y ) de números reales tiene a x como primer componente

Transcripción

1 Guía de estudio El sistema de coordenadas rectangulares. El plano cartesiano. Fórmulas de punto medio y distancia. La ecuación de una circunferencia Unidad A: Clase 6 Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa El plano cartesiano Un par ordenado ( x, y ) de números reales tiene a x como primer componente o abscisa y a y como segundo componente u ordenada. El modelo usado para representar pares ordenados se llama sistema rectangular de coordenadas o plano cartesiano. El plano cartesiano se forma mediante la intersección de una línea horizontal llamada eje x y una línea vertical llamada eje y como se muestra en la figura. El punto de intersección de los eje x e y se llama origen y se denota por ( 0,0 ). 1 Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: milosos@gmail.com. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: linamaria54@gmail.com. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: siro@economicas.udea.edu.co. 31

2 A la derecha del origen están los x positivos y a la izquierda los negativos. En la parte superior están los valores positivos de y y en la parte inferior están los negativos, el conjunto de pares ordenados o plano cartesiano también se conoce como R y es ( ) { x, y / x y } R = R R Los ejes dividen el plano cartesiano en cuatro regiones o cuadrantes como se muestra en la figura Los puntos de la forma ( x,0) están sobre el eje x y los de la forma ( 0, y ) están sobre el eje y. Podemos ubicar cualquier par ordenado o punto ( a, b) en el plano, para ello procedemos así: i. Ubicamos el punto ( a,0) y por este punto trazamos una paralela al eje y ii. Ubicamos el punto ( 0,b ) y por este punto trazamos una paralela al eje x iii. El punto de intersección entre las dos rectas anteriores es el punto ( a, b ) 3

3 Ejemplo 1 Ubicar los puntos (,3 );( 4, );( 3, ) y( 5,6) en el plano. Distancia entre dos puntos y punto medio Punto medio: x medio x + x y + y 1 1 =, ymedio = 33

4 d d (, ) = ( ) + ( ) con P = ( x y ) y Q = ( x y ) d P Q x x y y La línea recta La gráfica de una ecuación de la forma y = mx + b Se llama línea recta y tiene la forma El número m se llama pendiente de la recta. Las intersecciones de la recta con los ejes son los puntos ( ) 0,b y ( b,0 m ) 34

5 Pendiente de la recta La pendiente m de la línea recta y = mx + b representa el cambio que se produce en y cuando x se incrementa en una unidad. En efecto, si x aumenta una unidad, el valor de y es ( ) y = m x + + b 1 1 y1 = mx + b + m y y1 = y + m y1 y = m Sean ( x, y ) y ( x, y ) y = mx + b y1 = mx1 + b ( ) y y = m x x 1 1 dos puntos sobre la recta entonces Por lo tanto, la pendiente m de una recta representa la razón de cambio de y con respecto a x. En la gráfica anterior se observa que la pendiente m es la inclinación de la recta con respecto al eje horizontal. Cuando m > 0, al aumentar x aumenta y y si m < 0, al aumentar x disminuye y y y y = = = 1 m x x 1 x cambio vertical cambio horizontal Ecuaciones de líneas rectas Punto pendiente Si conocemos la pendiente m de una recta y sabemos que esta pasa por el punto (, ) x y entonces la ecuación de la recta es y y = m( x x ) 35

6 En efecto, si m es la pendiente y la recta pasa por ( x, y ) sea (, ) cualquiera sobre la recta entonces y y x x 1 1 ( ) = m y y = m x x ( ) y = mx + y1 mx 1 con, b = y mx x y un punto Ejemplo Encuentre la ecuación de la recta que tiene pendiente m = y pasa por el punto ( 1,1 ) Solución m = y pasa por ( 1,1 ) entonces b = 1 ( 1) = 1 Y la ecuación, y = x 1 Para trazar la gráfica de esta recta ubicamos las intersecciones con los ejes en el plano cartesiano y los unimos mediante una línea continua. Sabemos que las intersecciones con los ejes x e y son ( b m, 0) y ( ) este caso las intersecciones son 0,b respectivamente. En ( 1) 1, 0 =, 0 =, 0, ( 0, b ) = ( 0, 1) b m 36

7 Ecuación de una recta que pasa por dos puntos Consideremos una línea recta que pasa por los puntos ( x, y ) y(, ) x x. Para encontrar la ecuación de la recta procedemos así: 1 i. Encontramos la pendiente y y 1 m = x1 x x x1,, x y con ii. Usamos punto pendiente y la ecuación es y = mx + b con b = y1 mx1 b = y mx Esto significa que para usar punto pendiente podemos usar cualquier punto sobre la recta. Rectas verticales Una recta vertical no tiene pendiente las ecuaciones de estas rectas tiene la forma mx = k con k constante. Rectas Horizontales Una recta horizontal se caracteriza por tener m = 0 y por lo tanto su ecuación es de la forma y = b Nota: No tener pendiente NO significa tener una pendiente igual a cero. Ejercicio: Un doctor compró un automóvil nuevo en 1991 por $ En 1994, él lo vendió a un amigo en $ Dibuje una recta que muestre la relación entre el precio de venta del automóvil y el año en el que se vendió. Determine e interprete la pendiente. Ejercicio: Un nuevo programa de matemáticas aplicadas en una universidad ha aumentado su matrícula en 14 estudiantes por año, durante los últimos cinco años. Si el programa tenía matriculados 50 estudiantes en su tercer año, Cuál es una ecuación para el número de estudiantes S en el programa como una función del número de años T desde su inicio? Formas Forma punto pendiente y y = m( x x ) Forma pendiente intercepto y = mx + b Forma lineal general Ax + By + C = 0 37

8 Recta vertical x = a Recta horizontal y = b 4. La circunferencia La fórmula de la distancia es útil a menudo para hallar la ecuación de una curva cuya definición geométrica depende de una o más distancias. Una de las curvas más sencillas de esta clase es una circunferencia, que puede definirse como el conjunto de todos los puntos a una distancia dada (el radio) de un punto dado (el centro). Si el centro es el punto ( h, k ) y el radio es el número positivo r y si ( x, y ) es un punto arbitrario de la circunferencia, entonces la condición que la define dice que ( ) ( ) x h + y k = r Es conveniente eliminar el signo de la raíz cuadrada elevando al cuadrado, lo que da ( x h) + ( y k ) = r ( 1) 38

9 Ésta es por tanto, la ecuación de la circunferencia con centro ( h, k ) y radio r. En particular, si el centro resulta ser el origen, de modo que h = k = 0, entonces la ecuación de la circunferencia es x + y = r Es claro que cualquier ecuación de la forma (1) es fácil de interpretar geométricamente. Por ejemplo ( x 5) + ( y + ) = 16 ( ) Se reconoce inmediatamente como la ecuación de la circunferencia con centro ( 5, ) y radio 4, y esta información nos permite esbozar la gráfica sin dificultad. Sin embargo, si la ecuación ha sido tratada por alguien al que le gusta simplificar las cosas algebraicamente, entonces podría tener la forma x y x y ( ) = 0 3 Esta es una versión de () equivalente pero resuelta y sus constantes no nos dicen nada directamente acerca de la naturaleza de la gráfica. Para descubrir 39

10 cuál es la gráfica de la circunferencia, debemos descifrarla completando cuadrados. Para hacer esto, comenzamos reescribiendo la ecuación (3) como ( x x ) ( y y ) = 13 Con el término constante llevado al segundo miembro y con espacios en blanco para insertar las constantes adecuadas. Cuando se añade en el primer espacio en blanco el cuadrado de la mitad del coeficiente de x y en el segundo espacio en blanco el cuadrado de la mitad del coeficiente de y, y se suman las mismas constantes al segundo miembro para mantener la igualdad, obtenemos ( x x ) ( y y ) = ( x 5) + ( y + ) = 16 ( 4) El mismo proceso exactamente puede aplicarse a la ecuación general de la forma (3), es decir x y Ax By C ( ) = 0 5 Pero hay poco que ganar escribiendo los detalles en este caso general. Sin embargo, es importante darse cuenta de que si el término constante 13 en (3) se sustituye por 9, entonces (4) se convierte en ( x ) ( y ) = 0 Cuya gráfica se reduce al punto ( 5, ). 40

11 Del mismo modo, si este término constante se sustituye por cualquier número mayor que 9, entonces el segundo miembro de (4) se hace negativo y la gráfica es vacía, en el sentido de que no hay puntos ( x, y ) en el plano cuyas coordenadas verifiquen la ecuación. Vemos por tanto que la gráfica de (5) es a veces una circunferencia, a veces es un único punto y a veces vacío, dependiendo totalmente de las constantes A, B y C. Ejemplo 3 Si el radio de una circunferencia es 10 y su centro es ( 3,4), entonces su ecuación es ( x ) ( y ) = 10 Obsérvese que las coordenadas del centro son los números que se restan de x y de y en los paréntesis 41

12 Ejemplo 4 Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es necesariamentee un ángulo recto. Para probar esto algebraicamente supongamos que la semicircunferencia tiene radio r y centro en el origen de modo que su ecuación es y 0. El ángulo inscrito es un ángulo recto si y solo si el producto de las pendientes de sus lados es 1, es decir, Se ve fácilmente que esto es equivalente a verdadero para cualquier y y i 1 x r x + r = punto (, ) ecuación anterior es verdadera y el ángulo es un ángulo recto. x x + y = r que es + y = r con ciertamente x y sobre la circunferencia, de modo que la 4

13 Referencias Arya, Jagdish y Robin, W. Lardner. Matemáticas Aplicadas a la administración y a la economía. Pearson - Prentice-Hall. Cuarta edición, 00. Demana, Franklin D., Waits Bert K., Foley Gregory D., Kennedy Daniel. Precálculo. Gráfico, numérico y algebraico. Peason Addison Wesley. Séptima Edición, 007. Purcell, Edwin. Dale, Varberg y Steven E. Rigdon. Cálculo. Pearson - Prentice-Hall. Novena edición, 007. Simons, Geroge, F. Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw - Hill. Segunda Edición, 00. Stewart, James. Cálculo Conceptos y contextos. Editorial Thomson. Tercera edición, 006. Sydsaeter, Knut. Hammond, Peter. J. Matemáticas para el análisis económico. Pearson Prentice-Hall. Primera edición,