UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Ingeniería Informática Examen de Investigación Operativa 16 de febrero de 2006

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Rosario Franco Peña
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1 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Ingeniería Informática Examen de Investigación Operativa 6 de febrero de 26 Problema. (2 puntos Un técnico de sistemas del laboratorio de cálculo de la Escuela Politécnica Superior quiere acceder a cinco archivos distintos. Hay copia de estos archivos en distintas cintas de backup, como se muestra en la tabla siguiente: f C, C2, C5, C6, C8, C9, C f2 C, C f C2, C5, C7, C f4 C, C6, C8 f5 C, C2, C4, C6, C7, C9, C Los tamaños de las cintas de backup C,...,C son (, 5,, 2,, 4,,, 2, 2. Para poder recuperar los archivos, primero hay que hacer un volcado de las cintas al disco duro. Éste tiene que ser de la cinta completa, no puede copiarse sólo una parte. a ( punto Formula un problema de programación lineal entera que determine el conjunto de cintas a volcar de forma que se ocupe el menor espacio de disco posible y se puedan recuperar todos los archivos. b ( punto Cómo le añadirías al modelo las siguientes restricciones? No se pueden volcar a la vez las cintas, 9 y. Si no se vuelca la cinta, debe volcarse la. Si se vuelca la cinta 2 o la 5, no pueden volcarse ni la 6, ni la 9. Solución.. a Para formular este problema definimos una variable binaria para cada cinta: { si volcamos la cinta i x i = en caso contrario El modelo será: Minimizar x + 5x 2 + x + 2x 4 + x 5 + 4x 6 + x 7 + x 8 + 2x 9 + 2x suj. a x + x 2 + x 5 + x 6 + x 8 + x 9 + x ( x + x x 2 + x 5 + x 7 + x ( x + x 6 + x 8 x + x 2 + x 4 + x 6 + x 7 + x 9 + x (5 x i {, }; i =,..., Para cada archivo i, la restricción (i asegura que se vuelca alguna de las cintas que lo contienen. b Las restricciones adicionales se pueden modelar como sigue: (2 (4

2 a x + x 9 + x 2. b x ( x o, sencillamente x + x. c En este caso existen varias alternativas. La más sencilla es incluir las cuatro restricciones: x 2 + x 6 ; x 2 + x 9 ; x 5 + x 6 ; x 5 + x 9 Otra posibilidad es modelar esta condición como: x 6 + x 9 2 2x 2 ; x 6 + x 9 2 2x 5 Problema 2. (2 puntos Considera el problema de programación lineal: Maximizar x + y suj. a 2x + y 4 2x + y 4 x + y x, y a ( punto Da toda la información que puedas sobre el punto (2,. b ( punto El problema es acotado? En caso afirmativo, encuentra la solución óptima. En caso negativo, dado un valor V suficientemente grande, debería existir una solución factible con ese valor. Da una expresión (en función de V de dicha solución. Utiliza esa expresión para encontrar una solución factible con valor 5. Solución.. a Pasamos el problema a forma estándar: Minimizar x y suj. a 2x + y s = 4 2x + y + s 2 = 4 x + y s = x, y, s, s 2, s Sustituyendo (x, y por (2, en las ecuaciones anteriores obtenemos Por tanto se trata de una solución factible. (s, s 2, s = (, 8, Las variables no nulas son {x, s 2, s }, cuya matriz asociada es B = La solución es básica factible y, por tanto, un vértice de la región factible. Para esta solución tenemos λ = ( 2,, ; σ = ( 2, que es no singular. Como uno de los costes reducidos es estrictamente negativo y estamos resolviendo el problema como uno de minimización, la solución que tenemos no es óptima. 2

3 b Si entramos a la base la variable s la única candidata a salir es s. Este cambio de base nos lleva al punto (x, y = (,. Para este nuevo punto λ = (,, ; σ = (,. Así, ésta tampoco es una solución óptima. La variable y es la única candidata a entrar a la base. La dirección de movimiento es ( P N = ; p B = 7 Por tanto el problema es no acotado. Todos los puntos x(λ = 2 + λ para λ son factibles, y ( 7 T define una dirección de descenso (ascenso si pensamos en el problema original, de maximización. Si nos fijamos sólo en las variables originales, tenemos ( ( P (λ = + λ El valor de P (λ según la función objetivo del problema original es 9 + λ; este rayo nos proporciona soluciones con cualquier valor 9. Así, para V 9 cualquiera, como 9 + λ = V λ = V 9, el punto ( + V 9 ( será un punto factible con valor V. La solución ( tiene valor ( = 7. ( 45 4

4 Problema. (2 puntos Un fabricante de altavoces sabe que cualquier par de altavoces, al ser conectado a un equipo de música, interfiere ligeramente. Para mejorar la calidad del producto, se ha medido la distorsión producida por cada par de altavoces Programación (i, j: Lineal d ij. Entera/ Modelización y Branch and Bound Explica qué problema debe resolver el fabricante para decider qué altavoces es mejor vender juntos.. A continuación se representa el árbol de ramificación y acotación correspondiente a una iteración en la resolución del siguiente problema de programación lineal: Solución. Si construimos un grafo completo con unmax nodo8x por + cada 8x 2 altavoz + 5x + y4x pesos 4 + x d ij5 en + 9x los 6 arcos, podemos encontrar la foma de emparejar los altavoces de forma s.a 2x que + la6x distorsión 2 + 9x + 6xtotal 4 + x de 5 + todas 5x 6 las 6 parejas sea lo 9x menor posible resolviendo un problema del emparejamiento + 4x perfecto 2 + 6x de + 8x peso 4 + x mínimo. 5 + x 6 6 x + 4x 2 + 5x + 2x 4 + 9x 5 + x 6 2 8x Problema 4. (2 puntos A continuación se representa el árbol + x de ramificación 2 + 8x + x 4 + x y acotación 5 + 8x 6 22 (branch and bound x,..., x 6 Z + correspondiente a una iteración en la resolución del siguiente problema de programación lineal: max 8x + 8x 2 + 5x + 4x 4 + x 5 + 9x 6 s.a 2x + 6x 2 + 9x + 6x 4 + x 5 + 5x 6 6 9x + 4x 2 + 6x + 8x 4 + x 5 + x 6 6 x + 4x 2 + 5x + 2x 4 + 9x 5 + x 6 2 8x + x 2 + 8x + x 4 + x 5 + 8x 6 22 x,..., x 6 Z + x2<= (,'54,,,,2'54 z=58'8 x5<= x2>= (,'29,,,'59,'5 z=58'82 x5>= (,,,'9,,'5 z=45'85 (,,,'54,,2'54 z=56 x4<= x4>= ('625,,,,,'75 z=56'25 (,,,,,2'75 z=52'25 ('62,,,,,'75 z=52'25 x6<= x6>=2 (,,,'8,, z=44'8 (,,,,,2 z=52 a Determinar razonadamente qué ramas han sido ya exploradas y qué ramas del árbo a ( punto Determina razonadamente quedarían quépor ramas explorar han sido (si esya quexploradas queda alguna. y quépara ramas cada del una árbol de las quedarían ramas que aún por explorar (si es que queda alguna. no estánpara exploradas, cada unaplantear de las ramas el subproblema, que aún noo subproblemas, están exploradas, a resolver plantear queelcuelgan subproblema, o subproblemas, adirectamente resolver quede cuelgan esa rama. directamente de esa rama. b A partir de lo anterior, decidir si se ha detectado un óptimo o no. En caso negativo, s b ( punto A partir de lo anterior, se para decide aquí si el sealgoritmo, ha detectado quéun solución óptimopropondrías?, o no. En caso cómo negativo, mediríasilasecalidad para de la aquí el algoritmo, qué soluciónmisma? propondrías?, cómo medirías la calidad de la misma? Solución. 2. Dado el siguiente problema de la mochila: max x + 5x 2 + x + 6x 4 s.a 5x + 8x 2 + 6x + 4x 4 5 a Obtén una solución aplicando una heurística tipo greedy. Problema 5. (2 puntos Una empresa mantiene satisfactoriamente un departamento de ventas por catálogo b Cómo podrías emplear la información proporcionada por dicha solución al resolver e en el cual el empleado toma las órdenes por teléfono: Si el empleado esta ocupado en la línea, las llamadas problema mediante un algoritmo de ramificación y acotación? telefónicas entran automáticamente al departamento de catálogos y son contestadas por una grabadora que solicita esperar. Tan pronto el operador esté libre, se comunica con el cliente que ha esperado más. Las llamadas llegan a una tasa de 2 por hora. El empleado es capaz de tomar una orden en un promedio de cuatro minutos. Las llamadas tienden a seguir una distribución de Poisson y los tiempos de servicio tienden a ser exponenciales. Al empleado se le pagan 5e por hora. Debido a la mala publicidad y a la pérdida de futuros clientes, la empresa pierde aproximadamente 25e por hora de tiempo que el cliente pasa esperando para que el empleado le tome la orden. a (.5 puntos Cuál es el tiempo promedio que los clientes de catálogo deben de esperar, antes de que sus llamadas sean transferidas al empleado que recibe las órdenes? b (.5 puntos Cuál es el numero promedio de clientes que esperan para colocar la orden? 4

5 c ( punto La empresa está considerando añadir un segundo empleado para tomar las llamadas. La tienda puede pagarle el mismo sueldo que al empleado actual. Debe de contratar otro empleado? Puedes ayudarte de alguna de las fórmulas siguientes: p p n L M/M/ ρ ρ n ρ p ρ M/M/s M/M//K (ρ s n= (λ/µ n + (λ/µs n! s! ρ M/M//K (ρ = K+ (λ/µ n n! p ; n s (λ/µ s (λ/µ s p ρ s!( ρ 2 + λ µ p s!s n s ; n > s ρ ρ n ρ( (K+ρ p K +Kρ K+ ρ K+ ( ρ( ρ K+ K+ K 2 Solución. Actualmente, se puede modelizar el departamento con una cola M/M/ con λ = 2 llegadas por hora, µ = 6/4 = 5 órdenes por hora y ρ = λ/µ = 4/5. ρ <, por tanto, el sistema tiene estado estacionario. a Nos piden W q. W q = ρ µ( ρ = 4 horas = 5 minutos 5 b El número medio de clientes esperando a ser atendidos será L q = λw q =.2 c Con la situación actual, una hora de funcionamiento del departamento supone un coste de = 85e. (salario + costes por espera Si se contratara un segundo empleado el departamento pasaría a comportarse como una M/M/2. Ahora ρ = 2/5. p = + 4/5 + (4/52 = 7/. 2 /5 p = /7 L q = = 6/5 Con la nueva situación, una hora de funcionamiento pasaría a costar: e, que es mucho inferior al coste actual. Por tanto, sí merece la pena contratar a otro empleado. 5

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