5- VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

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1 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell 5- VARIABLS ALATORIAS BIDIMSIOALS 5. Geeraldades Hasta ahora hemos cosderado el caso de varables aleatoras udmesoales. sto es el resultado del eermeto de terés se regstra como u úco úmero real. muchos casos s embargo os uede teresar asocar a cada resultado de u eermeto aleatoro dos o más característcas umércas. Por eemlo de los remaches que sale de ua líea de roduccó os uede teresar el dámetro la logtud. Teedo e cueta la evtable varabldad e las dmesoes de los remaches debdo a las umerosas causas resetes e el roceso de fabrcacó los odemos reresetar asocádoles dos varables aleatoras e que uede esarse como ua varable. aleatora bdmesoal: Sea ε u eermeto aleatoro S u esaco muestral asocado a él. Sea : S R : S R que a cada resultado s S le asga el ar de úmeros reales Llamaremos a varable aleatora bdmesoal. S e lugar de dos varables aleatoras teemos varables aleatoras... llamaremos a... varable aleatora -dmesoal lo que sgue os referremos e artcular a varables aleatoras -dmesoales co es decr os cocetraremos e varables aleatoras bdmesoales or cuato so las más smles de descrbr fudametalmete e relacó a la otacó. Pero debemos teer resete que las roedades que estudemos ara ellas se uede eteder s demasada dfcultad al caso geeral. Al couto de valores que toma la varable aleatora bdmesoal lo llamaremos recorrdo de la v.a. lo dcaremos R. otras alabras R : s e s co s S es decr es la mage or del esaco muestral S. otar que el recorrdo de es u subcouto del esaco ucldao: uede cosderarse al recorrdo úmeros reales. R R. Como ates R como u esaco muestral cuos elemetos so ahora ares de Como co cualquer esaco muestral segú el úmero de elemetos que lo costtue odemos clasfcar a los recorrdos R e umerables ftos o ftos o-umerables. Los recorrdos umerables so e geeral de la forma R co.....m {... m } fto R co..... {...} fto umerable Los recorrdos o umerables so regoes o subcoutos o umerables del lao ucldao. Por eemlo: R : a b; c d o umerable 8

2 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell { : } R o umerable R : a b c c c o umerable mto cuas gráfcas se uede arecar e la fgura sguete. otar e el últmo recorrdo es v.a. cotua e dscreta. d c c c a b - c R a b - Clasfcaremos a las varables aleatoras bdmesoales de la sguete maera: es v.a. bdmesoal dscreta s e so dscretas es v.a. bdmesoal cotua s e so cotuas l caso cotua dscreta o vceversa o lo cosderamos. Sea ua varable aleatora bdmesoal dscreta sea R su recorrdo umerable. Sea : R R tal que ua fucó que a cada elemeto le asga u úmero real R P que verfca. R a b R A esta fucó la llamaremos fucó de robabldad utual couta de la varable aleatora. forma abrevada la desgaremos fd couta. bdmesoal emlos: -Dos líeas de roduccó señaladas I II maufactura certo to de artículo a equeña escala. Suógase que la caacdad máma de roduccó de la líea I es cco artículos or día metras que ara la líea II es artículos/día. Debdo a los umerables factores resetes e todo roceso de roduccó el úmero de artículos realmete roducdo or cada líea uede esarse como ua varable aleatora. couto odemos esar e ua varable aleatora bdmesoal dscreta dode la rmera comoete corresode a la roduccó de la líea I la seguda comoete a los artículos que sale de la líea II. La fd couta corresodete a varables aleatoras bdmesoales suele resetarse or comoddad como ua tabla. Suogamos que la ara la v.a. es que os teresa aquí la tabla corresodete a 84

3 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell Cuál es la robabldad de qué salga más artículos de la líea I que de la líea II? Ates de calcular la robabldad que os de el roblema hagamos alguas cosderacoes sobre la. tabla que rereseta a Se trata de ua tabla a doble etrada dode e la rmera fla se dca los valores que uede tomar la v.a. e este caso 45 la rmera columa dca los valores que uede tomar la varable. Para determar el valor de la cuado la v.a. cosderamos el úmero que se ecuetra e la columa corresodete a corresodete a. Por eemlo: 4 P toma el valor la fla Podemos verfcar fáclmete que la fd couta defda or esta be defda. efecto verfca las codcoes a R b. R Para cotestar la reguta del eucado cosderemos el suceso B R defdo B: es el suceso que ocurre cuado la líea I roduce más artículos que la líea II o B >. Luego: { } B P > P > Ha tres caas regstradoras a la salda de u suermercado. Dos cletes llega a las caas e dferetes mometos cuado o ha otros cletes ate aquellas. Cada clete escoge ua caa al azar e deedetemete del otro. Sea las varables aleatoras : º de cletes que escoge la caa e : º de cletes que escoge la caa. Hallar la fd couta de Podemos suoer que el esaco muestral orgal S es el couto de ares ordeados S {;;;;;;;;} dode la rmera comoete del ar dca la caa elegda or el clete la seguda comoete del ar dca la caa elegda or el clete. Además otar que como uede tomar los valores l uto muestral es el úco uto muestral que corresode al eveto { } toces P ; esado de forma aáloga los otros casos: 9 P ; P ; P P P ; P P 9 Dsoemos estas robabldades e ua tabla de la sguete forma 85

4 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell 5. - Fucoes de dstrbucó margales de ua v.a. dscreta el eemlo suogamos que queremos saber cuál es la robabldad de que el úmero de artículos roducdos or la líea I sea o sea P Como el eveto { } es gual a { } { } { } { } { } a su vez { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } toces P P { } { } P { } { } P { } { } P { } { } P P P Razoado de la msma forma odemos escrbr P P... 5 P s decr obteemos la fucó de dstrbucó de robabldad de Aálogamete obteemos 5 P P Que es la fucó de dstrbucó de robabldad de P geeral se las deoma dstrbucoes margales de e su defcó sería la sguete Sea dscreta sea m su fucó de robabldad couta vetualmete /o m uede ser. La fucó de robabldad margal de es m P La fucó de robabldad margal de es q P m Observacó: Remarcamos que la fucó de robabldad margal de es decr calculada a artr de \ /9 /9 /9 /9 /9 /9 e la forma dcada cocde co la fucó de robabldad de la varable aleatora udmesoal cosderada e forma aslada. Aálogamete la fucó de robabldad margal de 86

5 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell es decr q calculada a artr de e la forma dcada cocde co la fucó de robabldad de varable aleatora udmesoal cosderada e forma aslada. emlo: Sguedo co el eemlo q 5 P P Observemos que se verfca la codcó de ormalzacó ara cada ua de las margales: 5 q Fucoes de robabldades codcoales Cosderemos uevamete el eemlo de las dos líeas I II que roduce certo artículo a equeña está dada or la tabla escala. Defmos la v.a. ateror que reetmos cua fucó de robabldad couta 4 5 q Suogamos que deseamos coocer la robabldad de que la líea I roduzca tres artículos sabedo que la líea II ha fabrcado dos. Teemos que calcular ua robabldad codcoal. toces P.5 P. P q.5 geeral defmos la fucó de robabldad utual de codcoal a como sgue: P es decr como el cocete de la fucó de robabldad q couta de la fucó de robabldad utual margal de. Aálogamete defmos la fucó de robabldad utual de codcoal a : 87

6 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell q P es decr como el cocete de la fucó de robabldad utual couta de la fucó de robabldad utual margal de. 5.4 Varables aleatoras deedetes a se dscutó el coceto de deedeca etre dos evetos A B. sas msmas deas odemos trasladarlas e relacó a dos varables aleatoras e que evetualmete odemos cosderarlas como las comoetes de ua varable aleatora bdmesoal. De acuerdo co esto tutvamete decmos que dos varables e so deedetes s el valor que toma ua de ellas o flue de gua maera sobre el valor que toma la otra. sto lo establecemos más formalmete: Sea ua varable aleatora bdmesoal dscreta. Sea su fd couta q las corresodetes fd margales de e. Decmos que e so varables aleatoras deedetes s sólo s q R Observacó: otar que ara oder afrmar la deedeca de e debe cumlrse la factorzacó de la fd couta como roducto de las fd margales ara todos los ares de valores de la v.a.. Por lo tato ara verfcar la deedeca es ecesaro demostrar la valdez de la factorzacó ara todos los ares. cambo es sufcete ecotrar u solo ar que o la verfca ara afrmar de acuerdo co la defcó que las varables e so o deedetes es decr que so deedetes. sto es ara demostrar la deedeca es sufcete co ecotrar u solo ar que o verfque la factorzacó señalada. Vmos que dos sucesos A B so deedetes s sólo s P A B P A B A P B P dode or suuesto debía ser P A P B. térmos de varables aleatoras esta forma de ver la deedeca se mafesta e la gualdad etre las fd codcoales las corresodetes fd margales como demostramos e este Teorema ua varable aleatora bdmesoal dscreta cuas fd couta codcoales margales Sea q. toces e so varables aleatoras deedetes s sólo s q so resectvamete ; R o q q R que es equvalete a lo ateror 88

7 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell Dem. Demostraremos solamete. La equvaleca etre la deamos como eercco. Para demostrar verfcaremos la doble equvaleca etre ésta la defcó de v.a. deedetes. R Sea e varables aleatoras deedetes. toces q q q Aquí la rmera gualdad es la defcó de fd codcoal la seguda sale de la defcó de deedeca al suoer que e so deedetes. R Suogamos que se verfca. toces q q e deedetes Aquí la rmera mlcacó se debe a la defcó de fd codcoal la tercera a la defcó de v.a. deedetes. emlo: - Suogamos que ua máqua se usa ara u trabao esecífco a la mañaa ara uo dferete e la tarde. Reresetemos or e el úmero de veces que la máqua falla e la mañaa e la tarde resectvamete. Suogamos que la tabla sguete da la fucó de robabldad couta la varable aleatora bdmesoal dscreta. / q P..4.4 Deseamos saber s las varables aleatoras e so deedetes o deedetes. R Para demostrar que so deedetes debemos robar que se verfca q Verfcamos drectamete que. q q... 6 q... q q. 4.. q. 4.. q q. 4.. q. 4. Luego e so deedetes. de 89

8 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell Podríamos haber usado las codcoes R q q R o su equvalete. Veamos como muestra ara u solo valor que se verfca Para demostrar la deedeca or este camo habría que q. demostrar que se cumle la codcó ara el resto de los ares de valores. Se dea este cálculo como eercco otatvo. Observacoes - De la defcó de las fd margales vemos que tato e el caso dscreto como e el cotuo la fd couta determa uívocamete las fd margales. s decr s es dscreta del odemos determar uívocamete las coocmeto de la fucó de robabldad couta fucoes de robabldad q coocmeto de q o se uede e geeral recostrur varables deedetes e cuo caso es q.. S embargo la versa o se cumle e geeral. s decr del a meos que e sea - l coceto de deedeca etre dos varables aleatoras se uede geeralzar a varables aleatoras Fucó de ua varable aleatora bdmesoal ste muchas stuacoes e las que dado ua varable aleatora bdmesoal os teresa cosderar otra varable aleatora que es fucó de aquélla. Por eemlo suogamos que las varables aleatoras e deota la logtud el acho resectvamete de ua eza etoces Z es ua v.a. que rereseta el erímetro de la eza o la v.a. W. rereseta el área de la eza. Tato Z como W so varables aleatoras. geeral sea S u esaco muestral asocado a u eermeto robablístco ε sea : S R e : S R dos varables aleatoras que defe ua varable aleatora bdmesoal cuo recorrdo es R sea ua fucó de dos varables reales H : R R que a cada elemeto del recorrdo R le hace corresoder u úmero real z H etoces la fucó comuesta Z H : S R es ua varable aleatora uesto que a cada elemeto s S le hace corresoder u úmero real z H[ s s ]. Dremos que la varable aleatora Z es fucó de la varable aleatora bdmesoal. Alguas varables aleatoras que so fucó de varables aleatoras bdmesoales so Z. / mí Z má etc. Z Z Z Lo ateror se uede geeralzar s e lugar de dos varables aleatoras teemos varables aleatoras... z H... es ua fucó de varables a valores reales. 9

9 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell emlos: - Sea Z ~ B Podemos escrbr a Z como suma de varables aleatoras de la sguete forma. Recordar que Z cueta el úmero de étos e reetcoes o esaos del eermeto ε S defmos s e la í ésma reetcó de ε ocurre éto... caso cotraro otar que a cada se la uede cosderar B además... so deedetes Podemos escrbr Z... - Sea Z v.a. bomal egatva co arámetros r es decr Z ~ B r S defmos : úmero de reetcoes del eermeto requerdos hasta el º éto : úmero de reetcoes del eermeto adcoales requerdos hasta el º éto : úmero de reetcoes del eermeto adcoales requerdos hasta el º éto e geeral : úmero de reetcoes del eermeto adcoales desués del - ésmo éto requerdos hasta el -ésmo éto toces cada varable tee dstrbucó geométrca co arámetro Z... otar además que... r so deedetes r seraza de ua v.a. que es fucó de ua v.a. bdmesoal Sea ua varable aleatora bdmesoal cua fd couta es la fucó de robabldad s es dscreta o la fucó de desdad de robabldad couta f s es cotua couta sea ua fucó real de dos varables H z de maera que odemos defr ua varable aleatora Z que es fucó de la varable aleatora bdmesoal de la forma Z H. S la fd de Z es q z sedo Z dscreta etoces la eseraza matemátca de Z es de acuerdo co la defcó geeral Z z.q Z dscreta z R uevamete lo teresate es cosderar la osbldad de evaluar Z revamete la fd de Z. l sguete teorema os muestra cómo hacerlo. s teer que calcular Teorema Sea ua varable aleatora bdmesoal sea ZH ua varable aleatora que es fucó de. S Z es varable aleatora dscreta que rovee de la varable aleatora bdmesoal dscreta cuo recorrdo es etoces: R su fd couta es Dem. s demostracó [ ] H Z H R 9

10 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell 9 seraza de ua suma de varables aleatoras Dem. e el teorema ateror cosderamos H S es dscreta [ ] R R H H Z Alcado la roedad dstrbutva searado e dos sumas R R R Z Pero q or lo tato q Para el caso cotua sgue sedo válda esta roedad. Podemos geeralzar la roedad ateror a u úmero fto cualquera de varables aleatoras: leeremos: la eseraza de la suma es la suma de las eserazas Dem. Se deduce or duccó comleta sobre el úmero de varables aleatoras. Observacó: se deduce que la eseraza verfca la roedad leal: a a. emlos: - Vamos a alcar alguas de las roedades aterores ara calcular de ua maera alteratva la eseraza matemátca de ua varable aleatora dstrbuda bomalmete. Sea etoces ua v.a. B. a vmos que odemos escrbr... dode cada se la uede cosderar B además... so deedetes Sea e dos varables aleatoras arbtraras. toces. Sea... varables aleatoras arbtraras. toces: o e otacó más cocetrada:

11 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell toces P P P ara cualquer Por lo tato Observacó: muchas veces es coveete descomoer ua varable aleatora como suma de otras más smles ara facltar los cálculos - seraza de ua v.a. bomal egatva Cuado se trató la v.a. bomal egatva se do cuál era su eseraza. Ahora damos ua demostracó Sea v.a. bomal egatva co arámetros r es decr ~ B r S defmos : úmero de reetcoes del eermeto requerdos hasta el º éto : úmero de reetcoes del eermeto adcoales requerdos hasta el º éto : úmero de reetcoes del eermeto adcoales requerdos hasta el º éto e geeral : úmero de reetcoes del eermeto adcoales desués del - ésmo éto requerdos hasta el -ésmo éto toces cada varable tee dstrbucó geométrca co arámetro... r Por lo tato r... r... r... r r veces veces - seraza de ua v.a. hergeométrca M S ~ H M etoces Para facltar la demostracó suogamos que teemos bolllas e ua ura de las cuales M so roas -M so blacas. Queremos hallar el úmero eserado de bolllas roas etraídas Defmos las varables s la ésma bollla roa es etraída caso cotraro Las varables... M o so deedetes Se uede escrbr... M además P Por lo tato 9

12 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell M M Mr emlo l esesor de ua cuña de madera e mlímetros tee ua fucó de desdad de robabldad 5 f e otro lado a Determe b S deota el esesor de ua cuña e ulgadas mm.94 ulgadas determe c S se seleccoa tres cuñas de maera deedete las alamos ua ecma de otra ecuetre la meda la varaza del esesor total. a Verfque el lector que d 4 b. 94 etoces c otar que s : esesor de cuña etoces es el esesor total Por lo tato M veces M geeral la eseraza de u roducto de varables aleatoras o es gual al roducto de las eserazas S es ua varable aleatora bdmesoal tal que e so varables aleatoras deedetes etoces:.. leeremos: la eseraza del roducto es el roducto de las eserazas. Dem. aáloga a la demostracó de la roedad ateror. Para el caso cotua sgue sedo válda esta roedad. emlo: Suogamos que debdo a umerables causas cotrolables la correte la ressteca r de u crcuto varía aleatoramete de forma tal que uede cosderarse como varables aleatoras I R deedetes. Suogamos que las corresodetes fd so: r r g h r demás valores 9 demás valores os teresa cosderar el voltae v. r de maera que odemos defr la varable aleatora Hallar el valor eserado o eseraza matemátca del voltae: V. Como I R so deedetes usado la roedad ateror V I R V I. R. 94

13 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell 4 4 r r I d R r 9 dr V Varaza de ua suma de varables aleatoras. V V V σ co σ.. Dem. scrbmos la varaza e su forma alteratva [ ] [ ] V. Desarrollamos los cuadrados alcamos la roedad leal de la eseraza: V [ ].. {[ ] [ ] }. Agruado coveetemete: V { [ ] } { [ ] }. V V {. } { } es decr V V σ V σ.. se la llama la covaraza de e. Observacoes: - Teedo resete la defcó de la desvacó estádar de ua v.a. : V roedad ateror la odemos escrbr: σ σ σ V - Aálogamete se rueba que V σ σ σ σ vemos que a la - e so deedetes etoces V V V V sto es orque s las varables aleatoras e so deedetes etoces.. Por lo tato la covaraza vale cero : σ

14 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell 4- Podemos geeralzar usado el rco de duccó comleta al caso de varables aleatoras deedetes: S... so varables aleatoras deedetes etoces: V... V V... V o e forma más comacta V V. 5- Vemos que la eseraza de la suma de dos varables aleatoras e es gual a la suma de las eserazas cualesquera sea e. cambo la varaza de la suma de las varables aleatoras e es e geeral gual a la suma de las varazas V V V sólo s e so varables deedetes. emlos: - Podemos eemlfcar la alcacó de las roedades de la varaza calculado uevamete la varaza de ua v.a. dstrbuda bomalmete co arámetros. Sea etoces ua v.a. B. Vmos que se uede escrbr:... dode las varables aleatoras so deedetes etre sí tee todas la msma dstrbucó: B... toces tratádose de varables aleatoras deedetes V V V... V todas la varazas so guales odemos escrbr la suma como veces ua cualquera de ellas: V V. Pero V [ ]. a vmos que. Además es:. toces: V [ ] Luego: V V que es el resultado que habíamos obtedo a artr de la defcó llevado las sumas volucradas a la forma del desarrollo de u bomo de ewto. - Varaza de ua v.a. bomal egatva a vmos que odemos escrbr... r dode cada varable tee dstrbucó geométrca co arámetro Por lo tato V V V... V r r Covaraza Sea e dos varables aleatoras. La covaraza de e se defe: {[ ].[ ]}. Cov. 96

15 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell otacó: la otacó usual ara la covaraza de e es σ o Cov La últma gualdad surge de desarrollar el roducto alcar las roedades de la eseraza:.... {[ ][ ]} { } Teedo resete que so costates: { [ ]. [ ]}..... Dem. Segú vmos s e so varables aleatoras deedetes etoces.. se sgue la roedad. Proedades de la covaraza Las sguetes roedades so útles su verfcacó se dea como eercco - Cov a b c d bdcov - Cov Z Cov Z Cov Z m m - Cov Cov 4- Cov V de dode emlos: Varaza de ua v.a. hergeométrca M M S ~ H M etoces V Para facltar la demostracó suogamos que teemos bolllas e ua ura de las cuales M so roas -M so blacas. Queremos hallar la varaza del úmero de bolllas blacas etraídas Como ates defmos las varables s la ésma bollla roa es etraída caso cotraro Las varables... M o so deedetes Se uede escrbr... además P V S e so varables aleatoras deedetes etoces Cov. M 97

16 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell 98 Por lo tato... M M M Cov V V V < Por otro lado ; Cov etoces ; Cov Alcado alguos asos algebracos se llega a Cov ; Reemlazado < M M Cov V V M M uevamete luego de alguos cálculos algebracos se llega a M M V De ua caa co frutas que cotee araas mazaas látaos se seleccoa ua muestra de 4 frutas. Sea las varables aleatoras : º de araas etraídas : º de mazaas etraídas otar que la f.d.. couta de es 4 ; ; P s u eemlo de v.a. hergeométrca bdmesoal. També se odría haber resetado la f.d.. couta e ua tabla dode també fgura las dstr- bucoes margales de e. a Cuales so V V? Verfque el lector que 8 5 V 7 V / /7 /7 5/7 /7 8/7 9/7 /7 9/7 8/7 /7 /7 /7 /7 5/7 5/7 4/7 5/7

17 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell b So e deedetes? 5 5 P ero P P 7 7 Por lo tato e so deedetes lo que mlca que Cov c Cuál es la Cov? Cov toces 9 Cov 7 4 d Z smbolza el total de araas mazaas etraídas Cuál es la Z VZ? Z.5 5 V Z V V Cov e Suogamos que cada araa cuesta $ cada mazaa cuesta.5$ etoces W. 5 es el costo del total de frutas etraídas. Hallar W VW W $ V W V.5 V.5 V.5Cov Coefcete de correlacó leal. realdad más que la covaraza aquí os teresa cosderar ua catdad relacoada co σ que segú veremos os dará formacó sobre el grado de asocacó que este etre e. Más cocretamete os cotará s este algú grado de relacó leal etre e. sa catdad es el coefcete de correlacó leal. el msmo setdo e que odemos teer ua dea aromada sobre la robabldad de u suceso A s reetmos el eermeto cosderamos las ocurrecas de A e las reetcoes así odemos teer també ua rmera dea sobre la esteca de ua relacó fucoal esecífcamete ua relacó leal etre e s cosderamos u dagrama de dsersó. Cosste e 99

18 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell dbuar ares de valores meddos de la varable aleatora la fgura mostramos dversas stuacoes osbles. e u sstema de coordeadas. a b c De la fgura a se deducría que etre e o ha gú to de relacó fucoal. La fgura b sugere la osbldad de que esta ua relacó fucoal que corresode a ua arábola. La fgura c or su arte sugere ua relacó leal etre e. ste últmo es el comortameto que os teresa caracterzar. Co ese f defmos el coefcete de correlacó leal como sgue: Sea ua varable aleatora bdmesoal. Defmos el coefcete de correlacó leal etre Cov e como ρ σ σ cosecueca: ρ {[ ]. [ ]} V V... V V.. Daremos ua sere de roedades de sgfcado. ρ que os ermtrá establecer más cocretamete su Proedad S e so varables aleatoras deedetes etoces ρ. Dem. medata a artr del hecho que s e so deedetes etoces Observacó: La versa o es ecesaramete certa. Puede ser que ρ s embargo e o sea varables aleatoras deedetes. efecto s teemos ua v.a. bdmesoal que da lugar a u dagrama de dsersó como el que se muestra e la fgura veremos que corresodería a u coefcete de correlacó leal ρ s embargo la fgura sugere que etre e este la relacó fucoal es decr e so v.a. deedetes. realdad como veremos ρ es

19 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell ua medda de la esteca de ua relacó leal etre e ua crcufereca se alea mucho de ua líea recta Proedad : Dem. S cosderamos la v.a. ρ σ σ etoces V V Cov V ρ σ σ σ σ σ σ Imlcado que ρ V V Por otro lado: V ρ Imlcado que ρ σ σ σ σ Cov σ σ ρ Proedad : S ρ etoces co robabldad es A. B dode A B so costates. Dem. S ρ etoces ρ o ρ S ρ etoces de la demostracó ateror se deduce que

20 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell V ρ lo que mlca que la v.a. Z σ σ σ tee varaza cero. Segú la σ terretacó de varaza odemos deducr e forma tutva que la v.a. o tee dsersó co resecto a su eseraza es decr la v.a. Z es ua costate co robabldad σ Por lo tato esto mlca que A. B co A < σ σ Aálogamete ρ mlca que A. B co A > σ Proedad 4 : S e so dos varables aleatoras tales que A. B dode A B so costates etoces ρ. S A > es ρ s A < es ρ. Dem. se dea como eercco Observacó: Claramete las roedades aterores establece que el coefcete de correlacó leal es ua medda del grado de lealdad etre e. emlo el eemlo ateror ρ Cov V V

21 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell 6- SUMA D VARIABLS ALATORIAS TORMA CTRAL DL LÍMIT 6. Suma de varables aleatoras deedetes Cuado se estudaro las varables aleatoras bdmesoales se habló de ua fucó de varable aleatora bdmesoal. artcular se ombró la suma de varables aleatoras ero o se do ada sobre la dstrbucó de esa v.a. suma. s a meudo mortate saber cuál es la dstrbucó de ua suma de varables aleatoras deedetes. Cosderamos alguos eemlos e el caso dscreto - Suma de varables aleatoras deedetes co dstrbucó Posso ~ deedetes ; ~ ; ~ P P P Dem. Cosderamos el eveto { } como uó de evetos ecluetes { } etoces!! e e P P P P e deedetes e e e!!!!!!! Bomo de ewto O sea tee dstrbucó Posso co arámetro - Suma de varables aleatoras bomales deedetes ~ deedetes ; ~ ; ~ B B B Dem. uevamete cosderamos el eveto { } como uó de evetos ecluetes { } etoces P P P P e deedetes la eresó ateror s r > etoces r

22 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell Por últmo usamos la sguete detdad combatora etoces P O sea tee dstrbucó bomal co arámetros Observacó: e los dos casos aterores se uede geeralzar el resultado a varables aleatoras deedetes usado el rco de duccó comleta es decr - S... so varables aleatoras deedetes dode ~ P ara todo... etoces ~ P - S... so varables aleatoras deedetes dode ~ B ara todo... etoces ~ B Suma de varables aleatoras ormales deedetes S e so dos varables aleatoras cotuas deedetes co desdades g h resectvamete se uede robar o lo demostraremos aquí que la v.a. Z tee desdad dada or f z g z h d Usado esto se uede demostrar el sguete mortate resultado: S e so varables aleatoras deedetes dode ~ µ σ ~ µ σ ~ µ µ σ σ etoces Por duccó comleta se uede geeralzar este resultado a varables: S so varables aleatoras deedetes dode ~ etoces ~ µ σ µ σ ara todo De lo ateror del hecho que ~ µ σ a b ~ aµ b a σ S teemos: so varables aleatoras deedetes dode ~ σ... µ ara todo... etoces a ~ aµ aσ dode a a... a so úmeros reales 4

23 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell Se dce que a es ua combacó leal de varables aleatoras. emlos: - La evoltura de lástco ara u dsco magétco está formada or dos hoas. l esesor de cada ua tee ua dstrbucó ormal co meda.5 mlímetros desvacó estádar de. mlímetros. Las hoas so deedetes. a Determe la meda la desvacó estádar del esesor total de las dos hoas. b Cuál es la robabldad de que el esesor total sea maor que. mlímetros? Solucó: Sea las varables aleatoras : esesor de la hoa e : esesor de la hoa toces ~.5. ; ~.5. e deedetes a S defmos la v.a. Z: esesor total de las dos hoas etoces Z Por lo tato Z ~ es decr Z ~. cosecueca Z σ Z V Z. b Se de calcular P Z >. Z.. P Z >. P > Φ Φ Tego tres mesaes que ateder e el edfco admstratvo. Sea : el temo que toma el - ésmo mesae sea 4 : el temo total que utlzo ara camar haca desde el edfco etre cada mesae. Suoga que las so deedetes ormalmete dstrbudas co las sguetes medas desvacoes estádar: µ 5 m σ 4 µ 5 σ µ 8 σ µ 4 σ 4 Peso salr de m ofca recsamete a las. a.m. deseo egar ua ota e m uerta que dce regreso a las t a.m. A qué hora t debo escrbr s deseo que la robabldad de m llegada desués de t sea.? Solucó: Defmos la v.a. Z: temo trascurrdo desde que salgo de m ofca hasta que regreso etoces T 4 Por lo tato T ~ µ σ se de hallar t tal que P T > t. µ σ 4 4 t 5 5 toces P T > t Φ. es decr Φ t. 99 t 5 Buscado e la tabla de la ormal. t l acho del marco de ua uerta tee ua dstrbucó ormal co meda 4 ulgadas desvacó estádar de /8 de ulgada. l acho de la uerta tee ua dstrbucó ormal co meda.875 de ulgadas desvacó estádar de /6 de ulgadas. Suoer deedeca. a Determe la dstrbucó la meda la desvacó estádar de la dfereca etre el acho del marco de la uerta. 5

24 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell b Cuál es la robabldad de que la dfereca etre el acho del marco de la uerta sea maor que ¼ de ulgada?. c Cuál es la robabldad de que la uerta o quea e el marco?. Solucó: Sea las varables aleatoras : acho del marco de la uerta e ulgadas : acho de la uerta e ulgadas toces ~ 4 /8 ~.875 /6 e deedetes a Se de la dstrbucó de - σ V V V V σ Por lo tato 5 ~.5 6 b Se de la robabldad P > / / 4 P > Φ Φ Φ < o equvaletemete < or lo tato c S la uerta o etra e el marco etoces se da el eveto { } { } P < Φ Φ Φ Suogamos que las varables aleatoras e deota la logtud el acho e cm resectvamete de ua eza. Suogamos además que e so deedetes que ~. ~ 5.. toces Z es ua v.a. que rereseta el erímetro de la eza. Calcular la robabldad de que el erímetro sea maor que 4.5 cm. Solucó: teemos que ~ 5.. Z o sea Z ~ 4. La robabldad edda es P Z > 4.5 etoces P Z > 4.5 Φ Φ Φ S se alca dos cargas aleatoras a ua vga voladza como se muestra e la fgura sguete el mometo de fleó e debdo a las cargas es a a. a Suoga que so v.a. deedetes co medas 4 KLbs resectvamete desvacoes estádar.5. KLbs resectvamete. 6

25 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell S a 5 es a es cuál es el mometo de fleó eserado cuál es la desvacó estádar del mometo de fleó? b S está ormalmete dstrbudas cuál es la robabldad de que el mometo de fleó suere 75 KLbs? Solucó: Sea la v.a. Z: mometo de fleó e etoces Z 5 Por lo tato a Z V Z σ Z b S está ormalmete dstrbudas etoces Z ~ 5 4 Por lo tato P Z > Φ Φ Φ Promedo de varables aleatoras ormales deedetes S... µ σ ara todo so varables aleatoras deedetes dode ~... etoces la v.a. meda µ varaza σ tee dstrbucó ormal co Dem. otar que es u caso artcular de combacó leal de varables aleatoras dode a ara todo... Además e este caso µ µ σ σ ara todo... Por lo tato tee dstrbucó ormal co eseraza µ µ µ µ varaza σ σ σ σ σ s decr ~ µ Observacó: a se lo llama romedo muestral o meda muestral 7

26 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell emlos: l dámetro tero de u allo de stó seleccoado al azar es ua v.a. co dstrbucó ormal co meda cm desvacó estádar de.4 cm. a S es el dámetro romedo e ua muestra de 6 allos calcule P.99. b Qué ta robable es que el dámetro romedo eceda de. cuado 5? Solucó: a Sea las varables aleatoras : dámetro del allo... 6 toces ~.4 ara cada. Por lo tato ~.4. toces 6.99 P.99. P φ φ φ..4 6 φ φ b este caso ~.4 etoces 5. P >. φ φ Ua máqua embotelladora uede regularse de tal maera que llee u romedo de µ ozas or botella. Se ha observado que la catdad de cotedo que sumstra la máqua reseta ua dstrbucó ormal co σ oza. De la roduccó de la máqua u certo día se obtee ua muestra de 9 botellas lleas todas fuero lleadas co las msmas oscoes del cotrol oeratvo se mde las ozas del cotedo de cada ua. a Determar la robabldad de que la meda muestral se ecuetre a lo más a. ozas de la meda real µ ara tales oscoes de cotrol b Cuátas observacoes debe clurse e la muestra s se desea que la meda muestral esté a lo más a. ozas de µ co ua robabldad de.95? Solucó: a Sea las varables aleatoras : cotedo e ozas de la botella

27 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell toces ~ µ ara cada. Por lo tato ~ µ. Se desea calcular 9. P µ. P. µ. P σ. µ. P P.9 σ σ σ Φ.9.68 b Ahora se retede que P µ. P. µ..95 µ. σ σ µ.9φ.9 Φ.9 σ toces. µ. µ P µ. P P...95 σ σ σ Medate la tabla de la acumulada de la ormal estádar se tee que µ P.. Φ..95 Φ O sea S tomamos 4 etoces P µ. será u oco maor que Teorema cetral del límte Acabamos de ver que la suma de u úmero fto de varables aleatoras deedetes que está ormalmete dstrbudas es ua varable aleatora també ormalmete dstrbuda. sta roedad reroductva o es eclusva de la dstrbucó ormal. efecto or eemlo a vmos que este varables aleatoras dscretas que la cumle es el caso de la Posso la Bomal. realdad la roedad que le da a la dstrbucó ormal el lugar rvlegado que ocua etre todas las dstrbucoes es el hecho de que la suma de u úmero mu grade rgurosamete u úmero fto umerable de varables aleatoras deedetes co dstrbucoes arbtraras o ecesaramete ormales es ua varable aleatora que tee aromadamete ua dstrbucó ormal. ste es esecalmete el cotedo del 9

28 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell Teorema cetral del límte T.C.L.: Sea... varables aleatoras deedetes co µ V σ ara todo... es decr deedetes détcamete dstrbudas Sea la v.a. Dem. s demostracó Observacoes: S V S V V S µ Por lo tato Z es la v.a. S estadarzada σ - otar que µ σ S µ S - otar que µ µ P z P z P or lo tato també se uede eucar σ σ σ el Teorema cetral del límte de la sguete forma Dode S sea toces lm P Z z Φ z Z S µ. σ z S esto es µ lm z e σ π µ Z es el romedo muestral estadarzado σ P Sea... varables aleatoras deedetes co µ V σ ara todo... es decr deedetes détcamete dstrbudas Sea la v.a. romedo muestral sea µ Z. σ toces lm P Z z Φ z z esto es µ lm z e σ π P - Auque e muchos casos el T.C.L. fucoa be ara valores de equeños e artcular dode la oblacó es cotua smétrca e otras stuacoes se requere valores de mas grades deededo de la forma de la dstrbucó de las. muchos casos de terés ráctco s la aromacó ormal será satsfactora s mortar cómo sea la forma de la dstrbucó de las. S < el T.C.L. fucoa s la dstrbucó de las o está mu aleada de ua dstrbucó ormal 4- Para terretar el sgfcado del T.C.L. se geera or comutadora valores de ua v.a. eoecal co arámetro. 5 se calcula el romedo de esos valores. sto se rete veces or lo tato teemos valores de la v.a.. d d

29 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell Hacemos u hstograma de frecuecas de esto es tomamos u tervalo a b dode cae todos los valores de lo subdvdmos e tervalos mas chcos de gual logtud. La frecueca de cada subtervalo es la catdad de valores de que cae e dcho subtervalo. Se grafca estas frecuecas obteédose los gráfcos sguetes que se uede cosderar ua aromacó a la verdadera dstrbucó de. Se observa que a medda que aumeta el valor de los gráfcos se va hacedo más smétrcos arecédose a la gráfca de ua dstrbucó ormal emlos: - Suógase que strumetos electrócos D D...D se usa de la maera sguete: ta roto como D falla emeza a actuar D. Cuado D falla emeza a actuar D etc. Suógase que el temo de falla de D es ua v.a. dstrbuda eoecalmete co arámetro. or hora. Sea T el temo total de oeracó de los strumetos. Cuál es la robabldad de que T eceda 5 horas? Solucó: S : temo de falla del strumeto D... toces ~. ara... l temo total de oeracó de los strumetos es T dode T.

30 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell V T V V. T toces or T.C.L. ~ aromadamete ues La robabldad edda es T 5 5 P T > 5 P > Φ Φ T.C.L Suoga que el cosumo de calorías or día de ua determada ersoa es ua v.a. co meda calorías desvacó estádar de calorías. Cuál es la robabldad de que el romedo de cosumo de calorías daro de dcha ersoa e el sguete año 65 días sea etre 959 5? Solucó: Defmos las varables aleatoras : catdad de calorías que ua ersoa cosume e el día Se sabe que V 65 σ S etoces V La robabldad edda es P P Φ Φ Φ Φ.4 T.C.L. Alcacoes del Teorema cetral del límte Aromacó ormal a la dstrbucó bomal l Teorema cetral del límte se uede utlzar ara aromar las robabldades de alguas varables aleatoras dscretas cuado es dfícl calcular las robabldades eactas ara valores grades de los arámetros. Suogamos que tee ua dstrbucó bomal co arámetros. Para calcular P debemos hacer la suma P P o recurrr a las tablas de la F.d.a. ero ara valores de grades o este tablas or lo tato habría que hacer el cálculo e forma drecta muchas veces es laboroso. Como ua ocó odemos cosderar a como suma de varables aleatoras más smles esecífcamete s defmos s e la í ésma reetcó de ε ocurre caso cotraro éto...

31 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell etoces cada Podemos escrbr se la uede cosderar B además... so deedetes... s es grade etoces tedrá aromadamete ua dstrbucó ormal co arámetros es decr µ. Z s es lo sufcetemete grade σ. Observacoes: - La aromacó ormal a la dstrbucó bomal fucoa be au cuado o sea mu grade s o está demasado cerca de cero o de uo. artcular la aromacó ormal a la bomal es buea s es grade > 5 > 5 ero es más efectvo alcar esta aromacó cuado > > - Correccó or cotudad. Acabamos de ver que s B etoces ara sufcetemete grade odemos cosderar que aromadamete es [.. ]. l roblema que surge de medato s deseo calcular or eemlo la robabldad de que co alguo de los valores osbles es que la bomal es ua dstrbucó dscreta tee setdo calcular robabldades como P metras que la ormal es ua dstrbucó cotua e cosecueca P uesto que ara ua varable aleatora cotua la robabldad de que ésta tome u valor aslado es cero. sto se resuelve s se cosdera P P També se uede usar esta correccó ara meorar la aromacó e otros casos esecífcamete e lugar de P calculamos P P e lugar de P P los gráfcos sguetes se muestra ara dferetes valores de cómo aroma la dstrbucó a la dstrbucó B

32 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell emlos: - Sea B5.4. Hallar las robabldades eactas de que 8 8 comarar estos resultados co los valores corresodetes ecotrados or la aromacó ormal. Solucó: De la tabla de la F.d.a. de la bomal ecotramos P P 8 P 8 P Ahora usamos la aromacó ormal P P P Φ correccó or cotudad Observar que el valor aromado está mu cercao al valor eacto ara P P 8 P P P uevamete este valor aromado está mu cerca del valor real de P 8. - Suoga que el % de todos los ees de acero roducdos or certo roceso está fuera de esecfcacoes ero se uede volver a trabaar e lugar de teer que evarlos a la chatarra. 4

33 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell Cosdere ua muestra aleatora de ees deote or el úmero etre ellos que esté fuera de esecfcacoes se ueda volver a trabaar. Cuál es la robabldad aromada de que sea a a lo sumo? b meos de? c etre 5 5 clusve? Solucó: Sea la v.a. : úmero de ees fuera de esecfcacoes toces ~ B. además. > 5. 8> 5 Por lo tato odemos alcar la aromacó ormal a la bomal a la robabldad edda es P P P P Φ Φ 8 8 b La robabldad edda es P < Al ser ua v.a. dscreta co dstrbucó bomal P < P P 9 P 9.5 Φ Φ c P 5 5 P Φ Φ 8 8 Φ.96 Φ.96 Φ l gerete de u suermercado desea recabar formacó sobre la roorcó de cletes a los que o les agrada ua ueva olítca resecto de la acetacó de cheques. Cuátos cletes tedría que clur e ua muestra s desea que la fraccó de la muestra se desvíe a lo mas e.5 de la verdadera fraccó co robabldad de.98?. Solucó: Sea : úmero de cletes a los que o les agrada la ueva olítca de acetacó de cheques toces ~ B dode es descoocdo es la verdadera roorcó de cletes a los que o les agrada la ueva olítca de acetacó de cheques. l gerete tomará ua muestra de cletes ara estmar co a que es la roorcó de cletes a los que o les agrada la ueva olítca de acetacó de cheques e la muestra de cletes. S o se toma a todos los cletes etoces o será gual a. La reguta es cuál debe ser ara que se alee del verdadero e meos de.5 co robabldad.98 or lo meos o sea ara que P toces lateamos P P.5.5 P T.C.L. 5

34 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell Φ.5 Φ.5 Φ Por lo tato Φ. 99 Además toces debe cumlrse que.. o sea 6.. O sea se debe tomar ua muestra de al meos 6 cletes Aromacó ormal a la dstrbucó Posso Se uede robar alcado Teorema cetral del límte que S ~ P etoces ara sufcetemete grade tee aromadamete dstrbucó s decr ara sufcetemete grade la ráctca s la aromacó es buea. Observacó: la demostracó es seclla s es gual a u úmero atural ues s cosderamos las varables aleatoras ~ P co... deedetes etoces a sabemos que ~ P es decr ~ P Pero además or T.C.L. s es grade arámetros µ σ O sea la dstrbucó de tee aromadamete dstrbucó ormal co que es eactamete Posso co arámetro se uede aromar co ua or lo tato aromadamete ara valores de sufcetemete grades los gráfcos sguetes se muestra ara dferetes valores de cómo aroma la dstrbucó a la dstrbucó P 6

35 Parte - Probabldades Prof. María B. Ptarell emlo: l úmero de fraccoes or estacoameto e certa cudad e cualquer día hábl tee ua dstrbucó de Posso co arámetro 5. Cuál es la robabldad aromada de que: a etre 5 7 fraccoes se eda e u día e artcular? b el úmero total de fraccoes eeddas durate ua semaa de 5 días sea etre 5 75? Solucó: Sea : úmero de fraccoes or estacoameto e certa cudad e cualquer día hábl toces ~ P dode 5 5 Como 5 etoces aromadamete 5 a la robabldad edda es P 5 7 Φ Φ Φ.884 Φ b Sea : úmero total de fraccoes eeddas durate ua semaa de 5 días toces ~ P dode La robabldad edda es P 5 75 Φ Φ Φ.58 Φ Φ