1. El cubo de la figura tiene vértices A, B, C, D, E, F, G y H. Si AE = 5 cm, cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? H

Transcripción

1 onvenio Nº Guía práctica Planos en el espacio Ejercicios PSU 1. El cubo de la figura tiene vértices,,, D, E, F, G y H. Si E = 5 cm, cuál de las siguientes afirmaciones es FLS? H G ) G = 5 2 cm F E ) EH GH ) H = 5 3 cm D) D // FG D E) Δ GH es isósceles. Matemática 2. En la figura,, y son vértices del cubo, D está en y E está en. Si DE y E = 6 cm, cuánto mide DE? ) 2 3 cm ) 3 2 cm ) 6 2 cm D) 6 3 cm E) Faltan datos para determinarlo. D E GUIO13MT22-17V1 1

2 Matemática 3. En la figura, P, Q, R y S son vértices del cubo cuya arista mide 4 cm. Si PS y QR se intersectan en el punto, cuánto mide el perímetro del triángulo PQ? ) 8 cm ) ( ) cm R S ) ( ) cm D) ( ) cm E) 12 cm P Q 4. En la figura se muestra un cubo de arista 10. Si,, P y Q son vértices del cubo y es el punto medio de PQ, entonces el área del triángulo es ) P Q ) ) 50 3 D) 50 2 E) Se juntan dos cubos congruentes formando el paralelepípedo de la figura. Si la diagonal de cada uno de estos cubos mide 6 y es una diagonal del paralelepípedo, entonces mide ) 6 6 ) 2 15 ) 6 3 D) 12 E) En la figura se muestra un cubo, cuya diagonal mide 48. Si M es el punto medio de una de sus aristas y N es uno de sus vértices, cuánto mide el segmento MN? ) 6 ) 2 7 ) 3 6 D) 2 5 E) 42 N M 2

3 GUÍ PRÁTI 7. Sean, y vértices del cubo que se muestra en la figura. Si el área del triángulo es 9 3, entonces la diagonal del cubo mide ) 6 3 ) 3 2 ) D) 3 6 E) La figura adjunta está formada por cuatro cubos congruentes entre sí, los cuales tienen caras en común. Si las diagonales de los cubos miden 6 3 cm, entonces la distancia que hay entre los vértices R y S es S ) 12 3 cm ) 6 6 cm ) 18 2 cm D) 12 2 cm E) 18 cm R 9. En la figura, todos los puntos indicados son vértices del cubo. uál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El ángulo DE es obtuso. II) El ángulo F mide 45º. III) El ángulo E mide 60º. E F ) Solo II ) Solo I y II ) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III D 3

4 Matemática 10. Si el punto (2m, 3, 1 m) pertenece al plano P: 5x 2y + 3z 4 = 0, cuál es el valor numérico de m? ) 1 ) ) D) 2 E) Sean P 1 (2, 1, 1), P 2 ( 1, 4, 4) y P 3 (3, 2, 4) tres puntos en el espacio. uál de las siguientes ecuaciones de planos en el espacio está determinada por P 1, P 2 y P 3? ) 2x + 3y + 2z 9 = 0 ) 2x + 2y + 3z 9 = 0 ) 3x + y + 2z 9 = 0 D) 3x + 2y + z 9 = 0 E) x + 3y + 4z 9 = uál de los siguientes puntos NO pertenece al plano P: 3x + y 4z 8 = 0? ) (4, 12, 2) ) ( 3, 1, 4) ) ( 2, 10, 1) D) (6, 2, 3) E) (2, 2, 1) 13. Si el punto (3, 4 + a, 7 3a) pertenece al plano P: 2x 2y 3z + 2 = 0, entonces el valor de la ordenada de es ) 14 ) 2 ) 3 D) 7 E) 11 4

5 GUÍ PRÁTI 14. Sea la recta en el espacio cuya ecuación vectorial es L: (x, y, z) = (3, 2, 4) + λ( 2, 6, 8), con λ variando en los números reales. Si un plano P contiene a la recta L y al punto (5, 2, 3), cuál es una ecuación cartesiana de P? ) 3x 3y z 6 = 0 ) x + 3y 2z 5 = 0 ) 2x + y 3z 3 = 0 D) 3x + 2y 4z 7 = 0 E) x 4y z + 6 = Una ecuación vectorial del plano que contiene a los puntos (1, 3, 2), (3, 2, 5) y (2, 5, 4), con λ y μ variando en los números reales, es ) (x, y, z) = (3, 2, 5) + λ(1, 2, 6) + μ( 2, 5, 7) ) (x, y, z) = (2, 5, 4) + λ(1, 2, 6) + μ( 2, 5, 7) ) (x, y, z) = (3, 2, 5) + λ( 1, 7, 1) + μ( 2, 5, 7) D) (x, y, z) = (2, 5, 4) + λ( 1, 7, 1) + μ( 2, 5, 7) E) (x, y, z) = (3, 2, 5) + λ(1, 2, 6) + μ( 1, 7, 1) 16. uál de los siguientes planos NO contiene a la recta cuya ecuación continua es 3 x 5 = y 1 2 = z 2 3? ) x + y + z 6 = 0 ) x 2y + 3z 7 = 0 ) 5x + 8y + 3z 13 = 0 D) 2x + 11y 4z 9 = 0 E) 3x + 6y + z 17 = Sea P: (x, y, z) = (2, 1, 1) + λ(3, 2, 2) + μ(1, 1, 3) un plano en el espacio, con λ y μ variando en los números reales. uál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) a P? I) (2, 1, 1) II) (3, 1, 3) III) (5, 0, 4) ) Solo I ) Solo I y II ) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 5

6 Matemática 18. Sean los puntos (1, 1, 0), (2, 1, 0), (2, 1, 1) y D(2, 2, 1) en el espacio. uál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) D II) El segmento D es paralelo al plano XY. III) El segmento es perpendicular al plano XY. ) Solo I D) Solo II y III ) Solo II E) I, II y III ) Solo I y III 19. Sea el plano P: 2x + 6y 4z + 8 = 0 en el espacio. uál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El plano M: x + 3y 2z + 4 = 0 es coincidente con P. II) El plano Q: x + 3y 2z + 5 = 0 es paralelo con P. III) El punto (3, 1, 5) pertenece a P. ) Solo I ) Solo III ) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 20. uál(es) de los siguientes planos es (son) paralelo(s) al plano P: 4x + 8y 6z 3 = 0? I) 8x + 16y 12z + 5 = 0 II) 2x + 4y 3z 3 = 0 III) 12x + 24y 18z = 9 ) Solo I ) Solo I y II ) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 21. Sea P: x + y + z + D = 0 un plano que contiene al punto (3, 1, 4). Si P es paralelo al plano de ecuación x + 3y + 2z 9 = 0, entonces el valor numérico de D es ) 8 ) 9 ) 10 D) 12 E) 14 6

7 GUÍ PRÁTI 22. uál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto al plano 2x 5y 2z + 7 = 0? I) ontiene a la recta (x, y, z) = (3, 3, 1) + λ(1, 1, 2), con λ variando en los números reales. II) Es paralela al plano 4x 10y 4z 14 = 0 III) Es perpendicular al plano 3x + 2y 2z 5 = 0 ) Solo I ) Solo II ) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III 23. uál de los siguientes planos NO es perpendicular al plano 3x + 3y 2z + 8 = 0? ) x + y + 3z 7 = 0 ) x + 3y + 6z + 9 = 0 ) 2x 4y 3z + 5 = 0 D) 2x + 4y + 9z 7 = 0 E) 3x y + 4z + 9 = En la figura los vértices del cuadrilátero PQRS se encuentran en cuatro de las aristas del cubo DHEFG. Se puede determinar que PQRS es un cuadrado si: (1) El cuadrilátero PQRS es paralelo con la cara D. (2) El cuadrilátero QP es congruente con el cuadrilátero DRS. ) (1) por sí sola. ) (2) por sí sola. ) mbas juntas, (1) y (2). D) ada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. E P S D H F Q G R 25. Sea el plano P de ecuación general x ay + bz + c = 0. Se puede determinar el valor numérico de (a + b + c) si: (1) El punto (4, 0, 1) pertenece a P. (2) El punto (3, 1, 1) pertenece a P. ) (1) por sí sola. ) (2) por sí sola. ) mbas juntas, (1) y (2). D) ada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 7

8 Matemática Tabla de corrección Ítem lternativa Habilidad 1 omprensión 2 SE 3 SE 4 SE 5 plicación 6 plicación 7 plicación 8 plicación 9 SE 10 SE 11 plicación 12 plicación 13 plicación 14 plicación 15 plicación 16 plicación 17 SE 18 SE 19 SE 20 SE 21 plicación 22 SE 23 plicación 24 SE 25 SE Registro de propiedad intelectual de. Prohibida su reproducción total o parcial. 8