PROBABILIDADE 1) EXPERIMENTO ALEATORIO. ESPACIO MOSTRAL ASOCIADO.

Transcripción

1 PROBABILIDADE 1) EXPERIMENTO ALEATORIO. ESPACIO MOSTRAL ASOCIADO. 1.1 Concepto de expermento aleatoro : aqueles expermentos que ó repetlos en análogas condcóns non se pode predecr o resultado en cada nova proba ou realzacón. Exemplos: Lanzar unha moeda e anotar o resultado da cara superor ( cara ou cruz ) Extraer unha carta dunha baralla Expermento determnsta : ó repetlos en análogas condcóns producen sempre o mesmo resultado Exemplos: Trar unha pedra no vacío e medr a aceleracón da caída Medr a lonxtude dunha crcunferenca de rado Espaco mostral. Suceso elemental Espaco mostral : conxunto de tódolos posbles resultados dun expermento aleatoro ( tamén unverso ou colectvo), denótase normalmente por E Suceso elemental : cada un dos posbles resultados dun expermento aleatoro, cada un dos elementos que forman o espaco mostral. Lanzar un dado e anotar o resultado da cara superor. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sucesos elementas: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Lanzar unha moeda e anotar o resultado da cara superor, cara ( C ) ou cruz ( + ). E = {C, +} Sucesos elementas : {C} sae cara, {+} sae cruz Lanzar tres moedas e anotar o resultado das caras superores. E = {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, ++C, +++}. Sucesos elementas : {CCC} 1ª, 2ª, e 3ª cara {CC+} 1ª cara, 2ª cara, 3ª cruz. {C+C}, {+CC} Para constru-lo espaco mostral podemos usar un 1ª moeda 2ª moeda 3ª moeda dagrama en árbore C C CCC C + CC+ + C + C+C C++ C C +CC + + +C+ + C ++C Apuntes de Probabldade páxna 1

2 1.3 Sucesos aleatoros dun expermento aleatoro: cada un dos subconxuntos do espaco mostral Espaco de sucesos : conxunto de tódolos posbles sucesos dun expermento aleatoro ( S ) Un suceso A se realza ou se verfca cando ó realzar unha proba do expermento aleatoro consegumos como resultado un dos puntos mostras ou elementos que forman A. Suceso mposble : o que nunca se realza ( ). Suceso seguro (ou certo): o que se realza sempre, formado por tódolos resultados posbles, concde co espaco mostral E. Suceso contraro ou complementaro dun suceso A : o que se verfca cando non se verfca A ( A ). Suceso composto : formado por más dun punto mostral. Exemplo: Lanzar unha moeda e anota-lo resultado da cara superor: E = {C,+}. Sucesos : {+} {C}, suceso mposble non sae cara e non sae cruz.{c +} sae cara ou sae cruz, sería suceso seguro. O espaco de sucesos : S = {, {C}, {+}, {C, +}} Lanzar un dado e anota-lo resultado da cara superor. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S = { {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6} {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,6}, {1,3,4}, {1,3,5},{1,3,6}, {1,4,5}, {1,4,6}, {1,5,6}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,3,6}, {2,4,5}, {2,4,6}, {2,5,6},{3,4,5}, {3,4,6}, {3,5,6}, {4,5,6}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6}, {1,2,4,5}, {1,2,4,6},{1,2,5,6}, {1,3,4,5}, {1,3,4,6},{1,3,5,6} {1,4,5,6} {2,3,4,5}, {2,3,4,6}, {2,3,5,6},{2,4,5,6}, {3,4,5,6}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6}, {1,2,3,5,6}, {1,2,4,5,6}, {1,3,4,5,6},{2,3,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6}, } O número de elementos de S é 2 n onde n é o número de elementos do espaco mostral E. En xeral o número de subconxuntos dun conxunto de n elementos é 2 n O complementaro do suceso mposble é o suceso seguro : = E O complementaro do suceso seguro é o suceso mposble : E = Suceso seguro E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sae 1, ou 2, ou 3, ou 4, ou, 5 ou, 6 O suceso mposble podería estar representado por non sae 1, e, non sae 2, e, non sae 3, e, non sae 4, e, non sae 5, e, non sae 6, é o mesmo que : non sae 1, nn 2, nn 3, nn 4, nn 5, nn 6 Sucesos elementas : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Se sae 1, ou 2, ou 3 verfícase o suceso {1,2,3}. Se sae un 4 non se verfca o suceso {1,2,3}, pero s o suceso {4,5,6} sae 4 ou 5 ou 6 Sucesos compostos : {1,2}, {2,3,5,6},.. Sae número par A = {2, 4, 6}, o seu complementaro A = {1, 3, 5} sae número mpar Sae múltplo de tres B = {3, 6}, o seu complementaro B = {1, 2, 4, 5} non sae múltplo de tres Outros sucesos : sae nº prmo D = {2, 3, 5}. Sae múltplo de 5 {5} 1.4 Operacóns con sucesos. Propedades. Dferenca de sucesos. Sucesos ncompatbles O suceso A está contdo no suceso B, A B, se sempre que se realza A se realza B Apuntes de Probabldade páxna 2

3 Exemplo: Lanzamos un dado e anotamo-lo resultado da cara superor.a = {2,4,6} sae múltplo de 2. B = {1,2,4,6} sae 1 ou nº par. Entón A B, sempre que sae múltplo de 2 sae un 1 ou un nº par Se A B B A Neste mesmo exemplo B = {3,5} A = {1,3,5,6} Dados dous sucesos A e B, o suceso A unón B, A B, é o suceso que se realza cando se realzan A ou B, é decr cando se realza polo menos un dos dous Dados dous sucesos A e B, o suceso A nterseccón B, A B, é o suceso que se realza cando se realzan A e B smultáneamente. Se a nterseccón se realza, entón realízase a unón Dados dous sucesos A e B son ncompatbles se A B = (non ha nada en común entre os dous) Son compatbles se A B. Dados dous sucesos A e B defíneses a dferenca de sucesos A-B = A B. Os elementos de A que non están en B, qutar de A os elementos de B Exemplos : Lanzar un dado e anotar o resultado da cara superor. Sexan A = sae par, B = sae mpar, C = Sae múltplo de tres. Entón A = {2,4,6}, B = {1,3,5}, C = {3,6}. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sae par ou mpar, concde neste caso con E A B = sae par e mpar, neste caso é o suceso mposble, serían sucesos ncompatbles. A C = {6} sae par e múltplo de tres, neste caso son compatbles A-C = {2, 4} sae par e non múltplo de tres, A-B = {2,4,6}, neste caso concde con A. Propedades das operacóns UNIÓN INTERSECCIÓN 1. Asocatva (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) 2. Conmutatva A B = B A A B = B A 3. Idempotente A A = A A A = A 4. Smplfcatva A (B A) = A A (B A) = A 5. Dstrbutva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 6. Todo suceso A do espaco de sucesos S ten un contraro, complementaro, A que verfca A A = E e A A = Cando dúas operacóns verfcan as propedades anterores decmos que forman unha estructura de Álxebra de Boole, no noso caso de sucesos. Outras propedades son : Elemento ínfmo, o suceso mposble, verfca : A = A e A =, para todo A Elemento Unversal E, o suceso seguro, verfca : A E = E e A E = A, para todo A Les de Morgan : a ) A B A B. O complementaro da unón é a nterseccón dos complementaros b ) A B A B. O complementaro da nterseccón é a unón dos complementaros Exemplos : Lanzar un dado e anotar o resultado da cara superor. A = {2, 4, 6} sae par B = {3, 6} sae múltplo de tres. A B = {2, 3, 4, 6} A B = {1, 5}. A = {1, 3, 5} B = {1, 2, 4, 5}. A B = {1, 5}. Sería un exemplo dunha das les de Morgan Apuntes de Probabldade páxna 3

4 Defncón A 1, A 2,.., A n son un sstema completo de sucesos se : 1º) A 1 A 2 A n = E 2º) Son ncompatbles dous a dous No expermento de lanzar un dado e anotar o resultado da súa cara superor: A 1 = {1}, A 2 = {2}, A 3 = {3}, A 4 = {4}, A 5 = {5}, A 6 = {6} Son un sstema completo Tamén : A 1 = {1, 2}, A 2 = {3, 4, 5}, A 3 = {6} 2) PROBABILIDADE 2.1 Frecuenca relatva e absoluta dun suceso Se realzamos un expermento aleatoro n veces, e un suceso A preséntase k veces decmos que a frecuenca absoluta do suceso A é k, f (A) = k, e a frecuenca relatva do suceso A é h (A) = k n Lanzo 6 veces consecutvas unha moeda e consgo : C, +, +, C, +, + A = sae cara, B = sae cruz. f (A) = 2. h (A) = 2/6 = 1/3 f (B) = 4. h (B) = 4/6 = 2/3 Propedades : 1) 0 f (A) n 2) Se A e B ncompatbles ( A B = ) f (A B) = f (A) + f (B) 3) f (E) = n. A frecuenca absoluta do suceso seguro é n 4) 0 h (A) 1 5) Se A e B ncompatbles ( A B = ) h (A B) = h (A) + h (B) 6) h (E) = Probabldade como límte de frecuencas A frecuenca relatva tende a establzarse en torno a un número, a medda que o nº de probas do expermento crece ndefndamente, a este número chamarémoslle probabldade do suceso. ( Este resultado coñécese como a le dos grandes números ) Se realzamos o expermento aleatoro lanzar unha moeda 10 veces e anotamos a frecuenca relatva de sae cara, repetmos 20 veces más o expermento e anotamos de novo a frecuenca relatva, e así contnuamente, aumentando o número de probas, veremos que a frecuenca relatva achégase cada vez más a 1/2. ( O mesmo pasaría con sar cruz ) 2.3 Defncón axomátca da Probabldade. Propedades. Chámase probabldade a unha aplcacón P defnda no espaco de sucesos, S, e que a cada suceso A falle corresponder un número real P (A), que verfca os seguntes axomas: AX.1 Para todo A de S P (A) 0 ( A probabldade de calquera suceso é postva ou nula ) Apuntes de Probabldade páxna 4

5 AX.2 Se A e B son ncompatbles ( A B = ) P (A B) = P (A) + P (B). Se son ncompatbles a probabldade da unón é a suma das probabldades AX.3 P (E) = 1. (A probabldade do suceso seguro é 1) Propedades 1) P (A) = 1-P ( A ). Demostracón : 1 = P (E) = P (A A ) = P (A) + P ( A ) AX AX.2 A probabldade dun suceso é 1 menos a probabldade do seu complementaro 2) P ( ) = 0. Demostracón : P ( ) = P ( E ) = 1-P (E) = 1-1 =0 1.4 PROP 1 AX.3 A probabldade do suceso mposble é cero 3) Se A B P (A) P (B). Se un suceso está contdo en outro a súa probabldade é menor ou gual. 4) Para calquera suceso A P (A) 1. Demostracón : A E P (A) P (E) = 1 PROP 3 AX.3 A probabldade dun suceso sempre é un número entre 0 e 1 5) Se A e B son compatbles ( A B ) entón P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B) 6) O Axoma 2 xeralízase se A 1, A 2,,A n son ncompatbles 2 a 2 : P ( A 1 A 2. A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) +...+P(A n ) 7) A propedade 5 xeralízase P(A B C) = P (A)+P (B)+P (C)-P (A B)-P (A C)+P(A B C) 8) P (A B) P(A) + P(B). Deducríase da propedade 5 9) P (A B) P (A) + P (B). Tamén da REGRA DE LAPLACE Se o espaco mostral E pode descompñerse en n posbles sucesos equprobables e ncompatbles entre s, e deles h son favorables á realzacón dun certo suceso B entón a probabldade deste suceso B é P (B) = h n número de a B É aplcable na gran maoría dos casos número de casos posbles Lanzamos un dado e anotámo-lo resultado da súa cara superor, A = sae nº mpar B = sae múltplo de 3, C = sae múltplo de 5, D = sae par. a) P (A) d) P (D) g) P ( B ) b) P (B) e) P (A B) c) P (C) f) P (C D) Apuntes de Probabldade páxna 5

6 Estamos nas condcóns da Regra de Laplace. O espaco mostral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} podo descompoñelo en 6 sucesos equprobables e ncompatbles P ({1}) = P ({2}) = P ({3}) = P ({4}) = = P ({5}) = P ({6}) = 1/6 xa que é lóxco pensar que se o dado non está trucado tódalas caras terán a mesma probabldade de sar a) A = {1, 3, 5} P (A) = = 3/6 =1/2 casos posbles Tamén podería pensar que A = {1,2,3} = {1} {2} {3} entón pola propedade 6, xa que son ncompatbles, nun lanzamento do dado se sae 1 non pode sar 2 ou tres, P (A) = P ({1}) + P ({2}) + P ({3}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 b) B = {3,6} P (B) = = 2/6 =1/3 casos posbles c) C = {5} P (C) = = 1/6 casos posbles d) D = {2,4,6} P (D) = = 3/6 = 1/2 casos posbles e) P (A B) = P ({1,3,5,6}) = = 4/6 = 2/3 casos posbles Como A = {1,3,5} e B = {3,6} son compatbles, ( A B = {3} ), pola propedade 5 tamén podería pensar P (A B) = P (A) + P (B)-P (A B) = 3/6 + 2/6-1/6 = 4/6 =2/3 onde a probabldade en cada sumando está calculada usando a Regra de Laplace f) Como C = {5}e D = {2,4,6} son ncompatbles, ( C D = ), polo axoma 2 podería pensar P (C D) = P (C) + P (D) = 1/6 +3/6 = 4/6 = 2/3 onde a probabldade en cada sumando está calculada usando a Regra de Laplace Tamén drectamente P (C D) = P ({2,4,5,6}) = = 4/6 = 2/3 casos posbles Nótese que C e D son ncompatbles pero non complementaros ( para selo a súa unón tería que ser o espaco mostral E ) g) P ( B ) = 1-P (B) = 1-P (B) = 1-2/6 = 4/6= 2/3 onde P (B) está calculada usando a Regra de Laplace. Tamén drectamente P ( B ) = P ({1,2,4,5}) = = 4/6 = 2/3 casos posbles Probabldade de que ó lanzar unha moeda tres veces consgamos polo menos unha cara ( al menos unha cara, é decr unha, dúas ou tres caras). Sempre que apareza esta frase é mo útl pasar ó suceso complementaro. A = polo menos unha cara entón A = nngunha cara P(A) = 1-P( A ) = 1-1/8 = 7/8,xa que a nngunha cara só ha un,tres cruces, e casos posbles neste expermento aleatoro ha 8 como comprobamos no segundo exemplo de 1.2 cando construmo-lo seu espaco mostral Tamén drectamente usando o espaco mostral P (A) = = 7/8 casos posbles Lanzar dous dados e anota-la suma das caras superores. Espaco mostral : E = {S 2, S 3, S 4, S 5, S 6, S 7, S 8, S 9, S 10, S 11, S 12 } onde S = suma, = 2,,12 Agora non son equprobables S 2 = {(1,1)} 1 no prmero e 1 no segundo S 4 = {(3,1),(2,2),(1,3)}, non é o mesmo 1 no prmero e 3 no segundo que 3no prmero e 1 no Apuntes de Probabldade páxna 6

7 segundo. P (S 2 ) = = 1/36 xa que ha 36 resultados posbles neste expermento : do 1 casos posbles ó 6 para o prmero dado e para cada un destes outros 6, para o segundo en total 6x6 = 36.(VR 6,2 ) P (S 4 ) = = 3/36, xa que ha 3 a suma 4 casos posbles 3) PROBABILIDADE CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES. 3.1 Probabldade condconada do suceso B respecto do suceso A : P (B A ) = P(A B) P(A) se P (A) > 0 Probabldade do suceso B condconado polo suceso A Análogamente Probabldade de A condconado por B: P (A B ) = P(A B) P(B) se P (B) > 0. Das dúas relacóns dedúcense as seguntes P (A B) = P (A) P (B A ) se P (A) > 0 Expresóns para a probabldade da nterseccón P (A B) = P (B) P (A B ) se P (B) > 0 Dunha caxa con 9 bolas brancas e 5 negras extraemos sucesvamente, sen reemprazamento, 2 bolas. Calcula a probabldade de : a) a 1ª é branca e a 2ª é negra b) Unha branca e unha negra É mo útl un dagrama en árbore para esquematzar nel os dstntos casos e as súas probabldades B 1 = sacar a 1ª bola branca, B 2 = sacar a 2ª bola branca, N 1 = sacar a 1ª bola negra, N 2 = sacar a 2ª bola negra. 1ª extraccón 2ª extraccón P (B 2 B1 ) = 8/13 B P (B 1 ).P (B 2 B1 ) = 72/182 P (B 1 ) = 9/14 B P (N 2 B1 ) = 5/13 N P (B 1 ).P (N 2 B1 ) = 45/182 P (N 1 ) = 5/14 N P (B 2 N1 ) = 9/13 B P (N 1 ).P (B 2 N1 ) = 45/182 P (N 2 N1 ) = 4/13 N P (B 1 ).P (N 2 N1 ) = 20/182 Tódalas probabldades do dagrama están calculadas usando : e tendo en conta que casos posbles despos da 1ª extraccón queda unha bola menos dentro da caxa, xa que non ha reemprazamento e os casos posbles pasan a ser 13 en vez dos 14 ncas. Esta bola de menos pode ser branca ou negra polo que tamén poden ser menores os a cada suceso dependendo do resultado da 1ª extraccón. Apuntes de Probabldade páxna 7

8 a) Pden P (B 1 N 2 ) = P (B 1 ) P (N 2 B1 ) = 9/14 5/13 = 45/182. É decr : a 2ª rama do dagrama b) Pode ser 1ª branca e 2ª negra ou 1ª negra e 2ª branca, é decr pden : P [(B 1 N 2 ) (N 1 B 2 )] = P (B 1 N 2 ) + P (N 1 B 2 ) = P (B 1 ) P (N 2 B1 ) + P (N 1 ) P (B 2 N1 ) = = 9/14 5/13 +5/14 9/13 = 90/182 = 45/91. En defntva pden a suma da 2ª e 3ªrama do dagrama 3.2 Sucesos dependentes e ndependentes. Probabldade da nterseccón. Dous sucesos A e B son ndependentes se P (B) = P (B A ) Dous sucesos A e B son dependentes se P (B) P (B A ) A partr das gualdades anterores dedúcese: A e B son ndependentes P (A B) = P(A) P(B). A probabldade da nterseccón é gual ó producto das probabldades. En caso contraro son dependentes. Sacamos dúas cartas dunha baralla española. Cal é a probabldade de sacar dous ases? a) Con devolucón b) Sen devolucón A 1 = As na 1º extraccón, A 2 = As na 2ª extraccón a) P (A 2 A1 ) = P (A 2 ) xa que debdo á devolucón a composcón da baralla é a mesma polo tanto sacar as na 2ª extraccón non depende para nada de sacar as na 1ª. Entón : P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) P(A 2 ) = 4/40 4/40 = 1/100 xa que neste caso: P (A 1 ) = P (A 2 ) = = 4 (ases) / 40 (cartas) casos posbles b) Agora son dependentes xa que camba a composcón da baralla. Entón : P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) P (A 2 A1 ) = Probabldade de sacar as na 1ª por Probabldade de sacar as na 2ª sabendo que o saque na 1ª = 4/40 3/39 = 1/130 Defncón : Tres sucesos A, B e C son ndependentes cando verfcan smultáneamente : 1) P (A B) = P(A) P(B) 2) P (A C) = P(A) P(C) 3) P (B C) = P(B) P(C) 4) P (A B C) = P(A) P(B) P(C) A propedade P (A B) = P (A) P (B A ) se P (A) > 0 xeralízase a 3 sucesos así: P (A B C) = P (A) P (B A ) P(C A B ) se P (A) > 0. En xeral: Se A 1, A 2,,A n son n sucesos ndependentes nun mesmo expermento aleatoro e ales que P( A 1 A 2. A n ) 0 entón temos :(TEOREMA DA PROBABILIDADE COMPOSTA) P ( A 1 A 2. A n ) = P (A 1 ) P (A 2 A1 ) P(A 3 A1 A 2 ). P(A n A 1 A 2 A n-1 ) Apuntes de Probabldade páxna 8

9 Exemplo : Extraemos tres cartas (sen devolucón) dunha baralla española. Probabldade de sacar tres ases A 1 = As na 1º extraccón, A 2 = As na 2ª extraccón, A 3 = As na 3ª extraccón Pden P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P(A 3 A1 A 2 ) = 4/40 3/39 2/38 P (A 2 A 1 ) = Probabldade de sacar a segunda carta as sabendo que a prmera saque as = 3/39 xa que ha un caso posble menos ( unha carta menos ) e un caso favorable menos ( a carta de menos é un as ) 3.3 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL. Sexan A 1, A 2,,A n un sstema completo de sucesos ( ncompatbles 2 a2 e a unón de todos eles é o espaco mostral ou suceso seguro ) tales que P (A ) 0 = 1,.,n. Sexa B un suceso para o que coñecemos P(B A ) = 1,.,n. Entón : P (B) = P (A 1 ) P (B A1 ) + P(A 2 ) P(B A2 ) +.+ P(A n ) P(B An ) Exemplo Unha caxa ten tres moedas P; S, T, a prmera é normal, a segunda ten cara polos dous lados e a tercera está trucada de tal xeto que a probabldade de sar cara é 1/3. Escollemos unha moeda ó azar e a tramos. Probabldade de sar cara?. P = escollo P, S = escollo S, T= escollo T (son os A do teorema) C = sae cara (é o B do teorema). Se as P(C A ) probabldades de sar cara según a moeda que resulte escollda, e como escollo ó azar P(P) = P (S) = P (T) = 1/3 xa que podo supoñer que teño a mesma probabldade de escoller unha calquera delas P (C P ) = 1/2 C + 1/3 P P (+ P ) = 1/2 1/3 S P (C S ) = 1 C P (+ S ) = 0 + 1/3 T P (C T ) = 1/3 C P (+ T ) = 2/3 + Pden P (C) = P (C P) + P (C S) + P (C T) = P (C) P (C P ) + P(S) P(C S ) + P(T) P(C T ) = = 1/3 1/2 + 1/ /3 1/3 = 11/18 P (sar cruz) = 1-P (sar cara ) = 1-11/18 = 7/18 Apuntes de Probabldade páxna 9

10 3.3 TEOREMA DE BAYES Sexan A 1, A 2,,A n un sstema completo de sucesos ( ncompatbles 2 a 2 e a unón de todos eles é o espaco mostral ou suceso seguro ) tales que P (A ) 0 = 1,.,n. Sexa B un suceso para o que coñecemos P(B A ) = 1,.,n. Entón : P (A B ) = P (A ) P(B A ) P (A ) P (B A ) P (A ) P (B A ) P (A ) P (B A ) n n ou escrto así : P (A B ) = P (A ) P(B A ) n 1 P (A ) P(B A ) as P (A B ) son probabldades a posteror Exemplo No exemplo anteror, escollemos unha moeda ó azar lanzámola e observamos que sae cara. Cal é a probabldade de que a moeda escollda fose a trucada? P (T C) Pden P (T C ) = = P(C) 1 1 = = 8/ P (T) P(C T) P (P) P (C P) P (S) P (C S) + P (T) P (C T) = 3.5 Expermento composto Formado por varos expermentos smples. Exemplo Lanzar un dado e unha moeda E1 = {1,2,3,4,5,6}, E2 = {C,+}. Espacos mostras smples E = {(1,C), (1,+), (2,C), (2,+),., (6,C), (6,+)}. Espaco mostral composto. Apuntes de Probabldade páxna 10

11 PROBABILIDADE DEFINICIÓN É unha aplcacón (funcón) do espaco de sucesos S no corpo dos números reas, que cumple os seguntes axomas : 1. PA ( ) 0 AXIOMAS 2. PE ( ) 1 3. P( A B) P( A) P( B) Se A e B son ncompatbles ( A B ) A B E 1. P( A) 1 P( A) A A E 2. P( ) 0 OUTRAS PROPIEDADES 3. Se A1, A2,..., An, son ncompatbles dous a dous entón P( A A... A ) P( A ) P( A )... P( A ) 1 2 n P( A B) P( A B) P( A) P( A B) 5. A B P( A) P( B) En concreto P( B) P( A) P( B A) n A B E 6. PA ( ) 1 7. P( A B) P( A) P( B) P( A B) A e B compatbles ( A B ) A B REGRA DE LAPLACE : PA ( ) casos posbles LEIS DE MORGAN : A B A B A B A B Apuntes de Probabldade páxna 11

12 PROBABILIDADE EN EXPERIMENTOS COMPOSTOS Expermento aleatoro formado por varos expermentos aleatoros smples, ou que se pode descompoñer en varos expermentos más smples Probabldade condconada P (A B ) = P(A B) P(B) se P (B) > 0 P (B A ) = P(A B) P(A) se P (A) > 0 COMPOSTA (No caso de 2 sucesos) P (A B) = P(A) P(B) Se A e B ndependentes, é dcr P( A B ) P( A) e P( B A ) P( B) P (A B) = P (A) P (B A ) se P (A) > 0 P (A B) = P (B) P (A B ) se P (B) > 0 Se A e B dependentes TEOREMAS PROBABILIDADE TOTAL Sexan A 1, A 2,,A n un sstema completo de sucesos ( ncompatbles 2 a 2 e a unón de todos eles é o espaco mostral ou suceso seguro ) tales que P (A ) 0 = 1,.,n. Sexa B un suceso para o que coñecemos P(B A ) = 1,.,n. Entón : P (B) = P (A 1 ) P (B A1 ) + P(A 2 ) P(B A2 ) +.+ P(A n ) P(B An ) TEOREMA DE BAYES Sexan A 1, A 2,,A n un sstema completo de sucesos ( ncompatbles 2 a 2 e a unón de todos eles é o espaco mostral ou suceso seguro ) tales que P (A ) 0 = 1,.,n. Sexa B un suceso para o que coñecemos P(B A ) = 1,.,n. Entón : BAYES P (A B ) = P (A ) P(B A ) P (A ) P (B A ) P (A ) P (B A ) P (A ) P (B A ) n n ou escrto así : P (A B ) = P (A ) P(B A ) n 1 P (A ) P(B A ) as P (A B ) son probabldades a posteror Apuntes de Probabldade páxna 12

13 PROBLEMAS. 1) Xoán e Pedro lanzan unha pelota a un branco. A probabldade de que Xoán dea no branco é 1/3, e a probabldade de que dea Pedro é de 1/4. Supóñase que Xoán lanza prmero e que os dous rapaces vanse turnando para lanzar. a) Calcula a probabldade de que o prmero lanzamento que dea no branco sexa o segundo de Xoán. b) Cal é a probabldade de que Xoan dea o branco antes de que o faga Pedro?. 2) Nunha cdade publícanse tres peródcos: X, Y, Z. Sábese que o 60% das famlas están subscrtas ó peródco X, o 40% ó peródco Y, e o 30% a Z. Además o 20% está subscrto ós peródcos X e Y, o 10% a X e Z, o 20% a Y e Z e o 5% ós tres. Pídese: a) Porcentaxe de famlas que están subscrtas polo menos a un peródco. b) Porcentaxe de famlas que están subscrtas só ó peródco X. c) Se unha famla selecconada ó azar está subscrta polo menos a un dos tres peródcos. Cal é a probabldade de que esa famla estea subscrta ó peródco X.?. 3) A. Que relacón exste entre a defncón de probabldade condconada e a de sucesos ndependentes? B. Se os sucesos P e Q son ndependentes, son ndependentes os sucesos complementaros? Razoar a resposta. 4). Unha fábrca de TV somete as undades fabrcadas a tres controles de caldade (X, Y e Z) sendo as probabldades de non superar estes controles de 0'1, 0'2 e 0'3 respectvamente. Se os controles se realzan de xeto ndependente, calcular: A. A probabldade de que un aparato supere os tres controles. B. A probabldade de que un aparato supere, polo menos, un dos tres controles. C. A probabldade de que un aparato supere só un dos controles. 5). Tres máqunas X, Y e Z producron 20, 30 e 30 pezas, respectvamente. Sábese que X produce un 10% de pezas defectuosas, Y un 20% e Z un 30%. Tómase unha peza ó chou e pídese: A. Probabldade de que sexa defectuosa. B. Sabendo que a peza é defectuosa, a probabldade de que proceda da máquna X ou Y. 6). Nunha Unversdade o 20% dos estudantes son de Enxeñería, o 30% de Letras e o 50% de Cencas. Sábese que aproban o curso o 30% dos alumnos de Enxeñería, o 60% dos de Letras e o 50% dos de Cencas. A. Elexdo un alumno ó chou, cal é a probabldade de que aprobe o curso? B. Dnnos que o alumno elexdo aprobou o curso, cal é a probabldade de que sexa de Letras? 7) O 70% dos clentes dunha compañía de seguros de automóbles ten más de 25 anos. Un 5 % dos clentes deste grupo ten un accdente ó longo do ano. No caso de clentes menores de 25 anos, este porcentaxe é do 20%. Se escollemos un asegurado ó chou, calcular a probabldade de que teña un accdente ese ano. Se unha persoa tvo un accdente, calcular a probabldade de que sexa menor de 25 anos. Apuntes de Probabldade páxna 13

14 8) A. Enuncado do Teorema de Bayes. B. Unha enfermdade pode ser producda por dous vrus A e B. Nun laboratoro teñense tres tubos do vrus A e dous do B. A probabldade de que o vrus A produza a enfermdade é 1/3 e que a produza o vrus B é 2/5. Inocúlase ó chou un vrus nun anmal e contrae a enfermdade. Cal é e probabldade de que o vrus que se noculou fora o A?, e cal de que fora o B? 9) A. Defncón axomátco de probabldade. B. Se a probabldade da nterseccón de dous sucesos ndependentes é 0'2 e a da súa unón é 0'7, cal é a probabldade de cada un destes sucesos? 10). O 60% dos alumnos de COU dun colexo aprobaron Flosofía e o 70% aprobaron Matemátcas. Ademas a porcentaxe de alumnos que aprobaron Flosofía aprobando Matemátcas é do 80%, que porcentaxe de alumnos suspendeu ambas materas? Se Xoán sabe que aprobou Flosofía, que probabldade ten de aprobar tamén Matemátcas? 11) A. Que relacón exste entre a defncón de probabldade condconada e a de sucesos ndependentes? B. Se os sucesos P e Q son ndependentes, son ndependentes os sucesos complementaros? Razoar a resposta. Apuntes de Probabldade páxna 14