INFERENCIA ESTADÍSTICA Y ESTIMACIÓN

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1 INFERENCIA ESTADÍSTICA Y ESTIMACIÓN La estadística iferecial se ocupa de exteder o extrapolar a toda ua població, iformacioes obteidas a partir de ua muestra, así como de tomar de decisioes. El muestreo es el proceso seguido para la extracció de ua muestra. - Muestreo Aleatorio: Es aquel e que todos los miembros de la muestra ha sido elegidos al azar, de forma que cada miembro de la població tuvo igual oportuidad de salir e la muestra. Y puede ser: Simple: Elegido el tamaño de la muestra, los elemetos que la compoga se ha de elegir aleatoriamete etre los N de la població. Sistemático: Se ordea previamete los idividuos de la població; después se elige uo de ellos al azar, a cotiuació, a itervalos costates, se elige todos los demás hasta completar la muestra. Los itervalos viee defiidos por el salto (h). Que es el cociete etre el tamaño de la població y el tamaño de la muestra. Estratificado Se divide la població total e clases homogéeas, llamadas estratos; por ejemplo, por grupos de edades, por sexo. Hecho esto la muestra se escoge aleatoriamete e úmero proporcioal al de los compoetes de cada clase o estrato. - Muestreo No aleatorio: E ocasioes o queda más remedio que trabajar co muestras que o so elegidas aleatoriamete. Puede ser: Erráticas o casuales. Por ejemplo las que se realiza boca a boca a pie de ura e las eleccioes. Itecioadas o racioales: So seleccioadas por u experto. So más rápidas pero puede o ser represetativas. Por cuotas. Al etrevistador se le da los criterios de selecció. Por Bola de ieve: U problema importate de la iferecia estadística es la estimació de parámetros de la població (media, desviació típica ), a partir de los correspodietes estadísticos de la muestra (media, desviació típica..). Si cosideremos todas las posibles muestras de tamaño e ua població, para cada muestra podemos calcular u estadístico (media, desviació típica,...) que variará de ua a otra. Así obteemos ua distribució de los estadísticos que se llama distribució muestral. Ua estimació de u parámetro de la població dada por u solo úmero se dice que es ua Estimació de PUNTO (por ejemplo x=,6m). Mietras que ua estimació dada por dos úmeros etre los cuales se puede cosiderar ecajado el parámetro, se dice que es ua Estimació por INTERVALO (por ejemplo x=,6m ±0,03m) Nivel de cofiaza: Es la probabilidad de que el parámetro estimado se ecuetre e el itervalo citado. De suele represetar mediate 1-. Nivel de sigificació: Es la diferecia etre la certeza y el ivel de cofiaza. se represeta por Valor crítico es el valor de la variable que deja a su derecha ua superficie igual a. Se suele represetar por: z Marge de error: Es la diferecia etre los extremos superior e iferior del itervalo. Error máximo admisible: Es la mitad del marge de error.

2 Sea X ua variable aleatoria que sigue ua distribució N(0,1). U itervalo característico es u itervalo simétrico etoro a la media (-k, +k) e el que la probabilidad de que u valor de la variable esté e ese itervalo es 1-, es decir: P(-k < x <+k)= 1- Itervalo: (-k,k) (- z /, z /) Siedo k el valor de la variable que deja ua superficie a su derecha Si la distribució es N( µ, ) etoces el itervalo característico correspodiete a ua probabilidad 1 - es: P z z z = 1 Itervalo Teorema Cetral del Límite: z, µ + z µ Dada ua població de media µ y desviació típica, o ecesariamete ormal, y dado u cojuto de muestras extraídas de dicha població, la distribució de muestras de tamaño verifica que: i) La media de la població será la media de las medias de las muestras ii) Su desviació típica es iii) Si 30, se comporta como ua distribució ormal Esto os permite Iferir la media de la població a partir de ua muestra y establecer u itervalo dode podemos localizar la media co u ivel de cofiaza previamete establecido (1- ) EJEMPLOS: 1º) Si el coteido e gr. de u determiado medicameto X sigue ua distribució N(7.,0.3), calcular la probabilidad de que para ua muestra de tamaño =, se obtega u coteido medio meor que 7, Pr ( X < 7). Sol: Como la població sigue ua distribució ormal N(7,0 3), la media muestral 0,3 seguirá ua N(7, ) por lo que: p ( x < 7) = p( z < 3,769) = p( z > 3,769) = 1 p( z < 3,769) = 0, , Dode si xx< 7 z < x 1,34 º) E el último año, el peso e gramos de los recié acidos e ua materidad se ha distribuido segú ua distribució: N (3100, 0). Cuál será la probabilidad de que la media de ua muestra de 100 recié acidos sea superior a 3130 gr? µ=3100; =0; =100 Dado que >30, la media muestral será la poblacioal: x=µ=3100

3 0 La desviació típica de la muestra será: = = 100 Por tato la media muestral seguirá ua distribució: N(3100, ) Nos pide P( x >3130)=P(z> )=P(z>)=1-P(z )=1-0,977=0,08 3º) Supogamos que la media de estatura de las alumas de u istituto es de 16 cm, co ua desviació típica de 8 cm. Cuál es la probabilidad de que ua muestra de 36 alumas tega ua media de 167 cm o más? x= 16; = = x sigue ua N (16, ) Nos pide P( x >167)=P(z> )=P(z 1,0)=1-P(z<1,0)=1-0,933=0, º) E u test de Matemáticas que se pasó a 1000 alumos de º de bachillerato, se ecotró que las putuacioes obteidas seguía ua ormal N(67,0). Si cosideramos muestras de alumos que hiciero el test: a) Qué porcetaje de las muestras tiee ua putuació media superior a 7? b) Halla u itervalo dóde se ecuetre el 93,73% de las putuacioes medias de los alumos de cada muestra. Sol: Por el teorema cetral del límite, sabemos que las medias muestrales se 0 distribuye segú ua ormal N(67, ) 7 67 a) p ( x > 7) = p( z > ) = p( z > 1,) = 1 p( 1,) = 1 0,9394 = 0, E el 6,06% de las muestras, la putuació media es superior a 7 B )1-=0, = 0, p ( z z ) = 0, 0013 >, p ( z z ) = 1 0,0013 = 0, 9986 = =, El itervalo será: 67,99,67 +,99 es decir: (1 3,8 47) Por tato, e el 93,73% de las muestras, la putuació media está compredida etre 1,3 y 8,47 putos INTERVALOS DE CONFIANZA La estimació por itervalos de cofiaza tiee por objeto proporcioar, a partir de la iformació recogida e la muestra, u itervalo que cotega co alto ivel de cofiaza (probabilidad), al parámetro objeto de uestro iterés, por ejemplo, la media. Supogamos descoocida la media poblacioal de ua cierta variable que deseamos estudiar, sacamos ua muestra y se trata de obteer u itervalo (L 1,L ) de forma que tegamos ua probabilidad alta de que la media poblacioal esté e ese itervalo. El ivel de cofiaza del itervalo lo fijamos osotros., se suele trabajar co 9% y a veces co 90% o el 99% es decir, co ivel de sigificació: 0.0; 0.1; o 0.01.

4 El itervalo de cofiaza para la media poblacioal es: µ z, µ + z Dode z es el valor que e la distribució N(0,1) deja a su derecha u área de. µ es el valor supuesto de la media de la població y, la desviació típica. Si o coocemos la media poblacioal, tedremos que utilizar la media muestral: x. A partir de dicho itervalo obtedremos el error máximo cometido al aproximar putualmete el parámetro, este error vedrá dado por el radio del itervalo de cofiaza es decir: E z = Es deseable para u itervalo de cofiaza, que tega la meor amplitud posible. Esta amplitud depederá de: El tamaño de la muestra. Mietras mayor sea el tamaño mejor será la estimació, auque se icurre e u aumeto de costes Nivel de cofiaza. Si se pide mayor ivel de cofiaza, el itervalo será mayor. EJEMPLOS: 1º) Ua muestra aleatoria de 36 cigarrillos de ua marca determiada dio u coteido promedio de icotia de 3 miligramos. Supoga que el coteido de icotia de estos cigarrillos sigue ua distribució ormal co ua desviació estádar de 1 miligramo. a. Obtega e iterprete u itervalo de cofiaza del 9% para el verdadero coteido promedio de icotia e estos cigarrillos. b. El fabricate garatiza que el coteido promedio de icotia es de,9 miligramos, qué puede decirse de acuerdo co el itervalo hallado? Sol: 1 1 a) 3 1,96,3 1,96 = (,67; 3,33) Teemos ua certeza co u ivel de cofiaza del 9%, de que el verdadero coteido promedio de icotia se halla etre 67 y 3 33 miligramos b) Como 9 se ecuetra e el itervalo hallado, podemos aceptar la hipótesis de que el coteido promedio de icotia es de,9 º) Se ha tomado ua muestra de los precios de u mismo producto alimeticio e 16 comercios, elegidos al azar e u barrio de ua ciudad, y se ha ecotrado los siguietes precios: 9, 108, 97, 11, 99, 106, 10, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110.

5 Supoiedo que los precios de este producto se distribuye segú ua ley ormal de variaza y media descoocida: a) Cuál es la distribució de la media muestral? b) Determie el itervalo de cofiaza, al 9%, para la media poblacioal. a) x = 16 x = 104 Por lo tato la distribució de la media muestral será: N (104, ) 16 b) Como os pide al 9%, quiere decir co ua probabilidad P= 0,9=1- por lo que = 0,0, es decir: P( z ) = 1 0,0 = 0, 97 z = 1, 96 El itervalo de cofiaza será: ( 104 1,96 1., ,96 1.) =(101, 106 4) 3º) La media de las estaturas de ua muestra aleatoria de 400 persoas de ua ciudad es 1,7 m. Se sabe que la estatura de las persoas de esa ciudad es ua variable aleatoria que sigue ua distribució ormal co variaza = 0,16 m. Costruye u itervalo, de u 9% de cofiaza, para la media de las estaturas de la població. N=400; x=1,74; =0,4; 1- =0,9; =1,96 ( /0, /0 ) (1.7108, 1.789) 4º) El peso e kg. de u determiado colectivo se distribuye segú ua ormal de desviació típica kg. Cuátos idividuos debemos escoger e la muestra si queremos que la media de ésta o difiera e más de 1 kg. De la media de la població co u ivel de cofiaza del 9%. El error viee dado por: E = z ; y debe ser: z < 1 como 1- =0,9 z = 1, 96 por tato: 1,96 < 1 >96,4 > 1,96 > (9,8) Hay que tomar ua muestra de, al meos 97 idividuos