1. ADICIÓN O SUMA Caso (a): Adición de un número Racional con uno Irracional: La suma de un número racional con uno Irracional es otro irracional.
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- Marcos Valentín Campos Soler
- hace 6 años
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1 ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN LOS NÚMEROS REALES. Hoy en día si hablamos de números seguramente nos damos cuenta de que es un tema muy extenso. Pero, hace tres mil años, el campo de los números era mucho más limitado que el que tenemos hoy. Fue así que las condiciones tanto externas como internas en las matemáticas que poco a poco se fue ampliando este campo. Aún así, el desarrollo de las matemáticas es más que un proceso histórico, un proceso de adaptación y de comprensión del mundo. Es así como el proceso de contar dio origen a los naturales, el concepto de deuda originó los negativos y con ellos a los enteros, el proceso de medir o geometría generó tanto los racionales como los irracionales. Finalmente con el propósito de conformar un sistema de números que no tuviera huecos que fuera denso en su totalidad y por lo tanto comprendiera todos los números Newton y Leibniz crearon los números reales como la unión de todos los conjuntos de números conocidos hasta el momento (racionales e irracionales) OPERACIONES CON NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales se cumplen las operaciones de: 1. ADICIÓN O SUMA Caso (a): Adición de un número Racional con uno Irracional: La suma de un número racional con uno Irracional es otro irracional. EJEMPLO 1: Suma los siguientes factores 5,2 y Como se conocen todas las cifras del racional 5,2 es necesario conocer las cifras del irracional que son 1, dependiendo de la aproximación pedida o en su valor exacto. 5,2 +1,7= 6,9 (Aproximación a las décimas) 5,2 + 1,73 = 6,93 (Aproximación a las centésimas) 5,2 + 1,732 = 6,932 (Aproximación a las milésimas) 5,2 + 1, = 6, (Valor exacto) Caso (b): Adición de dos números racionales: La suma de dos números racionales da como resultado otro racional. EJEMPLO 2: Dados los números racionales hallar la suma. 1,6 + 0,2 = 1,8 (Aproximación a las décimas) 1,66 +0,25= 1,91 (Aproximación a las centésimas) 1
2 1, ,250 = 1,916 (Aproximación a las milésimas) = (Valor exacto) Caso (c): Adición de dos irracionales: La adición de dos números irracionales es otro irracional. EJEMPLO 3: Dados los irracionales hallar la suma. =2,828 1,7 + 2,8 = 4,5 (Aproximación a las décimas) 1,73 +2,82= 4,55 (Aproximación a las centésimas) 1, ,828 = 4,560 (Aproximación a las milésimas) Recordemos estas propiedades: Propiedad asociativa: (a+b) + c= a+ (b+c) Propiedad conmutativa: (a+b) = (b+a) Elemento neutro: a+0=0+a=a Elemento Simétrico: a+(-a)= (-a) +a=0 EJEMPLOS 4: Observa las propiedades que se cumplen en los siguientes ejercicios. 3 + Propiedad conmutativa Propiedad Asociativa Elemento Simétrico 2. SUSTRACCIÓN O RESTA: Está es una operación de composición interna, que asocia a cada par de números reales a y b otro número c llamado diferencia. De tal modo que al sumarle al simétrico de b nos resulta la diferencia c. a+ (-b)= a-b= c Recordemos que en esta operación no se cumple la propiedad asociativa. EJEMPLO 5: Efectúa las siguientes sustracciones con aproximaciones. a. 8,25 + con aproximación a las centésimas 8,25 1,73= 6,52 b. con aproximación a las milésimas ; 2
3 1,125 1,046 = 0, MULTIPLICACIÓN: Recordemos las propiedades que se cumplen en la multiplicación de números reales. Propiedad Asociativa: (a.b).c= a.(b.c) EJEMPLO: (3 Propiedad Conmutativa: (a.b) = (b.a) EJEMPLO: 2. 2 Elemento neutro: a.e=e.a=a EJEMPLO:.1 = Elemento simétrico: (a). ( = 1 Ejemplo: De el elemento simétrico es Propiedad Distributiva: a. (b+c)=a.b + a.c Ejemplo: 12.(6+4) = La multiplicación en R puede darse de varias formas, multiplicación de un racional por un irracional que da como resultado un número irracional, la multiplicación de dos números racionales y la multiplicación de dos números irracionales. EJEMPLO 6: Multiplicar por con aproximación a las milésimas = 1,125 y 1,125 * 1,732 = 1,948 con aproximación a las décimas 0,3 * 0,6 = 0,1 por con aproximación centésimas y 1,73 * 4,47 =6,39 3
4 4. DIVISIÓN: EJEMPLO 7: Dividir 3,263 y 2,468 con aproximación a las milésimas 3,263 = 1,322 EJEMPLO 8: Dividir ( = ; Luego; (4,47 + 2,76) 7,23 = 8,12 Proyecto Guao 5. POTENCIACIÓN: Es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe a n y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. PARTES DE UNA POTENCIA 4
5 a m+n EJEMPLOS 6: 20 0 = 1 (Potencia de exponente cero) (5 3 ) 2 = = 5 6 = (Potencia de una potencia) (2. 2) 2 = = 4. 4 = 16 (Potencia de un producto) ( ) 3 = (Potencia de un cociente) = = 4 5 = RADICACIÓN: Operación inversa de la potencia. La raíz enésima de un número se define de la siguiente manera: 5
6 EJERCICIOS RESUELTOS 1. Resuelve las siguientes sumas por defecto + 2,869 + con aproximación a las centésimas 2. con aproximación a las milésimas Realicemos la suma: 0,28 +2,86+1,41 = 4,55 Realicemos la adición: 3. Completar para que se cumplan las propiedades indicadas. a. (Elemento neutro) a. = b. = 6
7 b. (Asociativa) c. (Simétrico) d. ( Conmutativa) 4. Efectúa las siguientes operaciones (3 con aproximación a las milésimas. c. +(- ) = + d. ( = +( 3 Así; (9,423-2,638) -5,165= 6,785-5,165 = 1, con aproximación a las centésimas. 6. Un padre quiere repartir la cantidad de Bs a dos hermanos la cual fue distribuida así: al primero le dan partes. Cuánto le toca al otro hermano? (Aproxima a las centésimas) 7. Efectúa los siguientes productos atendiendo a la aproximación indicada. con aproximación a las milésimas Luego; 0,86-0,81 = 0,05 Primer hijo: = ,14 Bs Segundo hijo: Bs ,14 Bs = ,86 Bs. Al segundo hermano le tocan ,86 Bs. y Así; 2,371 * 1,154= 2, con aproximación a las centésimas y Luego; 9. Resuelve las siguientes divisiones atendiendo a cada aproximación. ( sin aproximación. 1,39 * 1,15 = 1,59 = 0,07777 ; Luego; (0, ,0777+0,3333) 0,6443 7
8 5,79928 Proyecto Guao 10. ( con aproximación a las centésimas. ; ; ; (0,86 + 0,75) 0,28 0,83) = 1,61 0,33 = 4, Escribe como producto o como potencia según lo que indique las expresiones dadas: a b c. (a+b).(a+b).(a+b) d. (ab).(ab).(ab) (ab) n veces a = 3.4 b = 8 5 c. (a+b).(a+b).(a+b)= (a+b) 3 d. (ab).(ab).(ab) (ab)= (ab) n 12. Resuelve las siguientes operaciones a. [(-5) 2 ] 3 b. c. a. [(-5) 2 ] 3 = (25) 3 = b. = 13. Escribir con exponente fraccionario. a. b. 14. Escribe en forma de radicales a. b. c. a. b. = = = Profesor Alejandra Sánchez Fe y Alegría
9 Glosario * Potencia: Producto de factores iguales * Exponente: Nos dice cuantas veces se usa un número en una multiplicación. * Base: La base de una potencia e s el número que multiplicamos por sí mismo tantas veces como indique el exponente. * Índice: Es el número que sirve para indicar el grado de la raíz. * Radicando: Es el número del que se extrae la raíz, y se coloca debajo del signo radical. * Radical: Es el signo con que se indica la operación de extraer raíces. Otras Referencias ecciones_html/cap1/reales2.html on-en-r.html 9
10 la_radicacin.html 10
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