PROBLEMAS DE LOS TEMAS 5, 6 Y 7 PROPUESTOS EN EXÁMENES DE ESTADÍSTICA EMPRESARIAL (ANTIGUA LICENCIATURA ADE)

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1 TUTORÍA DE ETADÍTICA EMPREARIAL (º A.D.E.) PROBLEMA DE LO TEMA 5, 6 Y 7 PROPUETO EN EXÁMENE DE ETADÍTICA EMPREARIAL (ANTIGUA LICENCIATURA ADE) 1.- upogamos que el Baco de España decide efectuar ua ivestigació sobre los redimietos obteidos por la Baca española co u determiado producto fiaciero. Para ello seleccioa ua muestra aleatoria simple de 9 bacos, y además dispoe de la iformació de que los redimietos del producto e cuestió, e todo el cojuto bacario, se distribuye segú ua distribució ormal de media 6% y desviació típica del 3%. E base a ello se pide: 1º) Cual es la probabilidad de que el redimieto medio muestral se matega etre el 5% y el 7%?. º) Cuál es la probabilidad de que la variaza muestral sea superior a 9?. 3º) El valor de K tal que P( > K) = 0,98. 4º) upoiedo, ahora, que la desviació típica para todo el cojuto bacario fuera descoocida, y coociésemos que la desviació típica de la muestra de 9 bacos es del %, se pide obteer la probabilidad de que la media muestral sea superior al 8%. olució.- P( > 9)= ( 1) 8 8k P 9 9 1º) X es N(6, 1) y se obtiee que P[5 < X < 7] = 0,687; º) 9 8 P = P( 8 >8)=0,4335; 3º) 0,98 = P( > k)= 8 es 8, luego y de las tablas se obtiee que 8 k 9 =,035k=,865; 4º) X X 6 X 6 3 es t 8 [ X > 8] = P 3 3 = 0,008 olució.- La proporció muestral pˆ se distribuirá aproximadamete ormal N(0,15; 0,01597) y el itervalo de cofiaza adoptará la forma: 0,15 z 0,01597, 0,15 z 0,01597 dode z = (tablas) = 1,96, luego el itervalo queda: [0,1187; 0,1813] N 0,15; 0,15 0, U agricultor sabe que el precio de veta del Kilo de tomates sigue ua distribució ormal. El agricultor toma ua muestra aleatoria de 6 clietes y tatea el precio de veta del Kilo de tomates, obteiedo que segú el cliete puede vederlos a: 1,1 /Kg; 1,3 Kg; 1,14 /Kg; 1,3 /Kg; 1,6 /Kg; 1,51 /Kg Obteer los itervalos de cofiaza para el precio medio de veta al ivel de cofiaza del 95%. 1/6 PROBLEMA DE LO TEMA 5, 6 Y 7

2 TUTORÍA DE ETADÍTICA EMPREARIAL (º A.D.E.) X olució.- X es t 1. Para = 6, el itervalo de cofiaza del 95% es,571 6, 571,571,571 X X 6 6 1,14 1,54. De la muestra obteemos que X = 1,34 y = 0,18798, de dode: 4.- Mediate u muestreo aleatorio simple realizado e 15 hoteles de 4 estrellas de la Costa del ol se ha obteido que los precios de las habitacioes dobles por oche so: 108 ; 15 ; 11 ; 131 ; 96 ; 16 ; 10 ; 10 ; 78 ; 10 ; 75 ; 141 ; 10 ; 79 ; 10 Determiar, (si sabemos de atemao que los precios de las habitacioes sigue ua distribució ormal), los itervalos de cofiaza para el precio medio y para la variaza del precio, co u ivel de sigificació del 0,05. olució.- X La variable X se distribuye t 1 = t 14. De las tablas obteemos que,145,145, co probabilidad 0,95. Co los datos del problema se obtiee X = 111,4 y = 0,97, luego el itervalo es [100,16 1,64]. ( 1) La variable ( 1) se distribuye 1= 14. De las tablas obteemos que 5,69 16,1, co probabilidad 0,95. ustituyedo, se obtiee el itervalo [357,79 104,6] 5. Ua empresa de telefoía, que pretede implatarse e Argetia y co objeto de estudiar la viabilidad del proyecto, quiere obteer u itervalo de cofiaza del 90% para el tiempo medio de duració de las llamadas de teléfoos móviles a fijos e dicho país. De ua muestra sobre 0 llamadas se obtiee que el tiempo medio de duració es de 10 miutos co ua desviació típica de 3 miutos. Determiar el tamaño de la muestra ecesario para obteer u itervalo de l miuto sabiedo que la distribució poblacioal es ormal. olució.- iedo X = tiempo de duració de ua llamada se tiee que X t /, X t / itervalo es L = t / X es t 1 es el itervalo de cofiaza de ivel 100(1 )%. La amplitud del t 4 L /, estimádose t / y de la muestra dada (muestra piloto). E uestro caso se tiee: P[t 19 >t 0,05 ] = 0,05 t 0,05 = 1,79, = 3 y L = de dode: 9 1, 79 4 = 6, y /6 PROBLEMA DE LO TEMA 5, 6 Y 7

3 TUTORÍA DE ETADÍTICA EMPREARIAL (º A.D.E.) El gasto e telefoía móvil se distribuye segú ua ormal co desviació típica 6. e ha tomado ua muestra aleatoria simple, e u mes tipo, a 100 usuarios y se ha obteido que el gasto total es de 3600C. a) Estimar el gasto medio mesual e telefoía móvil. b) Costruir u itervalo de cofiaza al 95% para el gasto medio mesual. olució.- a) Usaremos como estimador del gasto medio mesual la media muestral de muestras 3600 de tamaño 100. Ua estimació sería = X b) abemos que la variable aleatoria se distribuye N(0, 1) y de las tablas se X 36 deduce que P 1,96 1, 96 = 0,95. E uestro caso: 1, , ,84 37,176 que es el itervalo buscado. 7.- El gasto medio por hogar, e España, e Artículos de vestir y calzado para el año 000 se distribuye segú ua Normal co desviació típica de 108,51. De ua muestra aleatoria de 100 familias se obtuvo u gasto medio de 1.484,87. a) Determiar los itervalos de cofiaza del 90% y del 95% para el gasto medio por hogar e Artículos de vestir y calzado. b) Calcular el tamaño de la muestra ecesario para obteer u itervalo de cofiaza del 90%, para el gasto medio por hogar e Artículos de vestir y calzado, co ua amplitud de 500. olució.- X a) De las tablas se obtiee que P[ 1,65 Z 1,65] = 0,9 1,65 1,65 1,65 1,65 X X sustituyedo se obtiee el itervalo: [1136,97 ; 183,77]. Aálogamete, de las tablas se obtiee que P[ 1,96 Z 1,96] = 0,95 X 1,96 1,96 1,96 1,96 X X sustituyedo se obtiee el itervalo: [1071,60 ; 1898,14]. X 1,65 1,65 b) Pogamos 1,65 1,65 X X. La amplitud 1,65 1,65 del itervalo es, luego deberá ser 500, de dode se obtiee 13, ,66. Luego tomaremos = U estudio sobre los precios de u determiado tipo de televisores, os da los siguietes precios de veta e euros: 1100, 300, 950, 790, 840, 80, 550, 700, 775, 770, 780, 670 Determiar, (si sabemos de atemao que los precios de veta sigue ua distribució ormal), los itervalos de cofiaza para el precio medio y para la variaza del precio, co u ivel de sigificació del 0,05. 3/6 PROBLEMA DE LO TEMA 5, 6 Y 7

4 TUTORÍA DE ETADÍTICA EMPREARIAL (º A.D.E.) olució.- X La variable se distribuye como ua t-tudet co 11 grados de libertad. De las tablas se obtiee: P[,01 < t 11 <,01] = 0,95, luego el itervalo : X,01,01,01 < <,01 X X. E uestro caso: X =753,75; = 197,77; = 1, de dode se obtiee el itervalo: 68,09 879,41 ( 1) Por otra parte, la variable se distribuye como ua co 1 grados de libertad. De las tablas se obtiee: P[3,8 11 1,9], luego el itervalo : ( 1) ( 1) ( 1) 3,8 1,9. ustituyedo: 1,9 3, i sabemos que los gastos e tecología de la iformació de las grades empresas europeas se distribuye como ua ormal N(90,4), calcular la probabilidad de que e ua muestra de 0 empresas la variaza muestral sea superior a 4,33. olució.- La variable 1 se distribuye co 1 grados de libertad (teorema de Fisher). e tedrá: P[ 19 4,33 > 4,33] = P 19 P 19 5, = 0, U aalista realiza ua aproximació de la reta media aual de las familias residetes e u barrio. El aalista dispoe de iformació referete a 60 familias seleccioadas aleatoriamete para las que la reta media aual resultó ser de euros y la desviació típica de euros. upoiedo que la reta sigue ua distribució ormal Calcular: a) Itervalo de cofiaza al 95% de cofiaza para la reta media aual de las familias residetes e el barrio. b) Cuál debería ser el míimo tamaño muestral elegido, para estimar co ua cofiaza del 95% la reta media aual de las familias residetes e el barrio, admitiedo como mucho u error de 600 euros? olució.- a) De la tabla de la variable t-tudet para 59 grados de libertad se obtiee que la probabilidad de que X es 0,95, luego: X, X [ ; ]. b) i el error debe ser 600, la amplitud del itervalo deberá ser Pero la t t t amplitud del itervalo de cofiaza X, X, es L =, de dode 4/6 PROBLEMA DE LO TEMA 5, 6 Y 7

5 TUTORÍA DE ETADÍTICA EMPREARIAL (º A.D.E.) t L Luego = 9.. Como e uestro caso, t = y = se tedrá que: = 8, egú los datos del INE para el trimestre del año 003, el gasto real medio por persoa e artículos de vestir y calzado, se distribuye ormalmete, y es de 11 euros. Tomamos ua muestra de 15 persoas para estimar la variaza muestral y obteemos que esta es de 100 euros. Cuál es la probabilidad de que la media muestral este compredida etre 117 y 15 euros?. olució.- X La variable se distribuye como ua t-tudet co 1 grados de libertad. E X uestro caso: P 117 X 15 P = = P( 1,549 < t 14 < 1,549). E las tablas de la t-tudet, para 14 grados de libertad, ecotramos que P(t<1,53) = = 0,95 y que P(t<1,761) = 0,950. Efectuado ua iterpolació lieal se obtiee que: 0,950 0,95 P(t<1,549) = 0,95+ (1,549 1,53) 0,9775 1,761 1,53 y de aquí: P( 1,549 < t 14 < 1,549) = 0,9775 (1 0,9775) = 0,8555 olució.- iedo p la proporció poblacioal y pˆ la proporció muestral, el itervalo de 1 pˆ pˆ 1 pˆ pˆ cofiaza para p es: pˆ z, pˆ z. E la tabla de la distribució ormal N(0,1), para ua probabilidad 0,95 ecotramos que z = 1,96, luego el itervalo sería: ,96, 1, [0,36 ; 0,44] 600 5/6 PROBLEMA DE LO TEMA 5, 6 Y 7

6 TUTORÍA DE ETADÍTICA EMPREARIAL (º A.D.E.) olució.- ea p = 0,153 la proporció poblacioal y pˆ la proporció muestral. Etoces, al ser = 400 > 30, teiedo e cueta el teorema cetral del límite, podemos cosiderar que el pq estadístico proporció muestral pˆ, sigue ua distribució ormal N p,. 0,153 0,847 N0,153, N0,153; 0, Luego: a) P0,1 pˆ 0,16= (tipificado) = P 1,83 Z 0,39= (tablas) = 0,6517 0,0336 = = 0,6181 b) P [pˆ 0,] (tipificado) = P[Z >,61] = (tablas) = 1 0,9955 = 0,0045. olució.- X La variable t 1 = se distribuye como ua t de tudet co 1 grados de libertad. e tedrá: 46 48, ,6 P[46 < X < 51] = P 10 t P[1,477 < t 9 < 1,363] = = P[t 9 < 1,363] (1 P[t 9 < 1,477]) = (llamado F 9 a la fució de distribució) = = F 9 (1,363) + F 9 (1,477) 1. E las tablas de la t 9 ecotramos que F 9 (1,100) = 0,85, F 9 (1,383) = 0,9 y F 9 (1,574) = = 0,95, luego, iterpolado: F 9 (1,363) 0,85 0,9 0,85, de dode F 9 (1,363) 0,8965 1,363 1,1 1,383 1,1 F 9 (1,477) 0,9 0,95 0,9, de dode F 9 (1,477) 0,913 1,477 1,383 1,574 1,383 Así pues: P[46 < X < 51] 0,8965+0,913 1 = 0,8088 6/6 PROBLEMA DE LO TEMA 5, 6 Y 7