Reciprocidad Cuadrática

Transcripción

1 Caítulo 4 Recirocidad Cuadrática En este caítulo estudiamos una serie de resultados dirigidos a demostrar la Ley de Rerocidad Cuadrática, la cual fue robada or Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 101. Gauss dio tres ruebas diferentes de este teorema, y desde entonces han aarecido más de 150 demostraciones distintas. Por intermedio de esta ley, se ueden determinar si existen soluciones o no, de una ecuación cuadrática del tio: x a mod, ( ) donde es rimo y (a, ) Símbolo de Legendre De ahora en adelante, suondremos que es rimo. Definición Diremos que un entero a es un resto cuadrático módulo si la ecuación ( ) es soluble. Con la finalidad de simlificar las demostraciones introducimos el siguiente símbolo. Definición ( ) 4.1. Sea rimo, y sea a entero, con (a, ) 1. Entonces, llamado símbolo de Legendre de a sobre, se define or a ( ) { a 1, si a es un entero cuadrático mod 1, si a no es un resto cuadrático mod Ejemlo 1: ( 1, orque 3 7) mod

2 116 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática Ejemlo : ( 5 1, orque no existe x tal que 5 x 7) mod 7. Algunas roiedades elementales del símbolo de Legendre, vienen dadas en el siguiente: Teorema Sea rimo y a, b enteros, rimos relativos con. Luego( ) 1 i) 1. ii) 1. ( ) b iii) Si a b mod entonces. Demostración: Ciertamente i) y ii) son triviales. Para robar iii) consideremos dos casos: Caso I: Si 1, entonces existe un x tal que a x mod. Por lo tanto b a x mod, lo que imlica 1. 1, y suongamos que ( ) b Caso II: Sea 1, entonces reitiendo el mismo argumento del caso anterior se concluía 1, lo ( ) b cual contradice la hiótesis. Por lo tanto se debe tener 1.

3 4.1. Símbolo de Legendre 117 Teorema 4.1. (Criterio de Euler) Sean rimo y a un entero, con (a, ) 1. Entonces a 1 mod. Demostración 1: Sea b uno cualquiera de entre los números 1,,, 1 y consideremos la congruencia bx a mod. (4.1) la cual tiene solución, ues (b, ) 1. Si b ( es ) solución de (4.1), diremos que b y b son asociados. a Si 1, entonces existe un b 1 con 1 b 1 1, y tal que Además b 1 a mod. ( b 1 ) b 1 + b 1 a mod. Luego b 1 y b 1 son dos soluciones de la ecuación x a mod, (4.) y or el Teorema de Lagrange, sabemos que éstas son las únicas soluciones. Podemos concluir, entonces que en el conjunto {1,,, 1} {b 1, b 1 }, cada elemento es diferente de su asociado.

4 11 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática Luego se tienen ( 3)/3 ares (b, b ), de elementos asociados distintos, tales que bb a mod, junto con los elementos b 1 y b 1. Estos son todos los elementos de {1,,, 1}. o sea Multilicando todos estos 1 elementos se tendrá ( 1)! 1 ( 1) a ( 3)/ b 1 ( b 1 ) mod ( 1)! a ( 1)/ mod (4.3) Por otro lado, si 1, los elementos 1,,, 1 se ueden q agruar en ( 1)/ ares de asociados distintos. Por lo tanto ( 1)! a ( 1)/ mod (4.4) Usando el teorema de Wilson, tenemos 1 ( 1)! a 1 mod o sea a 1 mod Demostración : Caso I) Si 1, entonces existe x tal que a x mod luego

5 4.1. Símbolo de Legendre 119 a 1 x ( 1) mod x 1 mod 1 mod Por lo tanto a 1 mod Caso II) Si 1, entonces a no es cuadrado módulo. Sean x 1, x s los cuadrados en Z, donde s ( 1)/, entonces los elementos no nulos de Z son recisamente or lo tanto x 1,, x s, ax 1,, ax s x 1 x s ax 1 ax s 1 mod or el teorema de Wilson. Pero si x i es cuadrado, su inverso x 1 i luego Entonces tendremos s x i 1 mod i1 es también cuadrado. x 1 x s ax 1 ax s a s (x 1 x s ) a s mod.

6 10 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática Comarando ambos resultados se tiene a 1 1 mod Veamos a continuación algunas alicaciones del teorema 4.1. Ejemlo 3: Probar que 5 es un resto cuadrático módulo 13. Solución: Usando (4.1.) con a 5 y t 3 tenemos ( 5 13) 5 (13 1)/ mod mod mod 13 1 mod 13 1 mod 13 Luego ( ) Teorema Sea un número rimo y a y b dos enteros rimos relativos con (a, ) 1 y (b,)1. Entonces b ( a ) ( ) b Demostración: Por intermedio del teorema 4.1. se obtiene

7 4.1. Símbolo de Legendre 11 ( ) b a ( 1)/ b ( 1)/ mod (ab) ( 1)/ mod b mod Nótese que los osibles valores de los términos en la congruencia ( a )( ) b b mod son todos ±1, luego la congruencia anterior se convierte en igualdad con lo cual se obtiene el resultado. Teorema Si (a, b) 1 y (c, ) 1 se tiene ( c ) a Demostración: Usando el teorema 4.1.3, se obtiene ( c ) ( a c ) Ejemlo 6: Calcular Solución: ( ) Alicando las roiedades vistas en los ejemlos anteriores se tiene

8 1 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática ( ) ( )( ) )( 1 11 Para calcular estos tres valores del lado derecho de la igualdad, construimos una tabla de cuadrados módulo 11: x x Usando los valores de la tabla, calculamos los símbolos de Legendre or insección directa. ( 7 1, 11) ( 5 1, 11) ( 1 11) luego ( ) En la róxima sección, veremos un método más eficiente ara calcular símbolos de Legendre sin necesidad de usar tablas. Ejercicios 1) Sea un número rimo. a) Probar que en Z Z {0}, la mitad de los elementos son cuadrados y la otra mitad son no cuadrados. b) Si a es no cuadrado y x 1,, x s son los cuadrados de Z entonces ax 1,, ax s, son todos los no cuadrados de Z. ) Demostrar

9 4.. Ley de Recirocidad Cuadrática 13 1 x1 ( ) x 0 3) Calcular a) ( ) 10 3 ( ) 100 b) 5 ( ) 00 c) 3 ( 34 d) 7 ) ( ) 10 e) 7 f) ( ) ) Decidir cuáles de las siguientes ecuaciones osee solución a) x 5 mod 13 b) x 3 mod 7 c) x 4 mod 19 d) x mod 7 4. Ley de Recirocidad Cuadrática Comenzaremos or estudiar algunos resultados reliminares, que necesitamos ara demostrar la Ley de Recirocidad cuadrática. Definición 4..1 Sea x un número real cualquiera. La arte entera de x que se denota or [x], se define como aquel entero n, tal que Ejemlos Ejercicio: n x < n + 1 [3, 5] 3 ; [1] 1 ; [ 3, 1] 4 Para todo real x se cumle. x [x] + α con 0 α < 1.

10 14 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática Teorema 4..1 Si m es un entero y x es real, se tiene [x + m] [x] + [m] Demostración: luego De acuerdo al ejercicio anterior se debe cumlir donde t [x] + m x [x] + α, 0 α < 1 x + m [x] + m + α t + α, Nótese que t es un entero y además satisface or lo tanto se debe tener t x + m < t + 1 [x + m] t [x] + m Teorema 4.. Sean a y b enteros ositivos. Entonces existe r tal que [ ] a a b + r, 0 r < b b Demostración: De acuerdo al algoritmo de división, existen r y q tales que a bq + r, 0 r < b ( ) Luego a/b q + (r/b). 0 (r/b) < 1. Nótese que q es un entero y además

11 4.. Ley de Recirocidad Cuadrática 15 Luego debemos tener [ ] a q b y al sustituir la útima relación en ( ) se obtiene el resultado. En lo sucesivo y q serán dos números rimos distintos. También ondremos s ( 1)/ y t (q 1)/ Teorema 4..3 (Lema de Gauss) Sea a entero ositivo y un número rimo tal que (a, ) 1 y sea K el número de residuos módulo, mayores que / en el conjunto {a, a,, sa}. Entonces ( 1) K Demostración: El conjunto A {a, a,, sa} se divide en dos artes A r {x A x r i mod, 0 < r i < /} y A s {x A s i r j mod, s i > /} Sea H s K. Afirmamos que r 1, r,, r H, s 1, s,, s K ( ) son todos elementos del conjunto {1,, 3,, s} En rimer lugar, notemos que los elementos en ( ) son todos mayores que cero y menores que /. Además, hay s de ellos. Luego si

12 16 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática odemos demostrar que esos s elementos son todos distintos, la afirmación quedará robada. Tenemos tres casos a considerar: Caso I) Si r i r j, ara algunos i, j, entonces, existen 1 R i, R j s, tales que ar i ar j mod. Luego divide a a(r i R j ), lo cual imlica que divide a R i R j, ues (a, b) 1. Notemos ahora que < R i R j < y R i R j mod. Estas dos condiciones se sastifacen, si y sólo si R i R j, de donde se obtiene i j. Caso II) Si s i s j, se obtiene s i s j, y usando el mismo argumento del caso I, se deduce i j. Caso III) Si r i s j se sigue entonces o sea, con 1 R i, S j s r i s j mod, ar i as j mod, Cancelando a en la última ecuación roduce: R i + S j 0 mod lo cual es imosible, ues R i y S j son dos elementos distintos del conjunto {1,,, s} con s ( 1)/. Por útimo concluimos r i s j. Con esto queda robada la afirmación. Seguidamente, consideremos el roducto de todos los elementos en ( ). Dicho roducto resulta ser igual a el roducto 1 s s!, or la afirmación anterior. Se tiene entonces

13 4.. Ley de Recirocidad Cuadrática 17 De donde s! (r 1 r H )( s 1 ) ( s K ) ( 1) K r 1 r H s 1 s K mod. Por otro lado ( 1) K s! r 1 r H s 1 s K mod (4.5) s!a s (ar 1 ) (ar H )(as 1 ) (as K ) mod s!a s r 1 r H s 1 s K mod (4.6) Igualando las ecuaciones (4.5) y (4.6) tenemos s!a s ( 1) K mod Como 1,,, s son rimos relativos con, tenemos (s!, ) 1 y or lo tanto odemos cancelar s! en la ecuación anterior, luego a s ( 1) K mod. Por lo tanto ( 1) K mod Ejemlo: Usar el lema de Gauss ara calcular Tenemos que s 31 1 ( 5 31). 15 y 15.5.

14 1 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática Sea L {5, 5, 3 5,..., 15 5}, los residuos módulo 31 de los elementos de L son L {5, 10, 15, 0, 5, 30, 4, 9, 14, 19, 4, 9, 3,, 13}. Luego el conjunto de los elementos de L mayores que 15.5 viene dado or A {19, 0, 4, 5, 9, 30} Tenemos entonces, que el número de elementos de A es igual a 6 y or lo tanto K 6.Luego ( 5 ( 1) 31) 6 1 A fin de simlificar las demostraciones introduciremos las siguientes notaciones A r 1 + r + r H (4.7) B s 1 + s + s K, con H + K s y s ( 1) M [ ] a + [ ] a + + [ ] sa (4.) Lema 4..1 Con las notaciones anteriores se tiene (a 1)( 1) (M K) + B. Demostración: Usando las mismas notaciones del teorema 4..3 tenemos:

15 4.. Ley de Recirocidad Cuadrática 19 [ ] Ri a R i a + r i [ ] Sj a S j a + s j. Luego s H K ia R i a + S j a i1 i1 j1 [ ] [ ] H Ri a H K Sj a K + r i + + sj i1 i1 j1 j1 Desués de agruar los términos en, y utilizar las fórmulas en (4.1), nos queda Por otro lado s ia M + A + B. i1 luego se tendrá s i i1 s(s + 1) 1, (4.9) a( 1) M + A + B. (4.10) De acuerdo a la demostración del teorema 4..3, se deduce s H K i r i + s j i1 i1 j1 A + K B.

16 130 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática Luego, odemos usar la ecuación anterior y (4.), ara obtener 1 A + K B. (4.11) Restando (4.4) de (4.3) queda (a 1)( 1) (M K) + B, con lo cual terminamos la demostración En el desarrollo de la rueba del lema anterior se obtuvo el siguiente resultado (ver ecuación 4.11). Lema 4.. Si es rimo, entonces es un entero. 1 El siguiente lema ermite calcular el símbolo de Legendre ara el caso esecial a., Lema 4..3 ( ) ( 1) ( 1)/. Demostración: Haciendo a en (4.9), se tiene 1 (M K) + B. Podemos calcular el valor de M, directamente de la definición

17 4.. Ley de Recirocidad Cuadrática 131 M [ ] + [ ] [ ] s. Obsérvese ahora, que cada uno de los términos que aarece dentro de los corchetes son mayores de cero y menores que uno, luego odemos concluir: M 0. Por lo tanto 1 K + B K mod K mod. Finalmente, usando el lema de Gauss se obtiene ( ) ( 1) K ( 1) ( 1)/. Con esto terminamos la demostración. Ejemlo: Calcular Solución: ( ). 13 ( ) ( 1) 169 1)/ ( 1) Seguidamente, ( ) damos una fórmula ara obtener el símbolo de Legendre, donde q es rimo (q, q ). q Teorema 4..4 Sean y q dos números rimos diferentes. Entonces ( ) q ( 1) M,

18 13 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática donde M [ ] q + [ ] q + [ ] sq. Demostración: Tomando a q en el lema (4..3), se tiene (q 1)( 1) (M K) + B. Por ser q imar y ( 1)/ entero, se deduce de lo anterior (M K) 0 mod. Usando el hecho (, ) 1, obtenemos M k mod. Combinando esta útima ecuación con el lema de Gauss se deduce el resultado ( ) q ( 1) M Observación: Si en la ecuación anterior, se intercambian y q obtenemos ( ) ( 1) N, q donde t (q 1)/. N [ ] + q [ ] + + q [ ] t q El resultado siguiente es clave ara la demostración de la Ley de Recirocidad Cuadrática.

19 4.. Ley de Recirocidad Cuadrática 133 Lema 4..4 Con las notaciones anteriores se tiene M + N s.t. Demostración: La idea de la demostración es de tio geométrico, y se debe a Einsenstein, un discíulo de Gauss. Consideramos un sistema de coordenadas cartesianas en el lano, y sean los untos O (0, 0), A (/, 0), B (0, q/) y C (/, q/). Sea L el conjunto de untos de coordenadas enteras, dentro del rectángulo OACB (ver el diagrama). Afirmamos que no hay untos de L sobre la diagonal. La ecuación de la misma esta dada or: y qx Si (x 1, y 1 ) es un unto L sobre la diagonal, se cumle y 1 qx 1, lo cual imlica que divide a x 1. Esto es una contradicción ues 1 x 1 < /. Por lo tanto la afirmación es válida. A continuación contaremos el número de untos de L, el cual será denotado or l, de dos formas distintas: Forma I): Sea l untos dentro del triángulo OAC+ untos localizados dentro del triángulo OBC.

20 134 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática Sea λ r, 1 r s, el número de untos de L dentro del triángulo OAC y sobre la línea x r, luego es fácil ver que λ r [ ] rq Si sumamos sobre r obtenemos:, 1 r s. s untos dentro del triángulo OAC λ r M. r1 De la misma forma se demuestra: Luego untos dentro del triángulo OBC N. l M + N. Forma II): Por otro lado, viendo a L como un rectángulo se tiene: l untos en la base untos en la altura s t. Comarando ambos resultados, se deduce M + N s t. Teorema 4..5 (Ley de Recirocidad Cuadrática) Sean y q dos rimos imares distintos, entonces ( )( ) q ( 1) ( 1) (q 1) (4.1) q

21 4.. Ley de Recirocidad Cuadrática 135 Demostración: En el teorema 4..5 hemos robado ( ) ( ) q ( 1) M y q De esto se sigue ( )( ) q q ( 1) N. ( 1) M+N ( 1) st 4.11, lo cual nos conduce al resultado deseado, al hacer la sustitución s 1 y t q 1 Observación : La Ley de Recirocidad Cuadrática uede ser ( ) escrita q de otra manera. Podemos multilicar la ecuación (4.1) or ara obtener ( ) ( ) q ( 1) ( 1)(q 1)/4. q Ejemlo: Calcular Solución: ( ) 13, usando la Ley de Recirocidad Cuadrática. 37 Denotemos or LRC Ley de Recirocidad Cuadrática. ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ), (or LRC)

22 136 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática ero ( ) ( ) ( 1) (or LRC) 11 ( ) ( ) 11 ( 1) (11 1)/ or (4.11) ( 1) Ejemlo: Decidir si la congruencia es soluble. x 5 mod 7, Solución: La congruencia será soluble si y sólo si 5 es un resto cuadrático módulo 7; si sólo si ( ) Evaluando este símbolo, tenemos ( ) 5 7 ( ) ( 1) ( ) 7 5 ( 5) ( 1) (5 1)/ 1. Concluimos entonces que la ecuación no es soluble.

23 4.3. Símbolo de Jacobi Símbolo de Jacobi El símbolo de Legendre, se define únicamente ara, un número rimo. En esta sección, daremos una generalización de este símbolo, en donde el denominador, uede ser un número comuesto. Definición Sean a y b dos enteros rimos relativos, y además b tiene descomosición como roducto de rimos b 1 n, donde los i no son necesariamente distintos. Entonces el símbolo de Jacobi ( a b ), se define or donde i b es el símbolo de Legendre. ( ) n a, i1 i Ejemlo: ( ( )( ) 3 5) Observación: Si es un número rimo, entonces el símbolo de Jacobi y el símbolo de Legendre, cuando va en la arte inferior, son indistinguibles. Observación: Si b es comuesto, entonces la notación 1, no b imlica necesariamente que a sea un resto cuadrático módulo b. ( 5 Por ejemlo 1, ero no existe x tal que x 9) 5 mod 9. El símbolo de Jacobi goza de muchas roiedades similares a las del símbolo de Legendre. Teorema Sean a, b, c y d enteros tales que (a, c) 1. Entonces ( )( ( a a a 1) b d) bd)

24 13 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática ) 3) 4) 5) ( a b 1 b 1 b )( c b) c b b c b Demostración: Ejercicio. Teorema 4.3. Si b es imar ositivo, se cumle: ( ) ( 1) (b 1)/ b Demostración: En efecto, sea b 1 n. Usando la definición del símbolo de Jacobi se tiene ( b ) ( ) n i1 i n ( 1) ( i 1)/ i1 ( 1) α, donde α n i1 ( i 1)/. Para nuestros roósitos, será suficiente conocer el valor de α módulo. Observar que si 1 y son rimos, entonces

25 4.3. Símbolo de Jacobi [ 1 1 ] + 1 ( 1 1)( 1) 0 mod. Luego 1 1 ( 1 1 ) + 1 mod. Alicando esta última identidad a los restantes rimos i, nos da ni1 i 1 Por lo tanto concluimos n i1 ( i 1) mod. esto es α ni1 i 1 mod, α b 1 mod, de donde se obtiene ( ) ( 1) (b 1)/. b Seguidamente, asamos a ver la Ley de Recirocidad Cuadrática, ara el símbolo de Jacobi. Teorema Si a y b son enteros ositivos imares rimos entre sí, se tiene ( ) b ( 1) a 1 b 1. b a

26 140 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática Demostración: Suongamos que a 1 n, y b q 1 q q m, entonces ( a b ) ( ) b a ( ) m a n ( ) b i1 q i j1 j m n ( 1) j 1 qi 1 i1 j1 ( 1) β, donde β m n j 1 i1 j1 [ n j 1 m j1 i1 qi 1 q i 1 ] Interesa entonces calcular el valor de β módulo, ara lo cual 1 1 {[ ] [ ]} ( 1 1)( 1) 0 mod, luego 1 1 ( 1 1) + ( 1) mod. Haciendo uso de esta última congruencia, tantas veces como se requiera, roduce o sea 1 n 1 a 1 n i1 n i1 ( i 1) i 1 mod. mod. De igual forma, se obtiene un resultado análogo ara b.

27 4.3. Símbolo de Jacobi 141 b 1 n i1 (q j 1) mod. Por lo tanto β (a 1) y con esto finaliza la demostración. (b 1) mod, Ejercicios 1) Calcular ( 5 i) 37) ( ) ii) 37 ( ) 10 iii) 37 ( ) 100 iv) 101 ( ) 50 v) 13 ) Determinar cuáles de las siguientes congruencias tienen solución: i) x mod 59 ii) x mod 59 iii) x mod 41 iv) x mod 37 v) x mod 101 3) Demostrar que ara todo rimo se tiene: 1 i1 ( ) i 0. 4) Demuestre que si las ecuaciones x a mod y x b mod no son solubles, entonces x ab mod es soluble. 5) Probar que x mod es soluble ( ), si y sólo si 1 ó 7 mod. 6) Si es rimo,. Probar mod 16.

28 14 Caítulo 4. Recirocidad Cuadrática 7) Sea A conjunto de restos cuadráticos mod y B al conjunto de restos no cuadráticos mod. Probar: i) aa está en A, ara todo a y a en A. ii) bb está en A, ara todo b y b en B. iii) ab está en B, ara todo a en A y b en B. ) Usando el roblema anterior, demostrar A B ( 1)/. 9) Probar 1 i1 ( ) { i 1, si 1 mod 4, 1, si 3 mod 4. 10) Usando la Ley de Recirocidad Cuadrática, decidir cuáles de las siguientes ecuaciones tienen solución: i)x 15 mod 103 ii)x 0 mod 167 iii)x 6 mod 157 iv)x mod ) Probar que si 1 mod 4, entonces x mod q es soluble si y sólo si x q mod lo es 1) Usando el ejercicio 11) demuéstrese que si 1 mod 10, entonces ( ) ) Probar el recíroco del teorema de Wilson: Si ( 1)! 1 mod, entonces es rimo. 14) Demuéstrese el teorema ) Para cuáles rimos la congruencia: es soluble. x 1 mod 16) Mostrar que si y q son dos rimos diferentes de dos, entonces ( 1)(q 1) 0 mod.