Dada la gráfica de la función f, encuentre los límites que se le piden. c) Lím f( x) = + i) Lí mf( x) =

Transcripción

1 Dada la gráfica de la función f, encuentre los límites que se le piden. a) Lí m d) Lí m g) Lí m j) Lí m b) Lím e) Lí m h) Lí m 4 4 c) Lím f) Lí m i) Lí m

2 Dada la gráfica de la función f, encuentre: a) b) Lím 4 Lím 4 c) Lím d) e) Lím Lím f) g) h) Lí m x Lí m Lí m i) Lí m j) Lím Dada la gráfica de la función f, encuentre los límites que se le piden.

3 a) Lím d) Lí m g) Lí m b) Lím c) Lí m e) Lí m f) Lí m h) Lí m i) f tiene discontinuidades removibles en : j) f tiene discontinuidades esenciales en : Dada la gráfica de la función f, encuentre los límites que se le piden. a) Lím 5 d) Lí m g) Lí m j) Lí m b) Lím c) Lí m 5 5 e) Lí m h) Lí m f) Lí m i) Lí m

4 Dada la gráfica de la función f, encuentre los límites que se le piden. a) Lí m 0 d) Lím g) Lí m b) Lí m c) Lí m 0 0 e) Lím f) Lí m h) Lí m i) f tiene discontinuidades removibles en : j) f tiene discontinuidades esenciales en : Dada la gráfica de la función f, encuentre los límites que se le piden. Sí el límite no existe, especifique o utilice el símbolo o donde sea apropiado.

5 a) Lím d) Lí m b) Lím c) Lí m e) Lí m g) Lí m h) Lí m f) Lí m i) f tiene discontinuidades removibles en : j) f tiene discontinuidades esenciales en : Dada la gráfica de la función f, encuentre los límites que se le piden. Sí el límite no existe, especifique o utilice el símbolo o donde sea apropiado. a) Lí m d) Lí m 0 b) Lí m c) Lí m e) Lí m g) Lí m h) Lí m i) f tiene discontinuidades removibles en : j) f tiene discontinuidades esenciales en : f) Lí m 0 0 INCREMENTOS Y TASAS (Costos, ingresos y utilidad) Un gerente de producción estima que el costo semanal para producir x toneladas de leche en polvo está dada por C(x) 500x x y el ingreso por la venta de x toneladas está dada por R(x) 800x 0.01x. Se le ha encargado al gerente de producción ampliar la producción de 100 a 10 toneladas semanales. Calcule: a) El incremento en el costo. L. 5,600.00

6 b) El Incremento en el ingreso. L.15, c) El Incremento en la Utilidad. L.10,56.00 d) La tasa de cambio promedio del ingreso Lempiras / tonelada (Costos, ingresos y utilidad) Un fabricante de alimento para perros, tiene un costo semanal para producir x toneladas de alimento dado por C(x) 17,50 5x y un ingreso por la venta de x toneladas de R(x) 75x 0.01x. La compañía tiene como meta para el próximo mes hacer un incremento en la producción de 1,000 a,50 toneladas semanales. Calcule: a. El incremento en el costo. L. 1,50 b. El Incremento en el ingreso. L. 5,15 c. El Incremento en la Utilidad. L. 1,875 d. La tasa de cambio promedio en la utilidad Lempiras / tonelada (Funciones de Costo, ingreso y utilidades) Para un monopolista, la función de costo (en lempiras) es Cx ( ) x 0x 5000 y la función de demanda es p 450 4x (p en lempiras). Si el nivel de producción se incrementa de 50 unidades a 100 unidades, calcule: a. El incremento en el costo. 4, 500 Lempiras. b. El Incremento en el ingreso. Rx ( ) p x ( 450 4xx ) 450x 4x 7, 500 Lempiras. c. El Incremento en la Utilidad. 1, 000 Lempiras. d. La tasa de cambio promedio del costo. 90 Lempiras / unidad.

7 (Funciones de Costo, ingreso y utilidades) Una Compañía según estimaciones realizadas encuentra que el costo mensual para producir x libras de carne de pollo está dada por la ecuación: C(x) 0x 19,000 y el ingreso obtenido por la venta de x libras está dada por R(x) 90x 0.01x. La Compañía quiere incrementar la producción de 1,000 libras a 1,500 libras mensuales. Calcule: a. El incremento en el costo. L. 15, b. El Incremento en el ingreso. L., 500 c. El Incremento en la Utilidad L., d. La tasa de cambio promedio del costo. LIMITES 0 Lempiras / libra 1. Evaluar: x x.,r 1 8. x Lím 0 x 9, R1. Lím 1 x x 10 x 4 5, R Lím x x x 1 8, R 5. Lím x6 7x4 x 8 1 x x x, R 6., R x Lím x, Lím x x 1 x 1 R

8 7 x x 1 8. Lím 4, R 5x x x 1 ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES 1) Dada la función x. x 1 a. Utilice límites infinitos para encontrar las asíntotas verticales. R x 1 es una asíntota vertical. b. Utilice límites al infinito para encontrar las asíntotas horizontales. R yy es una asíntota horizontal c. Haga un hacer un bosquejo de la gráfica de la función. Dada la función 1. x 1 a) Utilice límites infinitos para encontrar las asíntotas verticales. R x 1 es una asíntota vertical. b) Utilice límites al infinito para encontrar las asíntotas horizontales. R yy 1 eeee uuuuuu aaaaaaaaaaaaaaaa hoooooooooooooooooo c) Haga un hacer un bosquejo de la gráfica de la función.

9 x 1 ) Dada la función. Utilice límites infinitos y límites al infinito para encontrar las x asíntotas verticales y horizontales de la función f( x ), para luego hacer un bosquejo de su gráfica. x 1 es una asíntota vertical, yy 1 eeee uuuuuu aaaaaaaaaaaaaaaa hoooooooooooooooooo x ) Dada la función. Encuentre, si existen: x 1 a. Las asíntotas horizontales. yy eeee uuuuuu aaaaaaaaaaaaaaaa hoooooooooooooooooo b. Las asíntotas verticales. Por lo tanto, x 1 es una asíntota vertical a) Haga un bosquejo de la gráfica de f.

10 5) Utilizando el cálculo de límites infinitos y límites al infinito, encuentre las asíntotas verticales y x x6 horizontales de la función. x es una asíntota vertical y 1 es una asíntota vertical ( x )( x ) CONTINUIDAD 1) Dada la función f definida por: en x 1. Justifique su respuesta. x 1, si x 1 x 1. 1, si x 1 Determine la continuidad de f la función f es discontinua en x 1.

11 ) Dada la función f definida por: en x. Justifique su respuesta. la función es continua en X 9, si 0 x x 1. 4x 5, si x > Determine la continuidad de f ) Dada la función definida por: Determine la continuidad en x1 ff(xx)eeee cccccccccccccccc eeee xx 1 1, si x < 1 x 1 54 x, si x 1 4) Dada la función definida por: Determine la continuidad de f en x 0. ff(xx)eeee ddddddcccccccccccccccc eeee xx 0 < f ( x), x, si x > x 1, si x 0 0 si x DEFINICION DE DERIVADA 1) Dada la función 1 x. a) Encuentre f '( x ) utilizando la definición de derivada. f '( x) x 4 b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva en x 1. y 4x

12 ) Dada la función 5 x. a) Encuentre f '( x ) utilizando la definición de derivada. f '( x) x 4 b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva en x 1. y 4x ) Dada la función x x. Encuentre f '( x ) utilizando la definición de derivada. f '( x) x 4) Dada la función x x. Encuentre f '( x ) utilizando la definición de derivada. f '( x) 4x 5) Sea la función: x a) Utilice la definición de derivada para hallar f '( x ). f '( x) 1 x b) Determine la ecuación de la línea tangente a la gráfica de la función f( x ) en el punto donde x 1. 1 x y REGLAS DE DIFERENCIACION 1) Encuentre la derivada de la función respuesta y déjela sin exponentes negativos x x 5. Simplifique la x f '( x) 50 x 4 x x 1/

13 ) Encuentre la derivada de la función respuesta y déjela sin exponentes negativos f '( x) 1/ x 5/ x x 5 6 x. Simplifique la x x ) Halle la derivada de la función: 10 16x x 6 x x 5. Deje su respuesta en forma simplificada y sin exponentes negativos f '( x) 160x 4 1/ 1/ x x x 4) Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones. Utilice la regla indicada y deje su respuesta en forma simplificada. a) ( )( ) x x x x (producto) f '( x) x x x x x b) 4x x 1 x (cociente) f '( x) 4 8x 4x 18x 8x 1 ( x 1) c) ( x x )( x x ) (producto) d) gx ( ) x x1 x f '( x) x x x x x 4 (cociente) g'( x) 7x x 6 ( x x4)

14 REGLA DE LA CADENA 1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena y las reglas de derivación para productos, para cocientes y para funciones exponenciales y logarítmicas. a) 4 x 1 x 1 f '( x) 0 x 1 (x 1) x 1 b) c) 5 4 5x x f '( x) x 5x x 165x 6x 50 4 x 1 16 ( ) ( x ) d) e) f '( x) x1 x x ( ) ( ) ( x ) 4 1 x 1 f '( x) 1 x x 7 y ( 6x 1) ( x) y' 10(6x 1) 6 (x) ( x1) f) y 8x x x 1 x 8 y ' 8x ( x )

15 EJERCICIOS DE SELECCIÓN MULTIPLE Seleccione el inciso que corresponde a la respuesta correcta. 1) Si Lím y Lím, entonces a a) Lím a no existe. a b) f es discontinua en x a. c) a) y b) son correctas. ) Si f es continua en x 1 y además, Lím 0, Lím 0, entonces a) f () 1 0. b) Lím 0. c) a) y b) son correctas. ) Si Lím y Lím, entonces a) Lím (no existe). b) f es discontinua en x. c) f tiene una asíntota vertical en la recta x. d) Todas las anteriores son correctas. 4) Si y x b es la ecuación de la recta tangente a la curva de la función f( x ) en el punto (, 1), entonces

16 a) f '( ) y b 5. b) f '( ) 5 y b. c) a) y b) son correctas. 5) Si Lím, entonces Lím a). b) La recta y es una asíntota horizontal de f( x ). c) a) y b) son correctas. 6) Si entonces Lím, gx ( ) es positivo en todo intervalo que contenga a y Lí mgx ( ) 0, a) Lím gx ( ). b) La recta x es una asíntota vertical. c) a) y b) son correctas. 7) Si Lím, Límhx ( ) C y x x Lí mhx ( ), entonces a) C < 0. b) C > 0. c) a) y b) son correctas.

17 r 8) Si Límx 0, entonces a) r > 0. b) r < 0. c) a) y b) son correctas. 9) La función de demanda para un producto está dada por p 60. x 1 incrementa de 9 a 49 unidades y el ingreso se define por R(x) x p, entonces Si la producción se a) El incremento en la demanda es de 0 lempiras y la tasa de cambio promedio en el ingreso es de 5.50 lempiras por unidad. b) El incremento en la demanda es de 0 lempiras y la tasa de cambio promedio en el ingreso es de 5.50 lempiras por unidad. c) El incremento en la demanda es de 0 lempiras y la tasa de cambio promedio en el ingreso es de 5.50 lempiras por unidad. 10) Si M Lím x, entonces x 1 a) M 1 4. b) M 4. c) M ) Sea f una función tal que x para x > 1 y x 1 para x <1, entonces a) b) c) Lím 1 Lím Lím no existe d) Todas las anteriores son correctas.

18 1) La ecuación de la recta tangente a la curva de la función x en el punto donde x 4 es: a) y 0.5 x b) y 0.5 x c) y 0.5 x. 1) Si Lím y Lím 5 x x entonces a) y 5 es una asíntota horizontal. a) y es una asíntota horizontal. c) a) y b) son correctas. 14) Si Lí mgx ( ), hx ( ) < 0 en todo intervalo que contenga a c y Lí mhx ( ) 0, entonces a) Lím c c gx ( ) hx ( ). b) La recta x ces una asíntota vertical. c) a) y b) son correctas. c 15) La función de demanda para un producto está dada por p 540. x 1 incrementa de 16 a 5 unidades, entonces La tasa de cambio promedio en el precio es de a) 18 lempiras por unidad. b) lempiras por unidad. c) lempiras por unidad. Si la cantidad se

19 16) Si a) b) 1 1 x, entonces x 1 c) x 1 es una asíntota vertical d) Todas las anteriores son correctas. 17) Si 5x x, x x 5 entonces: a) y x x b) y. x x c) 1 x x d) 0. x x 18) Si a) L 8. b) L 1 8. c) L 1 8. L 4 x 4, entonces 16 x

20 19) Suponga que 5 y que gx< ( ) 0 en todo intervalo que contenga a a y a suponga demás que Lí mgx ( ) 0, entonces a a) a. gx ( ) b) a gx ( ). c) La recta y a es una asíntota horizontal. 0) La función de ingreso para un producto de cierta empresa está dada por 70 x Rx ( ). Si la x cantidad se incrementa de 9 a 16 unidades, entonces La tasa de cambio promedio en el ingreso es de a) 4 lempiras por unidad. b) 4 lempiras por unidad. c).4 lempiras por unidad. 1) Si a) b) x, entonces x 4 c) x es una asíntota vertical ) Si 5 4 x x, entonces: 5 x 5x 6x a) b). c) 0. d) 1

21 9 x ) Si P, entonces x x6 a) P 6 5. b) P 6 5. c) El límite no existe. 4) Suponga que Lí mgx ( ) b suponga demás que 0, entonces b a) b gx ( ) f ( x ). y que f( x ) > 0 en todo intervalo que contenga a b y b) b gx ( ) f ( x ). c) La recta y b es una asíntota horizontal. 5) Si x 1 es: 5 x 6x x 9, entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en a) 10. b). C).