Formulario de Geometría Analítica

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Monica Herrera Lozano
hace 6 años
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1 1. El Punto 1.1. Distancia entre dos puntos Sean A(x 1, y 1 ) y B(x, y ) dos puntos en el plano. La distancia d entre ambos está dada por la ecuación: d(a, B) = (x x 1 ) + (y y 1 ) 1.. Punto medio: Sean A(x 1, y 1 ) y B(x, y ) dos puntos y un punto M(x M, y M ), el cual está exactamente entre A y B (punto medio del segmento), entonces las coordenadas del punto M son: x M = x 1 + x 1.3. Razón de división de un segmento y M = y 1 + y Sean A(x 1, y 1 ) y B(x, y ) dos puntos y un punto C(x r, y r ) alineado con ellos, el cual divide al segmento AB en la razón r, entonces, las coordenadas del punto C son: x r = x 1 + rx 1 + r y r = y 1 + ry 1 + r *Nota: Si la razón es negativa, el punto C es exterior al segmento, si la razón es positiva, el punto C es interior al segmento Pendiente de un segmento Sean A(x 1, y 1 ) y B(x, y ) dos puntos. La pendiente del segmento AB está dada por la fórmula:. Rectas en el plano m = y y 1 x x 1.1. Ecuación de la recta: Punto - Pendiente Si una recta pasa por el punto P (x 0, y 0 ) y tiene una pendiente m, entonces su ecuación se describe por: y y 0 = m(x x 0 ) Silvio Duarte 1 silvioduarte.com/portal/reforzamiento

2 .. Ecuación de la recta: Punto - Punto Si una recta pasa por los puntos A(x 1, y 1 ) y B(x, y ), entonces su ecuación se describe por: y y 1 = y y 1 (x x 1 ) x x 1.3. Ecuación de la recta: Pendiente - Intercepto con el eje Y Si una recta corta al eje Y en el punto (0, b) y su pendiente es m, entonces su ecuación se describe por: y = mx + b.4. Ecuación de la recta: Simétrica Si una recta corta al eje X en el punto (a, 0) y al eje Y en el punto (0, b), entonces su ecuación se describe por: x a + y b = 1.5. Ecuación General de la recta Toda recta se reduce en su forma general a la ecuación: Ax + By + C = 0 donde la pendiente de la recta se puede calcular como: m = A, el intercepto en el eje B X es el punto ( C C, 0) y el intercepto en el eje Y es el punto (0, ). A B.6. Criterios de paralelismo y perpendicularidad.6.1. Rectas paralelas Si una recta L 1 tiene por pendiente m 1 y una recta L tiene por pendiente m entonces L 1 L si m 1 = m..6.. Rectas perpendiculares Si una recta L 1 tiene por pendiente m 1 y una recta L tiene por pendiente m entonces L 1 L si m 1 m = 1. Silvio Duarte silvioduarte.com/portal/reforzamiento

3 .7. Distancia de un punto a una recta Sea un punto P (x 0, y 0 ) y una recta L : Ax + By + C = 0, entonces la distancia del punto P a la recta L está dada por: d(p 0, L) = Ax 0 + By 0 + C A + B.8. Distancia entre rectas paralelas Sean las rectas L 1 : Ax + By + C 1 y L : Ax + By + C tal que L 1 L entonces la distancia entre ambas rectas es: d(l 1, L ) = C 1 C A + B.9. Ángulo entre dos rectas que se cortan Si dos rectas L 1 y L se cortan formando un ángulo θ, la medida de ese ángulo será: θ = tan 1 ( m m 1 ) 1 + m m 1 *Nota: Si el resultado final es negativo, considerar el ángulo como positivo. Silvio Duarte 3 silvioduarte.com/portal/reforzamiento

4 3. Cónicas 3.1. Circunferencia Ecuación de la circunferencia con centro C(h, k) y radio r (x h) + (y k) = r Ecuación General de la circunferencia de donde si: x + y + Dx + Ey + F = 0 Si D + E F > 0 (positivo), entonces 4 4 x + y + Dx + Ey + F = 0 es una circunferencia con centro C( D, E ) y radio r = D + E F 4 4 Si D + E 4 F = 0, entonces 4 x + y + Dx + Ey + F = 0 es un punto (dado que r = 0) con coordenadas ( D, E ) Si D + E F < 0 (negativo), entonces 4 4 x + y + Dx + Ey + F = 0 no es una circunferencia 3.. Parábola Ecuación Vértice Foco Directriz x = 4py (0, 0) (0, p) y = p y = 4px (0, 0) (p, 0) x = p (x h) = 4p(y k) (h, k) (h, k + p) y = k p (y k) = 4p(x h) (h, k) (h + p, k) x = h p Importante recordar que: Eje de simetría Eje Y (x = 0) Eje X (y = 0) Paralelo al eje Y (x = h) Paralelo al eje X (y = k) 1. La longitud del Lado Recto de la parábola es: Lr = 4p La gráfica se abre hacia Arriba si p > 0 Abajo si p < 0 Derecha si p > 0 Izquierda si p < 0 Arriba si p > 0 Abajo si p < 0 Derecha si p > 0 Izquierda si p < 0. (x h) = 4p(y k) es una parábola vertical con ecuación y = ax + bx + c de donde el centro (h, k) se obtiene de h = b b y k = f(h) = c a 4a 3. (y k) = 4p(x h) es una parábola horizontal con ecuación x = Ay + By + C de donde el centro (h, k) se obtiene de k = B B y h = f(k) = C A 4A Silvio Duarte 4 silvioduarte.com/portal/reforzamiento

5 3.3. Elipse Ecuación Centro Focos x Extremos del eje mayor Extremos del eje menor Directrices a + y b = 1 (0, 0) (±c, 0) (±a, 0) (0, ±b) x = ± a e x b + y a = 1 (0, 0) (0, ±c) (0, ±a) (±b, 0) y = ± a e (x h) (y k) + = 1 (h, k) (h ± c, k) (h ± a, k) (h, k ± b) x = h ± a a b e (x h) (y k) + = 1 (h, k) (h, k ± c) (h, k ± a) (h ± b, k) y = k ± a b a e Importante recordar que: 1. En todos los anteriores casos se cumple que: c = a b. En general el valor de a es mayor que el de b y es quien me determina si la elipse es horizontal o vertical 3. El Lado Recto es Lr = b 3.4. Hipérbola Ecuación Centro Focos Vértices x a y la Excentricidad es e = c a Extremos del eje conjugado Directrices Asíntotas a y b = 1 (0, 0) (±c, 0) (±a, 0) (0, ±b) x = ± a y = ± bx e a y a x b = 1 (0, 0) (0, ±c) (0, ±a) (±b, 0) y = ± a y = ± ax e b (x h) (y k) = 1 (h, k) (h ± c, k) (h ± a, k) (h, k ± b) x = h ± a y = k ± b (x h) a b e a (y k) (x h) = 1 (h, k) (h, k ± c) (h, k ± a) (h ± b, k) y = k ± a y = k ± a (x h) a b e b Importante recordar que: 1. En todos los anteriores casos se cumple que: c = a + b. En general el orden de la diferencia de los términos al cuadrado es quien me determina si la hipérbola es horizontal o vertical 3. El Lado Recto es Lr = b a y la Excentricidad es e = c a Silvio Duarte 5 silvioduarte.com/portal/reforzamiento

6 4. Cuerpos Sólidos Cuerpos Área Total (A T ) Área Lateral (A L ) Área de base(s) (A B ) Volumen (V ) Prismas rectos Paralelepípedos Cubo Pirámides rectas Tronco de pirámide Cilindro Cono Tronco de cono b a (1) A T = A L + A B A L = P B h A B = l () P ap (3) V = A B h A T = (ab + ac + bc) A L = (ac + bc) A B = ab V = abc A T = 6a A L = 4a A B = a V = a 3 A T = A L + A B A T = A L + A BM + A Bm A T = A L + A B A T = πr(g + r) A T = A L + A B A T = πr(g + r) A T = π[g(r + r) + (R + r )] A L = πg(r + r) b a (1) A L = PB ap A B = l () P ap (3) A L = (B+b) a n A B = que en la pirámide V = 1 3 A B h A L = πrg A B = πr V = πr h A L = πrg A B = πr V = 1 3 πr h Esfera A BM = πr A Bm = πr A = 4πr V = 4 3 πr3 Silvio Duarte 6 silvioduarte.com/portal/reforzamiento

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