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1 Este documeto es de distribució gratuita y llega gracias a Ciecia Matemática El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!

2 Cálculo: Series Fucioales. Taylor y Fourier Atoio Garví Curso 4/5 1 Sucesioes de fucioes De forma aáloga a como hicimos co las sucesioes de úmeros reales, podemos defiir ua sucesió de fucioes como ua aplicació ϕ: N F, siedo F el cojuto formado por todas las fucioes reales. Si ϕ() = f, deotamos la sucesió por {f } o tambié f 1, f 2, f 3,, f, 1.1 Límite putual de ua sucesió de fucioes Supogamos que teemos ua sucesió de fucioes {f } defiidas e u cierto domiio D, f : D R. Dado u x D, teemos la sucesió umérica {f (x )}. Supogamos que existe el límite de esta sucesió umérica, l = lim f (x ), y es u úmero real l R. Si para cada x D se puede hacer esto podermos defiir ua fució f : D R haciedo f(x ) = l. A esta fu ció se la deomia límite putual de la sucesió {f }. 1.2 Ejemplo f(x) = lim f (x) x D. 1. Sea f (x) = x, solo existe lim f (x) para x =. Por tato o existe e R la fució límite putual de f (x) = x. 2. Cosideremos la sucesió f (x) = x defiidas e el itervalo [, 1] f : [, 1] R x f (x) = x El límite putual de la sucesió f (x) = x es la fució { f(x) = si x [, 1). 1 si x = 1 1

3 3. Sea ahora la fució f (x) = sex. El límite putual de f (x) = sex es la fució ula f(x) = x R. 2 Covergecia putual y uiforme Como ya hemos visto, el límite putual de ua sucesió de fucioes o tiee porque existir. E el caso de que si exista qué quiere decir que f coverge putualmete a f? Para aalizar esto cosideremos u puto x 1 D, f : D R, y la sucesió f (x 1 ). Debe ser f(x 1 ) = lim f (x 1 ), es decir que ɛ > N 1 / f (x 1 ) f(x 1 ) < ɛ si N 1 Si ahora cosidero otro puto x 2 D, f : D R, y la sucesió f (x 2 ). Debe ser f(x 2 ) = lim f (x 2 ), es decir que ɛ > N 2 / f (x 2 ) f(x 2 ) < ɛ si N 2 E geeral dado x D, debe ser f(x) = lim f (x), es decir que ɛ > N x / f (x) f(x) < ɛ si N x. E geeral el lugar N a partir del cual se cumple que f (x) f(x) < ɛ depede de x ya que para cada x, f (x) es ua sucesió distita. Pues bie cuado sea posible elegir u N que sirva para todos los x diremos que la covergecia es uiforme y que f es el límite uiforme de f. 2.1 Defiició: Supogamos que existe f el límite putual de f. Decimos que f es el límite uiforme de f o que f coverge uiformemete a f si dado ɛ > N / f (x) f(x) < ɛ, x D. Por defiició la covergecia uiforme implica la covergecia putual. Por otro lado está defiició o es muy operativa e la práctica, de esta forma os plateamos lo siguiete Cómo se sabe e la práctica si la covergecia es putual o uiforme? 2.2 Propiedades: 1. Si f f (uiformemete) y f es cotiua, etoces f es cotiua. 2

4 2. Si f f (uiformemete) y f es cotiua, etoces lim b a f (x)dx = b a lim f (x)dx. 3. Supogamos que f (x) f(x) a,, x D, siedo {a } ua sucesió de úmeros que tiede a cero, lim a =. Etoces f f (uiformemete). 2.3 Ejemplos: 1. La sucesió f (x) = sex hemos visto que coverge putualmete a f(x) =, la fució ula. Coverge uiformemete? Fijémoos se x sex que = 1, x R. Por tato aplicado la se x (uif.) propiedad 3 teemos que. 2. Hemos visto que la sucesió de fucioes { f (x) = x defiidas e [, 1] coverge putualmete a f(x) = si x [, 1). Lo hace 1 si x = 1 uiformemete? Si tratamos de hacer que f (x) f(x) a, para algua sucesió umérica a, co a, o se os ocurre cual tomar. El o ecotrarla o es suficiete para egar la covergecia uiforme, pero si lo sería si ecotramos algua propiedad que respeta la covergecia uiforme y que e este caso o lo hace. Esto es lo que ocurre ya que todas las fucioes x so cotiuas y si la covergecia fuese uiforme por la propiedad 1 f debería ser cotiua, y o lo es, ya que o lo es e. Como coclusió obteemos que la covergecia o es uiforme. x f(putualmete), pero x f(uiformemete). Este ejemplo os muestra que la covergecia putual uiforme. 3 Series de fucioes, o series fucioales Al igual que co úmeros reales podemos asociar a ua sucesió {f } de fucioes ua serie, la sucesió de sus sumas parciales. Así S 1 = f 1, S 2 = f 1 + f 2, S 3 = f 1 + f 2 + f 3, y e geeral S = f 1 + f f. Teemos así las sucesió {S } de sumas parciales de la sucesió {f }. Supogamos que S (x) g(x) putualmete x D, e este caso decimos que la serie de térmio geeral f, que otamos por f, coverge putualmete a g 3

5 y escribimos f = g. Esto es: f = lim S = g (put.) e D o tambié, f (x) = lim S (x) = g(x) (put.) x D A D se le llama el campo de covergecia de la serie fucioal f. Si ocurre que además S (x) g(x) uiformemete e D, decimos que la serie f coverge uiformemete a g. Esto es: f = lim S = g (uif.) e D o tambié, f (x) = lim S (x) = g(x) (uif.) x D Cómo ver e la práctica que ua serie coverge uiformemete? 3.1 Teorema: Supogamos que la serie f de fucioes f : D R es tal que: f (x) M x D, 1 M coverge Etoces para cada x D la serie umérica f (x) coverge absolutamete (esto ya lo sabíamos, es aplicació directa del criterio de acotació), e particular coverge putualmete e D. Se verifica además que la covergecia es uiforme e D. 4

6 3.2 Ejemplos: 1. cos x, x R M cos x 1 = M, cos x coverge coverge absolutamete x R, e particular coverge, y además e R. 2. Sea x [2, ), estudiemos x. cos x coverge uiformemete x = 1 x < 1 2, 1 2 coverge. - Por tato para cada x [2, ) x coverge absolutamete. Además x coverge uiformemete e [2, ). 3.3 Propiedades(Cosecuecia de las propiedades para sucesioes fucioales): 1. Si todas las f so cotiuas y f coverge uiformemete e D a f, etoces f es cotiua. 2. Si todas las f so itegrables e [a, b] y la serie coverge uiformemete e [a, b], f = f(uif.). Etoces b b f = f a a 5

7 es decir b a f = b a f. 4 Series de Potecias 4.1 Defiició: Ua serie de potecias es ua serie de fucioes poliómicas de la forma a (x a). Decimos que está cetrada e x = a ya que cada f (x) = a (x a) es ua potecia de (x a), es decir u moomio e x a. Vamos a estudiar las que está cetradas e x =, ya que el cambio y = x a os reduce a este caso. [ a (x a) = a y, y = x a] Por tato realizamos el estudio para series del tipo. 4.2 Teorema Toda serie de potecias del tipo a x, cetradas e a x, está e uo de los siguietes casos: a) La serie coverge uicamete e el valor x =. b) La serie coverge absolutamete e todo R. c) La serie coverge absolutamete e u itervalo de la forma ( R, R) y diverge fuera de [ R, R]. E los extremos, x = R y x = R puede coverger o o. E el primer caso se dice que el radio de covergecia es. E el segudo que es. E el tercer caso se dice que el radio de covergecia es R. Si fijamos u x R la serie fucioal se covierte e ua serie umérica. Podemos cosiderar la serie e valor absoluto e itetar aplicar los criterios que vimos para series de térmios positivos. Si supoemos que l = lim a y aplicamos el criterio de la raiz a la serie a x = a x 6

8 lim a x = x lim a = x l Así pues si x l < 1 la serie coverge absolutamete, y si x l > 1 la serie diverge. Es decir segú que x < 1 l o que x > 1 l hay covergecia absoluta o divergecia. Por tato y de acuerdo co el teorema euciado ateriormete el radio de covergecia es R = 1 l. A falta de aalizar los casos l = y l = que so imediatos, teemos el siguiete resultado: 4.3 Proposició: Supogamos que l = lim a y R es el radio de covergecia de la serie a x. Etoces: 1. Si l (, ) R = 1 l 2. Si l = R = 3. Si l = R = 4.4 Nota Recordemos que si existe el límite del cociete, etoces existe el límite de la raiz y so iguales, l = lim a +1 a l = lim a 4.5 Ejemplos: (1) ( 1) x, aquí a = ( 1) 1 a =, a +1 1/( + 1) = = a 1/ Así pues l = 1, de dode R = 1/l = 1 ( 1) Para x = 1 queda que coverge por Leibitz. 1 Para x = 1 queda que diverge. 7

9 Por tato el campo de covergecia es ( 1, 1] (2) ( 1) x2 2, aquí idetificado co a x resulta que a = si es impar, y a = 1 si es par. De esta forma o existe lim a y por tato o podemos aplicar el criterio aterior. E este caso os vemos obligados a estudiar directamete la covergecia para cada x. Dado u x fijo estudio (e valor absoluto) la serie umérica ( ( 1) x2 2. Aplico el criterio del cociete x 2+2 /(2 + 2) x 2 /(2) = x2 x 2 Por tato coverge si x 2 < 1 x ( 1, 1), y diverge si si x 2 > 1 x (, 1) (1, ). Así el radio de covergecia es 1. ( 1) Para x = 1 y x = 1 se obtiee que coverge. El campo de covergecia es, por tato, el itervalo [ 1, 1]. - Hasta aquí la covergecia que hemos aalizado es putual, si embargo se tiee el siguiete resultado que os idica que este aálisis es suficiete para las series de potecias. 4.6 Teorema Sea S la fució dada por S(x) = a x. 1. La serie coverge uiformemete a S e todo itervalo cerrado coteido e su campo de covergecia. 2. S es cotiua e todo su campo de covergecia. 3. Las primitivas de S so series de potecias que tiee el mismo radio de covergecia que S, y que se obtiee itegrado térmio a térmio. Cocretamete a x = a x + C = a + 1 x+1 + C 8

10 4. S es derivable. Su derivada es otra serie de potecias que tiee igual radio de covergecia que S, y que se obtiee derivado térmio a térmio. 4.7 Ejemplo: ( ) d a x = dx Vamos a calcular la suma de la serie Leibitz. Dada la serie d dx (a x ) = a x 1 =2 ( 1) 1, que sabemos coverge por x, para cada x es geométrica de razó x, y por tato coverge solo si x < 1. Además lo hace a x = 1 1 x Por ser ua serie de potecias la covergecia es uiforme, y el límite uiforme es ua fució itegrable, cotiua y derivable. E particular 1 1 x dx = = log(1 x) = C + x +1 + C x ( 1, 1) + 1 = x evaluado e x =, obteemos C =, y evaluado e x log(1 + x) = ( 1) x, x ( 1, 1) Fijémoos e que ahora la serie de la dercha coverge e x = 1 (se ha modificado el campo de covergecia al itegrar). Por la cotiuidad de la serie ( 1) x e el puto x = 1, se tiee que de dode log(2) = ( 1) 1 ( 1) 1 = log 2 9

11 5 Series de Taylor Vamos a recordar alguas cosas que ya vimos al hablar del poliomio de Taylor y vamos a justificarlas usado los resultados que hemos estado viedo. 5.1 Defiició Sea f ifiitas veces derivable e I, itervalo abierto, y sea a I. La serie de Taylor de f e I cetrada e a, es la serie fucioal 5.2 Observació = f () (a) (x a)! Fijémoos e que la serie de Taylor es ua serie de potecias, por tato se verifica todas las propiedades que hemos estudiado. Supogamos que la serie coverge e u puto x = x, etoces teemos f () (a) el úmero (x a). Decimos que la serie de Taylor represeta a f e x,! = si ocurre que el úmero aterior es exactamete f(x ) f(x ) = = f () (a) (x a)! Fijémoos e que al meos e el puto x = a la serie represeta a la fució, ya que trivialmete se tiee la igualdad = f () (a) (a a) = f(a) + f (a)(a a) + = f(a) = f(a)! Tambié vimos que se teía el siguiete resultado 5.3 Teorema La serie de Taylor de f e a represeta a f e x si y solo si lim R (x ) = y como cosecuecia de esto y teiedo e cueta que obteíamos la siguiete R (x ) = f (+1) (c) ( + 1)! (x a) +1, c etre x y a 1

12 5.4 Cosecuecia: Si f ) (x) M, M R,, x I. Etoces la serie de Taylor de f represeta a la f e todos los putos de I, f(x) = T f,a (x). 5.5 Ejemplos (1) se x = x x3 3! + x5 5! x7 x ( 1) 7! (2 + 1)! + cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 x2 + + ( 1) 6! (2)! + e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + x! + Desarrollos de Taylor e x =. se x y cos x tiee derivadas acotadas por tato represeta e todo R. La igualdad es válida x R. Para la expoecial, dado x elegimos M talque x ( M, M). Etoces e M acota la derivada x ( M, M). E particular represeta e el puto x = x. Como se puede hacer para todos los putos, represeta e todo R. La igualda es válida e todo R. (2) Ecotrar el desarrollo de log x e el puto 1 ( o log(1+x) e x = )o es ta imediato ya que las sucesivas derivadas se va complicado, si bie o es imposible existe maeras más secillas aplicado las propiedades de las series de potecias. 1 La derivada de log(1+x) es 1 + x que podemos expresar como 1 1 ( x). Lo aterior es precisamete la suma de ua serie geométrica de razó x. Como estas series coverge si x < 1, resulta que si x ( 1, 1) se tiee la igualdad ( x) 1 = 1 ( x) = x = d (log(1 + x)) dx es decir = ( 1) x = d (log(1 + x)) dx = Si itegramos se tiee que e ( 1, 1) ( 1) x+1 = log(1 + x) + C + 1 = 11

13 Haciedo x = determiamos que C =. Por la cotiuidad y dado que la serie obteida coverge e x = 1 (y diverge e x = 1) podemos afirmar que log(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 x + + ( 1) desarrollo válido e ( 1, 1]. Mejorado ligeramete el resultado que veíamos al hablar de las series de Taylor detro de las series uméricas. (3) Si f(x) = arctag x f (x) = 1, que puedo pesarlo como la suma 1 + x2 de ua geométrica de razó x 2 y térmio iicial 1, que coverge si x 2 < 1 x 2 < 1 x < 1 x ( 1, 1) Así f (x) = 1 x 2 + x 4 x ( 1) x 2 +, x ( 1, 1). Itegrado primero y haciedo x = después, para determiar la costate que aparece, obteemos que e ( 1, 1) arctag x = x x3 3 + x5 5 x7 x ( 1) Pero de uevo por la cotiuidad y dado que la serie coverge e los extremos del itervalo, resulta que el desarrollo aterior es válido e [ 1, 1]. De uevo esto mejora el resultado que adelatábamos al fial de las series uméricas. 5.6 Cometario: Hemos dicho que es la cotiuidad, juto co el hecho que la serie coverja e el extremo lo que os permite asegurar que la igualdad puede ser extedida a ese extremo. Para ser totalmete precisos el razoamieto que justifique esto podróa ser el siguiete: Teemos S(x) = a x para cada x I, siedo I el campo de covergecia de la serie. Sabemos que S es cotiua, es decir que lim S(x) = S(a). x a Por otro lado sabemos que para ua cierta fució f se tiee que e el iterior de I, I, f(x) = S(x), pero o teemos e pricipio asegurado que e u extremo sea iguales. Esto es, e pricipio si x es u extremo del itervalo teemos dos úmeros f(x ) y S(x ) que o sabemos que sea iguales. Resulta que si f es cotiua si so iguales ya que S(x ) = lim S(x) = lim f(x) = f(x ) x x x İ x x x İ 12

14 6 Series de Fourier Seas f ua fució periódica de periodo 2π (es decir f(x) = f(x + 2π), x R) y cotiua a trozos e [, π]. Se llama serie de Fourier de f, a la serie a 2 + (a cos x + b se x) dode los coeficietes a y b viee dados por: a = 1 π b = 1 π f(x) cos xdx = 1 π f(x) se xdx = 1 π 2π 2π para cada. Fijémoos que siempre b =. f(x) cos xdx f(x) se xdx 6.1 Ejemplo: {, si x [, π/2) (π/2, π] sea f(x) = y extedida por periodicidad 1, si x [/2, π/2] fuera de [, π]. Quié es su serie de Fourier? Es facil comprobar que a = 1. Para > a = 1 π f(x) cos xdx = 1 π /2 /2 f(x) cos xdx = = 1 π se x ] π/2 = 1 2 se (π/2) /2 π b = 1 f(x) se xdx = 1 π π /2 π/2 f(x) se xdx = = 1 π Así pues la serie de Fourier es x ] π/2 ( cos ) = 1 /2 π = π cos x cos 3x + cos 5x cos 7x + 3π 5π 7π que resulta ser ua serie de coseos. 13

15 El ejemplo aterior es u caso particular de u hecho que afecta a todas las fucioes que so pares. Fijémoos e que f(x) = f( x) para la fució f del ejemplo aterior, es decir f es par. Por tato al ser se x ua fució impar, su producto f(x) se x resulta ser impar. De esta maera y si hacer el cálculo explícito f(x) se xdx = ya que etre y toma los mismos valores, pero de sigo opuesto, que etre y π, y así = + = A A = Por otro lado al ser cos x ua fució par f(x) cos x es par, y de esta forma toma los mismos valores etre y que etre y π. Por tato = 2. Así pues si f es ua fució par se tiee que: a = 2 f(x) cos xdx y b = por tato su serie de Fourier es siempre ua serie de coseos (y el coseo es par). Por otro lado razoado aalogamete si f es ua fució impar, es decir, f( x) = f(x), f(x) cos x es ua fució impar y por tato se aula f(x) cos xdx y así a =. f(x) se x es par (al ser producto de dos impares) y por tato De esta forma f(x) se xdx es el doble que b = 2 π f(x) se xdx f(x) se xdx. Así e el caso de que f sea ua fució impar, su serie de Fourier es ua serie de seos( y el seo es impar). 6.2 Ejemplo: Sea la fució f(x) = x π R. Su gráfica es: si x [, π) y extedida por perodicidad a todo 14

16 1 π 1 Fijémoos que f es ua fució impar, f( x) = x π a = y b = 2 π f(x) se xdx = 2 π (calculado ua primitiva por partes, se tiee) = 2 π 2 x cos x + = f(x), así pues x π se xdx = 2 π 2 x se xdx = ] se x π 2 = 2 ( ) cos π 2 cos π π 2 = π Así pues, teiedo e cueta que { 1 si es par cos π = 1 si es impar la serie de Fourier es la siguiete: ( 2 se 2x se x + π 2 se 3x 3 se 4x 4 ) + = = 2 π +1 se x ( 1) Para defiir la serie de Fourier de ua fució solo ecesitamos que sea periódica de periodo 2π y cotiua a trozos. Si embargo ecesitamos alguas codicioes más para que coverja y para que represete a la fució f. La codició es que sea derivable a trozos para que coverja, y que sea cotiua e el puto para que represete a la fució e ese puto. 6.3 Notació: Notamos por f(x + ) = lim f(x) y por f(x x x + ) = lim f(x), a los límites laterales de f e x por la derecha y por la izquierda x x respectivamete. 15

17 6.4 Observació: Es equivalete que ua fució sea cotiua a trozos a que exista todos sus límites laterales. Evidetemete cotiua cotiua a trozos, al cotrario o es cierto. Aalogamete a como defiimos los límites laterales defiimos las derivadas laterales popr la derecha f (x + ), y por la izquierda f (x ) f (x + ) = lim h + f(x + h) f(x + ) h f (x ) = lim f(x + h) f(x ) h h Es equivalete que ua fució sea derivable a trozos, a que exista todas sus derivadas laterales. Claramete derivable derivable a trozos, el recíproco o es cierto. Se tiee el siguiete resultado que os dice cuado coverge ua serie de Fourier y a quié lo hace. 6.5 Teorema( de Dirichlet) Si f es derivable a trozos e el itervalo [, π], etoces para cada x [, π], la serie de Fourier de f coverge al valor 1 2 (f(x+ ) + f(x )), esto es, a 6.6 Nota 2 + (a cos x + b se x ) = 1 2 (f(x+ ) + f(x )) Como cosecuecia de este resultado podemos decir que la serie represeta a la fució f e x, esto es, vale igual que la fució e x, si f es cotiua e x, ya que e este caso f(x ) = f(x + ) = f(x ), y por tato f(x ) = 1 2 (f(x+ ) + f(x )) = a 2 + (a cos x + b se x ) 6.7 Ejemplo: Cosideremos f(x) = x e [, π]. Al ser par su serie de Fourier es de coseos, así b = y a = 2 π 16 f(x) cos xdx

18 Para = se tiee: Para 1 (calculado primitivas) = 2 π x se x a = 2 π a = 2 π + xdx = 2 π π 2 2 = π x cos xdx = cos x ] π 2 = 2 ( cos π π 2 1 ) 2 = { = 2 si es par (cos π 1) = π2 4 π 2 si es impar La serie de Fourier es π 2 4 π = cos(2 + 1)x (2 + 1) 2. Fijémoos e que la fució f es cotiua e x = π, por tato aplicado el teorema de Dirichlet se tiee π = π = f(π) = π 2 4 π π 2 = 4 π = = cos(2 + 1)π (2 + 1) 2 = π π = 1 (2 + 1) 2 π2 8 = 1 (2 + 1) 2 = 1 (2 + 1) 2 1 Ya sabíamos que la serie (2 + 1) 2 coverge comparado co 1 2, = pero o sabíamos su suma. Utilizado las series de Fourier hemos sido capaces de decir exactamete a quié coverge. 6.8 Serie de Fourier de ua fució periódica de periodo 2T Si f es periódica de periodo 2T podemos, mediate u simple cambio de variable, trasformarla e ua fució periódica de periodo 2π. Cocretamete a f de periodo 2T asociamos g de periodo 2π dada por la siguiete composició 17

19 [, π] [ T, T ] f R t x = T t π f(x) = g(t) g t = π t x g posee las mismas propiedades que f. Por ejemplo si f es par g es par, etc. Defiimos la serie de Fourier de f como la serie de Fourier de g a 2 + (a cos t + b se t) = a 2 + (a cos π T x + b se π T x) y si 1 a = 1 π a = 1 π g(t)dt = 1 π g(t) cos tdt = 1 π T T Razoado aalogamete teemos 6.9 Ejemplo: b = 1 T T T T T f(x) π T dx = 1 T T T ( f(x) cos π ) π T x T dx = 1 T f(x) se ( π T x ) dx f(x)dx T T f(x) cos ( π ) T x dx Dada la fució, periódica de periodo π, que tiee la siguiete gráfica, dar su serie de Fourier. π 2π π 2π 18

20 f(x) = π x, si x [, π). Su periodo es π (2T = π), por tato el semiperiodo es T = π/2. = a = 1 T T T f(x)dx = 1 T 2T f(x)dx = 2 π f(x)dx = 2 π (π x)dx = 2 π x)2 [ (π ] π = 2 π 2 2 π 2 = π 1 a = 1 T 2 π T T f(x) cos( π T x)dx = 1 T 2T f(x) cos( π T x)dx = (π x) cos(2x)dx = (haciedo cálculos) = b = 1 T 2 π T T f(x) si( π T x)dx = 1 T Así pues la serie de Fourier de f es: 2T (π x) si(2x)dx = = 1 S F (x) = π 2 + si(2x). f(x) si( π T x)dx = Fijémoos e que f( + ) = π, f( ) =, y S F () = f(+ )+f( ) 2 = π Extesioes periódicas par e impar Si teemos f defiida eb [, T ] podemos extederla al itervalo ( T, T ] de formas diferetes. Sea { { f(x), x [, T ] f(x), x [, T ] f 1 (x) = ; f f( x), x ( T, ) 2 (x) = f( x), x ( T, ) f 1 y f 2 extiede a f e el setido que coicide co f e el itervalo [, T ], pero f 1 es ua fució par y f 2 es ua fució impar. La serie de f 1 es ua serie de coseos, es decir b = y a = 2 T 19 T f(x) cos π T xdx

21 La serie de f 2 es ua serie de seos, es decir a = 6.11 Ejemplo: y b = 2 T T f(x) se π T xdx La fució f(x) = π x e [, π). E el ejemplo aterior dabamos la serie de Fourier de la fució f(x) = π x, x [, π) y periódica de periodo π. Vamos ahora a dar su serie de Fourier como fució periódica de periodo 2π, extediédola a (, π] como fució par o como fució impar f 1 (x) = { f(x), x [, π] f( x), x (, ) = { π x, x [, π] π + x, x (, ) π 2π π 2π Por ser par (f 1 (x) = f 1 ( x)) b = a = 2 π a = 2 π (π x) cos xdx = 2 π Así f(x) = π ( cos 3x cos x + + π 9 por ser f cotiua e todo R. y a = 2 π (π x)dx = π 1 ( 1) 2 = cos(2 + 1)x (2 + 1) 2 + f(x) cos xdx. 4 π 2, impar, par ), x [, π], f 2 (x) = { f(x), x [, π] f( x), x (, ) = { π x, x [, π] (π + x), x (, ) 2

22 π 2π π 2π Por ser impar (f 2 (x) = f 2 ( x)) a = y b = 2 π f(x) se xdx. b = 2 π (π x) se xdx = 2 Así para cada x [, π], x, por ser f cotiua e estos putos f(x) = 2 se x ( = 2 se x + se 2x 2 + se 3x 3 ) + E el puto x = la fució o es cotiua y podemos comprobar que la serie coverge e ese puto a la semisuma de sus límites laterales = π + () 2 = f(+ ) + f( ) 2 = 2 se = 21