Junio = = t el mismo significado que el producto anterior

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1 Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. Junio 016 OPCIÓN A EJERCICIO 1 Las filas de la matriz P indican los respectivos precios de tres artículos A1, A y A3 en dos comercios, C1 (fila 1) y C (fila ): P= Cati desea comprar unidades del artículo A1, 1 de A y 3 de A3 Manuel desea comprar 5 unidades de A1, 1 de A y 1 de A3 Han dispuesto esas compras en la matriz Q : 1 3 Q= a) (1.8 puntos) Calcule P.Q t y Q. P t e indique el significado de los elementos de las matrices resultantes :. t PQ = = = Significado: Si compran en el comercio C, Cati pagaría115 y Manuel 160 y si lo hacenen el comercioc, Cati pagaría1 y Manuel t QP = = = Significado: Cati pagaría115 en el comercio C y1 enc Manuel pagaría 160en el comercioc y157 enc 1 1 O sea, el mismo significado que el producto anterior b) (0.7 puntos) A la vista de lo obtenido en el apartado anterior, dónde les interesa hacer la compra a cada uno? : ACati enel comercioc y a Manuel enc, pues es donde pagan menos 1 - Página 1 -

2 EJERCICIO a) (1. puntos) Calcule los valores de a y b para que la función f( x) b, si x 1 x = ax x+ si x > 3 1, 1 sea derivable en el punto de abscisa x = 1. Para que sea derivable en x = 1, debe ser continua y coincidir las derivadas laterales en dicho punto b b lim f( x) = lim = = b x 1 x 1 b ; f(1) = = b lim f( x) = lim ( ax + 1) = a = a 1 + x 1 Por ser continuaen x= 1, debe ser b= a a b= b b lim f ( x) = lim = = b ( x) ( 1) x 1 lim f ( x) = lim (ax 3) = a.1 3= a 3 + x 1 Por coincidir las derivadas laterales, b= a 3 a b= 3 a b= Portan to, a= 1, b= 1 a b= 3 b) (1.3 puntos) Para a = 1 y b =, estudie su monotonía y determine las ecuaciones de sus asíntotas, si existen., si x 1, si x < 1 Para a= 1, b=, f( x) = x f ( x) = ( x) x 1, si x 1 + > x 3, si x > 1 Estudio de la monotonía: = 0 = 0 (Im posible) ( x) f ( x) = 0 3 x 3= 0 x= (1, ) Determinación de las asíntotas: Intervalo (, 1) (1, 3 ) (3, ) f (x) ( x) x 3 x 3 Signo de f (x) + + Monotonía de f(x) creciente decreciente creciente x= 0 x=, pero f() = 3.+ 1= 1 D( f) = R y no tiene discontinuidades asintóticas Luego, f no tiene asíntotas verticales Como lim f( x) = lim ( x + 1) = lim x = No hay asíntota horizontal en x x x Como lim f( x) = lim = = 0 La asíntota horizontal en es A. H. en : y= 0 x x x - Página -

3 EJERCICIO 3 Marta tiene dos trajes rojos, un traje azul y uno blanco. Además, tiene un par de zapatos de color rojo, otro de color azul y dos pares blancos. Si decide aleatoriamente qué ponerse, determine las probabilidades de los siguientes sucesos: a) (0.8 puntos) Llevar un traje rojo y unos zapatos blancos. b) (0.9 puntos) No ir toda vestida de blanco. c) (0.8 puntos) Calzar zapatos azules o blancos. Sean los sucesos: TR = elegir traje rojo TA = elegir traje azul TB = elegir traje blanco ZR = elegir zapatos rojos ZA = elegir zapatos azules ZB = elegir zapatos blancos Según el enunciado: p( TR) = ; p( TA) = ; p( TB) = p( ZR) = ; p(za) = ; p( ZB) = Los sucesos elegir traje y elegir zapatos son independientes porque el que elija unos zapatos determinados no depende del traje que haya elegido y viceversa. Luego, la probabilidad de la intersección de dos de los sucesos es igual al producto de sus probabilidades. 4 1 a) p(tr ZB) = p(tr). p(zb) =. = = b) 1 p(tb ZB) = 1 p(tb). p(zb) = 1 1. = 1 = c) p(za U ZB) = p(za) + p(zb) p(za ZB) = p(za) + p(zb) p(za). p(zb) = = EJERCICIO 4 Se desea estimar la media de una variable aleatoria Normal cuya desviación típica es.5. Para ello, se toma una muestra aleatoria, obteniéndose los siguientes datos: a) (1 punto) Determine un intervalo de confianza al 96% para la media poblacional. X N( µ ;,5); desviación típica: σ =,5; tamaño de la muestra: n= , , , ,5+ 18 Media muestral : x= = 18 σ Nivel deconfianza : nc = 96% = 0,96. El int ervalo deconfianza es I = ( x E, x+ E), siendoel error E= zα. n 1+ nc zα cumple p( zα < Z < zα ) = nc φ( zα ) 1 = nc φ( zα ) =, donde φ ( zα ) = p( Z < zα ) 1+ 0,96 1,96 φ( zα ) = = = 0,98. Buscamos dentro de la tabla de la N(0,1) el valor 0,98 y obtenemos, por int erpolación, z =, 055 α,5 E=,055. 1,6. Por tan to, el int ervalo de confianza es I = (18 1,6 ;18+ 1,6) I = (16,38;19,6) b) (0.5 puntos) Cuál es el error máximo cometido con esa estimación? Ya calculado: E 1,6. c) (1 punto) Con el mismo nivel de confianza, si queremos que el error máximo sea inferior a 1, qué tamaño muestral mínimo debemos tomar? σ,5, 5 E< 1 zα. < 1, 055. < 1, 055. < n 5,1375 < n 6,39< n n n 1 Luego, el tamaño mínimo dela muestra debe ser n= 7 - Página 3 -

4 OPCIÓN B EJERCICIO 1 (.5 puntos) Un taller fabrica y vende dos tipos de alfombras, de seda y de lana. Para la elaboración de una unidad se necesita un trabajo manual de horas para el primer tipo y de 3 horas para el segundo y de un trabajo de máquina de horas para el primer tipo y de 1 hora para el segundo. Por cuestiones laborales y de planificación, se dispone de hasta 600 horas al mes para el trabajo manual y de hasta 480 horas al mes para el destinado a la máquina. Si el beneficio por unidad para cada tipo de alfombra es de 150 y 0, respectivamente, cuántas alfombras de cada tipo debe elaborar para obtener el máximo beneficio? A cuánto asciende el mismo? Representamos en una tabla los datos del problema: Número Nº de horas Nº de horas de Beneficio manuales máquina (en ) alfombras de seda x x x 150x alfombras de lana y 3y 1y 0y total x + 3y x + y 150x + 0y Determinamos las restricciones y la función objetivo x+ 3y 600 Restricciones: x+ y 480 Función objetivo: beneficio = F(x, y) = 150x + 0y x 0, y 0 F( A) = = 0000 F( B) = = F( C) = = F( D) = = 0 El beneficio máximo es de 37500, que se obtiene elaborando alfombras de seda y 60 de lana - Página 4 -

5 EJERCICIO La cantidad, C, que una entidad bancaria dedica a créditos depende de su liquidez, x, según la x, si x 50 0 función C( x) =, donde C y x están expresadas en miles de euros. 00+ x, si x > a) (1 punto) Justifique que C es una función continua. Para x 50, C( x) es continua porque sus expresiones corresponden a funciones continuas ( observese que 5+ 0 cuando x> 50) x lim C( x) = lim = = 4 x 50 x Si x= 50 ; C(50) = = x lim C( x) = lim = = 4 + x 50 x Luego, como lim C( x) = C(50), en x= 50 también es continua x 50 b) (1 punto) A partir de qué liquidez decrece la cantidad dedicada a créditos? Cuál es el valor máximo de C? Estudiemos la monotonía de la función: / x 150 5x 5, si x 50 +, si x< 50, si x< 0 C( x) = C ( x) = = 00+ x / 350, si x > x, si x > 50 5, si x > ( 5+ ) 5 = 0 (Im posible) / 0 C ( x) = = 0 350= 0 (Im posible) ( 5+ ) Intervalo (, 50) (50, ) C (x) 5+ 0 ( ) Signo de C (x) + Monotonía de C(x) creciente decreciente Luego, a partir de x= 50, C( x) es decreciente. La cantidad dedicada a créditos decrece a partir de una liquidez de El máximo dec es 4 (4000 ) y se alcanza para x= 50 (50000 ) c) (0.5 puntos) Calcule la asíntota horizontal e interprétela en el contexto del problema. 00+ x x Como lim C( x) = lim = lim = La asíntota horizontal en es A. H. en : y= x x 5+ x 3 3 Cuando la liquidez del Banco tiende a ser inf initamente grande, la cantidad dedicada a créditos tiende a 3,333= Página 5 -

6 EJERCICIO 3 En una encuesta sobre la nacionalidad de los veraneantes en un municipio de la costa andaluza, se ha observado que el 40% de los encuestados son españoles y el 60% extranjeros, que el 30% de los españoles y el 80% de los extranjeros residen en un hotel y el resto en otro tipo de residencia. Se elige al azar un veraneante del municipio. Sean los sucesos E = El veraneante es español H = El veraneante reside en un hotel Ex = El veraneante es extranjero NH = El veraneante no reside en un hotel Usamos un diagrama de árbol de probabilidades: a) (1 punto) Cuál es la probabilidad de que no resida en un hotel? Por el teorema de probabilidad total: p(nh) = p( E). p(nh/ E) + p( EX). p(nh/ EX) = 0,4.0,7 + 0,6.0,= 0,4 40% b) (1 punto) Si no reside en un hotel, cuál es la probabilidad de que sea español? p( E NH) 0,4.0,7 p( E/ NH) = = = 0,7 70% p( NH) 0,4 c) (0.5 puntos) Son independientes los sucesos ser extranjero y residir en un hotel? p(ex H) = 0,6. 0,8 = 0,48 y p(ex). p(h) = 0,6. 0,6 = 0,36. Luego, EX y H NO son independientes porque p(ex H) p(ex). p(h). EJERCICIO 4 El peso de los habitantes de una determinada ciudad sigue una ley Normal de media 65 kg y desviación típica 8 kg. a) (0.75 puntos) Qué distribución sigue la media de los pesos de las muestras de habitantes de tamaño 64 extraídas de esa ciudad? X= peso, X N(65,8) ( µ = 65, σ = 8); muestras detamaño n= 64; X = media delos pesos delas muestras 8 Según el teorema central del límite, X N(65, ) = N(65,1) 64 b) (1.75 puntos) Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño 0 de esa ciudad, cuál es la probabilidad de que el peso medio de esa muestra esté comprendido entre 64 y 65 kg? 8 En estecaso, usando de nuevo el teorema central del límite, X N(65, ) = N(65;0,8) 0 X 65 Z = N(0,1) 0, X p(64< X< 65) = p( < < ) = p( 1, 5< Z< 0) = p(0< Z< 1, 5) = φ(1, 5) φ(0) = 0,8944 0, 5= 0, , 44% 0,8 0,8 0,8 - Página 6 -