Elementos de geometría analítica

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1 UNIDAD 7: APLIQUEMOS ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA. Introducción Elementos de geometría analítica En esta unidad última nos ocuparemos del estudio de los conceptos más fundamentales de la geometría analítica plana y haremos un recorrido pos los lugares geométricos más conocidos. En concreto, se pretende que l@s estudiantes se familiaricen con los conceptos de distancia entre dos puntos, pendiente de una recta, punto medio de un segmento, ángulo entre rectas. A su vez, se busca que l@s estudiantes logren un conocimiento claro de las ecuaciones de una línea recta, de una circunferencia y de una parábola. Por otro lado, será importante visualizar la aplicación de estos conceptos y ecuaciones, en el análisis de situaciones geométricas. Objetivos: Que el alumno o la alumna pueda:. Explicar los conceptos matemáticos de distancia entre dos puntos, inclinación y pendiente de una recta, ángulo entre rectas y punto medio de un segmento.. Aplicar las fórmulas para calcular: la distancia entre dos puntos, la pendiente de una recta, el ángulo entre rectas y el punto medio de un segmento... Utilizar los conceptos elementales estudiados, para realizar demostraciones geométricas.. Definir los lugares geométricos siguientes: línea recta, circunferencia y parábola. 5. Identificar el lugar geométrico (línea recta, circunferencia y parábola) correspondiente a una determinada ecuación. 6. Determinar los elementos característicos de un lugar geométrico a partir de su ecuación y trazar el gráfico. 7. Encontrar la ecuación de un lugar geométrico a partir de ciertos elementos que lo caracterizan.. Conceptos fundamentales. Objetivos conceptuales. Entender los conceptos: coordenadas rectangulares, distancia entre dos puntos, iinclinación y pendiente de una recta, ángulo entre rectas y punto medio de un segmento de recta. Objetivos procedimentales. Ubicar un punto en el plano cartesano, calcular la distancia entre puntos y la inclinación y la pendiente de una recta, calcular el ángulo entre rectas y el punto medio de un segmento de recta. Objetivos actitudinales. Considerar que ubicarse en el plano cartesiano nos puede servir para ubicarnos en las circunstancias de la vida cotidiana.. Coordenadas rectangulares El plano cartesiano ya se ha estudiado en años anteriores. Aquí haremos un breve recordatorio. En la página siguiente se muestra el plano cartesiano. Allí podemos observar los ejes cartesianos: X y y. Observamos también los cuadrantes y pares ordenados.

2 Actividad. Coloquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (,5), (,), (5,), (-,), (-,-), (-,-), y (,-) Actividad b. Ubiquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (-,5), (-,), (- 5,), (,), (,-), (,-), y (-,-) Actividad c. Ubiquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (-,-5), (-,-), (-5,-), (,-), (,), (,), y (-,) 5 Cuadrante II (-, ) Cuadrante I Eje X Origen (0, 0) Cuadrante III Eje y (, -) Cuadrante IV Podemos observar las características siguientes:. Los valores positivos de X están a la derecha del origen. Los valores positivos de y están hacia arriba del origen. Los valores negativos de X están a la izquierda del origen. Los valores negativos de y están hacia abajo del origen Todo valor a la izquierda es menor que todo valor a la derecha (en X) 6. Todo valor de abajo es menor que todo valor de arriba (en y) Un punto en el plano puede estar arriba o abajo. Algo parecido te ocurrirá en la vida: procura estar ubicado en la posición adecuada.. Distancia entre dos puntos En La gráfica siguiente tenemos rectas: una horizontal que pasa por y = 5, y una vertical que para por X = 9. sobre cada recta hay dos puntos. Sobre la recta que pasa por 9 tenemos los puntos (9,-) y (9,6) Cuál es la distancia entre los dos puntos? Si

3 medimos con una regla, encontramos que esa distancia es 7 cm. Pero 7 = 6 (-) = 6 + = 7. Pero 6 y son las coordenadas en y. En general se tiene que, para puntos sobre una recta vertical, la distancia es y y, siendo y el mayor. De igual forma tenemos que, para puntos sobre una recta horizontal, la distancia es X X, siendo X el mayor. Para el caso de la recta horizontal mostrada, la distancia es: 7 (-) = 7 + = 8 cm Supongamos ahora que queremos medir la distancia entre los puntos (,) y el punto (5,) Si medimos con una regla encontramos que es 5 cm. Pero a esta respuesta también se llega aplicando Pitágoras, pues se tiene un triángulo rectángulo. Para el cateto horizontal se tiene una distancia de: X X = 5 = cm Para el cateto vertical se tiene una distancia de: y y = = cm Al aplicar Pitágoras, se tiene que la distancia es: d = + = 5 = 5 cm Por lo tanto se tiene que la distancia, d, entre puntos es: d = (X X ) + (y y ) En esta ecuación no importa si X es mayor o menor que X.

4 Actividad. Encuentren la distancia entre los siguientes pares de puntos:. (,8) y (5,8). (,8) y (5,8). (,8) y (5,8). (-,8) y (5,8) 5. (-,8) y (5,8) 6. (,-8) y (5,-8) 7. (,-8) y (5,-8) 8. (-,-8) y (5,-8) 9. (-,-8) y (5,-8) 0. (,8) y (,6). (,8) y (,7). (,8) y (,). (5,-8) y (5,). (,7) y (6,-5) 5. (,5) y (,-) 6. (-5,8) y (,-) 7. (5,) y (-,8) 8. (,-7) y (0,-) 9. (5,0) y (,9) 0. (00,-0) y (0,-). (00,-0) y (- 00,0) discusión.. Encuentren gráfica y analíticamente el perímetro de los triángulos siguientes: 6 5 A Para lograr tus propósitos debes saber ubicarte. Ubícate de manera que tengas cerca de ti lo que necesitarás. B

5 C D Ubícate a la derecha o a la izquierda. La mejor posición dependerá de las circunstancias. E F H

6 G. En los casos siguientes se da la distancia entre los puntos. Encuentren en cada caso la coordenada q. a. (, q) y (0, ) d = 7 b. (5, 8) y (0, q) d = c. (-, 6) y (q, -) d = d. (q,5) y (0,) d = 8 e. (q,8) y (0,) d = f. (8,) y (0,q) d = g. (5,q) y (7,) d = 8 h. (,0) d y = (q,7) 5 6 i. (0,q) y (0,0) d = j. (q,0) y (5,) d = k. (,5) y (5,q) d = d = 00 l. (q,5) y (,) d = 85 m. (q,0) y (0,0) b. En los casos siguientes se da la distancia entre los puntos. Encuentren en cada caso la coordenada q. a.(q, ) y (-0,-5) d = 85 b. (q, -8) y (-0,-8) d = 00 c. (0, -0) y (-5,q) d = 5 d. (0, -0) y (-5,q) d = 5 e. (0, -0) y (-5,q) d = 5 f. (-5, -8) y (q,-) d = 6 g. (-5, q) y (,-0) d = 685 h. (q, ) y (,-) d = 9 i. (0, -) y (q,5) d = 95 j. (q, 0) y (0,-5) d = 50 c. Trazar y encontrar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son los puntos siguientes: a. (,8); (5,8) y (6,7) b. (,0); (,8) y (6,-7) c. (,-0); (,-8) y (,- 7) d. (,-); (,-0) y (-,-7) e. (-,-); (,-0) y (5,-7) discusión. a. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-,); el punto B es (,0); el punto C es (6,); el punto D es (8,-) y el punto E es (5,- 7) Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E b. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-,); el punto B es (-,0); el punto C es (6,5); el punto D es (5,-) y el punto E es (5,-6) Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E c. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-,); el punto B es (-,8); el punto C es (6,7); el punto D es (5,-) y el punto E es (5,-5)

7 Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E d. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-,); el punto B es (-,7); el punto C es (5,7); el punto D es (,-) y el punto E es (7,-5) Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E e. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-5,); el punto B es (-,5); el punto C es (,7); el punto D es (,0) y el punto E es (7,-8) Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E discusión. a. Encuentren puntos que estén a 5 unidades del punto (,5) b. Encuentren puntos que estén a unidades del punto (,5) c. Encuentren puntos que estén a 6 unidades del punto (,5) d. Encuentren puntos que estén a 7 unidades del punto (,) e. Encuentren puntos que estén a unidades del punto (,5) f. Encuentren puntos que estén a 6 unidades del punto (,) g. Encuentren puntos que estén a 7 unidades del punto (,) discusión b. La circunferencia mostrada tiene un radio de cm. Calcular las distancias entre los puntos: a. A y B b. A y C c. A y D d. B y C e. B y D f. C y D D A Un punto en el plano se rige por coordenadas. En la vida encontrarás coordenadas que te señalarán el camino adecuado. C B. Inclinación y pendiente de una recta Inclinación. La inclinación de una recta es el ángulo que forma con la horizontal Pendiente. La pendiente m de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. l 6.º Si conoces las circunstancias de tu vida como un plano cartesiano, lograrás ubicarte bien, de manera que no te inclinarás ante nadie.

8 En el plano cartesiano anterior, la recta l tiene una inclinación de 6.º Esto significa que su pendiente es: Tan (6.º) = Lo anterior nos lleva a la conclusión que la inclinación de una recta es la tangente inversa de la pendiente. Para el caso anterior, como la pendiente es, entonces la inclinación es: Tan - () = 6.º Para una recta que pasa por puntos conocidos, su pendiente viene dada por la fórmula: Ejemplo. Calcular la pendiente y la inclinación de las rectas siguientes:. La que pasa por los puntos (,0) y (,6). La que pasa por los puntos (,-) y (,-7) Solución. m = (y y ) / (X X ) Los puntos son (,0) y (,6) La pendiente es: m = (6 0) / ( ) = 6/ = El ángulo de inclinación es: Tan - () = 7.6º Los puntos son (,-) y (,-7) La pendiente es: m = (-7 (-)) / ( ) = (-7 + ) / = -/ = - El ángulo de inclinación es: Tan - (-) = -6.º Observemos que la pendiente y la inclinación son negativas. 6. nos indica que es un ángulo medido hacia abajo del eje X positivo. Esta recta es la siguiente: θ -6.º Surge la pregunta: qué ángulo forma hacia arriba del eje X? La respuesta es sencilla. Se tiene que 6.º + θ = 80º Por lo tanto θ = 80º - 6.º = 6.57

9 No olvidemos que Tan 6. = Tan 6.57º El ángulo puede expresarse como 6.57º ó -6.º Se concluye que de 0º a 90º, la pendiente es POSITIVA. De más de 90º a menos de 80º, la pendiente es NEGATIVA. Además, una recta horizontal tiene pendiente CERO; y una vertical tiene pendiente INFINITA. Actividad. En cada par de puntos, encuentra la pendiente y la inclinación.. (,) y (,6). (,5) y (,7). (,) y (,6). (,5) y (,0) 5. (,0) y (,-) 6. (,) y (,-) 7. (,-) y (,-6) 8. (,-5) y (,- 0) 9. (,) y (,-) 0. (,) y (,-). (,-) y (5,-6). (,5) y (5,- ). (,) y (,-). (,) y (6,-) 5. (,-) y (,-6) 6. (,-5) y (,-0) 7. (,) y (,-) 8. (,) y (5,-) 9. (-,-) y (,-6) 0. (-,-5) y (,- 0). Angulo entre dos rectas Observa el gráfico siguiente: l θ En el gráfico, las rectas l y l forman un ángulo θ. Como la suma de los ángulos de un triángulo es 80º, entonces se tiene que el ángulo θ es de 80º - 5º - 6.º = 7.57º Es decir que el ángulo entre las rectas es de 7.57º l 5º 6.º 6.57º -6.º Se tiene también que para l su pendiente es m ; y para l la pendiente es m. Ocurre que para θ: Tan θ = m m + m m Significa que el ángulo entre las rectas es: θ = Tan - (m m ) / ( + m m ) Para el caso que estamos estudiando, las pendientes son:

10 Para l : Tan 5º = Para l : Tan 6.57º = - Por lo tanto, el ángulo entre las rectas es: θ = Tan - ((- ) / ( + ()(-))) = Tan - (- /( - )) 7.57º = Tan - -/- = Tan - = Ejemplo. Encontrar el ángulo que forman rectas. La primera pasa por los puntos (,) y (,8): y la segunda pasa por los puntos (,-6) y (,-) Solución. pendiente. La primera pasa por los puntos (,) y (,8) Encontremos la m = ( - 8) / ( - ) = -/- = Aquí hemos partido del primer punto. La segunda pasa por los puntos (,-6) y (,-) Encontremos la pendiente. m = (-6 (-)) / ( - ) = (-6 + ) / - = 6/- = - θ = Tan - ((- ) / ( + ()(-))) = Tan - (-5/( - 6)) = Tan - ( 5/-5) = Tan - = 5º θ = 5º El ángulo que formen las rectas será siempre POSITIVO y menor de 80º Actividad. Encontrar en cada caso el ángulo que forman las rectas.. La primera pasa por (,) y (5,0) y la segunda pasa por (,-) y (5,-0). La primera pasa por (,) y (5,0) y la segunda pasa por (,6) y (,9). La primera pasa por (,) y (,) y la segunda pasa por (,-) y (,-6). La primera pasa por (,-) y (,-6) y la segunda pasa por (,-8) y (,-) 5 La primera pasa por (,-5) y (,-7) y la segunda pasa por (,-5) y (,-0) Actividad b. Se tiene una recta que pasa por los puntos (0,0) y (,7). Encontrar el ángulo que forma esta recta con la recta que pasa por los puntos (0,0) y (,q) si q toma toma los valores de: a. q = θ = b. q = θ = c. q = 0 θ = d. q = 9 θ = e. q = 8 θ = f. q = 7 θ = g. q = 6 θ = h. q = 5 θ = i. q = θ = j q = θ = k. q = θ = l. q = θ = m. q = 0 θ = n q = - θ = ñ. q = - θ = o. q = - θ = Actividad c. Para cada recta que pasa por los puntos indicados, encontrar el menor ángulo que forma con los ejes del plano cartesiano a. (,) y (5,0) θ X =

11 θ Y = b. (,-) y (5,-0) θ X = θ Y = c. (,) y (5,0) θ X = θ Y = d. (,6) y (,9) θ X = θ Y = e. (,) y (,) θ X = θ Y = f. (,-) y (,-6) θ X = θ Y = g. (,-) y (,-6) θ X = θ Y = h. (,-8) y (,-) θ X = θ Y =.5 Punto medio de un segmento de recta P (X, y ) P (X, y ) Pm (X, y) En la gráfica aparece un segmento de recta. El segmento se inicia en P y termina en P. El punto Pm es el punto medio. Es decir, la mitad del segmento. Si conocemos las coordenadas de los puntos extremos, cómo averiguamos las coordenadas del punto medio. Se tiene que: X = (X + X )/ Ejemplo. Los puntos extremos de un segmento de recta son (,6) y (8,) Encontrar el punto medio. Solución. Apliquemos las ecuaciones respectivas: X = (X + X )/ = ( + 8)/ = 0/ = 5 y = (y + y )/ = (6 + )/ = 8/ = 9 y = (y + y )/ El punto medio es Pm (5,9) Actividad 5. En cada caso, encuentra el punto medio del segmento de recta. Se dan los puntos extremos.. (,) y (8,6). (,) y (8,-). (,) y (0,-). (-,-) y (8,0) 5. (,) y (8,7) 6. (,5) y (8,7) 7. (,5) y (8,7) 8. (,7) y (8,7) 9. (-,5) y (8,7) 0. (-,5) y (- 8,7). (,5) y (-8,-7). (-,5) y (-8,-7). (5,) y (7,8). (5,) y (7,8) 5. (5,) y (5,8) 6. (5,) y (5,8) 7. (5,6) y (5,8) 8. (-5,6) y (5,8) 9. (5,6) y (-5,8) 0. (5,8) y (-5,8)

12 . (5,8) y (-5,-8). (5,6) y (-5,-6). (5,) y (-5,-). (,) y (6,-) 5. (6,) y (6,-) 6. (6,-) y (6,) 7. (,-) y (9,) 8. (,-) y (9,) 9. (,-) y (9,-) 0. (-,-) y (9,-). (-,) y (9,-). (-,) y (-9,-). (-,-) y (-9,-). (-,-) y (-9,-6) 5. (-,-) y (-9,-8) 5. (-,-) y (-9,-0) 5. (-5,-) y (-9,-8) discusión. En cada uno de los casos siguientes se da el punto inicial y el punto medio; calculen el punto final.. (,), Pm(6,8). (,), Pm(7,6). (,6), Pm(9,6). (8,), Pm(,) 5. (,8), Pm(,9) 6. (6,8), Pm(6,9) 7. (6,8), Pm(6,0) 8. (,8), Pm(7,0) 9. (-,8), Pm(,) 0. (,-8), Pm(7,). (,0), Pm(7,). (-,8), Pm(-,). (-,-), Pm(-5,6). (-5, 0), Pm(-5,6) 5. (-7, 8), Pm(- 6,6) 6. (-, -), Pm(-5,-5) 7. (0, -), Pm(9,-5) discusión 5. En los casos siguientes, deberán encontrar la distancia que hay de un extremo al punto medio del segmento de recta dado.. (,) y (-,8). (-,) y (6,8). (9,8) y (,-6). (-,-0) y (,8) 5. (-,6) y (8,) 6. (-,6) y (8,) 7. (-,8) y (8,0) 8. (-,8) y (0,0) 9. (6,8) y (0,0) 0. (6,) y (0,8). (-6,) y (- 0,). (-8,) y (-8,0). La línea recta. Objetivos conceptuales. Comprender con cierta profundidad lo que es una línea recta. Objetivos procedimentales. Trazar una recta y expresar su ecuación conocidos puntos de ella o un punto y su pendiente; y, conocida la ecuación, calcular si es paralela o no a otra, así como conocer su pendiente o algunos de sus puntos. Objetivos actitudinales. Considerar que así como la línea recta carece de quiebres, así nosotros debemos proceder con rectitud ante nuestros semejantes. Hemos trabajado anteriormente con segmentos de línea recta. Esto debido a que no se puede trabajar completamente con la línea recta, pues ésta es infinita. Es decir, no tiene ni principio ni fin: viene de menos infinito y va hacia más infinito. Se tiene también que por un punto pasan infinitas líneas rectas. Esto se muestra en el gráfico: Sin embargo, por puntos sólo puede pasar una línea recta.

13 Si por puntos sólo pasa una recta, entonces la ecuación de dicha recta puede encontrarse a partir de tales puntos. Así es. Pero, cuál es la ecuación de una recta? Ecuación general de la recta La ecuación general de la recta tiene la siguiente forma AX+ By + C = 0 Forma pendiente-intersecto de la recta Si de la ecuación general despejamos y, obtenemos: AX + By + C = 0 By = - AX - C y = (-A/B) X - C/ B Ocurre en la última ecuación que el factor (-A/B) es la pendiente, m, de la recta; mientras que C/B es el punto donde la recta intersecta al eje y. Es decir que C/B es el intersecto. Si al intersecto le llamamos b, se tiene que: La ecuación pendiente intersecto de una línea recta es: y = mx + b Intersecto b Es evidente que toda recta que no es vertical, SIEMPRE tendrá intersecto, aunque éste puede valer CERO. Esto se da cuando la recta pasa por el origen. Además, en el intersecto, X = 0. Es decir que el punto intersecto es (0, b) La ecuación, evidentemente, se aplica si se conoce la pendiente y el intersecto. Forma intersecciones de la recta Toda recta que no es vertical tiene intersecto en y, pero también tiene intersecto en X. Llamemósle a al intersecto en X. Ambos intersectos se muestran a continuación b

14 a Si se conocen los intersectos, la ecuación de la recta es: X y + a b = Forma dos puntos de la recta Si se conocen puntos de una recta, puede calcularse su pendiente m. Recordémoslo: y y m = X X La ecuación dos puntos de una recta es la siguiente: y y y = y X X (X - X ) La ecuación, evidentemente, se aplica si se conocen puntos de la recta. Forma punto y pendiente de la recta En la ecuación anterior, al sustituir la pendiente m, se obtiene la ecuación punto pendiente de la recta: y y = m (X - X ) Ejemplo. Una recta pasa por los puntos (, ) y (, ) Encontremos la ecuación de la recta y los puntos donde la recta corta los ejes. Además, trazar la gráfica. Solución. Lo primero que debemos hacer es encontrar la pendiente: m = (y y )/(X X )= ( )/( ) = /(-) = - Ahora tomemos un punto y apliquemos la ecuación punto pendiente. Tomemos el primer punto (, ); obtenemos: y y = m (X - X ) y = - (X - )

15 y = -X + y = -X + + = -X + 6 y = -X + 6 Esta es la ecuación pendiente intersecto. Ahora dispongámonos a encontrar los puntos donde la recta corta los ejes. El punto donde corta al eje y es el intersecto: (0,6) Para encontrar donde la recta corta al eje X, hacemos y igual a CERO. y = -X = -X + 6 -X = -6 X = -6/(-) X = Tracemos la gráfica: Para trazar la gráfica Bastan puntos. Pueden ser los puntos dados o los intersectos. Usemos éstos. 6 (0,6) (,0) Ejemplo. Una recta pasa por el punto (-,) y se sabe que tiene la misma pendiente que la recta y X 0 = 0 Encontremos la ecuación, los intersectos, la gráfica y 5 puntos más de la recta. Solución. Nos dan la ecuación general de una recta paralela a la que buscamos. Son paralelas porque tienen la misma pendiente. De la ecuación general sacamos la pendiente. Cómo? Despejando y. y X 0 = 0 y = X + 0 y = X + 5 La pendiente de la recta que buscamos es. Con el punto que se tiene y la pendiente, encontramos la ecuación: y y = m (X - X ) y = (X (-)) y = (X + ) y = X +

16 y = X + 6 Esta es la ecuación pendiente intersecto. El intersecto en y es: (0,6) Para encontrar donde la recta corta al eje X, hacemos y igual a CERO. y = X = X + 6 X = -6 X = -6/ X = - El intersecto en X es: (-,0) El gráfico es el siguiente: 6 - Para encontrar 5 puntos de la recta, le damos a X 5 valores. Llenaremos una tabla de valores. Los 5 puntos son: (,8), (,0), (,), (,) y (5,6) Actividad 6. En los casos siguientes se te dan puntos. Deberás encontrar la ecuación de la recta, los intersectos, puntos más de la recta y la gráfica.. (,) y (,). (,7) y (5,0). (,) y (5,7). (-,-9) y (,-) 5. (-,-0) y (5,) 6. (,-) y (,-6) 7. (5,-) y (7,-7) 8. (,5) y (-,-5) 9. (,-7) y (5,-5) 0. (,6) y (6,8). (,) y (,7). (,) y (6,-5) X y

17 Actividad 6b. En los casos siguientes se te da punto y la inclinación. Deberás encontrar la ecuación de la recta, los intersectos, puntos más de la recta y la gráfica.. (, ) La inclinación es de 5º. (, 7) La inclinación es de 5º. (, ) La inclinación es de 6.5º. (, -) La inclinación es de 7.565º 5. (5, ) La inclinación es de 7.565º 6. (, ) La inclinación es de 78.69º 7. (, 9) La inclinación es de 6.5º 8. (, ) La inclinación es de 5º 9. (, 0) La inclinación es de 78.69º 0. (, ) La inclinación es de 78.69º. (, -5) La inclinación es de 78.69º. (, 5) La inclinación es de º. (, ) La inclinación es de º. (, ) La inclinación es de º 5. (, 6) La inclinación es de º Actividad 6c. Para cada recta mostrada encontrar su ecuación

18 discusión 6. P. Se sabe que la distancia de P al punto (8,) es de 5 Encuentren la ecuación de la recta. Se sabe que la distancia de P al punto (,) es de 5 Encuentren la ecuación de la recta. Se sabe que la distancia de P al punto (,5) es de 5 8 Encuentren la ecuación de la recta. Se sabe que la distancia de P al punto (,9) es de 5 Encuentren la ecuación de la recta 5. Se sabe que la distancia de P al punto (5,5) es de 5 Encuentren la ecuación de la recta

19 8 5 Discusión 7. Encuentren la ecuación de la recta en los casos siguientes. La longitud del segmento de recta es d. d = 5 7 d = 89 d =

20 d = d = 5 Discusión 7b. En cada caso encuentra la ecuación de la recta A 9 8 B 7 C 6 5

21 D E F H G I J K L N M Tipos de recta Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si nunca se intersectan. Es decir, si tienen la misma pendiente Las parejas de rectas siguientes son paralelas.

22 Por ejemplo, las rectas y = 5X y y 0X = 0 son rectas paralelas. Despejemos y de la segunda ecuación para comprobarlo. y 0X = 0 y = 0X + y = 5X + Como vemos, tienen la misma pendiente: 5. Rectas perpendiculares Si rectas no son paralelas, entonces son intersectantes. Es decir, se intersectan. Si esas rectas se intersectan formando un ángulo de 90º, entonces son perpendiculares u ortogonales. 90º Estas rectas son perpendiculares, pues al cortarse forman un ángulo de 90º Si rectas son ortogonales, entonces se cumple que el producto de sus pendientes es. Por ejemplo, si l y l son restas perpendiculares, y si m y m son sus pendientes respectivas, entonces se cumple que: m x m = - Para el caso, si / es una pendiente; entonces la otra pendiente es /. Encontremos el producto. (/) x (-/) = -/ = - Actividad 7. En cada caso, determina si las rectas son paralelas o si se intersectan. Si se intersectan, determina si son perpendiculares.. y - X = 0 y y - 6X =. y = X + y y - X = -. y = X + y y + X = -. y - X = y y - 6X = 5. y = 5X + y 5y + X 5 = 0 6. y - X + = 0 y y + X = 5 7. Una recta pasa por (,) y (5,8) y la otra es y + X = 8. Una recta pasa por (,) y (5,8) y la otra pasa por (,-) y (8,-6) _ 9. Una recta pasa por (,) y (5,8) y la Discusión 8.

23 otra tiene una inclinación de 5.º 0. Una recta pasa por (,5) y (8,0) y la otra tiene una inclinación de 5º Encontrar la ecuación de la recta graficada si se sabe que es perpendicular a la recta cuya ecuación aparece. y + X + = 0 y + 8 = -X y + 5 = -X 5 y = X/ + 00 y = X/ y = X/ y = -0.5X y = -0.5X y = -0.5X y = -X / + - y = -X / + 0 y = -X / + 0 (, ) (, 5) 5 (-, -5) y + 5 = -X y + X + = 0 y + 8 = -X

24 6 (, 5) 7 (6, 5) 8 y + 5 = -X y + 7 = -X (, -5) y + 5 = -X (, 5) y + 5 = X/ (6, 5) 9 0 y + 7 = X/ (, -5) y + 5 = X/ (, 5) y + 5 = X/ (6, 5) y + 7 = X/ (, -5) y + 5 = X/ Discusión 9. Construir 5 ecuaciones de rectas perpendiculares a otra cuya inclinación es de 6.65º. Discusión 9b. Encontrar el área del triángulo que forma cada una de las rectas siguientes con los ejes del plano cartesiano (los puntos están en centímetros):. y = X +. y = X +. y = X + 6. y = X y = X + 6. y = X + 7. y = X y = X y = X - 0. y = X - 6. y = X - 9. y =X -. y = 0.5X -. y = 0.5X y = 0.5X -