiene a partir de la cntante recuperadra del uelle. ω ; T La cntante e btiene aplicand la ley de He Uand la expreión en ódul: F x ; F x a l dat el enunciad. F 6 N 00 N x Cncid el alr de K y la aa e calcula el perid. b. W E E ( final) E ( inicial) p T 0,44 00 x x p p f i ( 3 0 ) 0,09 J c. Cncida la energía ecánica E A y la pición (Energía ptencial), e puede calcular la energía cinética y de eta btener la elcidad E Ep + Ec A x +

12 00 0, ,0 + 0,6 0,4 0,6 ; d. Según pne de anifiet la relación utilizada en el apartad a T, el perid, y pr tant la frecuencia depende de y, y n de la aplitud, pr l tant la frecuencia erá la ia ν T 0,44,7 Hz Mdel 0. Cuetión A. Un cuerp de aa 50 g unid a un uelle realiza un iient arónic iple cn una frecuencia de 5 Hz. Si la energía ttal de ete itea elátic e 0 J: a) Cuál e la cntante elática del uelle? b) Cuál e la aplitud del uelle? Slución. a. Cbinand la ª ley de la dináica y la Ley de He, e halla una relación entre la cntante recuperadra y el perid. F a : F ω x a ω x : K ω : ω f F K x K f 4 f 4 0, ,7 N b. Cnciend la energía ecánica y la cntante, e calcula la aplitud. E 0 E T KA : A 0,85 K 46,7 Septiebre 00 F.M. Cuetión A.- Una partícula que realiza un iient arónic iple de 0 c de aplitud tarda en efectuar una cilación cpleta. Si en el intante t 0 u elcidad era nula y la elngación pitia, deterine: a) La expreión ateática que repreenta la elngación en función del tiep. b) La elcidad y la aceleración de cilación en el intante t 0,5. Slución. 0 a. A 0 c; T ; Para T 0: x > 0 La expreión ateática de la elngación en función del tiep tiene pr expreión: x A en ( ω t + φ ) ω rad T Para calcular el defae inicial (ϕ), e tienen en cuenta l dat de que para t 0, la elcidad e nula y la elngación pitia. dx d ( A en ( ω t + ϕ) ) Aωc( ω t + ϕ) φ ( t 0) Aωc( ω 0 + φ ) Aωcφ 0 cφ 0 : φ Para aber cual defae crrepnde al iient prpuet, e tiene en cuenta que para t 0, la elngación e pitia Si : x( t 0) A en ( ω 0 + ) A en A A : x > 0 Si : x( t 0) A en ( ω 0 ) A en : A ( ) A La elngación en función del tiep iene dada pr la expreión:

13 ( t) 0,en ( t ) x + b. ( t) Aωc( ω t + ) 0, c( t + ) a ( t 0,5) 0, c( 0,5 + ) c d ( Aωcω t + ) Aω en ( ω t + ) 0, en( t + ) d ( t) a ( t 0,5) 0, en( 0,5 + ) en Septiebre 00 F.G. Prblea A.- Una partícula e uee en el eje X, alrededr del punt x 0, decribiend un iient arónic iple de perid, e inicialente e encuentra en la pición de elngación áxia pitia. Sabiend que la fuerza áxia que actúa bre la partícula e 0,05 N y u energía ttal 0,0 J, deterine: a) La aplitud del iient que decribe la partícula. b) La aa de la partícula. c) La expreión ateática del iient de la partícula. d) El alr ablut de la elcidad cuand e encuentre a 0 c de la pición de equilibri. Slución. a. La aplitud del iient e puede btener a partir de la fuerza áxia y la energía ecánica ttal. La fuerza a la que e e etida la partícula eta expreada pr la ley de H (F x), alcanzand u alr áxi cuand la elngación e iguala a la aplitud. A F áx La fuerza inlucrada en el iient arónic iple n centrale y, pr tant, cneratia. En cnecuencia, la expreión de la energía ptencial en función de la elngación (x), e btiene integrad la expreión de la fuerza cn repect a la elngación y cabiándla de ign. EP x En el punt de elngación áxia (x A), tda la energía ecánica e ptencial ( 0), bteniend una expreión para la energía ecánica ttal en función de la aplitud. E T A Cn la expreine de la fuerza áxia y la energía ecánica e plantea un itea que perite depejar la aplitud, que e ta en alr ablut. Fáx A A E P A E T 0,0 J 0,0 J A : : : : A 0,8 E T A Fáx A Fáx 0,05 N 0,05 N b. El alr de la aa e puede btener a partir de la cntante ( ω ) ω A : E T ω A A E T A T T T E A T 0,0 3 E T : 6,3 0 g T A 0,8 c. Ecuación general del iient arónic iple: x A en ( ω t + ϕ) A 0,8 3

14 ω rad T A A en 0 + ϕ Defae inicial: Para t 0 x A: en ϕ : ϕ arcen Sutituyend l alre e btiene la ecuación del iient arónic iple x 0,8 en t + d. A partir de la energía cinética e puede btener una expreión de la elcidad en función de la pición. dx d E c ( A en ( ω t + ϕ) ) A ωc( ω t + ϕ) ( A ωc( ω t + ϕ) ) t ( A ωc( ω + ϕ) ) : A ω c ( ω t + ϕ) Teniend en cuenta: c ( ω t + ϕ) en ( ω t + ϕ) ( en ( ω + ϕ) ) : ω A A en ( ω t + ϕ) A ω t ω x : ω ( A x ) A x 0,8 0,,4 Juni 00. La gráfica uetra el deplazaient hrizntal: x x(t) repect del equilibri de una aa de 0,5 g unida a un uelle. a) Obtenga la cntante elática del uelle b) Deterine la energía cinética y ptencial del itea en el intante: t 0,5. Slución. a. La cntante del uelle e puede relacinar cn la aa y la frecuencia angular (ω) 4 ω ω T T T En la gráfica adjunta e puede leer el perid T 0,4 4 0,5 3,37 N 0,4 b. La energía ptencial iene dada pr la expreión: Ep x La pición de la partícula eta expreada pr la ecuación: x ( t) A en( ω t + φ ) Dnde: ω 5 rad T 0,4 De la gráfica adjunta: A 0,05 El defae inicial, e btiene teniend en cuenta que x(t 0) A x( 0) A en( ω 0 + φ ) A enφ φ rad La pición de la partícula iene dada pr: x ( t) 0,05 en 5 t + 4

15 x 7 Ep x 3,37 ( 0,035) 0,077 J ( 0,5) 0,05 en 5 0,5 + 0,05 en 0,05 0,035 La energía cinética e calcula teniend en cuenta que la ua de energía cinética y ptencial e la energía ecánica, que e puede calcular c energía ptencial áxia. E ecánica Eptencial + Ecinética Eecánica Eptencial( áxia ) A Ecinética Eecánica Eptencial A Eptencial Ecinética 3,37 0,05 0,077 0,077 J Juni 00 F.M. Cuetión B.- Una partícula realiza un iient arónic iple. Si la frecuencia de cilación e reduce a la itad anteniend cntante la aplitud de cilación, explique qué curre cn: a) el perid; b) la elcidad áxia; c) la aceleración áxia y d) la energía ecánica de la partícula. Slución. f f a. Perid. El perid e iner a la frecuencia T T f f f El perid e duplica. b. Velcidad áxia. Para un iient arónic iple, la elcidad e la deriada de la pición repect del tiep. dy( t) d ( Aen ( ω t + ϕ )) Aω c ( ω t + ϕ ) La elcidad erá áxia cuand la cpnente trignétrica ea áx Aω La elcidad angular e puede exprear en función de la frecuencia (ω f). áx Af Af f Af áx Af A áx La elcidad áxia e reduce a la itad. c. Aceleración áxia. Siguiend un prcediient análg al apartad anterir de calcula la aceleración áxia. d( t) d a ( Aω c ( ω t + ϕ )) Aω en ( ω t + ϕ ) a a áx en ( ω t + ϕ ) a áx Aω Sutituyend ω pr f: a f 4 Af áx a A( f ) 4 Af 4 A áx 4 4 La aceleración áxia e reduce la cuarta parte. d. Energía ecánica. E A La dináica perite exprear en función de ω y ( ω ). 5

16 E ω A f f A E E f A A 4 4 La energía ecánica e reduce la cuarta parte. { ω f } ( f ) A f A Juni 00 F.G. Prblea A.- Un itea aa-uelle etá frad pr un blque de 0,75 g de aa, que e apya bre una uperficie hrizntal in rzaient, unid a un uelle de cntante recuperadra K. Si el blque e epara 0 c de la pición de equilibri, y e le deja libre dede el rep, éte epieza a cilar de tal d que e prducen 0 cilacine en 60. Deterine: a) La cntante recuperadra K del uelle. b) La expreión ateática que repreenta el iient del blque en función del tiep. c) La elcidad y la pición del blque a l 30 de epezar a cilar. d) L alre áxi de la energía ptencial y de la energía cinética alcanzad en ete itea cilante. Slución. 0,75 Kg Miient arónic iple. A 0 0 c 0 f 60 6 a. Según la ley de He F Kx, iend K la cntante recuperadra y x la elngación del uelle. Teniend en cuenta el º principi de la dináica F a, e igualand: K x a Si e aplica la igualdad al punt de elngación áxia: K x áx a áx Si la aa unida al uelle inicia un iient arónic iple, la pición, elcidad y aceleración ienen dad pr: x A en ω t + ϕ ; x áx A Pición elngación: dx Velcidad: A ω c( ω t + ϕ) ; áx A ω d Aceleración: a A ω en ( ω t + ϕ) ; a áx A ω Si en la igualdad e utituyen l alre de x áx y a áx pr la expreine btenida del iient arónic iple: K A A ω Siplificand: K ω La elcidad angular e puede exprear en función de la frecuencia. K b. ( t) A en ( ω t + ϕ) 6 ω ( f ) 4 f 4 0,75 Kg 0,8 N f T x : ω f rad T 6 3 Para deterinar la fae inicial e tiene en cuenta que para t 0 la elngación e áxia, y pr tant la parte trignétrica de la expreión debe er un. Para t 0: x x áx A en ( ω 0 + ϕ) : en ϕ : ϕ rad x ( t) 0, en t + 3 6

17 dx c. ( t) A c( t ) 0, c 30 c 0 c 0 ω ω + ϕ x A en 3 ( ω t + ϕ) 0, en , en 0 + 0, en 0, 0, E c áx E p áx E áx K A d. 0,8 0, 0,06 J Mdel 00 Cuetión A.- Un itea elátic, cntituid pr un cuerp de aa 00 g unid a un uelle, realiza un iient arónic iple cn un perid de 0,5. Si la energía ttal del itea e 8 J: a) Cuál e la cntante elática del uelle? b) Cuál e la aplitud del iient? Slución. F x al punt de áxia elngación (x A): a) Si e aplica la Ley de He F A En el punt de áxia elngación, la aceleración del itea e áxia, i e aplica la ª ley de la dináica: F a áx Igualand aba expreine: A a áx La aceleración e puede btener a partir de la ecuación del iient arónic iple: y ( t) A en ( ω t + φ ) d y ( t) d t ( A en ( ω t + φ )) Aω c( ω t + φ ) d ( t) d a t ( Aω c( ω t + φ )) Aω en ( ω t + φ ) La aceleración erá áxia cuand la en alga, quedand: aáx Aω Sutituyend en la expreión A aáx y iplificand e btiene una relación entre la cntante de elaticidad y la elcidad angular, la cual e puede exprear en función del perid ó la frecuencia A Aω : ω : ω : T T ,8 ( N ) 0,5 b) En el punt de áxia elngación la energía ttal del itea erá igual a la energía ptencial elática ya que en punt la elcidad e nula. Ep x La energía ptencial e áxia en el punt de áxia elngación (x A) y elcidad nula. Ep ( áx) E A 30 T :,8 A 8 8 : A 0,356,8 Septiebre 009. Cuetión.- Una partícula realiza un iient arónic iple de 0 c de aplitud y tarda en efectuar una cilación cpleta. Si en el intante t 0 u elcidad e nula y la elngación pitia, deterine: a) La expreión ateática que repreenta la elngación en función del tiep. b) La elcidad y la aceleración de cilación en el intante t 0,5. Slución. a. La pición de un cuerp que decribe un M.A.S. iene dada pr una ecuación de tip enidal: 7

18 b. ( t) A 0 c 0, y T : ω rad + T Para calcular el defae (ϕ) e tiene en cuenta que para t 0, la elcidad e nula. d y ( t) d t [ 0, en ( t + φ) ] 0, c( t + φ) ( t 0) 0, c( 0+ φ) 0 : 0, cφ 0 : cφ 0 : φ ± ( t) A en ( ω t + φ) : : y( t) 0, en ( t φ) Teniend en cuenta que para t 0, la elngación (y) e pitia: φ + La expreión ateática que exprea la elngación del iient e: y ( t) 0, en t + d y ( t) d 0, en t + 0, c t + 3 t 0,5 0, c 0,5+ 0, c 0, 4 ( t) d d a( t) 0, c t + 0, en t + 3 a t 0,5 0, en 0,5+ 0, en 0,7 4 Juni 009. Prblea A.- Una partícula de 0, g de aa e uee en el eje X decribiend un iient arónic iple. La partícula tiene elcidad cer en l punt de crdenada x 0 c y x 0 c y en el intante t 0 e encuentra en el punt de x 0 c. Si el perid de la cilacine e de,5, deterine: a) La fuerza que actúa bre la partícula en el intante inicial. b) La energía ecánica de la partícula. c) La elcidad áxia de la partícula. d) La expreión ateática de la pición de la partícula en función del tiep. Slución. La agnitude pición, elcidad y aceleración de un iient arónic iple que decribe una partícula bre el eje OX ienen dada pr la expreine: x A c ω t + ϕ dx d dx d dx ( A c( ω t + ϕ )) Aω en ( ω + ϕ ) t d a Dnde A e la aplitud, ω la elcidad angular y ϕ 0 la fae inicial. ( Aω en ( ω t + ϕ )) Aω c( ω t + ϕ ) ω x Para calcular la aplitud e tiene en cuenta que en l punt dnde la elcidad e nula, la elngación e áxia y cincide cn el alr de aplitud. 0 : x xax A 0, La elcidad angular e btiene a partir de perid (T,5 ) 4 ω rad T,5 3 La fae inicial e calcula teniend en cuenta que para t 0 x 0,, utituyend en la ecuación general: 8

19 t 0 x A c( ω t + ϕ ): A 0, : 0, 0,c( ω 0 + ϕ ) : c ϕ ; ϕ 0 rad x 0, Cncid td l paráetr del iient, u ecuacine n: 4 x 0,c t Aω en ( ω t + ϕ ) 0, en t en t a Aω c ω t + ϕ en t c t a. F a Para t 0: a c F a 0,g 0,75 N 45 El ign negati crrepnde al entid de la fuerza b. En un iient arónic iple, hay una tranfración cntinua entre la energía cinética y ptencial, per, en cualquier intante, la ua e cntante y e igual a la energía ecánica ttal. Al alr áxi de energía cinética le crrepnde un alr íni de energía ptencial (nula) y iceera. E Ec + Ep + x áx A Cn l dat de enunciad, e calcula la energía ecánica c la energía ptencial áxia. E A El alr de e puede btener i e tiene en cuenta: F a : a x F x a ω x : ω x x : ω Sutituyend en la energía ecánica: 4 3 E ω A 0, 0, 8,8 0 J 3 dx d t dx Aω en ( ω t + ϕ ) 4 áx en ( ω t + ϕ ) ; 0,4 áx Aω 0, 3 c. ( A c( ω t + ϕ )) Aω en ( ω + ϕ ) 4 : x 0,c t 3 d. x A c( ω t + ϕ ) 9

20 Mdel 009. Prblea A.- En la figura e uetra la repreentación gráfica de la energía ptencial (Ep) de un ciladr arónic iple cntituid pr una aa puntual de alr 00 g unida a un uelle hrizntal, en función de u elngación (x). a) Calcule la cntante elática del uelle b) Calcule la aceleración áxia del ciladr c) Deterine nuéricaente la energía cinética cuand la aa etá en la pición x +,3 c. d) Dónde e encuentra la aa puntual cuand el ódul de u elcidad e igual a la cuarta parte de u elcidad áxia? Slución. a. En un iient arónic iple, la energía ptencial elática iene dada pr la expreión E p x Particularizand para x 5 c y tand l alre del gráfic e calcula la cntante elática del uelle. 0, ( 5 0 ) : 80 N b. Para un iient arónic iple, la aceleración iene dada pr la expreión: d x a Aω en( ωt + ϕ ) Al er el en una función que cila entre y ; la aceleración áxia ale Aω. Para un uelle, la elcidad angular e puede exprear en función de la cntante de elaticidad y de la aa unida al uelle pr la expreión: ω K K ω Sutituyend en la expreión de la aceleración áxia: K 80 N a ax Aω A g c. Pr el principi de cneración de la energía, e cuple: E ( x,3 c) E ( x 5 c) E ( Ttal) 0, J E x,3 0 E p x,3 0 + E c x,3 0 Teniend en cuenta la expreión de la energía ptencial elática E p x y el alr de la cntante de elaticidad del uelle calculada en el apartad a: N 0,J 80 (,3 0 ) + E c : E c ( x,3 0 ) 0,08 J d. Se aplica de nue el principi de cneración de la energía, per en ete ca para btener la energía ptencial cncida la energía cinética. Cncida la energía ptencial e calcula la elngación (pición). La energía cinética e puede calcular de d fra diferente: Pr cparación de energía cinética y teniend en cuenta que la energía cinética e áxia cuand la ptencial elática e nula y pr tant cincide cn la energía ecánica ttal. 0

21 E c ( áx) E c ( x) ax : x x ax 4 Ec : E c ( áx) ( x) ax ax 4 6 E c ( x) E c 6 ( ax) E ( T) 6 ( T) E 0,J E c ( x) 0,006 J 6 6 Cn la definición de energía cinética y calculand la elcidad áxia. dx K K A ω c 80 N 0, g ( ω t + ϕ ): ax A ω ω A 5 0 Cncida la elcidad áxia, e calcula la energía cinética cuand la elngación e x ediante la relación prpueta pr el enunciad: ax 0,5 E ( x) 0, g ( 0,5 x ) 0,006 J 4 4 c x Cncida la energía cinética en el punt de elngación x, e calcula la energía ptencial elática teniend en cuenta que la energía ecánica ttal e cntante. E ( T) E p ( x) + E c ( x) : E p ( x) E ( T) E c ( x) 0, 0,006 0,094 J Cncida la energía ptencial elática e calcula la pición. E p ( x) x N 0,094 J 80 x x 0,094 0,048 4,8 c 80 Septiebre 008. Cuetión. Una partícula que realiza un iient arónic iple de 0 c de aplitud tarda en efectuar una cilación cpleta. Si en el intante t 0 u elcidad era nula y la elngación pitia, deterine: a) La expreión ateática que repreenta la elngación en función del tiep. b) La elcidad y la aceleración de cilación en el intante t 0,5. Slución. a. La elngación x, elcidad y aceleración a, ienen dada pr la ecuacine: dx x A en ( ω t + ϕ) : Aω c( ω t + ϕ) : a Aω en ( ω t + ϕ) Cncid el perid (T ), e calcula la pulación elcidad angular: ω rad T El defae (ϕ) e puede calcular cn el dat de la elcidad a t 0. ϕ Si cuand t 0 la elcidad e nula: Aω c( ω 0 + ϕ) 0 c ϕ 0 : ϕ Para ϕ en t 0: x A en ω 0 A < 0 Para ϕ en t 0: x A en ω 0 + A > 0 Teniend en cuenta que para t 0, la elngación (x) e pitia, el defae deberá er la elngación iene expreada pr : x 0, en t + ϕ,

22 0, c t + b. La expreine para la elcidad y la aceleración de la partícula n: a 0, en t + 3 t 0,5 : - 0, c 0,5 + 0, c 0, a 0, en 0,5 + 0, en 0,698 4 Juni 008. Cuetión. Un cuerp de aa etá upendid de un uelle de cntante elática. Se tira erticalente del cuerp deplazand éte una ditancia X repect de u pición de equilibri, y e le deja cilar libreente. Si en la ia cndicine del ca anterir el deplazaient hubiee id X, deduzca la relación que exite, en ab ca, entre: a) la elcidade áxia del cuerp; b) la energía ecánica del itea cilante. Slución. Se trata de un iient arónic iple ertical, la ecuacine que l rigen n: F K x x A c ω t + ϕ dy x A ω en ( ω t + ϕ) ; áx A ω E(ec) E(c) + E(p), cuand la energía ptencial e áxia, la energía cinética e nula E Mec K A Aplicand el º principi de la dináica a la ley de H a K x Teniend en cuenta que la aceleración e la deriada egunda de la pición x A c( ω t + ϕ) x K x : Aω c ω t + ϕ K A c ω t + ϕ x Aω c( ω t + ϕ) ω : K ; N depende de la aplitud Si e aplica a cada ca teniend en cuenta que l únic que aría e la aplitud y que n hay defae: a. La relación entre la elcidade áxia e la ia que la de la aplitude ( ax) x ω ( ax) ( ax) ax x ω b. La relación entre la energía ecánica e el cuadrad que la de la aplitude K x E( ec) E( ec) 4E ec E ec 4 K ( x)

23 Juni 007. Cuetión.- Un bjet de,5 g etá unid a un uelle hrizntal y realiza un iient arónic iple bre una uperficie hrizntal in rzaient cn una aplitud de 5 c y una frecuencia de 3,3 Hz. Deterine: a) El perid del iient y la cntante elática del uelle. b) La elcidad áxia y la aceleración áxia del bjet. Slución a) Para reler eta cuetión neceita recrdar cierta fórula del iient arónic y de l uelle: De dnde fácilente reulta: ω T ν ω ω ω T a ν F T 0,3 ν 3,3 f 3.3 0,7 rad,5 0,7 074,8 N b) Para cncer la aceleración áxia calculare la fuerza áxia, que e prduce en el extre, y diidire pr la aa, depreciand la aa del uelle: Fáx A 074,8 0,05 a áx,5,5 Para calcular la elcidad áxia utilizare el principi de cneración de la energía, ya que la energía ptencial en el extre erá igual a la cinética áxia, que e tiene cuand la aa paa pr el punt de equilibri. Ecinética( áx) Eptencial( áx) A áx ; áx 0,05 074,8,5 áx A,04 Septiebre 006. Cuetión.- Una partícula que decribe un iient arónic iple recrre una ditancia de 6 c en cada cicl de u iient y u aceleración áxia e de 48 l. Calcule: a) la frecuencia y el perid del iient; b) la elcidad áxia de la partícula. Slución. Un cicl upne recrrer 4 ece la aplitud (A). 4 A 6c A 4c a ax 48 a) Frecuencia (ν) y períd (T). A partir de la ecuación del iient arónic iple y deriand uceiaente e btienen la expreine de la elcidad y aceleración de iient. x A en ω t + ϕ dx d Aω c t ( ω + ϕ) ( ω + ϕ) a Aω en t El alr ablut de la aceleración áxia erá: a áx Cncida la aceleración áxia y la aplitud e calcula la elcidad angular (ω). ω A 3

24 48 a áx ω 00 ω 34 6 rad A 0 04 Cncida la elcidad angular e calcula el períd y la frecuencia en el rden que un quiera ediante la tre ecuacine que la relacinan. ω ω ν ν T T rad Períd. T '6 rad ω ω 34 6 rad Frecuencia. ν 5 5 Hz( ) rad b) Velcidad áxia de la partícula. Se puede reler de d fra. Según la expreión de la elcidad de un iient arónic iple ( Aω c( ω t + ϕ) ), alcanzará u alr áxi cuand la cpnente trignétrica alga, y en ee ca la elcidad áxia erá: áx Aω '38 A la ia expreión e puede llegar teniend en cuenta que la elcidad áxia de la partícula e prduce en el rigen x 0, dnde la energía ecánica e tda cinética: A ax ω A ax áx Aω Juni 006. Prblea B.- Una aa puntual de alr 50 g unida a un uelle hrizntal de cntante elática 65 N cntituye un ciladr arónic iple. Si la aplitud del iient e de 5 c, deterine: a) La expreión de la elcidad de cilación de la aa en función de la elngación. b) La energía ptencial elática del itea cuand la elcidad de cilación e nula. c) La energía cinética del itea cuand la elcidad de cilación e áxia. d) La energía cinética y la energía ptencial elática del itea cuand el ódul de la aceleración de la aa e igual a 3. Slución. 50gr 65 N A 5c a) En un ent cualquiera del iient en que la elngación e x y la elcidad, la energía del itea e: E E p + E c x + Cuand la elngación e áxia y la elcidad e cer la energía erá: E A C la energía e cnera: Dand alre: A x + 0,8 5 x ( c) c ( A X ) b) La energía ptencial elática cuand la elcidad e nula e ipleente: E p KA 0,08 J c) Cuand la elcidad e áxia la elngación e nula y la energía cinética cincida cn la 4

25 energía ttal E c 0,08 J d) La expreine de la elngación, la elcidad y la aceleración n repectiaente: x t Aen ωt + φ dnde ω - 0,8 rad a ( t) ( t) Si llaa t al intante en que a ( ) dx( t) Aω c( ωt + φ ) d ( t) Aω a 3 en ( ωt + φ ) ( t ) 3,7en ( ω + φ ) t Operand e depeja en(ωt + φ ) y ediante le ecuación fundaental de la trignetría (en α + c α ) e depeja el c(ωt + φ ). 3 en( ω t + φ ) 0' 6 '7 c ( ω t + φ ) en ( ωt + φ ) ( 0'6) 0, Cncida la razne trignétrica e calcula la pición y la elcidad para t, y a partir de eta la energía ptencial y cinética. x( t) Aen( ωt + φ ) : x( t ) 5 0 ( 0,6) 3 0 en( ωt + φ ) 0'6 ( t) Aω c( ωt + φ ) c( ωt + φ ) 0'8 : ( t ) 5 0 0'8 0'8 0'83 Energía cinética e E c 0' 50 0'83 0'05 J Energía ptencial Ep x 65 ( 3 0 ) 0'09 J Mdel 006. Prblea B. a) Deterine la cntante elática de un uelle, abiend que i e le aplica una fuerza de 0,75 N éte e alarga,5 c repect a u pición de equilibri. Uniend al uelle anterir un cuerp de aa,5 g e cntituye un itea elátic que e deja cilar libreente bre una uperficie hrizntal in rzaient. Sabiend que en t 0 el cuerp e encuentra en, la pición de áxi deplazaient, x 30 c, repect a u pición de equilibri, deterine: b) La expreión ateática del deplazaient del cuerp en función del tiep. c) La elcidad y la aceleración áxia del cuerp. d) La energía cinética y ptencial cuand el cuerp e encuentra a 5 c de la pición de equilibri. Slución. a. El punt de equilibri e dnde e igualan la fuerza. La fuerza elática erá entnce Fe x x 0'05 0'75N x 30 N 5

26 Uniend al uelle anterir un cuerp de aa,5 g e cntituye un itea elátic que e deja cilar libreente bre una uperficie hrizntal in rzaient. Sabiend que en t 0 el cuerp e encuentra en, la pición de áxi deplazaient, x 30 c, repect a u pición de equilibri, deterine: b. De la aa del bjet y la cntante elática deduci la frecuencia de cilación del itea 30 ω 0 '5 la aplitud del iient e el áxi deplazaient x 4'47 A 30c ( ω + φ) ( 4'47 t A en t x t 30 c en t + φ) Para calcular el defae (φ) e tiene en cuenta que en t 0 : x( 0) 30 c utituyend en la ecuación: 30 c 30 c en φ en φ φ x ( t) 30 c en 4'47 t + c. Pr definición, la elcidad e la deriada de la pición cn repect de x. d x t t d ( t) [ A en ( ω t + φ) ] A ω c( ω t + φ) La elcidad áxia e btiene cuand la expreión trignétrica ale ( t) A ω c( ω t + φ) : áx A ω áx c( ω t + φ) Sutituyend alre 30 c 4'47 34' c ax '34 La aceleración e la deriada de la elcidad repect del tiep d d a( t) ( t) [ Aω c( ω t + φ) ] Aω en( ω t + φ) Al igual que en el ca de la elcidad, la aceleración áxia e btiene cuand la expreión trignétrica ale. a ax Aω 30 c ( 0 ) 600 c 6 d. Cuand la aa etá en el extre tda la energía e ptencial, E E pt x A 30 0'3 '35 J y cincide cn la energía ttal el itea. Cuand x 5 c, la energía ptencial e: E pt x 30 0' 5 0,3375 J E pt 0,3375 J La energía cinética e calcula c diferencia entre la energía ttal del itea y la energía 6

27 ptencial en ete punt. E Ecin + Ept Ecin E Ept,35 0,3375,65 J E cin,65 J Septiebre 005. Cuetión. Se tienen d uelle de cntante elática y en cuy extre e dipnen d aa y repectiaente, y tal que <. Al cilar, la fuerza que actúan bre cada una de eta aa en función de la elngación aparecen repreentada en la figura. a) Cuál e el uelle de ayr cntante elática? b) Cuál de eta aa tendrá ayr períd de cilación? Slución. a. La expreión de la fuerza elática ó ley de He e F x. Si e aplica a cada un de l uelle: F x F x Si e bera la figura en el eieje piti de la x utituyend pr u expreine: iplificand F < F x < < rdenand > x b. La frecuencia de cilación de un uelle e: ω y la relación de eta cn el perid e: ω T igualand aba expreine e puede depejar el perid en función de la aa y de la cntante elática. ω : T T ω T Aplicand la expreión anterir a ab uelle y cparand: T T T : T T T Teniend en cuenta la relación de aa del enunciad y la relación del cntante del apartad anterir: < < T : < < T > < rdenand 7

28 T < T Mdel 005. Prblea A.- Una partícula de aa 00 g realiza un iient arónic iple de aplitud 3 y cuya aceleración iene dada pr la expreión a 9 x en unidade SI. Sabiend que e ha epezad a cntar el tiep cuand la aceleración adquiere u alr ablut áxi en l deplazaient piti, deterine: a) El perid y la cntante recuperadra del itea. b) La expreión ateática del deplazaient en función del tiep x x (t). c) L alre ablut de la elcidad y de la aceleración cuand el deplazaient e la itad del áxi. d) La energía cinética y ptencial en el punt dnde tiene elcidad áxia. Slución. a. Sabiend que en un.a.: a ω x y pr tr lad, egún el enunciad: a 9 x cparand aba expreine: ω 9 ω 3 rad la cntante recuperadra del itea e relacina cn w: b. ω 0' 9 0'9 Cncida la elcidad angular, el perid e calcula cn: T Pr tant :T T eg w 3 3 x ( t) A en( ωt + ϕ ) De eta expreión l únic que falta pr deterinar e que en t 0, x A : x ( 0) Aen( ω 0 + ϕ ) A ϕ. La fae inicial la halla abiend en Pr tant, la expreión para la ecuación del iient e: x( t) 3en ( 3t + ) A 3 c. Para calcular la elcidad y la aceleración cuand x, e tiene en cuenta la 3 7 a ω x a 9 a Cnciend la relación entre, a y x, depeja : ω A x ϕ ϕ d. El punt dnde tiene elcidad áxia e el rigen, punt de elngación cer, ya que tiene que cnerare la energía ecánica ttal de la partícula, y en el rigen eta l tiene energía cinética, que pr tant e áxia. (c cnecuencia, u elcidad tabién l e). 8

29 E c ax A ( E TOTAL ) E c 0'9 9 4'05 J La energía ptencial depende de la elngación X, pr tant e nula en el rigen. E p x ( x 0) E p 0 Juni 004. Cuetión.- Al clgar una aa en el extre de un uelle en pición ertical, ete e deplaza 5 c; a) De qué agnitude del itea depende la relación entre dich deplazaient y la aceleración de la graedad? b) Calcule el perid de cilación del itea uelle-aa anterir i e deja cilar en pición hrizntal (in rzaient). Dat: aceleración de la graedad g 9 8 Slución. a. La relación entre el deplazaient y la cntante del uelle e etablece calculand la pición de equilibri: K x g, en ete ca x e la ditancia entre la pición de equilibri in graedad y cn graedad. g g x 0' expreión en la que e bera que depende de K y de. x 5 0 g g b. En pición hrizntal el perid erá: ω ω T T ω ω x g 5 0 9'8 0,45eg Mdel 004. Prblea B.- Una partícula de 5 g de aa e uee cn un iient arónic de 6 c de aplitud a l larg del eje X. En el intante inicial (t0) u elngación e de 3 c y el entid del deplazaient hacia el extre piti. Un egund á tarde u elngación e de 6 c pr priera ez. Deterine: a) La fae inicial y la frecuencia del iient. b) La función ateática que repreenta la elngación en función del tiep, x x(t). c) L alre áxi de la elcidad y de la aceleración de la partícula, aí c la picine dnde l alcanzan. d) La fuerza que actúa bre la partícula en t y u energía ecánica. Slución. a. La ecuación general de un M.A.S e: x( t) A c( ωt + ϕ ) Para calcular la fae inicial, utiliza la cndicine iniciale del iient: x(0) 3 0 utituyend en la ecuación general: x(0) 3 0 A c( ω 0 + ϕ ) Teniend en cuenta que la aplitud(a) ale c ϕ c ϕ ϕ 3 b. Utiliza la egunda cndición y cncid el defae inicial e puede calcular la elcidad angular: 9

30 depejand c c( ω + ) x 5 ( ω + ) ( ω + ) ω rad Cncida la elcidad angular(ω), el defae inicial(ϕ ) y la aplitud(a) la ecuación que repreenta la elngación en función del tiep(x(t)) e: 5 x( t) 6 0 c t c. Deriand la expreión anterir e btiene la expreión de la elcidad en función del tiep: d x ( t) 5 5 V t 6 0 en t Cuy alr áxi e prduce cuand: 5 en t y pr tant la elcidad áxia e: V MAX 0 Eta elcidad áxia e alcanza en x 0 (ya que en ete punt, la energía cinética e áxia, y pr tant la elcidad.) a ω La aceleración de un M.A.S. iene expreada pr: x Pr l que, u alr áxi e alcanza cuand x llega a un alr áxi, ciladr. 5 a 6 0 a '65 MAX 3 a ± A, en l extre del d. La fuerza que actúa bre la partícula en t, cuand x A, igue la ley de He: F x F - A Dnde ω e la cntante de cilación, y el ign ( ) indica que la fuerza iepre actúa en entid cntrari a la elngación. Calculand : 5 0'005g 3 0'4 N y F 8' 0 4 N Puet que el M.A.S. e prduce debid a una fuerza cneratia (l depende de la pición), la energía ttal ecánica del itea e antiene cntante en td el iient y u alr e: E A Sutituyend alre: 4 E '53 0 J 30

31 Juni 003. Prblea B. Un blque de 50 g, cnectad a un uelle de cntante elática 35 N/, cila en una uperficie hrizntal in rzaient cn una aplitud de 4 c. Cuand el blque e encuentra a c de pición de equilibri, calcule: a) La fuerza ejercida bre el blque. b) La aceleración del blque. c) La energía ptencial elática del itea. d) La elcidad del blque. Slución. a. F K x 35 N/ N. El ign indica que la fuerza a hacia la pición de equilibri. b. Aplicand el egund principi de la dináica: F 0'35 N F a : a Kg El ign al igual que ante indica el entid del ectr 3 c. E K x 35 ( 0'0) '75 0 J p d. La elcidad e calcula a partir de la energía cinética. Ec K A x depejand de la egunda igualdad K ( ) ( A x 35 0'04 0'0 ) ' Juni 00. Prblea B. Una aa de g etá unida a un uelle hrizntal cuya cntante recuperadra e 0 N/. El uelle e cprie 5 c dede la pición de equilibri (x 0) y e deja en libertad. Deterine: a) La expreión de la pición y la aa en función del tiep, x x(t). b) L dul de la elcidad y de la aceleración de la aa en un punt ituad a c de la pición de equilibri. c) La fuerza recuperadra cuand la aa e encuentra en l extre de la trayectria. d) La energía ecánica del itea cilante. Nta: Cnidere que l deplazaient repect a la pición del equilibri n piti cuand el uelle etá etirad. Slución. a. x x (t) 3 La aplitud del iient e A La ecuación general del M.A.S que decribe la aa e: 3

32 ( t) A c ( ω t ) x + de eta expreión, queda pr hallar la elcidad angular(ω) y la fae inicial Cncida la aa() y la cntante() del uelle: 0 ω ω ω utituyend en la expreión del M.A.S. ( 5 t ) x (t) 0'05 c + 5 rad ϕ : Aplicand la ecuación al ent inicial, y teniend en cuenta que x (t 0) A: x( 0) 0'05 0'05 c ϕ c ϕ ϕ rad Pr tant, la expreión para el iient de la partícula queda de la iguiente fra: ( t) 0'05 c( 5t ) x + b. Si x c., l ódul de la elcidad y la aceleración e calcula teniend en cuenta: 5 0'0 0' a ω x a Teniend en cuenta que ω A x V 5 ( 0'05) ( 0'0) 0' 05( ) c. La fuerza recuperadra, en ódul, e: F x (e pne iepre a la elngación del il) para l extre de cilación x ± A F 0 0'05 F 0'5N para x A F A : F 0 ( 0'05) F 0'5N para x A d. La energía ecánica del itea cilante iene expreada pr: E A utituyend pr l dat del prblea E 0 0'05 E 0'05 J Mdel 00. Prblea B.- Un cuerp de 00 g unid a un rerte hrizntal cila, in rzaient, bre una ea, a l larg del eje de la X, cn una frecuencia angular ω 8,0 rad/. En el intante t 0, el alargaient del rerte e de 4 c repect de la pición de equilibri y el cuerp llea en ee intante una elcidad de -0 c/. Deterine: a) La aplitud y la fae inicial del iient arónic iple realizad pr el cuerp. b) La cntante elática del rerte y la energía ecánica del itea. Slución. a. La pición y la elcidad de un iient arónic iple ienen dada pr la expreine: x A en ω t + φ dx Aωc A en ω 0 + φ Para t 0: 0 0 Aωcω 0 + φ ( ω t ) : φ A en φ Aωcφ Cparand aba expreine e btiene la fae inicial 4 0 ω 8 φ, rad tgφ : tgφ ω : φ 5,3 rad 3

33 Para dicernir cual de l defae crrepnde al iient prpuet e etudian l ign de la pición y de la elcidad inicial para cada defae. x A en, > 0 x A en 5,3 < 0 φ,rad : ; φ 5,3 rad : Aωc, < 0 Aωc5,30 El defae inicial e φ, rad Cncid el defae inicial e calcula la aplitud A en φ 4 0 ; A 0,046 en φ en, b. La cntante elática del uelle e aca cbinand la ª ley de Newtn y la ley de He. F a ω x : K ω 0, 8,8 N F Kx E K A,8 0,046 0,035 J Septiebre 00. Cuetión.- Una partícula efectúa un iient arónic iple cuy períd e igual a. Sabiend que en el intante t 0 u elngación e 0 70 c y u elcidad 4,39 c/, calcule: a. La aplitud y la fae inicial b. La áxia aceleración de la partícula. Slución. rad T La pición de una partícula que realiza un iient arónic iple iene decrita pr la a. T ω expreión: ( t) A en ( ω t φ ) x ( 0) A en ( ω 0 + φ ) A enφ x + La elcidad de un M.A.S e la deriada de la pición repect del tiep: d x ( t) d t A [ en ( ω t + φ )] Aωc( ω t + φ ) 0 Aωcω 0 + φ Aωcφ Diidiend la pición y la elcidad, e depeja el defae inicial. A enφ x 0 ω x( 0) 0,70 0 tgφ φ arctg arctg arctg ( 0) Aω cφ ω ( 0) 4, b. ( t) Cncid el defae inicial e calcula la aplitud. ( t) ( 0) A enφ x ( 0) x A enφ 0,70 0 en 4 9,9 0 d d a [ Aωc ( ω t + φ )] Aω en ( ω t + φ ) El alr áxi de la aceleración erá cuand la parte trignétrica de la expreión alga ±. a áx Aω 9,9 0 3 ( ) ) 0,39 Juni 00. Cuetión. Un uelle cuya cntante de elaticidad e etá unid a una aa puntual de alr. Separand la aa de la pición de equilibri el itea cienza a cilar. Deterine: a) El alr del períd de la cilacine T y u frecuencia angular ω. b) La expreine de la energía cinética, ptencial y ttal en función de la aplitud y de la elngación del iient del itea cilante. Slución. 3 rad 33

34 a. La aa cila realizand un M. A. S. De ecuación: x t A cωt + φ La frecuencia del iient iene dada pr: La relación entre ω y T e: pr tant: ω ω T T T T ω eg b. La Energía cinética iene expreada pr E c Si la pición de la aa iene expreada pr x ( t) A c( ωt + φ ) deriand e btiene la expreión de la elcidad de la partícula d x ( t) t Aωenωt + φ dx cn eta expreine e plantea el itea: - - ( t) Aωen( ωt + φ ) x( t) A c( ωt + φ ) Si pera cn la ecuacine () y () de la pición y la elcidad: A en ( ωt + φ ) -- ω x A c ( ωt + φ ) uand eta ecuacine y acand factr cún en el egund iebr de A ω pr tant, la energía cinética e: A x E c ω + x ω A La energía Ptencial iene expreada pr: Ep x Energía ttal e la ua de aba: E T Ec + E p ω ( A x ) ( A x ) ( A x ) ω x E T ω + E T ω A ET A Septiebre 000. Prblea B.- Un ciladr arónic cntituid pr un uelle de aa depreciable, y una aa en el extre de alr 40 g, tiene un perid de cilación de. a) Cuál debe er la aa de un egund ciladr, cntruid cn un uelle idéntic al prier, para que la frecuencia de cilación e duplique? b) Si la aplitud de la cilacine en ab ciladre e 0 c, cuánt ale, en cada ca, la áxia energía ptencial del ciladr y la áxia elcidad alcanzada pr u aa? 34