PAU SETEMBRO 2014 FÍSICA

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1 PAU Código: 25 SETEMBRO 2014 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestiones 4 puntos (1 cada cuestión, teóica o páctica). Poblemas 6 puntos (1 cada apatado). No se valoaá la simple anotación de un ítem cómo solución a las cuestiones; han de se azonadas. Se puede usa calculadoa siempe que no sea pogamable ni memoice texto. El alumno elegiá una de las dos opciones. OPCIÓN A C.1.- Un conducto macizo de foma esféica ecibe una caga eléctica Cuál de las siguientes afimaciones es vedadea?: A) La caga se distibuye po todo el conducto. B) El potencial es ceo en todos los puntos del conducto. C) En el inteio del conducto no hay campo electostático. C.2.- Po dos conductoes paalelos e indefinidos, sepaados una distancia d, ciculan coientes en sentido contaio de difeente valo, una el doble de la ota. La inducción magnética se anula en un punto del plano de los conductoes situado: A) Ente ambos conductoes. B) Fuea de los conductoes y del lado del conducto que tanspota más coiente. C) Fuea de los conductoes y del lado del conducto que tanspota menos coiente. C.3.- Si se duplica la fecuencia de la adiación que incide sobe un metal: A) Se duplica la enegía cinética de los electones extaídos. B) La enegía cinética de los electones extaídos no expeimenta modificación. C) No es cieta ninguna de las opciones anteioes. C.4.- Detemina la aceleación de la gavedad a pati de los siguientes datos expeimentales. EXPERIENCIA Longitud del péndulo (m) Tiempo 10 oscilaciones (s) 1ª 0,90 18,93 2ª 1,10 21,14 3ª 1,30 22,87 4ª 1,50 24,75 P.1.- Cees es el planeta enano más pequeño del sistema sola y tiene un peiodo obital alededo del Sol de 4,60 años, una masa de 9,43 10²⁰ kg y un adio de 477 km. Calcula: a) El valo de la intensidad del campo gavitatoio que Cees cea en su supeficie. b) La enegía mínima que ha de tene una nave espacial de 1000 kg de masa paa que, saliendo de la supeficie, pueda escapa totalmente de la atacción gavitatoia del planeta. c) La distancia media ente Cees y el Sol, teniendo en cuenta que la distancia media ente la Tiea y el Sol es de 1,50 10¹¹ m y que el peíodo obital de la Tiea alededo del Sol es de un año. (Datos: G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ²) P.2.- Un ayo de luz de fecuencia 5 10¹⁴ Hz incide, con un ángulo de incidencia de 30, sobe una lámina de vidio de caas plano-paalelas de espeso 10 cm. Sabiendo que el índice de efacción del vidio es 1,50 y el del aie 1,00: a) Enuncia las leyes de la efacción y dibuja la macha de los ayos en el aie y en el inteio de la lámina de vidio. b) Calcula la longitud de onda de la luz en el aie y en el vidio, y la longitud ecoida po el ayo en el inteio de la lámina. c) Halla el ángulo que foma el ayo de luz con la nomal cuando emege de nuevo al aie. DATO: c = 3,00 10⁸ m/s. OPCIÓN B C.1.- Un planeta gia alededo del Sol con una tayectoia elíptica. El punto de dicha tayectoia en el que la velocidad obital del planeta es máxima es: A) En el punto más póximo al Sol. B) En el punto más alejado del Sol. C) Ninguno de los puntos citados. C.2.- Un potón y una patícula α (q α = 2 q p ; m α = 4 m p ) penetan, con la misma velocidad, en un campo magnético unifome pependiculamente a las líneas de inducción. Estas patículas: A) Ataviesan el campo sin desviase. B) El potón descibe una óbita cicula de mayo adio. C) La patícula alfa descibe una óbita cicula de mayo adio. C.3.- En la fomación del núcleo de un átomo: A) Disminuye la masa y se despende enegía. B) Aumenta la masa y se absobe enegía. C) En unos casos sucede la opción A) y en otos casos la B). C.4.- En el laboatoio tabajas con lentes convegentes y ecoges en una pantalla las imágenes de un objeto. Explica lo que sucede, ayudándote del diagama de ayos, cuando sitúas el objeto a una distancia de la lente infeio a su distancia focal. P.1.- Se cuelga un cuepo de 10 kg de masa de un esote y se alaga 2,0 cm. Después se le añaden otos 10 kg y se le da un tión hacia abajo, de modo que el sistema comienza a oscila con una amplitud de 3,0 cm. a) Calcula la constante elástica del esote y la fecuencia del movimiento. b) Escibe, en función del tiempo, las ecuaciones de la elongación, velocidad, aceleación y fueza. c) Calcula la enegía cinética y la enegía potencial elástica a los 2 s de habe empezado a oscila. (g = 9,8 m/s²) P.2.- Dos cagas puntuales iguales de +2 μc se encuentan en los puntos (0, 1) m y (0, -1) m. Calcula: a) El vecto campo y el potencial electostático en el punto (-3, 0) m. b) Halla el tabajo necesaio paa taslada una caga de +3 μc desde el infinito al citado punto. Si en el punto (-3, 0) m se abandona una caga de -2 μc y masa l g: c) Calcula su velocidad en el oigen de coodenadas. DATO: K = 9 10⁹ N m² C ².

2 Soluciones OPCIÓN A 1. C.1.- Un conducto macizo de foma esféica ecibe una caga eléctica Cuál de las siguientes afimaciones es vedadea?: A) La caga se distibuye po todo el conducto. B) El potencial es ceo en todos los puntos del conducto. C) En el inteio del conducto no hay campo electostático. Solución: C La intensidad E de campo electostático en el inteio de un conducto metálico en equilibio es nulo. Si no fuese así, las cagas se desplazaían debido a la fueza del campo. 2. C.2.- Po dos conductoes paalelos e indefinidos, sepaados una distancia d, ciculan coientes en sentido contaio de difeente valo, una el doble de la ota. La inducción magnética se anula en un punto del plano de los conductoes situado: A) Ente ambos conductoes. B) Fuea de los conductoes y del lado del conducto que tanspota más coiente. C) Fuea de los conductoes y del lado del conducto que tanspota menos coiente. Solución: C La ley de Biot - Savat dice que el campo magnético ceado en un punto po un conducto ectilíneo indefnido po el que pasa una intensidad de coiente I, en un punto que se encuenta a una distancia del conducto es diectamente popocional a la intensidad de coiente e invesamente popocional a la distancia a la que se encuenta el punto del conducto. B= μ 0 I 2π Las líneas del campo magnético son ciculaes alededo del conducto. La diección del campo magnético viene dada po la egla de la mano deecha, que dice que si colocamos el pulga en el sentido de la coiente, el sentido del campo magnético es el de los otos dedos al cea la mano. En la fgua se epesentan los campos magnéticos ceados po los dos conductoes, el que lleva la coiente I₁ hacia dento y el que lleva la coiente I₂ hacia afuea y del doble de intensidad. En la zona situada ente ambos conductoes, los campos magnéticos ceados po las coientes paalelas de los hilos son del mismo sentido, po lo que el campo esultante nunca seá nulo. En la zona exteio del lado de I₂ (izquieda) que tanspota el doble de coiente, el campo magnético B₂ ceado po la coiente de ese conducto siempe seá mayo que el ceado po el de I₁, que se encuenta más alejado. En la zona exteio del lado de I₁ (deecha), los puntos se encuentan más ceca del conducto 1 que del conducto 2, y los campos magnéticos de ambos pueden se del mismo valo, y como son de sentido opuesto, pueden anulase en algún punto. La distancia x de este punto al conducto que lleva I₂ debe cumpli la condición B₂ = B₁ B 1 B 2 B 2 B 1 B I 2 I 2 1 B 1 2

3 Como I₂ = 2 I₁, queda μ 0 I 2 2 π x = μ 0 I 1 2 π(x ) (x ) I₂ = x I₁ (x ) 2 I₁ = x I₁ x = 2 3. C.3.- Si se duplica la fecuencia de la adiación que incide sobe un metal: A) Se duplica la enegía cinética de los electones extaídos. B) La enegía cinética de los electones extaídos no expeimenta modificación. C) No es cieta ninguna de las opciones anteioes. Solución: C Cuando la luz inteacciona con el metal de la célula fotoeléctica lo hace como si fuese un choo de patículas llamadas fotones (paquetes de enegía). Cada fotón choca con un electón y le tansmite toda su enegía. Paa que ocua efecto fotoeléctico, los electones emitidos deben tene enegía sufciente paa llega al anticátodo, lo que ocue cuando la enegía del fotón es mayo que el tabajo de extacción, que es una caacteística del metal. La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctico puede escibise: E = Wₑ + E En la ecuación, E epesenta la enegía del fotón incidente, Wₑ el tabajo de extacción del metal y E la enegía cinética máxima de los electones (fotoelectones) emitidos. La enegía que lleva un fotón de fecuencia f es: E = h f En esta ecuación, h es la constante de Planck y tiene un valo muy pequeño: h = 6,63 10 ³⁴ J s La enegía cinética máxima de los electones emitidos seá: E = E Wₑ Po lo tanto, si se duplica la fecuencia de la adiación incidente, se duplica la enegía de los fotones, y se hace mayo la enegía cinética (y la velocidad) de los electones emitidos. Po tanto, la opción B es falsa. Peo como no hay popocionalidad ente la enegía cinética y la enegía del fotón, la opción A también es falsa. 4. C.4.- Detemina la aceleación de la gavedad a pati de los siguientes datos expeimentales. EXPERIENCIA 1ª 2ª 3ª 4ª Longitud del péndulo (m) 0,90 1,10 1,30 1,50 Tiempo 10 oscilaciones (s) 18,93 21,14 22,87 24,75 Solución: La ecuación del peíodo de un péndulo es: T =2 π L g Al epesenta los cuadados de los peíodos T² fente a las longitudes L se obtiene una ecta. Se constuye una tabla paa calcula los valoes de T² y g (g = 4 π² L / T²)

4 El valo medio de g calculado de los valoes de la tabla es: gₘ = 9,78 m s ² La pendiente de la ecta obtenida mediante un ajuste po mínimos cuadados vale: p = 4,05 s²/m De la ecuación del peíodo, la elación de la pendiente con el valo de la aceleación de la gavedad es: T =2 π L g p= Δ T 2 Δ L = 4 π 2 g L (m) t₁₀ (s) T (s) T² (s²) g (m s ²) 0,90 18,93 1,893 3,59 9,92 1,10 21,14 2,114 4,47 9,72 1,30 22,87 2,287 5,23 9,81 1,50 24,75 2,475 6,13 9,67 Es un esultado simila al del valo medio de g. T² (s²) ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 g = 4 π2 p g = 9,75 m s ² L (m) 5. P.1.- Cees es el planeta enano más pequeño del sistema sola y tiene un peiodo obital alededo del Sol de 4,60 años, una masa de 9,43 10²⁰ kg y un adio de 477 km. Calcula: a) El valo de la intensidad del campo gavitatoio que Cees cea en su supeficie. b) La enegía mínima que ha de tene una nave espacial de 1000 kg de masa paa que, saliendo de la supeficie, pueda escapa totalmente de la atacción gavitatoia del planeta. c) La distancia media ente Cees y el Sol, teniendo en cuenta que la distancia media ente la Tiea y el Sol es de 1,50 10¹¹ m y que el peíodo obital de la Tiea alededo del Sol es de un año. Dato: G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Rta.: a) g = 0,277 m/s²; b) E = 1,32 10⁸ J; c) d = 4,15 10¹¹ m Datos Cifas signifcativas: 3 Peíodo obital de Cees T₁ = 4,60 años = 1,45 10⁸ s Masa de Cees M = 9,43 10²⁰ kg Radio de Cees R = 477 km = 4,77 10⁵ m Masa de la nave espacial m = 1000 kg Distancia de la Tiea al Sol ₂ = 1,50 10¹¹ m Peíodo obital de la Tiea T₂ = 1,00 años = 3,16 10⁷ s Constante de la gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Incógnitas Intensidad del campo gavitatoio en la supefcie de Cees g Enegía de la nave espacial en la supefcie de Cees paa escapa E Distancia media ente Cees y el Sol ₁ Otos símbolos Masa del Sol M Ecuaciones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M v= G M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo T v= 2π T

5 Ley de Newton de la gavitación univesal (fueza que ejece un planeta esféico sobe un cuepo puntual) F G =G M m 2 Enegía cinética E = ½ m v² Enegía potencial gavitatoia (efeida al infnito) E p = G M m Enegía mecánica E = E + Eₚ Solución: a) La intensidad del campo gavitatoio ceado po la masa esféica M del planeta (enano) Cees en su supefcie, a una distancia R de su cento es la fueza gavitatoia sobe la unidad de masa: g = F G M m G m = R 2 m =G M R 2 =6, [N m 2 kg 2 9, [kg ] ] =0,277 m (4, /s2 2 [ m]) b) La enegía potencial de la nave espacial en la supefcie de Cees valdá: E p = G M m = 6, [N m 2 kg 2 ] 9, [kg ] 1000 [kg ] = 1, [ J] 4, [ m] La enegía mecánica es la suma de las enegías cinética y potencial. La enegía potencial de la nave espacial a una distancia muy gande de Cees seá nula. La enegía mínima que ha de tene en la supefcie seá la que coesponde a una enegía cinética nula muy lejos de Cees. Po tanto la enegía mecánica que tendá la nave espacial muy lejos de Cees seá nula. La enegía que ha tene seá: ΔE = E Eₚ = 0 (-1,32 10⁸ [J]) = 1,32 10⁸ J c) Tanto la Tiea como Cees desciben tayectoias apoximadamente ciculaes alededo del Sol, pudiéndose considea satélites del mismo. La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M es: v= G M La velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo T es: v= 2π T Sustituyendo esta expesión en la anteio y elevando al cuadado queda ( 2π T ) 2 = G M Reodenando 3 T 2= G M 4 π 2 Aplicando esta ecuación tanto a la Tiea como a Cees y dividiendo una ente la ota quedaía la tecea ley de Keple Aplicando esta ley ente la Tiea y Cees La distancia media de Cees al Sol vale T = T =(1, [m ]) 3 (4,60 [ año]) 2 (1 [ año]) 2

6 1 =1, [ m] 3 4,60 2 =4, m Análisis: El adio calculado de la óbita de Cees sale mayo que el de la Tiea, como cabe espea. (₁ = 4,15 10¹¹ m) > (₂ = 1,50 10¹¹ m) 6. P.2.- Un ayo de luz de fecuencia 5 10¹⁴ Hz incide, con un ángulo de incidencia de 30, sobe una lámina de vidio de caas plano-paalelas de espeso 10 cm. Sabiendo que el índice de efacción del vidio es 1,50 y el del aie 1,00: a) Enuncia las leyes de la efacción y dibuja la macha de los ayos en el aie y en el inteio de la lámina de vidio. b) Calcula la longitud de onda de la luz en el aie y en el vidio, y la longitud ecoida po el ayo en el inteio de la lámina. c) Halla el ángulo que foma el ayo de luz con la nomal cuando emege de nuevo al aie. Dato: c = 3,00 10⁸ m/s. Rta.: b) λ(aie) = 6,00 10 ⁷ m; λ(vidio) = 4,00 10 ⁷ m; L = 10,6 cm; c) α₂ = 30,0º Datos Cifas signifcativas: 3 Fecuencia del ayo de luz f = 5,00 10¹⁴ Hz Ángulo de incidencia θ ₁ = 30,0 Espeso de la lámina de vidio e = 10,0 cm = 0,100 m Índice de efacción del vidio n = 1,50 Índice de efacción del aie nₐ = 1,00 Velocidad de la luz en el vacío c = 3,00 10⁸ m/s Incógnitas Longitud de onda de luz en el aie y en el vidio λₐ, λ Longitud ecoida po el ayo de luz en el inteio de la lámina L Ángulo de desviación del ayo al sali de la lámina θ ₂ Ecuaciones Índice de efacción de un medio en el que la luz se desplaza a la velocidad v Relación ente la velocidad v, la longitud de onda λ y la fecuencia f Ley de Snell de la efacción Solución: a) Las leyes de Snell de la efacción son: 1ª El ayo incidente, el ayo efactado y la nomal están en el mismo plano. 2ª La elación matemática ente los índices de efacción n y n de los medios incidente y efactado y los ángulos de incidencia y efacción θ y θ, es: n sen θ = n sen θ n i = c v i v = λ f n sen θ = n sen θ θ ₂ En la fgua se epesenta la tayectoia de la luz. El ayo incidente en el punto A con un ángulo de incidencia θ ₁ = 30 pasa del aie al vidio dando un ayo efactado que foma el pime ángulo de efacción θ ₁ y el segundo ángulo de incidencia θ ₂ ente el vidio y el aie. Finalmente sale de la lámina de vidio po el punto B con el segundo ángulo de efacción θ ₂. b) La velocidad de la luz en el aie es: Po tanto, la longitud de onda de la luz en el aie es: La velocidad de la luz en el vidio es: v a = c = 3, m /s =3, m /s n a 1,00 λ a = v a f = 3, m/s 5, s 1 =6, m = 600 nm v v = c = 3, m/s =2, m/s n v 1,50 30º A L 10 cm θ ₁ θ ₂ B C

7 Po tanto, la longitud de onda de la luz en el vidio es: λ v = v v f =2, m/s 5, s 1 =4, m = 400 nm Como el espeso de la lámina es de 10 cm, la longitud ecoida po el ayo es la hipotenusa L del tiángulo ABC. El pime ángulo de efacción θ ₁ se puede calcula aplicando la ley de Snell Po tanto la hipotenusa L vale 1,00 sen 30 = 1,50 sen θ ₁ senθ 1 = 1,00 sen 30 =0,333 1,50 θ ₁ = acsen 0,333 = 19,5 L= e 10,0 [cm] = =10,6 cm cosθ 1 cos 19,5 c) Como la lámina de vidio es de caas paalelas, el segundo ángulo de incidencia a ₂ es igual al pime ángulo de efacción: θ ₂ = θ ₁ = 19,5 Paa calcula el ángulo con el que sale de la lámina, se vuelve a aplica la ley de Snell ente el vidio (que ahoa es el medio incidente) y el aie (que es el medio efactado): 1,50 sen 19,5 = 1,00 sen θ ₂ 1,50 sen 19,5 senθ 2 = =0,500 1,00 θ ₂ = acsen 0,500 = 30,0 Análisis: Este esultado es coecto poque el ayo sale paalelo al ayo incidente oiginal. OPCIÓN B 1. C.1.- Un planeta gia alededo del Sol con una tayectoia elíptica. El punto de dicha tayectoia en el que la velocidad obital del planeta es máxima es: A) En el punto más póximo al Sol. B) En el punto más alejado del Sol. C) Ninguno de los puntos citados. Solución: A La velocidad aeola de un planeta es el áea que bae el adiovecto que une el Sol con el planeta en la unidad de tiempo. La segunda ley de Keple puede enunciase así: El adiovecto que une el Sol con un planeta bae áeas iguales en tiempos iguales O sea, que la velocidad aeola es constante. En un sistema de efeencia con el Sol en el oigen de coodenadas, la velocidad aeola seá la deivada del áea baida po el vecto de posición del planeta en la unidad de tiempo: v A = d A d t El áea baida en un tiempo muy pequeño dt, es la mitad del poducto vectoial del vecto de posición del planeta po su vecto desplazamiento d. La velocidad aeola puede expesase así: d A= 1 ( d ) 2

8 v A = d A d t =1 d = 1 d 2 dt 2 dt = 1 2 v Siendo v el vecto velocidad del planeta. Como la velocidad aeola es constante, la expesión anteio se puede escibi en módulos: v sen φ = constante Despeciando las vaiaciones del ángulo φ, ente el vecto de posición y el vecto velocidad, cuanto meno sea la distancia ente el planeta y el Sol, mayo seá su velocidad. 2. C.2.- Un potón y una patícula α (q α = 2 q p ; m α = 4 m p ) penetan, con la misma velocidad, en un campo magnético unifome pependiculamente a las líneas de inducción. Estas patículas: A) Ataviesan el campo sin desviase. B) El potón descibe una óbita cicula de mayo adio. C) La patícula alfa descibe una óbita cicula de mayo adio. Solución: C La fueza magnética F B sobe una caga q que se desplaza en el inteio de un campo magnético B con una velocidad v viene dada po la ley de Loentz: F B = q (v B) Esta fueza es pependicula en todos los puntos a la diección de avance de la patícula, po lo que descibe tayectoia cicula con velocidad de valo constante ya que la aceleación solo tiene componente nomal a N, Si solo actúa la fueza magnética: Aplicando la 2ª ley de Newton F = F B F = m a F B =m a=m a N =m v 2 Usando la expesión de la ley de Loentz (en módulos) paa la fueza magnética R q B v senφ =m v 2 Si las patículas entan pependiculamente al campo, sen φ = 1. Despejando el adio R R = m v q B Como la velocidad es la misma y el campo magnético es el mismo, aplicando esta expesión tanto al potón como a la patícula α y dividiendo una ente la ota queda: m α v R α q = α B = m α q p = 4 m q p p =2 R p m p v m p q α m p 2 q p q p B R α = 2 Rₚ El adio de la cicunfeencia descita po la patícula alfa es el doble que el de la cicunfeencia descita po potón. R v F B 3. C.3.- En la fomación del núcleo de un átomo: A) Disminuye la masa y se despende enegía.

9 B) Aumenta la masa y se absobe enegía. C) En unos casos sucede la opción A y en otos casos la B. Solución: A La masa del núcleo es siempe infeio a la suma de las masas de los nucleones que lo componen. La difeencia ente la masa del núcleo y los nucleones se llama defecto de masa «Δm». El poceso hipotético de la fomación de un núcleo a pati de la unión de los potones y neutones que lo foman despende una gan cantidad de enegía que pocede de la tansfomación del defecto de masa «Δm» en enegía «E», según la ecuación de Einstein. E = Δm c² Siendo c la velocidad de la luz en el vacío. A esta enegía se la conoce como enegía de enlace y, dividida po en númeo de nucleones, como enegía de enlace po nucleón. Esta enegía de enlace po nucleón aumenta con el númeo atómico en los núcleos más ligeos hasta alcanza un máximo en el hieo, a pati del cual desciendo ligeamente. Esto indica que el núcleo de hieo es el más estable. En ealidad los núcleos de los átomos se foman po eacciones de fusión nuclea o bien en el inteio de las estellas, los anteioes al hieo, o bien en la explosión de supenovas, los posteioes. 4. C.4.- En el laboatoio tabajas con lentes convegentes y ecoges en una pantalla las imágenes de un objeto. Explica lo que sucede, ayudándote del diagama de ayos, cuando sitúas el objeto a una distancia de la lente infeio a su distancia focal. Solución: Si colocamos el objeto a la distancia infeio a la distancia focal, la imagen se foma antes de la lente, es vitual y no se puede ecoge en una pantalla. I F O s' s f F' 5. P.1.- Se cuelga un cuepo de 10 kg de masa de un esote y se alaga 2,0 cm. Después se le añaden otos 10 kg y se le da un tión hacia abajo, de modo que el sistema comienza a oscila con una amplitud de 3,0 cm. a) Calcula la constante elástica del esote y la fecuencia del movimiento. b) Escibe, en función del tiempo, las ecuaciones de la elongación, velocidad, aceleación y fueza. c) Calcula la enegía cinética y la enegía potencial elástica a los 2 s de habe empezado a oscila. Dato: g = 9,8 m/s² Rta.: a) k = 4900 N/m; f = 2,49 Hz; b) x = 0,03 0 cos(15,7 t) (m); v = -0,470 sen(15,7 t) (m/s); a = -7,35 cos(15,7 t) (m/s²); F = -147 cos(15,7 t) (N); c) E = 0,0270 J; Eₚ = 2,18 J Datos Cifas signifcativas: 3 Masa que se cuelga del muelle m₀ = 10,0 kg Alagamiento x = 2,00 cm = 0,02 0 m Masa que ealiza el M.A.S. m = 20,0 kg Posición inicial x₀ = 3,00 cm = 0,03 0 m Amplitud (elongación máxima) A = x₀ = 0,03 0 m Tiempo paa calcula la enegía t = 2,00 s Aceleación de la gavedad g = 9,80 m/s² Incógnitas Constante elástica del esote k Fecuencia del movimiento f

10 Datos Cifas signifcativas: 3 Ecuaciones del movimiento amónico: Pulsación (fecuencia angula) Fase inicial Velocidad máxima Aceleación máxima Fueza máxima x, v, a, F ω φ₀ vₘ aₘ Fₘ Enegía cinética cuando t = 2 s E Enegía potencial cuando t = 2 s Eₚ Otos símbolos Fueza ecupeadoa elástica F Ecuaciones Peso P = m g Ley de Hooke: fueza ecupeadoa elástica F = -k x Relación ente la fecuencia angula y la constante elástica k = m ω² Relación ente la fecuencia angula y la fecuencia ω = 2 π f Ecuación de movimiento en el M.A.S. x = A sen(ω t + φ₀) Enegía potencial elástica Eₚ = ½ k x² Enegía cinética E = ½ m v² Enegía mecánica E = (E + Eₚ) = ½ k A² Solución: a) Se calcula la constante elástica del muelle de la situación de equilibio, cuando los valoes del peso de la masa colgada y la fueza elástica son iguales: k x = m g k= m g Δ x =10,0 [kg ] 9,80 [m/ s2 ] =4, N/m 0,02 0 0[ m] Se calcula la fecuencia a pati de la pulsación, que se obtiene de la constante elástica del muelle y de la masa oscilante. = k=m ω 2 ω k m = 4, [ N m 1 ] =15,7 ad/ s 20,0 [kg] ω = 2 π f = f = ω 15,7 ad /s = 2π 2 3,14 ad =2,49 s 1 =2,49 Hz b) En «M.A.S.: obtene la ecuación de movimiento» se expone el fundamento teóico. Paa calcula la fase inicial se elige un sistema de efeencia con oigen O en la posición de equilibio y el eje X+ vetical en el sentido del alagamiento (hacia abajo) y se sustituyen en la ecuación de movimiento los datos y los valoes de la posición inicial: La ecuación de movimiento queda: 0,03 0 [m] = 0,03 0 [m] sen( 15,7 0 + φ₀) sen(φ₀) = 1 φ₀ = acsen(1) = π / 2 [ad] = 1,57 ad x = 0,03 0 sen(15,7 t + π /2) [m] Como sen(φ + π /2) = cos φ, la ecuación puede escibise más bevemente: x = 0,03 0 cos(15,7 t) [m] Análisis: La ecuación de movimiento cumple la condición de la posición inicial (paa t = 0, x₀ = 0,03 0 m). F Peso O X+ A +A La velocidad es la deivada de la posición con especto al tiempo: v= d x d t = d{0, cos(15,7 t)} = 15,7 0, sen(15,7 t )= 0,470 sen(15,7 t) m/s d t

11 La aceleación es la deivada de la velocidad con especto al tiempo: a= dv dt La fueza elástica es: d{ 0,470 sen(15,7 t )} = = 0,470 15,7 cos(15,7 t )= 7,35 cos(15,7 t ) m /s 2 dt F = -k x F = -4,90 10³ [N/m] 0,03 0 cos(15,7 t) [m] = -147 cos(15,7 t) [N] c) A los 2,00 s su posición es: Enegía potencial paa x = 0,02908 m: A los 2,00 s su velocidad es: Enegía cinética paa v = 0,0520 m/s x = 0,03 0 [m] cos(15,7 [ad/s] 2,00 [s]) = 0,02908 m Eₚ = k x² / 2 = 4,90 10³ [N/m] (0,02908 [m])² / 2 = 2,18 J v = -0,470 [m/s] sen(15,7 [ad/s] 2,00 [s]) = 0,0520 m/s E = m v² / 2 = 20,0 [kg] (0,0520 [m/s])² / 2 = 0,0270 J Análisis: Se puede calcula la enegía mecánica E=½ k A 2 = k A² / 2 = 4,90 10³ [N/m] (0,0300 [m])² / 2 = 2,21 J y compoba que es igual a la suma de las enegías cinética y potencial: 2,21 J = 0,027 J + 2,18 J 6. P.2.- Dos cagas puntuales iguales de +2 μc se encuentan en los puntos (0, 1) m y (0, -1) m. Calcula: a) El vecto campo y el potencial electostático en el punto (-3, 0) m. b) Halla el tabajo necesaio paa taslada una caga de +3 μc desde el infinito al citado punto. Si en el punto (-3, 0) m se abandona una caga de -2 μc y masa 1 g: c) Calcula su velocidad en el oigen de coodenadas. DATO: K = 9 10⁹ N m² C ². Rta.: a) E = -3,42 10³ i N/C; V = 1,14 10⁴ V; b) W(ext) = -W(campo) = 0,03402 J; c) v = 9,92 i m/s Datos Cifas signifcativas: 3 Valoes de las cagas fjas Q = 2,00 µc = 2,00 10 ⁶ C Posicións de las cagas fxas: A A = (0, 1,00) m B B = (0, -1,00) m Posición del punto C C = (-3,00, 0) m Valo de la caga que se taslada desde el infnito q₁ = 3,00 µc = 3,00 10 ⁶ C Caga que se desplaza hasta el oigen q₂ = -2,00 µc = -2,00 10 ⁶ C Masa de la caga que se desplaza hasta el oigen m = 1,00 g = 1,00 10 ³ kg Velocidad inicial en el punto C (se supone) v C = 0 Posición del punto D po el que pasa la caga que se desplaza D = (0, 0) m Constante eléctica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Incógnitas Vecto campo electostático en el punto C E C Potencial electostático en el punto C V C Tabajo necesaio paa taslada 3 μc desde el infnito al punto C W C Velocidad que tendá la caga de -2 μc al pasa po el punto D v D Otos símbolos Distancia ente dos puntos A y B AB Ecuaciones Ley de Coulomb (aplicada a dos cagas puntuales sepaadas una distancia ) F =K Q q u Pincipio de supeposición Potencial electostático en un punto ceado po una caga puntual Q situada V =K Q a una distancia Potencial electostático de vaias cagas V = V 2 F A = F Ai

12 Ecuaciones Tabajo que hace la fueza del campo cuando se mueve una caga q desde un W punto A hasta oto punto B A B = q (V A V B ) Enegía potencial electostática de una caga en un punto A E A = q V A Enegía cinética E = ½ m v² Pincipio de la consevación de la enegía ente dos puntos A y B (E + E ) A = (E + E ) B Solución: a) Se hace un dibujo de las cagas y cada uno de los vectoes intensidad de campo electostático y de la suma vectoial que es el campo E C esultante. Cálculo de distancias: AC = BC = (3,00 [ m]) 2 +(1,00 [ m]) 2 =3,16 m El vecto unitaio del punto C, u AC especto a A es: u AC = AC AC =( 3,00 i 1,00 j ) [ m] = 0,949 i 0,316 j 3,16 [ m] La intensidad de campo electostático en el punto C debido a la caga de +2 µc situada en Po simetía, E A C =9, [N m 2 C 2 ] [ C] (3,16 [m ]) 2 ( 0,949 i 0,343 j)=( 1, i 5, j ) N/C Aplicando el pincipio de supeposición, E B C = (-1,71 10³ i + 5,69 10² j) N/C A es: E C = E A C + E B C = (-1,71 10³ i 5,69 10² j [N] + (-1,71 10³ i + 5,69 10² j) [N] = -3,42 10³ i N/C Análisis: El campo esultante del cálculo es hoizontal hacia la izquieda, coheente con el dibujo que se había hecho. El potencial en el punto C debido a cada caga vale lo mismo, poque la distancia es la misma (están situadas siméticamente) y el valo de la caga también es el mismo. V C =V A C +V B C =2 V A C =2 9, [N m 2 C 2 ] 2, [C] =1, V (3,16 [m ]) E C E B C E A C C A D B b) El tabajo ealizado po las fuezas del campo electostático cuando se mueve una caga q₁ = +3 µc desde el infnito hasta el punto C es la disminución de la enegía potencial ente los puntos y C. Como se toma el infnito como oigen de potencial, V = 0, W C = q₁ (V V C ) = 3,00 10 ⁶ [C] (0 1,14 10⁴) [V] = 0,03402 J El tabajo necesaio paa move una caga q = +3 µc desde el infnito hasta el punto C, suponiendo que llegue a C con la misma velocidad que tenía en el infnito, es: W(exteio) = W(campo) = 0,03402 J c) Como la fueza electostática es una fueza consevativa la enegía mecánica se conseva. (E + E ) C = (E + E ) D ½ m v C ² + q V C = ½ m v D ² + q V D El potencial en el punto D debido a cada caga vale lo mismo, poque la distancia es la misma (están situadas siméticamente) y el valo de la caga también es el mismo. V D =2 V A D =2 9, [N m 2 C 2 ] 2, [C] =3, V (1,00 [m ]) Aplicando el pincipio de consevación de la enegía -2,00 10 ⁶ [C] (-1,14 10⁴ [V]) = (1,00 10 ³ [kg] v D ²) / 2 + (-2,00 10 ⁶ [C]) (3,60 10⁴ [V])

13 v D = 9,92 m/s Como la velocidad es un vecto, hay que deduci la diección y sentido. Aunque el valo de la intensidad de campo electostático esultante y la aceleación en el oigen es ceo, po el valo de la intensidad de campo calculado en el punto C (-3, 0) [m] y el hecho de que pase po el oigen, se puede deduci que la aceleación tiene la diección del eje X en sentido positivo. Si un móvil pate del eposo, y la aceleación tiene diección constante, el movimiento seá ectilíneo en la línea de la aceleación. Po lo tanto la diección de la velocidad es la del eje X en sentido positivo v D = 9,92 i m/s Cuestiones y poblemas de las Puebas de Acceso a la Univesidad (P.A.U.) en Galicia. Respuestas y composición de Alfonso J. Babadillo Maán. Algunos cálculos se hicieon con una hoja de cálculo OpenOfce (o LibeOfce) del mismo auto. Algunas ecuaciones y las fómulas ogánicas se constuyeon con la extensión CLC09 de Chales Lalanne-Cassou. La taducción al/desde el gallego se ealizó con la ayuda de taducindote, de Ósca Hemida López. Se pocuó segui las ecomendaciones del Cento Español de Metología (CEM)