Evaluación de opciones

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1 MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools Evaluació de opcioes Elke Kor Ralf Kor Esta publicació es ua parte del libro Matemática y Ecoomía que es apoyado por la Bertelsma Stiftug. El Proyecto MaMaEuSch es publicado co el apoyo de la Comuidad Europea e el marco del programa Sócrates. El coteido del proyecto o refleja ecesariamete el puto de vista de la Comuidad Europea y o está sujeto a igua resposabilidad por parte de la Comuidad Europea. Uiversidad Técica de Kaiserslauter, Departameto de Matemática, Matemáticas Fiacieras

2 90 Capítulo 6: Evaluació de opcioes Coteido Coceptos de Ecoomía: - Cotratos spot: futuros y forwards - Opcioes - Derivados - Pricipio de la réplica - Tasar diero - Mercados completos - Valoració de riesgo-eutral Coceptos de la matemática escolar: - Solució de sistemas de ecuacioes - Matrices y vectores - Demostració por iducció - Distribució biomial - Distribució ormal - Teorema de de Moivre-Laplace - Simulació de Mote-Carlo Coteido - 6. Opcioes características de los mercados fiacieros moderos A fodo: opcioes coceptos, bases e historia Coversació: Alta motivació opcioes como pagos orietados a la remueració Cotiuació de la coversació: así o así el pricipio de la réplica Fudametos matemáticos: pricipios de la evaluació de opcioes Fudametos matemáticos: el precio de las opcioes e el modelo biomial Cotiuació de la coversació: evaluació de opcioes e todo mometo Fudametos matemáticos: la fórmula Black-Scholes para calls y puts europeos Fudametos matemáticos: simulació de precios de opcioes co ayuda de métodos de Mote-Carlo, e especial para opcioes exóticas Resume Maual para el Capítulo 6 El objetivo pricipal de este capítulo cosiste e ua itroducció a los coceptos geerales del maejo de opcioes y del pricipio de la réplica para la evaluació de opcioes e mercados completos. Prestaremos especial ateció a la compresió del pricipio de la réplica ( formació cotiua de corrietes de pago ) y a la evaluació eutral al riesgo resultate. Esto es e gra parte debido a que a simple vista las coclusioes pareciera cotradecirse. E las seccioes 6. y 6.2 se dará Iformació adicioal sobre el cocepto y la historia de las opcioes. E la secció 6.3 se presetara posibles aplicacioes de diferetes tipos de opcioes mediate la primera coversació de los Cosultores-Iteligetes. E la siguiete coversació, la de la secció 6.4, se itroducirá los coceptos ecesarios para el

3 9 coversació, la de la secció 6.4, se itroducirá los coceptos ecesarios para el pricipio de la réplica e la evaluació de opcioes. Las seccioes 6.5 y 6.6 tratará los fudametos matemáticos de la evaluació de opcioes. E la primera de estas dos seccioes se defiirá e forma matemática ua opció y el pricipio de la réplica. Ambas defiicioes será posteriormete aplicadas, e la siguiete secció, para poder deducir fórmulas cerradas para la determiació de los precios de las opcioes. Gracias a estas fórmulas se fudameta el cocepto de la evaluació eutral al riesgo. Los úicos coceptos matemáticos requeridos so: coocer los valores esperados y la solució para sistemas de ecuacioes, por lo geeral de dos ecuacioes y dos icógitas. Para compreder el pricipio de la réplica es ecesario el cocepto de arbitraje, el cual a su vez será presetado e este capítulo. Si uo desea obviar modelos de mercados complejos, etoces tato las seccioes 6.5 y 6.6 será suficietes para ua itroducció a la evaluació de opcioes. E la secció 6.7 se llevará a cabo la tercera coversació y e la secció 6.8, se itroducirá ua forma heurística de la aplicació de la fórmula Black-Scholes, para la evaluació de opcioes call y put europeos. Esta fórmula fue merecedora del premio Nóbel. Para ello, será ecesario eteder tato el modelo de Black-Scholes, así como el Teorema de de Moivre-Laplace los cuales será presetados e este capítulo. Para la parte de la coversació, bastará co la compresió de las coversacioes previas. E la secció 6.9 será tratadas otras opcioes exóticas y ua metodología popular para calcular sus precios, como lo es la simulació por métodos de Mote-Carlo. Mietras que la presetació de las opcioes exóticas sirve mayoritariamete para compreder el maejo de derivados, la metodología de Mote-Carlo es ua herramieta que posee u iterés particular. Esto es debido a que muestra la aplicabilidad de ordeadores e la matemática fiaciera. 6. Opcioes características de los mercados fiacieros moderos El cambio e los mercados fiacieros Dejado a u lado el hecho de que los corredores de bolsa ya o grita por los pasillos de la Bolsa de valores, sio que sigue el curso de las accioes si hacer ruido desde el moitor de sus ordeadores, la cultura de la bolsa actual se diferecia e muchos otros putos de la de hace 50 años. Aú cuado el ambiete e las bolsas de hoy e día trasmite paz y traquilidad, el úmero de trasaccioes, o sólo e accioes, ha aumetado otablemete e los últimos años. Ua característica típica de los mercados moderos so las trasaccioes co derivados de diferetes estructuras. Los derivados so istrumetos fiacieros respaldados por u valor base como por ejemplo ua acció, u boo, u activo o ua materia prima y que por cosiguiete su valor depede de éste. Es así como existe por ejemplo certificados sobre cacao o alumiio, valores co los que es posible asegurar el precio de ua acció o tambié comprar u seguro ate préstamos vecidos. Los derivados más utilizados so futuros y opcioes. E el marco de este capítulo os adetraremos e futuros, los cuales cueta co u complicado sistema de pagos de seguridad. Úicamete os cocetraremos e los forwards, los cuales tiee ua estructura u poco más secilla. Ambos so cotratos spot. Además, el éfasis del capítulo será puesto e las opcioes, las cuales so matemáticamete más iteresates. Itetaremos mostrar aplicacioes emocioates de las matemáticas. E el caso de forwards, éstos so cotratos que le permite al dueño, veder o comprar el subyacete a u precio fijo e u mometo específico e el futuro. E el caso de futuros y de forwards, se tiee la obligació de comprar o veder el subyacete, al precio comprometido y e el mometo e el tiempo acordado. Por el cotrario, el dueño de ua opció puede escoger si llegado el tiempo acordado, él desea veder el subyacete al precio acordado o o. Esto quiere decir que él tiee la posibilidad de elegir.

4 92 Las egociacioes existe desde la edad media, si embargo, o fue hasta el fial del siglo 9 y pricipios del siglo 20 cuado éstos ha obteido su actual auge, al estadarizar los cotratos para los movimietos de la bolsa. Las opcioes o apareciero e el mercado hasta mucho tiempo después. Cuado e 637 el mercado de tulipaes holadeses sufrió de u duro revés, éste tambié cotaba co los primeros precursores de cotratos de opcioes. Las opcioes se volviero populares e 973, cuado los matemáticos Black y Scholes lograro deducir ua fórmula para la determiació de sus precios. Al mismo tiempo e Chicago, se abrió la Chicago Board Optios Exchage, la cual albergaría especialmete a las opcioes. Fue etoces úicamete cuestió de poco tiempo para que el mercado de derivados floreciera. Accioes - so seguras? Existe muchos motivos para ivertir diero e accioes. Por ejemplo, para apoyar a ua compañía cuyo cocepto de trabajo le agrada. Tambié es posible que a uo le iterese simplemete multiplicar su diero basádose e productividad y o sólo a través de tasas de iterés. Otro posible motivo es que uo desee lograr que el capital propio se desarrolle e forma proporcioal al ivel de iflació. Después de todo, uo puede darse cueta que la remueració esperada de ua acció es claramete más alta que la que se obtiee al dejar su diero sujeto a ua tasa de iterés. Si embargo, para todos estos argumetos existe siempre el riesgo de las oscilacioes imprevistas de la bolsa de valores. Si el mercado de valores se desploma, es muy posible teer al fial mucho meos diero que al pricipio DAX (azul) /0/994 3/0/996 2/0/998 2/0/2000 /0/2002 /0/2004 Figura 6. Comparació del desarrollo del ídice DAX co ua tasa de iterés de 7% La preguta atural es si por cosiguiete es posible ivertir e accioes y a la vez poder asegurar el capital iicial. Es aquí dode las opcioes etra al juego, porque aparte de causar especulació, las opcioes so utilizadas para asegurar la remueració. Las istitucioes bacarias se ha dado cueta que los clietes desea ua especie de acció segura y ofrece actualmete productos como por ejemplo accioes co ua red de seguridad. Por lo geeral se trata de ua combiació de accioes co diero fijo y opcioes. Especialmete e tiempos malos para la bolsa, los productos fiacieros co garatía de capital so muy apetecidos y el crecimieto e el movimieto de estos productos lleva a que idirectamete las trasaccioes co opcioes crezca cotiuamete. E el marco de la privatizació de Telekom Alemaia e 996, fue dode apareció el primer producto co garatía que fue ofrecido al público e toda Alemaia. Co el papel Safe-T del Commerzbak (Baco de Comercio), era posible hacerse acreedor de ua opció que le permitía veder el cotrato co Telekom e cualquier mometo hasta 2002, o bie obteer el valor ivertido e 996 e la fecha de vecimieto del cotrato. Esto quiere decir e otras palabras,

5 93 que el capital ivertido e la acció de Telekom e el día de emisió se reitegraría. Es así como éste valor puede ser cosiderado como la primera opció que hubo e Alemaia. Discusió : - Ivestigue e Iteret si la compra de la opció Safe-T resultó ser u aseguramieto de la iversió para el comprador (compare el precio de emisió de la acció de Telekom del 8 de oviembre de 996, co la del año 2002). El precio a pagar de esta opció cosistía e u pago del valor iicial de la acció de Telekom (precio al cual fue comprada la acció), así como de la etrega de dividedos por el tiempo del cotrato (como remueració por el aseguramieto del valor iicial). El valor e libros para este producto fue igual a cero. Discuta! - Ifórmese respecto a productos actuales que ofrezca el mercado y que posea garatía. Qué caracteriza a estos productos? Qué codicioes y qué precios existe? Se asegura siempre la iversió iicial completa o úicamete ua parte de ella? 6.2 A fodo coceptos, bases e historia Opcioes y Forwards El cocepto de opció o es coocido exclusivamete e el campo de las fiazas. Por el cotrario, es utilizado mucho e el día a día y sigifica teer ua posibilidad ( tego la oportuidad de aceptar esta oferta ). La característica pricipal de ua opció así es que si bie uo puede aprovechar la oportuidad, o es ua obligació. Desde este puto de vista, ua opció preseta siempre algo positivo. Las mismas características preseta las opcioes, cuado se usa bajo la termiología del mudo de las fiazas. E geeral, por opció se etiede u cotrato, que le garatiza a su comprador ua remueració o egativa de ua suma o predetermiada, e u puto fijo e el tiempo. E el peor de los casos, uo o obtedrá gaacia algua (es decir, se tedrá ua remueració de cero), o bie se obtedrá ua remueració estrictamete positiva. Al vededor de la opció se le llama aspirate de la opció, mietras que al comprador se le llama dueño de la opció. Las formas más coocidas de opcioes, so la de compra y veta de opcioes sobre accioes, llamadas calls y puts respectivamete. Ellas garatiza a su dueño el derecho ( pero o la obligació!) de obteer del aspirate e el mometo predetermiado T (tambié llamada fecha de vecimieto) y al precio K, llamado precio strike, la acció de ua determiada compañía, e el caso de u call, o bie la veta al aspirate, e el caso de u put. E las opcioes se hace la distició etre opcioes europeas y opcioes americaas. E las opcioes americaas es posible ejercer el derecho sobre la opció e cualquier mometo durate la validez del cotrato, mietras que e las europeas, úicamete al fial del período. Las opcioes se parece e cierta forma a los futuros y a los forwards. Si embargo, e ellos o existe este derecho. U cotrato forward se refiere a poder veder o comprar u bie determiado e u mometo fijo e el tiempo. Por el cotrario, los futuros se diferecia de los forwards e el hecho que ha sido estadarizados para las bolsas y requiere de cuotas de seguridad. Los forwards o so maejados por las bolsas, algo que sí sucede co los futuros. Es así como los forwards so maejados idividualmete por bacos e las vetaillas, y es por eso que so tambié coocidos por las siglas OTC (del iglés over the couter ). Opcioes - Call y Put El dueño de u call ejercerá su derecho de adquirir la acció al precio K e el mometo T, si el precio P (T) de la acció es mayor que el precio strike K. Después de esto, él podría sacar al mercado la acció al precio P (T) y así hacer uso de su opció y obteer ua gaacia de P (T) K. Por el cotrario, si el precio P (T) de la acció es meor que K, etoces el dueño del call

6 94 o hará uso de su derecho. Esto es debido a que si él quisiera hacerse acreedor de la acció, le resultaría más favorable coseguirlo directamete e el mercado. La posesió de u call e este caso o reduda e ua gaacia. Es así como se idetifica u call europeo co el premio de la opció B = P T K +. call ( ( ) ) E forma gráfica, es posible represetar el premio de u call europeo por el siguiete diagrama de remueració: Diagrama 6.2 Diagrama de remueració para u call europeo De maera similar se comportará el dueño de u put. Éste aprovechará su derecho de veder la acció al precio K cuado el precio P (T) de la acció sea meor a la del precio strike K detro del tiempo remaete hasta la expiració de la opció. De ejercer la opció, él obtedría ua gaacia de K P (T). Si e cambio el precio P (T) de la acció es mayor que K, etoces el dueño del put o ejercerá su derecho, ya que si él desease veder la acció le resultaría más beeficioso hacerlo directamete e el mercado. Es así como se idetifica u put europeo co el premio de la opció put ( ( )) B = K P T +. E forma gráfica, el premio del put europeo se puede represetar por el siguiete diagrama de remueració: Diagrama 6.3 Diagrama de remueració para u put europeo Comparació: opcioes - forwards Tato opcioes como forwards so cotratos sobre egocios a futuro. Las opcioes icluye u derecho a elegir, los forwards o lo icluye. El total a recibir a futuro e forwards es coocido, la icógita es si el egocio a futuro es vetajoso. E el caso de la opció, la suma a recibir es

7 95 descoocida, si embargo, debido a la existecia del derecho a elegir, se le garatiza al dueño que el egocio o termiará co pérdidas ( ua remueració o egativa ). De aquí es que se requiere de u pago e el presete ( pago de ua prima ). Debido a la icertidumbre sobre la catidad a recibir e el futuro, o es ta fácil determiar la catidad de esta prima iicial. La idea geeralmete aceptada para la determiació del precio de ua opció es el pricipio de la réplica que será explicado e el siguiete apartado. Por qué se realiza trasaccioes co opcioes? Debido a que opcioes o posee valor por si mismas, sio úicamete a través del bie sobre el cual está acuñados (por ejemplo accioes), es lógico pregutarse cuáles so las vetajas que preseta el movimieto de opcioes. El primer aspecto importate es el aseguramieto de las variacioes ideseadas e el precio del bie sobre el cual la opció esta acuñada. Si se posee por ejemplo ua acció co u valor actual de 200, etoces es posible que a través de la compra de u put co precio strike de 50 para la duració de la opció, se pueda cotar co ua cota iferior de 50, coformada e este caso por el paquete de la acció y u put, acuñada e la acció (ver Diagrama 6.4). Si e este caso el precio de la acció dismiuye a u valor por debajo de los 50, etoces es posible hacer uso del derecho de veta de la opció y de reitegrársela al vededor por u precio de 50. Si el precio de la acció o dismiuye uca por debajo de esta cota, etoces o será ecesario ejercer este derecho de la opció e igú mometo. De forma similar es posible regular el precio futuro de compra de ua acció, a través de la compra de u call. Diagrama 6.4 Diagrama de remueració de u paquete formado por ua acció y u put El siguiete aspecto se refleja e el desarrollo del precio de la opció. Si bie o os cocetraremos e la determiació exacta del precio de ua opció hasta más adelate, es de imagiarse que el desevolvimieto del precio de la opció se desarrolla e forma diferete que el precio de la acció e la que esta acuñada. Si por ejemplo se observa u call sobre ua acció y observamos el desevolvimieto del mercado, es posible observar las siguietes relacioes: - Si sube el mercado de valores, etoces sube el precio del call. - Si el precio de la acció sube por, etoces el precio del call sube por lo geeral por meos de. Si embargo, el crecimieto porcetual e el precio del call es mayor que el de la acció. E forma aáloga, estas observacioes so válidas para las reservas de iversió. Debido a mayores valores porcetuales e las gaacias y pérdidas de los calls, se habla de u efecto de palaca (e iglés: Leverage effect), del cual les gusta aprovecharse a los especuladores.

8 96 50,00% 25,00% 0,00% ,00% -50,00% Diagrama 6.5 Comparació de los cambios porcetuales diarios e los precios de las accioes (azul) co el del precio de u call (café) (datos empíricos) Estos efectos so ilustrados e los diagramas 6.5 y 6.6. E ellos se observa a ua acció que oscilaba alrededor de u precio de 6 al fial del año 2003, y u call sobre esta acció, co u precio strike de 6 y co vecimieto el 9 de diciembre de La primera gráfica ilustra el efecto de palaca al comparar la remueració diaria de la acció co la del call. Como se observa e el diagrama 6.6, el 5//03 se ivirtió el mismo capital e la acció y e la opció (si embargo, fue ecesario comprar alrededor de 5 opcioes) y la cartera fue mateida así durate uos meses. Es allí dode se puede ver el riesgo que acompaña al mercado de opcioes y se puede cocluir que: - Opcioes so valores fiitos, es decir, caduca después de cierto tiempo. - Si se ivierte e opcioes, es posible llegar a teer ua PÉRDIDA TOTAL Diagrama 6.6 Comparació del precio de ua acció (azul) co el de u call (café) (datos empíricos) La pérdida total, la cual cosiste e o recibir absolutamete ada de la prima pagada e el mometo de la compra de la opció, o es ua excepció a la regla, sio que sucede, depediedo de las codicioes, relativamete frecuetemete. Esto se hubiese dado si el 9 de diciembre, el precio de la acció hubiese descedido por debajo de 6, e lugar de haber crecido a 6.60 como se represetó e el diagrama.

9 97 E resume existe por lo tato dos razoes pricipales para el movimieto de las opcioes: aseguramieto y especulació. ( Ej.6.) Discusió 2: - Cómo cree usted que el Commerzbak creó e 996 el producto Safe-T? Como ua acció y call o como ua acció y put? - Por qué es que se realiza trasaccioes co futuros y co forwards? - Cuáles so las desvetajas de los futuros y de los forwards? Cuáles so las vetajas de los cotratos spot comparádolos co las opcioes? Historia del mercado de opcioes - 634: Los precursores de las opcioes so maejados durate la gra veta de tulipaes e Holada. Se cocreta cotratos sobre bulbos de tulipaes e el que se determia u precio de compra el cual úicamete vece si después de cierto tiempo, los bulbos o sobrepasa u determiado peso. E 637, el mercado de tulipaes e Holada se desploma. Detro de los motivos se hace referecia a los egocios especulativos de los cotratos co el carácter de las opcioes : primeras accioes-opcioes de la compañía real de las idias occidetales y de guiea co las cuales se justificaba la compra de partes de la isla fracesa de St. Croix : Establecimieto del Chicago Board of Trade, el cual años más tarde se covertirá e ua de las más grades bolsas de futuros del mudo : El Chicago Board of Trade iaugura la Chicago Board Optios Exchage, la cual es la más grade bolsa de futuros del mudo. Las trasaccioes comieza co calls, y cuatro años después se itroduce tambié los puts : Fischer Black y Myro Scholes publica sus ivestigacioes, las cuales icluye la fórmula Black-Scholes para la evaluació de calls europeos y la cual les hizo acreedores del premio Nóbel. Robert Merto publica e el mismo año ua geeralizació de ésta. Tambié él recibió el premio Nóbel años después, e 997, juto a Miro Scholes : La America Stock Exchage (AMEX) iicia trasaccioes co opcioes : E Suiza se crea la Swiss Optios Exchage (Soffex) : La bolsa de forwards alemaa DTB (Deutsche Termi Börse) iicia operacioes : Los arriesgados egocios del dueño Nick Leeso lleva a la bacarrota al baco Barigs e Iglaterra : La primera opció para el pueblo e Alemaia aparece e el mercado co Safe- T Ejercicios de repaso Ej.6. Observe los diagramas 6.5 y 6.6. a) Describa e detalle ambos diagramas. b) Imagíese que la acció tuviese e la fecha de vecimieto del call u valor de Qué valor tedría el call? Cuál sería el valor de su iversió e el call? c) El 6/, el valor de u call es de 0.76 y el de ua acció 5.9. Cuál sería el resultado de haber ivertido e la opció e lugar de la iversió e la acció? d) El 2/, el valor de u call es de 0.34 y el de ua acció 4.9. Imagíese que usted es u corredor de bolsa muy iteligete y co mucha suerte. Cómo hubiese usted hecho uso del efecto de palaca?

10 Coversació: Alta motivació opcioes como pagos orietados a la remueració Hasta el mejor climatólogo se equivoca! Había auciado u gra frío co u hermoso cielo azul y ua probabilidad de lluvia de úicamete diez por cieto. Co esta iformació, el equipo de Cosultores Iteligetes haría uso del uevo coche deportivo azul de Selia para llegar a su próximo cliete. Si embargo, la predicció del clima sólo acertó co lo del gra frío y gracias a la probabilidad estrictamete positiva de lluvia que tambié se haya cumplido las prediccioes, al quedarse atascados e el tráfico de la evada carretera y helados por el frío por más de ua hora e u día totalmete ublado, o fue precisamete lo que ellos había esperado. Y como todo mudo se cueta historias para caletarse u poco, empieza los cuatro itegrates del grupo a coversar sobre su trabajo y sobre matemáticas. Oliver: Estoy deseado llegar a las istalacioes de uestro uevo cliete. No sólo porque e su oficia se estará calietito, sio sobre todo porque me parece que uestra ueva tarea es sumamete iteresate. Sebastiá: Estoy de acuerdo cotigo. La idea de la compañía de productos para el cabello Estrella S.A. de motivar a sus colaboradores a través del otorgamieto de u boo al fial del año laboral e forma de accioes de la compañía, me parece excelete. Selia: Bueo, yo preferiría recibir mejor, como gerete de la compañía, el valor e productos e lugar de recibir opcioes sobre accioes. Sebastiá: Eso me lo puedo imagiar. Motañas de champú, spray y tites e todos los colores se estaría apilado e tu baño. Nadie: Yo estaría úicamete iteresada e u boo etregado co productos, si fuese la gerete de ua fábrica de chocolates o de dulces. Quiere alguie u par de los chocolates que traje? Selia: No gracias, éstos cotiee alcohol y hoy debo de estar cocetrado. Oliver: Ojalá puedas estar cocetrado, porque de aquí a que os movamos de este lugar pasará mucho tiempo! Nadie, a mí me puedes pasar uos cuátos, creo que los chocolates me dará u poco de calor e este frío. Recompesar co productos propios es e geeral ua buea idea. Si embargo, aú co chocolates, estoy seguro que existe e mí u límite e catidad de chocolates que pudiese cosumir. Si embargo, co las opcioes, la historia es diferete. Después de todo, éstas tiee u valor y cuatas más opcioes se tega, mayor será el boo recibido. Y todo esto, si teer que lidiar co motañas de productos, que covertiría mi hogar e supermercado. Nadie: Además, las opcioes cambia de valor coforme la gerecia de la firma dirija a la compañía de forma eficiete y los productos peetre e el mercado. Sabéis cuales so las opcioes idividuales que deberemos aalizar? Selia: Estrella S.A. está cosiderado etregarle a los geretes opcioes call. Otras posibilidades so opcioes de ídices y opcioes de barrera. Ua de uestras resposabilidades es elegir la variate que motive más a los geretes y decirle a la vez a la compañía, los costes relacioados. Oliver: Verdaderamete teemos u gra desafío frete a osotros! Sebastiá: Nadie, tiees tú el esquema de los diferetes tipos de opcioes que hemos recopilado? Nadie: Por supuesto! Tú sabes que yo soy siempre muy ordeada!

11 99 Esquema de los diferetes tipos de opcioes: Opció-Call: se obtiee el derecho de comprar ua acció a u precio previamete determiado. Opció-Put: se obtiee el derecho de veder ua acció a u precio previamete determiado. Opció-Digital: si el precio de la acció se ecuetra al vecimieto por arriba o por abajo de u valor previamete determiado, etoces se obtiee ua suma de diero determiada. Opció sobre u míimo / máximo de múltiples accioes: se obtiee el derecho de comprar (veder) la acció de más bajo valor (la de mayor valor) de etre u paquete, a u precio previamete determiado. Opció de ídices: si el precio de ua acció al vecimieto del cotrato se ecuetra sobre el precio de ua acció de cotrol (si embargo geeralmete se utiliza u ídice como el Dow Joes o el DAX), etoces se recibe la diferecia etre los precios. Opcioes de barrera: si durate la duració del cotrato, el precio de la acció sube de u determiado precio (baja de u determiado precio), se obtiee (pierde) el derecho de comprar (veder) la acció a u precio previamete determiado. Opcioes europeas: úicamete es posible ejercer el derecho sobre la acció al fial del cotrato. Opcioes americaas: es posible ejercer el derecho de la acció e cualquier mometo durate la duració del cotrato. Selia: Opcioes-call como recompesa so defiitivamete apetecibles. Los calls resulta ua gaacia, cuado el precio de ua acció se ecuetra por ecima del valor previamete determiado. Además, la gaacia es mayor cuato más grade sea el verdadero precio de la acció. Si yo, como gerete de ua compañía, me esfuerzo por icremetar el valor de la compañía e el mercado bursátil, es decir a través del precio de las accioes, y éste aumeta dramáticamete, etoces podré al fial recibir como recompesa veder opcioes-call, obteiedo ua gra gaacia. Sebastiá: La desvetaja es, si embargo, que es ecesario determiar u precio de compra para la acció e el call desde el pricipio. La determiació de u valor real que al fial ifluya e la motivació de los geretes es muy difícil de determiar. Es por ello que e mi opiió, ua opció de ídices es la más idicada. Si el precio de la acció de la compañía es mayor que el precio de cotrol, etoces los geretes habrá realizado ua buea tarea y podrá alcazar ua gaacia co sus opcioes. Esto les motivaría adicioalmete a esforzarse aú e tiempos difíciles, para ser e todo mometo mejores que la competecia. Nadie: Estas opcioes que úicamete depede del precio fial de la acció o me termia de covecer. Esto podría motivar a los geretes a mejorar la situació de la compañía úicamete al fial del período, para así icremetar a corto plazo el valor de la acció. Selia: Esos so cuetos! La mayoría de geretes so profesioales y hoestos! Sebastiá: Eso lo crees úicamete tú, Selia! Nadie: Selia, mejor eciede el motor y coecta la calefacció que me estoy cogelado! Selia: Silecio atrás! Aú estamos atascados e pleo tráfico y dejar el motor apagado es más ecológico y ecoómico. Además, estoy segura que e Estrella S.A., mi querido Sebastiá, cotamos co persoas de coocido reombre.

12 200 Oliver: Y qué opiáis vosotros respecto a ua opció de barrera? Co ella es, por ejemplo, posible determiar cotas iferiores. Mi idea sería etoces la de otorgar ua opció de barreras que otorgue el derecho a comprar ua acció a u precio previamete determiado, pero úicamete cuado el precio de la acció o baje de ua cota iferior. Esto impediría que los geretes tome decisioes arriesgadas que pueda llevar al fi de la compañía. Además, esta opció o depede del precio al fial del período de la acció. Nadie: E mi opiió, opcioes de barrera so ijustas. Si por ejemplo la bolsa se desploma, e la mayoría de las situacioes o será por culpa de los geretes de Estrella S.A. Si embargo, debido a la barrera auciada al pricipio, la opció que ellos tedrá e sus maos, o tedrá igú valor real. Yo opio que lo mejor es ua opció que calculase ua especie de promedio etre todos los precios y que depeda de dicho valor... No pasa mucho tiempo, y uestro equipo de Cosultores Iteligetes se ecuetra e medio de u ardiete debate sobre los efectos que puede causar ua opció o la otra e la motivació de los geretes. Discusió 3: - Aalice usted e que forma los diferetes tipos de opcioes puede llegar a motivar a u gerete a sacar adelate a la compañía para la que trabaja. Aalice a la vez, las desvetajas de este sistema de recompesas. - Ifórmese e Iteret o e el periódico acerca de la existecia de tipos de opcioes que pueda iteresarle a Nadie. 6.4 Cotiuació de la coversació: así o así el pricipio de duplicació Debido a la discusió e la que se ecuetra, a Selia se le pasa por alto que los coches se empieza a mover. Es úicamete debido al soido de las pitadas que ella se acuerda de volver a arracar el motor y poerse e marcha. Si embargo, el goce de coducir se ve uevamete iterrumpido u kilómetro más adelate, puesto que u camió se ecuetra atravesado e la autopista y bloquea el paso. Selia que se ecuetra e el carril de alta velocidad como siempre, se hace más hacia la izquierda para darle la oportuidad a la grúa de hacer su tarea. Mietras que los cuatro espera y asía ua sopita caliete, empieza de uevo a tratar sobre sus temas favoritos. Nadie: E serio, e lugar de ua opció o champú, el boo que como gerete me llamaría más la ateció sería el de recibir ua catidad fija de diero e mi cueta de ahorros. Esto es mucho más seguro y así tambié sabe uo, cuáto va a recibir. Sebastiá: No es posible que lo veas desde este puto de vista ta simple. Lo primero que teemos que hacer es cotar co u parámetro de referecia para poder determiar si el gerete ha ejecutado bie sus tareas. E cierta forma, esto se ve reflejado e el cocepto y el precio de ua opció. Y e segudo lugar, co la ayuda de la evaluació de opcioes y sus fudametos matemáticos, os es posible calcular el verdadero valor de la opció y es así que después de estos cálculos sabrás cuáto es lo que recibiríais. Selia: Para ello ecesitamos etre otras cosas, la fórmula Black-Scholes, la cual fue desarrollada e la década de los 70. Es sorpredete que o haya sido posible hasta 970 calcular el precio de ua opció. No es posible que la evaluació de opcioes sea ta compleja, o sí? Sebastiá: Lo dices e serio? Etoces, qué solució propoes?

13 20 Selia: Yo calcularía simplemete el valor esperado de la liquidació e la fecha de vecimieto. Sebastiá: Eso lo quiero ver yo! Nadie: Sebastiá, o seas ta odioso. La respuesta que dio Selia o esta ta alejada de la realidad. Simplemete se le ha olvidado uos pequeñísimos detalles. Lo mejor es observar u secillo ejemplo. Supogamos teer ua acció que hoy e día cuesta y que co ua probabilidad de a aumetará de precio a 2 detro de u mes, o bie que co la probabilidad de (-a) dismiuirá a u precio de 0.75 : t =0 t = Call e t = 2 0,75 0 Diagrama 6.7 Desevolvimieto del precio de ua acció ficticia y premio de u call ficticio, co precio de ejercicio de Supogamos además que hemos comprado u call europeo sobre esta acció, a u precio strike de y co fecha de vecimieto e u mes. Si el precio de la acció sube a 2, os alegraremos de uestra opció, ejerceremos uestro derecho y compraremos la acció al precio de, después vederemos la acció e el mismo mometo y obtedremos así ua gaacia de. Si por lo cotrario la acció ha perdido su precio, o ejerceremos uestro derecho sobre la opció, dejaremos caducarla y tedremos ua pérdida por el valor del precio de la opció. Es así como el valor esperado para uestra posible gaacia es de + (( ( ) ) ) E P T K = (2 ) a + 0 ( a) = a. Oliver: Este valor esperado a lo podríamos utilizar simplemete como el valor de la opció. Lo úico que deberíamos hacer etoces, es determiar lo más exacto posible el valor de la probabilidad. Sebastiá: Oliver, o me digas que ya o te acuerdas como es que es el proceso de evaluació de opcioes? Oliver: Bie, me acuerdo así a lo lejos. U valor completamete descoocido que debiese ser estimado, o aparecía detro del precio de la opció. Por otro lado, es ecesario darse cueta que e el mercado existe otras opcioes, como por ejemplo los depósitos fijos. Selia: Claro! Ahora me acuerdo! Debido a que la opció es u derivado de la acció, me es posible reproducir el pago fial de la opció co la ayuda de la acció, el depósito fijo y el crédito. Si por ejemplo me comprometo a u crédito de 60 y compro 80 accioes y co esta cartera abro u depósito, etoces obtego después de u mes, idepedietemete de lo que pase, exactamete la misma suma de diero que me daría por 00 opcioes. Si el precio de la acció sube, tedré después del reembolso del crédito, u superávit de 00. Si el precio de la acció baja, etoces tedré ua cueta fial pareja, o sea ua gaacia de 0. Oliver: Cómo es que llegas a esta coclusió? Selia: Es algo que me dice mi sexto setido!

14 202 Nadie: Ve pues: matemáticas y sexto setido! Señores, lo que ecesita es u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas. x será la catidad de diero que será ivertido e el depósito y y será las partes que se comprará de la acció. Para trabajar co datos más simples, supogamos que la tasa de iterés para créditos y depósitos sea de cero. Si el precio de la acció sube, etoces uestra cartera tedrá el valor de y ese sería el valor que gaaríamos co ua opció. Si la acció baja, etoces el resultado tiee que ser 0. Esto os devuelve las siguietes dos ecuacioes: La solució de este sistema es x = 0.6 y y =0.8. x + y 2 =, x + y 0,75 = 0. Selia: Muy bie! Multiplicad ahora estos valores por cie y obtedrá justamete mis valores. Nadie: Etoces si deseo adjudicarme esta cartera, ecesitaré de u capital de =0.2. Como míimo, esto es lo que vale la opció, puesto que este es la catidad de diero que se requiere para recrear la opció. Es decir, para obteer los mismos beeficios, como si se poseyese la opció. Selia: Si la opció fuese más cara e el mercado, etoces habría posibilidades de arbitraje para mí! Si el precio de la opció e el mercado estuviese por arriba de 0.2, etoces se replicaría la opció u si fi de veces y geeraría ua igual catidad de cotratos de opcioes para las persoas. Después de todo, para la réplica ecesito de úicamete 0.2, pero por opció vedida obtego como poco 0.2. E ese mometo, estaría haciedo ua rotuda gaacia co cada opció vedida. Después de u mes, pago las evetuales gaacias geeradas por la opció a los dueños de las opcioes y listo. Gracias a la exacta recreació de la opció, tedré el diero a la disposició y todo el egocio tiee cero riesgo para mí. De veras que es de esueño! Sebastiá: No sé que decirte: el precio de la opció o se determia a partir de la descoocida y subjetiva probabilidad de éxito a, sio que de los costes relacioados e hacer ua réplica de la opció! Es úicamete así posible formular u modelo de mercado si posibilidades de arbitraje. Este pricipio de la evaluació de las opcioes se llama el pricipio de la réplica, debido a que co ayuda de la acció, el depósito y el crédito se duplica la opció. Selia: Nadie, ahora explícame: por qué era que mi sospecha respecto al uso del valor esperado o estaba del todo equivocada? Nadie: Si observas el valor esperado e u mercado eutral al riesgo, etoces el valor esperado es el precio de la opció. Si embargo, e ese mometo tedrás que icorporar ua diferete medida de la probabilidad... Poco a poco se le hace más evidete a Selia el motivo por el cual la fórmula Black-Scholes para la evaluació de opcioes o fue descubierta hasta ese mometo e la historia. La abudacia de coocimietos de Nadie e cuato a esta temática, hace además que los escalofríos corra a lo largo de su espalda. Cuado a uos 00 metros delate de ella, las luces de atrás de los coches se eciede y la cola de coches se poe letamete e movimieto. Selia eciede el motor y le señala a sus amigos que a partir de ahora ya o puede prestar ateció más que al coducir. Ejercicios de repaso Ej.6.2 Describa la forma e la que usted aprovecharía las posibilidades de arbitraje, si el precio de la opció de la coversació se situase por abajo de 0.2

15 203 Ej.6.3 Calcule el valor esperado del pago al vecimieto de las siguietes opcioes. Recuerde e todo mometo, que éste o es el precio de la opció! Las accioes tiee ahora el precio de 2, después de u mes, el valor aumeta a 2.5 co probabilidad p=0.6 o bie dismiuirá a.8. a) Cosidere u call europeo sobre esta acció, cuya fecha de vecimieto es u mes después y cuyo precio strike es de 2. b) Cosidere u call europeo sobre esta acció, cuya fecha de vecimieto es u mes después y cuyo precio strike es de.9. c) Cosidere u put europeo sobre esta acció, cuya fecha de vecimieto es detro de u mes y cuyo precio strike es de 2. d) Cosidere u put europeo sobre esta acció, cuya fecha de vecimieto es detro de u mes y cuyo precio strike es de 2.2. Ej.6.4 Determie los precios de las opcioes del ejercicio 6.2 de acuerdo al pricipio de la réplica. Para la simplificació de los cálculos, supoga que los depósitos y los créditos está sujetos a ua tasa de iterés de 0%. Ej.6.5 Qué precio le daría usted a la siguiete opció, detro de u modelo biomial? La acció tiee hoy el precio de 0; después de u mes, el precio sube a 5 co ua probabilidad de p=0.6 y e caso cotrario, bajará a 8. Para la simplificació de los cálculos, supoga que los depósitos y los créditos está sujetos a ua tasa de iterés de 0%. Aalice u call europeo, co precio strike the Fudametos matemáticos: pricipios de la evaluació de opcioes Cotratos de forwards: Los forwards so geeralmete establecidos sobre biees, valores o divisas para aquellos cotratates que quiera comprarlos (o ecesite comprarlos) a corto plazo. Geeralmete sirve para el aseguramieto de los precios. Frecuetemete el comprador se ecuetra a la espera de u flujo de diero seguro. Para determiar la forma e la que se evalúa los forwards, aalizaremos u forward sobre ua acció, el cual tiee u precio actual de P (0)=p y que o devuelve dividedos durate el período de devego. El precio de compra K para la acció e T es geeralmete coveido de tal forma que el valor actual del cotrato, es decir t=0, sea cero. Así, más que tratar el valor del cotrato, los esfuerzos se cocetra e la determiació del precio K, el cual hará de valor del cotrato al fial del período, u cotrato si coste alguo. Este precio es coocido como el precio del forward. E las siguietes observacioes, para determiar el precio futuro K, se tomará e cueta que existe diversas posibilidades de colocar diero (si riesgo). Además de la posibilidad de ivertir e la acció, observaremos depósitos fijos co ua tasa de iterés de r %. Por lo demás, existe la posibilidad de hacerse acreedor de créditos a la misma tasa de iterés. Lo primero es que al dueño de las accioes se le da la oportuidad de meditar si e lugar de poer a disposició su acció a través del forward e el tiempo T, prefiriese veder su acció al actual precio de p. Este diero lo podría colocar etoces e u plazo fijo y al vecimieto, e el tiempo T, tedría la siguiete suma de diero: e r T p. Es así como el vededor de la acció deseará obteer co el forward ua catidad cuato meos de K=e p. Por otro lado, el comprador de la acció podría comprar su acció directamete e el mercado y fiaciar la compra a través de u crédito por la suma de p. Es así como e el istate de tiempo T deberá devolver la siguiete suma de diero:

16 204 e r T Es así como él aceptaría u cotrato de u forward si el precio K es meor a este valor, de esta forma el precio de compra K queda claramete defiido. p Precio de u forward: El cotrato de u forward sobre ua acció a u precio de compra K e el mometo T posee exactamete hoy el valor de cero, si el precio de compra K elegido es dode p es el precio actual de la acció. r T K = e p E las discusioes previas se mostró el pricipio de la réplica, el cual es muy importate para la determiació del precio de las opcioes. A cotiuació veremos que e la evaluació de pagos (iseguros) a futuro, es determiate coocer si es posible obteer ua misma liquidació a través de otro tipo de boos. Discusió 4: Es posible e el cotrato de u forward dar u precio arbitrario pero fijo K. E este caso, el cotrato ya o sería si coste alguo. Utilice u argumeto parecido a la réplica para calcular el precio de este forward e el mometo de la fecha de vecimieto del cotrato. Evaluació igeua del cotrato de ua opció Deseamos e primera istacia demostrar e u modelo biomial de u periodo, u aparete proceso lógico para la determiació de los precios de ua opció. A la vez, desearemos aclarar como es que e realidad este proceso lleva por lo geeral a u precio equivocado. Observamos u mercado e el que es posible tasar diero a ua tasa de iterés de 5% para u determiado período y dode es posible ivertir e ua acció, cuyo precio viee idicado e el diagrama 6.8. Precio de la acció t=0 t= Remueració del call Diagrama 6.8 Precio de ua acció y remueració de u call co u precio strike de K = 0 E este ejemplo ilustramos que el precio de la acció se icremetará co ua probabilidad de 80% mietras que el precio caerá co ua probabilidad del 20%. E el marco de este modelo, deseamos determiar el precio de u call europeo sobre ua acció, co precio strike K=0. De acuerdo a las suposicioes previas, obtedremos al fial por la posesió del call u pago de 0 co probabilidad de 0.8, y e caso cotrario o se obtedrá igú pago. Debido a que la liquidació o se lleva a cabo hasta el fial del período, es lógico reducir este valor por el 5% de la tasa de iterés existete e el modelo. Es así como obteemos:

17 (( ( ) ) ) E P + liquidació esperada = 0 = 0, ,2 0 = 8, 0,05 e "precio sugerido" =8 7, 6. Ahora bie, es éste el precio real de la opció? U puto crítico es que el precio de la opció depede de uestra estimació de la probabilidad de u aumeto e el precio de la acció. Debido a que por lo geeral dos diferetes iversioistas estimará diferetes valores para esta probabilidad, sería muy difícil el poerse de acuerdo e u precio. Si embargo, esta dificultad o sucede e la realidad, puesto que el proceso correcto para la determiació del precio de ua opció es diferete. Y éste está basado e el pricipio de la réplica. Pricipio de la réplica: Si dos diferetes biees devuelve exactamete los mismos flujos de pago, etoces sus precios debe coicidir e todo mometo e el tiempo. Demostració del pricipio de la réplica: El pricipio de la réplica es ua cosecuecia directa de la suposició dada sobre la ausecia de arbitraje (compárese aquí la defiició dada sobre éste e el capítulo 5). Si por ejemplo el bie es más caro que el bie 2, etoces es posible veder el bie al vacío, es decir, si ecesidad de poseerlo. De la gaacia obteida, se puede comprar el bie 2 e ivertir el diero restate e ua opció si riesgo (o bie, coservar el diero e efectivo si esto o fuese posible). Todos los redimietos alcazados a partir de la veta al vacío del bie puede ser vedidos por la posesió del bie 2, debido a que ambos biees tiee el mismo flujo de pago y que por lo tato se eutraliza. La gaacia si riesgo quedaría etoces e la diferecia de precios etre el bie y el bie 2. Es así como hemos demostrado la existecia de ua estrategia de arbitraje. Si embargo, ésta está e cotradicció co la suposició de la ausecia de arbitraje del mercado. Por cosiguiete, los precios de ambos biees debe coicidir e todo mometo. Aplicació del pricipio de la réplica e u problema de evaluació de opcioes Aplicaremos ahora el pricipio de la réplica e uestro problema de evaluació de opcioes e el modelo biomial. Si detro de este modelo podemos ecotrar ua estrategia de iversió e la que la acció y la iversió fiaciera si riesgo, sobre la cual está basado u call, lleve al mismo pago fial que la posesió de u call, etoces, basádose e el pricipio de la réplica, el precio del call debe ser el mismo que el de u activo orige, el cual fue requerido para el seguimieto de esta estrategia de iversió. Para esto, sea ϕ la catidad de la iversió fiaciera si riesgo realizada al iicio del período y sea ψ la catidad de accioes que fuero adquiridas al pricipio del período. Debido a que la posesió de u call lleva e el caso de u aumeto de precios a u pago al vecimieto de 0, mietras que para ua caída e precios a u pago de cero, se dice que la estrategia de réplica (ϕ, ψ) viee dada por el siguiete sistema de ecuacioes: 0,05 ϕ e + ψ 20 = 0, 0,05 ϕ e + ψ 80 = 0. Debido a que este sistema de ecuacioes tiee ua solució exacta, es decir (ϕ, ψ) = ( 20/e 0,05, /4), obteemos el precio del call basádoos e el pricipio de la réplica (recordar que el modelo biomial de u período descrito previamete es u modelo de mercado si arbitraje), como el precio actual de la estrategia de la réplica (ϕ, ψ) Precio de la opcio = ϕ + ψ 00 5,

18 206 Observacioes y ejemplos Debido a que además de calls y puts existe muchos otros tipos de opcioes, vamos a defiir ahora el cocepto de opció e forma geeral, ates de presetar el resultado geeral de la evaluació de opcioes. Defiició: Por ua opció (de tipo europeo) etedemos ua variable aleatoria o egativa B, la cual determia u pago al dueño de la opció e la fecha de vecimieto, y la cual úicamete depede del desarrollo del precio de la acció hasta el puto T. Calls y puts europeos co precio strike K y fecha de vecimieto T se puede idetificar bajo los pagos a realizar al vecimieto de acuerdo a las siguietes ecuacioes: call ( ( ) ) bzw. put ( ( )) + + B = P T K B = K P T Para simplificar la descripció, se supuso la elecció de la primera acció, detro de la opció. E la secció sobre opcioes exóticas se tratará alguos ejemplos adicioales sobre opcioes más complejas. E el caso de ua opció de tipo americao, el dueño de la acció puede elegir si desea hacer uso de su derecho sobre la opció e cualquier mometo e el tiempo t {0,,...,T}. Evaluar ua opció americaa se vuelve por lo tato mucho más complejo que e el caso de opcioes europeas. E las siguietes seccioes trataremos esta problemática por separado. E la aplicació del pricipio de la réplica para la evaluació de uestro call mostrado e el ejemplo, uo de los aspectos fudametales es la existecia de ua estrategia de réplica. Es así como formalizamos lo siguiete: Defiició: U mercado, e el que es posible replicar todas las opcioes, se llama mercado completo. Del pricipio de la réplica se obtiee etoces: Teorema: E u mercado completo, el precio de la opció viee determiado por el precio actual de la estrategia de la réplica asociada. Es así como se origia las siguietes pregutas: - Cómo se determia e u modelo de mercado real (como por ejemplo, el modelo de Black- Scholes descrito e el capítulo 5) el precio de ua opció? - Cómo se obtiee el precio de las opcioes e u mercado icompleto? - E qué relació se ecuetra el precio recomedado co el precio sugerido por el pricipio de duplicació para la compra de opcioes? Discusió 5: Frecuetemete se usa e el día a día el pricipio de la réplica, para la evaluació de precios. Por ejemplo, se puede comparar el precio de u ticket de bus de Madrid a Valladolid co los costes idividuales por zoas por las que se viaje e autobús. Busque otros ejemplos! Ejercicios de repaso Ej.6.6 Determie los precios de los siguietes forwards. Cuál es el precio K que habría que egociar para el período de tiempo T, si la acció cuesta hoy e día p y la tasa de iterés e el mercado es r? a) p =00, r=0.05, T=2 b) p =20, r=0.09, T=

19 207 c) p =90, r=0.04, T=/2 d) p =0, r=0.02, T=/4 Ej.6.7 Imagíese que usted dirige ua compañía y debe pagar e T la suma de 000$. Para cuidarse de las variacioes e la tasa de cambio etre el Euro y el Dólar, se hace usted acreedor de u forward e dólares. Cuál sería el precio de compra K (e Euros) lógico para los dólares, si uo observa que es posible ivertir e euros a ua tasa de iterés de r mietras que e dólares, a ua tasa de iterés de s? a) Describa detalladamete su modelo y deduzca ua fórmula. b) Determie el precio de compra K e el caso que T=/2, r=0.02, s=0.05, y que la tasa de cambio actual sea de $=0.95 Ej.6.8 a) Determie el precio de u call europeo e u modelo biomial de u período, dode p=0.7, d=, u=., tasa de iterés r=0.07, T=, precio iicial de la acció p =00 y precio strike K=00. b) Determie el precio de u put europeo e u modelo biomial de u período, dode p=0.7, d=, u=., tasa de iterés r=0.07, T=, precio iicial de la acció p =00 y precio strike K= Fudametos matemáticos: el precio de las opcioes e el modelo biomial El precio de las opcioes e el modelo biomial de u período Deseamos iiciar esta secció aalizado a fodo la relació etre el primer estimador que propusimos, o sea el valor esperado de la remueració sujeta a ua tasa de iterés y el verdadero precio de la opció e el ejemplo del modelo biomial. Para ello observaremos u modelo de u período, e dode el iversioista posee la posibilidad de depositar su diero a plazo fijo co tasa de iterés r o e ua acció cuyo precio actual es p. El precio de la acció viee descrito por u modelo biomial de u período, co factores de propagació u y d, el cual es descrito gráficamete e el diagrama 6.9. t=0 t=t up p dp Diagrama 6.9 Precio de ua acció e el modelo biomial de u período E éste supoemos que el precio de la acció aumetará co probabilidad p hasta la fecha de vecimieto T y que dismiuirá co la probabilidad de p. Se exige la codició habitual d < e < u, (*) para elimiar cualquier posibilidad de arbitraje e este modelo. Nuestra meta es evaluar ua opció co u premio al vecimieto de B(P (T)), es decir u pago fial que úicamete depede del precio de la acció e el día del vecimieto de la opció. Para ello hacemos uso del pricipio de la réplica, es decir buscaremos ua dupla (ϕ, ψ), la cual hará que uestra iversió de ϕ uidades de diero pueda ser depositada e ua cueta de plazo fijo y e ψ accioes, que e t=0 describe accioes y que e t=t provee la misma remueració que la

20 208 cioes, que e t=0 describe accioes y que e t=t provee la misma remueració que la opció. Es así como esta dupla debe satisfacer las siguietes dos ecuacioes: ( ) ϕ e + ψ up = B up, ( ) ϕ e + ψ dp = B dp. La solució úica a este sistema de ecuacioes es ub dp ϕ = ( ) db( up ) e ( u d ), B up ψ = Haciedo uso de esta solució, se obtiee el siguiete resultado: ( ) B( dp ) p ( u d ) Teorema: precio de las opcioes e ua medida eutral al riesgo E el modelo biomial de u período, bajo la suposició (*) y para el precio p B de la opció co premio B(P (T)), se obtiee: dode B ( ( ) ( ) ( ) ) p = q B up + q B dp e, q = e d u d y la relació 0<q< es válida y q determia ua probabilidad. Demostració: Después del Teorema del pricipio de la réplica y debido a la forma explícita de la forma de la estrategia (ϕ,ψ) se tiee para el precio de las opcioes, las siguietes relacioes: p B ( ) ( ) e ( u d ) ( ) ( ) ( u d ) ub dp db up B up B dp = ϕ + ψ p = + Además, co ayuda de la defiició de q es posible deducir de esta ecuació p B ( ) ( ) + ( ) ( ) ( u d ) ub dp db up e B up e B dp = e ( u e ) B( dp ) ( e d ) B( up ) = + e u d u d ( ( ) ( ) ( ) ) = e q B up + q B dp... Observacioes respecto a la medida eutral al riesgo Al observar la distribució biomial co probabilidad de éxito q y si deomiamos al valor esperado del precio de la acció bajo E Q, etoces obteemos: Q ( ( )) = ( + ( ) ) E e P T e q up q dp ( ) ( ) e d u u e d p = + = p. e u d u d

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