El Problema del Chattering

Transcripción

1 CAPITULO OCHO El Problema el Chattering Casi siempre que las ieas en moos eslizantes son implementaas, el ruio que provocan los controlaores han irritao a los ingenieros iseñaores casi hasta el punto e suspener el uso e la técnica. El fenómeno es conocio como chattering (término el ingles que significa oscilación o parloteo). Se ientifican os causas principales. La primera, una rápia inámica en el lazo e control la cual fue espreciaa al momento e moelar al sistema, a menuo se presentan rápias conmutaciones e los controlaores e moos eslizantes. La seguno, correspone a una implementación igital meiante microcontrolaores con razones e muestreo que permiten la iscretización el chattering. Este capítulo se centra en la primer causa, la falta e moelao en la inámica el lazo e control e introuce cuatro métoos para prevenir el chattering. Los moos eslizantes en sistemas e tiempo iscreto sin iscretización el chatering se iscute en el capítulo nueve. 8. Análisis el problema El término chattering escribe el fenómeno e señales oscilantes e frecuencia y amplitu finita, aparecen en las implementaciones en moos eslizantes ebio a la rápia conmutación el controlaor en moos eslizantes excitano las características inámicas sin moelar el lazo e control. Dinámica sin moelar puee referirse a sensores y accionaores que no se toman en cuenta para el moelao el proceso ebio a que estos son significativamente más rápios que la inámica principal el sistema. Sin embargo, ebio a que la iea e los moos eslizantes en sistemas es infinitamente rápia, toa la inámica el sistema eberá ser consieraa en el iseño el controlaor. Afortunaamente, la prevención el chattering usualmente no requiere un moelo etallao e toos los componentes. Sin embargo, primeramente ebe iseñarse un controlaor

2 en moos eslizantes bajo suposiciones ieales. En un seguno paso e iseño, es posible prevenir el chattering meiante algunos e los métoos a consierar. Resolver el problema el chattering es importante cuano se busca explotar al máximo los beneficios el usos e los moos eslizantes en el control e sistemas reales. Sin un manejo aecuao el chattering en el proceso e iseño, puee llegar el mayor obstáculo en la implementación e los moos eslizantes en una amplia variea e aplicaciones. Observe que la conmutación como la principal forma e operar e los moos eslizantes no se enomina como chattering, en el caso ieal, porque se comprene que la frecuencia tiene a infinito.; en este libro se enomina chattering para escribir oscilaciones e frecuencia finita no esiables causaa por imperfecciones en el sistema. Esta sección busca profunizar el análisis el problema el chattering. Estuios tanto analíticos como numéricos se utilizan para examinar como se comporta la inámica no consieraa en los lazos e control, causa principal e las oscilaciones en las trayectorias e estao. 8.. Sistema ejemplo: Moelao Como ejemplo ilustrastivo, se presenta a una planta e primer oren junto con un accionaor cuya inámica no moelaa es e seguno oren. La representación en variables e estao e un sistema e primer oren es: x &( = ax( ( x, bw( (8..) one a a a y 0 < b b b son parámetros esconocios con acotaciones conocias, w( es la variables e control y ( se supone uniformemente acotaa para toas las coniciones e operación (x, como ( x,. La variables e control w( es la variables e salia e un accionaor sin moelar cuya inámica tiene la estructura: ω w( = u( = p ωp ω ( µ p ) u( (8..) Done u( es la acción e control que alimenta a la planta (8..) y p enota la variables e Laplace. En la ecuación (8..) se presenta una mezcla e funciones en los ominios el tiempo y la frecuencia para facilitar la representación, sin embargo, esto no es correcto. Por ejemplo, se comprene en (8..) que la variable e control en el ominio el tiempo w( es la señal e salia el filtro pasa bajos escrito meiante la transformaa inversa e Laplace e la función e transferencia en p con la señal e entraa en ominio el tiempo u(. En la ecuación (8..) ω > 0 es el ancho e bana el accionaor para ω >> a en la ecuación (8..). La pequeña constante e tiempo µ = / ω > 0 se sustituye para suponer a la inámica el accionaor significativamente más rápia que la el sistema (8..). El propósito el control es lograr que las variables e estao y la señal e salia x( el sistema (8..) alcancen una trayectoria x ( con una amplitu acotaa y conocia como x ( para una razón e cambio igual a x x & ( v. Los parámetros para el ejemplo e simulación en esta sección son a=0.5, b=, (=0.sin(00.3cos(0 a = 0. 5, b =

3 ( = 0.sin(0t ) o.3cos(0 0.5, ω = 50, entonces µ = 0. 0, con una restricción en la señal e control u (. 0 y una señal e referencia (trayectoria e estao) x ( = sint, i.e. x = y v =. Observe que con a > 0, la planta el ejemplo (8..) es inestable. 8.. Sistema ejemplo: Moos eslizantes ieales El iseño en moos eslizantes e un controlaor estánar para una planta ieal (8../, i.e. espreciano la inámica el accionaor (8..) suponieno w ( = u(, efine las variables e estao como: s( = x ( x( (8..3) y el controlaor en moos eslizantes asociao como: [ s( )] w ( = Msign t (8..4) La estabilia e un sistema en lazo cerrao para un seguimiento e x ( se establece meiante el análisis e una función caniata e Lyapunov. Aunque el análisis e estabilia para este ejemplo no requiere una erivación etallaa e la función e Lyapunov, empero se utiliza este métoo para mantener la uniformia a través e too el capítulo. El caniato es: V ( = s ( (8..5) b Diferenciano a la ecuación (8..5) a través e las trayectorias el sistema (8..) bajo el control (8..4) y sin la inámica el accionaor (8..) se obtiene: V ( = s( s( = g( x, x, s( M s( b (8..6) En one el término x g( x, x, = & ( ax( ( b tiene un acotamiento superior v a x g( x, x, g = (8..7) b

4 suponieno que x( x (. Para M g ξ / b con un valor escalar ξ > 0, sustituyeno la ley e control (8..4) en (8..6) permite que / V ( ξv ( (8..8) que testifica a cerca e la convergencia e s ( = 0 para un intervalo e tiempo finito (la sección 3.5 a más etalles). La solución e (8..8) para una conición inicial arbitraria V ( 0) > 0 obtenrá V ξ / ( = t V (0) (8..9) lo cual implica que V( es iéntico a cero espués e un intervalo e tiempo finito t ( / ) / sm ξ V (0). El valor e t sm es un estimao conservaor el tiempo máximo necesario para alcanzar s ( = 0. En la práctica, los moos eslizantes se alcanzan antes. Subsecuentemente, el sis tema es confinao a las cercanías e s ( = 0 en (8..3) a pesar e las incertiumbres paramétricas en a y b y perturbaciones esconocias ( x,. Un iagrama a bloques e un sistema ieal en moos eslizantes se observa en la figura 8. x ( s( w( Variables e estao x& = x( Figura 8. Diagrama a bloques e un lazo e control ieal en moos eslizantes. Un controlaor iscontínuo obliga a la señal e salia x( e la planta que siga a la trayectoria e referencia x (. No existen los problemas el chattering ebio a que el lazo e control esta libre e inámicas no consieraas. El comportamiento e la planta (8..) bajo el control e los moos eslizantes (8..4) pueen examinarse a través el métoo el control equivalente (sección.3). Debio a que s( es igual a cero espués e alcanzar los lineros e eslizamiento, s& ( puee eclararse formalmente igual a cero. Resolvieno para s& ( = x& ( x& ( = b( g( x, w( ) (8..0) 0

5 el control continuo equivalente resulta w eq ( = g( x, (8..) que puee ser interpretao como el valor promeio el control iscontinuo w( en (8..4). Aplicar el control equivalente w eq ( a la planta (8..) puee ar por resultao el movimiento e la misma trayectoria que al aplicar el control iscontinuo w( (8..4), sin embargo esto no es posible ebio a que g(x, contiene términos esconocios. La sustitución el control equivalente ( en la expresión (8..) hace posible el seguimiento en moos eslizantes w eq con x ( = x(. Para la simulación el sistema (8..) meiante el controlaor (8..4), en la figura 8. se ha seleccionao la conición inicial x ( 0) = y la ganancia M=.0. Después e alcanzarse la región e eslizamiento s( = 0 en un tiempo e t 0.45 _ seg, la trayectoria el sistema x( coincie exactamente con el valor eseao x (, y el controlaor w( switchea a muy alta frecuencia, creano un área sóliamente obscura. Para fines ilustrativos, observe la figura 8.(b) one se observa al control equivalente ( en (8..) meiante una línea punteaa entro e esta área obscura. Ubicano los límites el parámetro en a = a = a = 0. 5 y = b b = b =.0 resultano en g =, lo cual lleva a una lenta convergencia e s( = 0 ebio a que ξ es un valor pequeño. w eq

6 Figura 8. Moos eslizantes ieales en sistemas e primer oren. El vector e estao x( converge a un valor eseao x ( en un intervalo e tiempo finito, i.e. s(=0 para t 0. 45s. Después, el control u( cambia a una frecuencia infinita como se muestra en el área sombreaa e (b). El control equivalente u eq ( cambia para una frecuencia infinita y se muestra con una línea punteaa. (a) La señal e salia el sistema y la e referencia (trayectoria eseaa), (b) señal e control y variables eslizante Sistema ejemplo: Los causantes el chattering En una aplicación práctica, las inámica no moelaas en el sistema e lazo cerrao como las el accionaor en (8..) a menuo previene a los moos eslizantes ieales e que ocurran rápias oscilaciones y finitas en amplitu. La figura 8.3 muestra un iagrama a bloques el control en lazo cerrao que incluye la inámica el accionaor (ignoraa anteriormente). A fin e estuiar las causantes e estas oscilaciones, primeramente se plantea la iferencia entre sistemas continuos y iscontinuos. De acuero con la teoría e perturbación simple Kokotovic (984) provee e un claro estuio e este tema- para sistemas con ecuaciones e movimiento continuo, los componentes rápios tales como los accionaores para un valor grane e ω en (8..) ecaen rápiamente, ano por resultao un comportamiento estable. El componente lento e la planta (8..) epene continuamente en la solución el espacio e estao en (8..). En otras palabras, la solución algebraica e(8..) para µ 0 puee sustituirse en (8..) como una aproximación, y el iseño el controlaor continuo puee muy bien plantearse sin tomar en cuenta la inámica el accionaor. Para el caso e (8..) w = u nos lleva a la figura 8. y figura 8., como se había previsto. En sistemas con iscontinuiaes, la solución e la ecuación e movimiento epene e pequeñas constantes e tiempo que presentan los componentes rápios. Pero a iferencia e los sistemas e control continuo, un controlaor iscontinuo excita la inámica no prevista en el moelo, obtenieno por resultao oscilaciones en el vector e estao. Este problema se conoce como Chattering en la literatura e control. Estas oscilaciones an por resultao una baja precisión en el control, alta isipación e potencia en los circuitos conmutaores y esgaste en los componentes mecánicos. x ( s( u( µ w = (...) w( x = x( Figura 8.3 Lazo e control que no consiera la inámica el elemento accionaor en el iseño e un control ieal. Los moos eslizantes no aparecen ebio a que la inámica el accionaor esta excitaa meiante por la rápia conmutación el controlaor operano en moo iscontinuo, aparecieno el fenómeno el chattering en el lazo.

7 La figura 8.4 muestra el comportamiento el chattering en el sistema (8..) bajo la acción el controlaor (8..4), pero con la inámica el accionaor en (8..) entro el lazo, en la figura 8.3. La figura 8.4(b), la señal e control u( conmuta a una frecuencia finita (línea sólia), en one la señal e salia el accionaor w( (la línea punteaa) no puee seguir los pasos e la estrategia e control u(. Observe que un incremento en el ancho e bana el elemento accionaor porá incrementar la frecuencia e la señal cuaraa e control u(, pero no poría eliminar las oscilaciones. De hecho, cuano un ispositivo mecánico esta Figura 8.4 El problema el chattering en un sistema e primer oren con una inámica el accionaor e seguno oren bajo coniciones e operación e un control iscontinuo. La señal e salia el accionaor w (, se atrazo con respecto a la señal e la estrategia e control u (, resultano en una operación oscilatoria sobre la trayectoria sistema. (a) Señales e salia el sistema y e referencia (seguimiento), (b) señales e control y la variable e eslizamiento. operano oscilatoriamente, tal como se presenta en la figura 8.4, a menuo se presente un ruio auible e alta frecuencia que se le enomina murmullo, parloteo o simplemente chattering. Chattering es extremaamente añino para los componentes mecánicas. Para comprener aun más la naturaleza e las oscilaciones, consiere la situación inmeiatamente espués e que la acción e control u( conmuta ese ( t ) = M hasta u( t sw ) = M en un tiempo t sw. Un instante e tiempo espués, la entraa u( t sw) y la salia w ( t sw) el accionaor ifieren por M. Sin embargo, la iscrepancia entre u( y w( se hace menor espués e que la razón e conmutación es mayor que el movimiento el sistema en (8..), u sw

8 u ( y w ( no están cercanas en el sentio e la teoría e perturbación simple (Utkin, 993). Consecuentemente, la pequeña constante e tiempo no puee ser espreciaa cuano se examina el comportamiento e un sistema con iscontinuiaes en las ecuaciones e movimiento. Consiere las trayectorias el sistema en la figura 8.4. Inicialmente x ( converge a x ( para un tiempo e t 0. 5s. Posteriormente, en lugar e obtener el seguimiento e la señal x (, x ( ivaga cíclicamente entre la convergencia y la ivergencia. Esto sugiere que la región s( = x ( x( = 0 es atractor e granes esviaciones, pero las trayectorias pueen ivergir en alguna pequeña vecina ε (µ) e s ( = 0, en one el escalar ε epene el ancho e bana e la inámica no moelaa el accionaor (8..). El movimiento e la trayectoria esta confinaa a esta vecina, i.e. s ( ε ; sin embargo, entro e la vecina e ε, acontecen oscilaciones e frecuencias y amplitu finitas. La estabilia para granes esviaciones, i.e. para s ( > ε, puee ilustrarse basánose en el hecho e que u ( es constante para s ( > ε. La inámica el accionaor (8..) ecae rápiamente ebio a que son estables y w( u( espués e un corto intervalo e tiempo. En el ejemplo e la figura 8.4, la inámica el accionaor ecae espués e los 0. segunos. Debio a que el análisis e estabilia e (8..5) hasta (8..8) puee ser utilizao para establecer la convergencia e las trayectorias el sistema para s( = 0 hasta que aparece la primer conmutación e u ( (en t 0. 5s e la figura 8.4). A fin e examinar el comportamiento subsecuente el sistema, suponga las coniciones e estao estable con u( = w( = M para s ( > ε. La respuesta al escalón el accionaor para la primer conmutación en t sw ese u( = M hasta u ( = M para s ( = 0 esta ao meiante t t sw ( t t sw) / µ w ( = M e (8..) µ Para un intervalo e tiempo inicial t = t t, la salia el accionaor w ( < u( = M y sw t V ( ) > 0 en (8..6) resulta para el caso g ( x, x, s( > 0. Estos es, espués e que el término exponencial en (8..) ecae, i.e. en t(µ ), w ( > g se ha establecio una ves mas y t V ( ) < 0 inica la convergencia a los moos eslizantes en los lineros e la región s ( = 0 esta ao por s ε( µ ) = ( g M ) t( µ ) (8..3) Derivaciones semejantes se sostienen para la próxima conmutación ese u ( = M hasta u( = M. Resumieno lo expuesto anteriormente, en el sistema no ieal, s ( esta convergieno hacia cero para s ( > ε. Para granes esviaciones e las regiones eslizantes, el sistema en

9 (8..) con inámica no moelaa (8..) bajo el controlaor (8..4) se comporta e forma similar al e un sistema ieal, convergieno a la región eslizante. Finalmente, su movimiento esta confinao a la región s ( ε espués e un intervalo finito e tiempo. Por encima e la vecina ε (µ), no es posible garantizar la estabilia. De hecho se puee observar ivergencia temporal para s ( < ε. Para calificar cuantitativamente la influencia e las inámicas sin moelar en el comportamiento el sistema, consiere el simple caso en que a = 0 ( x, = 0 b = x ( = 0 en (8..) y (8..3) como se muestra en la figura u( ( µp ) w( x( p Figura 8.5 Diagrama a bloques para ilustrar la ivergencia entro e la vecina ξ e la región e eslizamiento. Las ecuaciones e movimiento pueen escribirse en la forma x = w w = v v& = v w µ µ µ u (8..4) Para el controlaor u = Msign( x), la variación e signo en la función e Lyapunov V = xv 0.5w (8..5) tiene una erivaa con respecto al tiempo negativa

10 V = x v w µ µ µ u (8..6) para valores pequeños e v y w. Esto significa que el movimiento es inestable en una vecina e oren ε (µ) e la región s ( x) = x = 0. El sistema (8..4) puee ser representao meiante la figura 8.6 como una alternativa a lo que se planteo en la figura 8.5. Las ecuaciones e movimiento pueen ser escritas meiante * x& = Msign( x) * µ x & µ x& x = x (8..7) Los moos eslizantes no pueen aparecer en el sistema ebio a que la erivaa con respecto al tiempo x es una función contínua en el tiempo y no puee tener su signo opuesto a x en las cercanias el punto x = 0, one el control se vuelve iscontinuo. * El valor e x esta acotao y, ebio a la teoría e perturbaciones singulares (Kokotovic * et al. 984; Kokotovic, 996), la iferencia entre x y x es e µ oren. El signo e x y * x coincie más halla e la vecina e (µ) ε en s ( x) = x = 0, ebio a que las magnitues e * x y x se ecrementan, i.e. las trayectorias e estao convergen a su vecina y espués e un intervalo e tiempo finito t el estao permanece en la vecina. De acuero al análisis e (8..4), el movimiento en la vecina e x = 0 es inestable. La inestabilia local explica porque el chattering puee aparecer en sistemas con controles iscontinuos en one existen inámicas sin moelar. Las oscilaciones e alta frecuencia en los sistemas e control iscontinuo puee analizarse en el ominio el tiempo. Estos breves períoos e ivergencia aparecen espués e que la variable e control e entraa u ( conmuta mientras que la variable e salia el accionaor w ( es incapaz e seguir los cambios abruptos el comano e control. Las soluciones hacia el problema el chattering se enfocan en evitar las iscontinuiaes el control en general o mover la conmutación a un lazo el controlaor one no existan las inámicas no moelaas. El resto e este capítulo iscute varios esquemas e prevención el chattering a fin e examinar los beneficios e caa métoo. - u( x * ( x( p ( µp ) Figura 8.6 Una alternativa a la representación el ejemplo e la figura Solución basaa en la región límite

11 Las soluciones en los límites (Slotine y Sastry, 993; Slotine 984), busca evitar las iscontinuiaes el control y la acción conmutativa en el lazo e control. La ley e control (8..4) se reemplaza meiante una función e saturación la cual se aproxima al término sign (s) en un límite e la región s ( = 0. Numerosos tipos e funciones e saturación se han propuesto en la literatura. Consierano el problema en forma global, i.e. para s ( > ε, se tiene sat ( s) = sign( s). Sin embargo, en una pequeña vecina ε cercana al origen, la enominaa región límite es continua se cumple sat( s) sign( s). Como un ejemplo ilustrativo, consiere una función lineal e saturación: ( s( ) Msign para _ s( > ε u ( = M (8..) s( para _ s( ε ε con una retroalimentación lineal con ganancia proporcional M / ε entro e la capa límite vecina al origen, s( ε y saturao simétricamente por M para s( > ε por fuera e la capa límite. Un iagrama a bloques e este sistema bajo el control (8..) se muestra en la figura 8.7. Para un análisis e estabilia, sustituir (8..) en (8..6) en lugar e (8..4) para obtener / ξv ( para _ s( > ε V & ( M (8..) s( g s( para _ s( ε ε Examinano irectamente (8..) se observan las propieaes e la estabilia e forma semejante a (8..8) para s ( > ε e inestabilia ineterminaa para s ( ε. Debio a que las trayectorias el sistema están garantizaas e que converjan a la capa límite. Para este ejemplo, el sistema es lineal y continuo sin los límites e la capa, por lo que la teoría e control lineal puee utilizarse para un estuio e estabilia. Sustituyeno u( = ( M / ε ) s( en la ecuación (8..) y (8..) con (8..3) se obtiene la siguiente expresión en el ominio e Laplace: M ε ( aµ ) p ( aµ ) p b a x( = h( x, x, 3 µ p µ (8..3) M h( x, x, = b x ( µ ε ( p ) ( x, one h( x, x, puee interpretarse como una perturbación al lao izquiero e la expresión (8..3). Los límites e estabilia e Hurwitz al lao izquiero e la ecuación (8..3) esta aa por: a µ < / (8..4)

12 y M ε < ( aµ ) (8..5) bµ x ( s( u( µ w = (...) w( x = x( Controlaor Accionaor Planta Figura 8.7 Función e saturación reemplazaa para el controlaor iscontinuo. En lugar e que operen los moos eslizantes e forma ieal, las trayectorias el sistema son confinaas a la región interna e s ( = 0. El primer límite e estabilia (8..4) establece que las inámicas no moelaas eben ser más estables y rápias que las inámicas el sistema en (8..). Los límites e la estabilia en (8..5) efine la mayor ganancia e retroalimentación en el sistema (8..) siempre y cuano la inámica el accionaor sea razonablemente lineal. Ganancias altas, en particular aquellas teóricamente infinitas pertenecientes a controlaores operano en moo iscontinuo, resultan inestables en la vecina e s ( = 0, causano los problemas el chattering que se mostraron en la sección 8.. Aún mas, para las trayectorias con oscilaciones libres con valores característicos críticamente amortiguaos en (8..3), es necesario M ε 3 < 4 ( aµ ) bµ Es interesante notar en este ejemplo que la región límite e ancho ε en forma global epene linealmente e la constante e tiempo µ el accionaor e inversamente lineal e los recursos isponibles en el controlaor (M ). Un valor e ε = 0. se selecciona para la simulación e la figura 8.8, lo cual lleva a la estabilia, pero con respuesta subamortiguaa (valores característicos complejo conjugaos). Consecuentemente, se presenta un sobreimpulso al momento que x ( converge a x (. Uno e los beneficios el métoo e la región límite es que el métoo e iseño el control en moos eslizantes puee explotarse al erivarse un controlaor continuo. La propiea e invarianza el control en moos eslizantes se conserva en el sentio e que las trayectorias el sistema son confinaas a la vecina e δ (ε ) en la región eslizante s ( = 0,

13 en lugar e exactamente s ( = 0 como en los moos eslizantes ieales(figura 8. y 8.). Sin embargo, el comportamiento el sistema entro e la vecina en δ (ε ) no esta efinia, i.e. por lo que no esta garantizaa la convergencia a cero. Este tipo e iseño es parte e una clase e controlaores robustos que satisfacen la conición e acotamiento globalmente uniforme propuesto por Leitmann (98). Observe que realmente no se presentan los moos eslizantes, ebio a que la conmutación es remplazaa meiante una aproximación continua. Figura 8.8 Control iscontinuo aproximao meiante una función e saturación en los límites e las trayectorias el sistema en el espacio libre el chattering. El estao x ( converge a x (, pero no los sigue exactamente como en los moos eslizantes ieales: (a) La señal e salia y la e referencia, (b) acciones e control y variable e eslizamiento. 8. Solución basaa en observaores El métoo iscutio en el tema 8. esta basao en el hecho e establecer los límites para evitar generar los moos eslizantes, reemplazano la conmutación iscontinua meiante una función e saturación continua. Sin embargo muchos sistemas son inherentemente controles iscontinuos, e.g. los voltajes e entraa e los convertiores e potencia o los Drivers eléctricos. Cuano se implementa un controlaor continuo, una técnica como la moulación el ancho e pulso (PWM) tiene que ser explotaa para aaptar la ley e control para sistemas con estraas iscontinuas. Los avances recientes en circuitos e alta velocia junto con los insuficientes métoos e control lineal para plantas no lineales e oren superior, tales como los motores e AC, ha sio la principal razón e que los moos eslizantes sean tan populares. Comercialmente están isponibles los convertiores electrónicos cuyas frecuencias e conmutación son manejables en los rangos e los cientos e kilohertz. Por lo tanto parece injustificable pasar por alto a un sistema cuyas señales e control iscontinuas, e.g. los

14 esquemas en PWM, implementao un control e naturaleza continua. Más bien, las especificaciones el sistema pien ser trataas meiante métoos que prevengan al chattering mientras se preservan las iscontinuiaes el control. Un observaor asintótico en el lazo e control puee eliminar el problema el chattering a pesar e las leyes e control iscontinuo. La iea clave, tal como la propuso Bonarev (985), es la e generar los moos eslizantes ieales en un lazo auxiliar para el observaor en lugar el principal lazo e control. Los moos eslizantes ieales son factibles en el lazo el observaor ebio a que son enteramente generaos en el software e control y por lo tanto, este no contiene alguna inámica sin consierar. El lazo principal sigue la inámica el lazo el observaor. A pesar e aplicar una señal e control iscontinua con una acción conmutativa sobre la planta, los fenómenos el chattering no aparecerán y el sistema se comportara como si un control equivalente continuo fuere aplicao. La figura 8.9 muestra un iagrama a bloques el sistema utilizao en este capitulo junto con el observaor auxiliar. Defina un observaor e primer oren para el sistema (8..) como x ˆ & ( = ax( bu( Lx( (8.3.) Done L es la ganancia e retroalimentación lineal para el error observao x( = x( xˆ(. El conocimiento exacto e los parámetros el sistema a y b son supuestos en (8.3.) para facilitar la presentación. En el caso e incertiumbre paramétrica, a y b son reemplazaos meiante los valores estimaos aˆ y bˆ resultano en un análisis más complejo. La inámica lineal el error en el observaor esta gobernaa por la ecuación x = ( x, L x( x ( s( Controlaor u( Accionaor µ w = (...) w( x Planta = (8.3.) x( Lazo auxiliar el observaor Laso principal e control. x ˆ( xˆ = Figura 8.9 Lazo e control con lazo auxiliar el observaor. Moos eslizantes ieales aparecen en la región e s ˆ ( = 0 ebio a qe el lazo el observaor esta libre e inámicas sin moelar. La señal e salia e la planta x( sigue a la salia el observaor x ( sin chattering a pesar e que el controlaor u ( opera en moo iscontinuo aplicao al lazo principal junto con la inámica el actuaor. El error x ( en (8.3.) es estable y acotao para

15 x( (8.3.3) L con la perturbación acotaa en ( x,. Introucieno un observaor eslizante en la región sˆ ( = x ( xˆ( (8.3.4) efinieno al controlaor en moos eslizantes para el lazo el observaor sea: u ( = Msignsˆ( (8.3.5) para remplazar (..3) en (8..4). La estabilia el lazo auxiliar el observaor se examina meiante una función caniata a Lyapunov como en (8..5): V ˆ( = sˆ ( (8.3.6) b Sustituyeno (8.3.) en (8.3.6) bajo el control e (8.3.5) revela que Vˆ ( = sˆ( sˆ( b = x ( ax( Lx( sˆ( M sˆ( b ( v a x ) sˆ( M sˆ( b (8.3.7) en one la acotación el error observao (8.3.3) se utilizo para reucir la expresión. La acotación (8..7) el error en el observaor inepeniente el sistema y la conición M g ξ / b lleva a obtener: ˆ& ˆ/ V ξv ( (8.3.8) e forma semejante a la suposición establecia en (8..8). Los moos eslizantes se establecen en el lazo el observaor espués e un intervalo e tiempo finito como en (8..9), y posteriormente se sostenrá la conición s ˆ ( = 0. Para comprener el funcionamiento el sistema en forma global en los moos eslizantes sobre el lazo el observaor, se emplea el métoo el control equivalente.