Formulación de Galerkin El método de los elementos finitos

Transcripción

1 Clase No. 28: MAT 251 Formulación de Galerkin El método de los elementos finitos Dr. Alonso Ramírez Manzanares Depto. de Matemáticas Univ. de Guanajuato cimat.mx web: alram/met_num/ Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C. cimat.mx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

2 Formulación débil (I) Sea u : [, 1] R. Consideremos el problema de valores en la frontera (αu ) + βu + γu = f u() = u(1) = donde α, β, γ : [, 1] R, con α(x) α >. Multiplicamos la ecuación anterior por una función v C 1 [, 1] arbitraria, llamada función de prueba, que cumple con v() = v(1) =. Integrando (αu ) v dx + βu v dx + γuv dx = fv dx Integrando por partes la primera integral: (αu ) v dx = [αu v] 1 + αu v dx = αu v dx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

3 Formulación débil (II) Sea V = {v L 2 (, 1) : v L 2 (, 1), v() = v(1) = } Entonces el problema es encontrar u V tal que αu v dx + βu v dx + γuv dx = fv dx para todo v V. Este problema es llamado la formulación débil. Hay que notar la diferencia entre el problema original (formulación fuerte) y este último. Note la complejidad del problema. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

4 Formulación de Galerkin (I) Fijamos un conjunto de funciones {ϕ j (x)} N j=1, con ϕ j V. Sea N V h = v h : v h = v j ϕ j j=1 Cambiamos el problema por el siguiente: encontrar u h V h tal que αu h v h dx + βu h v h dx + γu h v h dx = fv h dx para todo v h V h. Sustituimos y también tomamos v h = ϕ i : N u j αϕ j ϕ i dx + βϕ j ϕ i dx + γϕ j ϕ i dx = f ϕ i dx j=1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

5 Método de los elementos finitos (I) El método de los elementos finitos (MEF) es una técnica especial para construir el subespacio V h usando polinomios que tienen soporte compacto. Hacemos una partición = x < x 1 <... < x n = 1. La elección más sencilla de las funciones ϕ i es definiéndolas como funciones lineales a pedazos: x x i 1 x [x x i x i 1 i 1, x i ] x ϕ i (x) = i+1 x x [x x i+1 x i i, x i+1 ] si no. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

6 Método de los elementos finitos c(.1, 1) x x 1 x 2 x i 2 x i 1 x i x i+1 x i+2 (II) Lo que resta es c( 1 h, 1 + h) sustituir estas funciones en la ecuación, calcular el valor de las integrales, construir el sistema lineal de ecuaciones para determinar los coeficientes u j. obtener la solución del problema en V h. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

7 Ejemplo (I) y = y y + e x 3 sin x y(1) = α = y(4) = β = La solución del problema es y(x) = e x 3 cos x. Hay que notar que el valor de la solución no es cero en los extremos. Para poder aplicar lo anterior, definimos ȳ(x) = α + β α (x 1) 3 Entonces podemos plantear el problema de calcular u tal que y = u + ȳ sea solución del problema anterior. Entonces Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

8 Ejemplo (II) u = u + β α u ȳ + e x 3 sin x 3 u(1) = u(3) = u + u u = ȳ β α e x + 3 sin x = f (x) 3 Aplicando el procedimiento descrito anteriormente, llegamos a N 3 N 3 N 3 3 u j ϕ i ϕ j dx + u j ϕ i ϕ j dx u i ϕ i ϕ j dx = f ϕ j dx j=1 1 j=1 1 j=1 1 1 Hacemos una discretización uniforme, de modo que x i x i 1 = h. Debido al soporte compacto de las funciones, tenemos que calcular para cada i Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

9 Ejemplo (III) xi xi xi +h xi +h u i 1 ϕ i ϕ i 1 dx + u i (ϕ i )2 dx + (ϕ i )2 dx + u i+1 ϕ i ϕ i+1 dx x i h x i h x i x i xi xi xi +h xi +h u i 1 ϕ i ϕ i 1 dx + u i ϕ i ϕ i dx + ϕ i ϕ i dx + u i+1 ϕ i ϕ i+1 dx x i h x i h x i x i xi xi xi +h xi +h u i 1 ϕ i ϕ i 1 dx u i (ϕ i ) 2 dx + (ϕ i ) 2 dx u i+1 ϕ i ϕ i+1 dx x i h x i h x i x i Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

10 Ejemplo (IV) 1 h u i h u i 1 h u i u i u i+1 h 6 u i 1 2h 3 u i h 6 u i+1 Entonces, para cada i se tiene una ecuación de la forma 1 h 1 2 h 6 u i h 2h u i h h 3 u i+1 = f ϕ j dx 6 1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

11 Ejemplo (V) Para el caso de diferencias finitas, las ecuaciones que obtuvimos para este problema son 1 + h 2 (2 h 2 )y 1 y i 1 + (2 h 2 )y i 1 + h 2 1 h 2 1 h 2 y n 2 + (2 h 2 )y n 1 = y 2 = h 2 [e x1 3 sin x 1 ] + y i+1 = h 2 [e x i 3 sin x i ] 1 h h 2 α β h 2 [e xn 1 3 sin x n 1 ] y podemos ver que son diferentes los sistemas de ecuaciones en cada caso. Resolvemos el problema para N = 5 y comparamos los resultados obtenidos con MEF y diferencias finitas. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

12 Ejemplo (VI) Error y(x i ) y i DF Error y(x i ) y i MEF vd vd 4e 4 2e 4 e vx Reportamos el error max y(x i ) y i n Diferencias finitas MEF vx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

13 Extensión del método (I) Se pueden usar polinomios de orden superior. Por ejemplo, de segundo grado: Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

14 Extensión del método (II) También se puede extender el método a más dimensiones. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

15 Extensión del método (III) Por ejemplo, las funciones de interpolación para el triángulo de vértices (, ), (1, ), (, 1) son de la forma N 1 (ξ, η) = 1 ξ η N 2 (ξ, η) = ξ N 3 (ξ, η) = η Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

16 Extensión del método (IV) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

17 Ejemplo: La ecuación de Poisson (I) Vamos a resolver un caso particular de la ecuación de Poisson. Consideremos una función p = p(x, y) que está definida en cuadrado unitario Ω = [, 1] [, 1]. Queremos resolver p = f (x) x = (x, y) Ω (1a) p ν = x =, y (, 1), (1b) p ν = x = 1, y (, 1), (1c) p = cos(πx) x (, 1), y =, (1d) p = cos(πx) x (, 1), y = 1, (1e) donde f (x) = 2π 2 cos(πx 1 ) cos(πx 2 ). La solución exacta es p = cos(πx 1 ) cos(πx 2 ). Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

18 Solución mediante el MEF (I) Para el dominio Ω = [, 1] [, 1], hacemos una discretización en triángulos como se muestra en la siguiente figura. c(.15, 1.1) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

19 Solución mediante el MEF (II) Sean Γ D = {(x 1, ) : x 1 (, 1)} {(x 1, 1) : x 1 (, 1)}, Γ N = {(, x 2 ) : x 2 (, 1)} {(1, x 2 ) : x 2 (, 1)} Sobre Γ D sabemos que p = p D (x), donde p D está dada por (1d) y (1e). Supongamos que de alguna forma extendemos p D a todo Ω y definimos la función p = p p D. Entonces p es cero en Γ = Γ D Γ N, y (p + p D ) = f Multiplicando por una función de prueba v a la ecuación anterior e integrando sobre Ω se obtiene (p + p D )v dx = Ω fv dx. Ω Puesto que [v (p + p D )] = v (p + p D ) + v (p + p D ), Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

20 Solución mediante el MEF (III) fv dx = Ω = { [v (p + p D )] v (p + p D )} dx Ω v (p + p D ) ν dl + Γ por el teorema de la divergencia. Además v (p + p D ) ν dl = Γ Γ D v p ν dl por las condiciones de frontera (1b)-(1c). Por tanto v p dx = Ω fv dx Ω v (p + p D ) dx, Ω Γ N v p ν dl =, v p D dx (2) Ω La función p D se puede definir de muchas formas. Una opción es p D (x 1, x 2 ) = (1 x 2 ) cos πx 1 x 2 cos πx 1. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

21 Solución mediante el MEF (IV) Entonces el miembro derecho de (2) es conocido. para cada v. Definimos una discretización del dominio en elementos triangulares y asociamos a cada nodo x k la función de interpolación lineal φ k (x), entonces NM p (x) p k φ k (x). (3) k=1 Para i = 1,..., MN, tomamos v = φ i y sustituimos en (2). NM p k φ i φ k dx = k=1 Ω fv dx Ω φ i p D dx (4) Ω A partir de (4) se puede formar un sistema de ecuaciones Ap = b, con el que se pueden obtener los coeficientes p en (3) y de esa forma obtener p, y finalmente obtener p = p + p D. La figura muestra el resultado obtenido con FEM al compararlo con la solución analítica de (1). Los errores son más pequeños que los obtenidos con diferencias finitas. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

22 Solución mediante el MEF (V) Y Y 4e 4 2e 4 e+ 2e 4 4e 4 N = X M = 25 X Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

23 Solución mediante el MEF (VI) Y Y 1e 4 5e 5 e+ 5e 5 1e 4 N = X M = 5 X Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

24 Solución mediante el MEF (VII) Y.5..5 Y 4e 5 2e 5 e+ 2e 5 4e 5 N = X M = 75 X Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

25 Solución mediante el MEF (VIII).2.2 c(.15, 1.1) 1 1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

26 Solución mediante el MEF (IX) Y Y N = X M = 25 X Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

27 Solución mediante el MEF (X) Y Y 4e 4 2e 4 e+ 2e 4 4e 4 N = X M = 5 X Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

28 Solución mediante el MEF (XI) Y.5..5 Y 2e 4 1e 4 e+ 1e 4 2e 4 N = X M = 75 X Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29

29 Discretización del dominio Una dificultad del MEF es la discretización del dominio i nodos[, 2] A x x B.5..5 electr[inds, 1] nodos[, 1] Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 29