INTEGRALES IMPROPIAS

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1 INTEGRALES IMPROPIAS

2 INDICE.- Integrles impropis de primer espeie....- Integrles impropis de segund espeie.- Integrles impropis del tipo C Criterios de omprión 8.- Biliogrfi 0

3 DEFINICION DE INTEGRALES IMPROPIAS Ls integrles que hemos trtdos hst hor hn sido integrles en el sentido de Riemnn, ls ules se sn en dos hipótesis: ) El intervlo de integrión est otdo. ) L funión integrndo es otd en el intervlo. Por tnto, llmmos integrles impropis quells que no umplen lgun de ls dos hipótesis. Ls integrles que vmos trtr son de primer espeie(tipo A), ls ules el intervlo de integrión no está otdo, y ls de segund espeie (tipo B) ls ules l funión integrndo no está otd..- INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE Se distinguen tres sos: A- f ( ) undo el intervlo tiende por l dereh infinito A- f ( ) undo el intervlo tiende por l izquierd menos infinito.

4 A- f ( ) undo el intervlo tiende por l izquierd y por l dereh (- +) infinito respetivmente En los sos A y A, lo que hrímos seri sustituir d etremos infinito por un prámetro., Llmémosle m. Entones L integrl quedrí: Entones lulrímos el límite de est integrl undo m tiende infinito o menos infinito dependiendo se es de tipo A o A. Pr el so A se divide el dominio en dos prtes y se trt d un de ells omo ls nteriores A y A.

5 Cundo el límite es finito se die que l integrl impropi es onvergente y si es infinito divergente y si se trt del so A l sum (de A y A) será divergente si lguno de los dos lo es. ) Integrl impropi del tipo A.: Se () integrle en todo el intervlo, diremos que es onvergente si eiste lgún vlor m tl que ls integrles y sen ms onvergentes, en uyo so tendremos que: Ejemplo: Estudir l onvergeni de l integrl impropi, y en so de onvergeni, lulr su vlor. = + + 4

6 .- INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE Ls integrles de segund espeie son ls integrles en ls que su integrndo es disontinuo. Hy tres tipos: ) Si f() es ontinu en (,], donde en = l funión : f ( ) Se tom un vlor pr lulr f ( ) y luego se he tender +. Es deir, f ( ) lim f ( ) Resolviendo l integrl el vlor es infinito, por lo que l integrl es divergente. ) Si f() es ontinu en [,), donde en = l funión : f ( )

7 Se tom un vlor pr lulr f ( ) y luego se he tender, f ( ) lim f ( ) Ejemplo: ; 0 log Como se demuestr en el ejemplo, l dr un vlor finito l integrl onverge. ) Integrl impropi del tipo B.: Se :(,) integrle en todo intervlo errdo ontenido en (,) y no otd, diremos que es onvergente si eiste lgún tl que ls 6

8 integrles y sen ms onvergentes, en uyo so tendremos que: Ejemplo: Estudir l onvergeni de l integrl

9 .- INTEGRALES IMPROPIAS DEL TIPO C Se grupn en este tipo ls funiones impropis que presentn rterístis del grupo A y del grupo B. Hy lgún límite infinito, positivo o negtivo (intervlo ierto) y se present en el intervlo lgun disontinuidd de l funión. Pr resolver un integrl de este tipo, deemos prtir el intervlo de integrión en dos (o más) suintervlos, donde d uno de ellos se puede ordr omo un integrl de primer o segund espeie, seprdmente, y l sum de tods ells será l soluión l prolem originl. Como siempre que onsidermos vrios intervlos, si lguno de ellos present divergeni, el totl tmién lo hrá, mientrs que sólo si tods l soluiones son onvergentes, el totl tmién lo será, siendo l soluión l sum de tods ells CRITERIOS DE COMPARACIÓN Sen dos funiones: g() f() g ( ) f ( ) Por lo tnto: Si Si g ( ) es divergente f ( ) f ( ) es onvergente g( ) es divergente es onvergente - Cundo se trt de un integrl de primer espeie l funión estándr on l que omprremos será: ( ) n 8

10 Es deir n onverge si n>, diverge si n. Ejemplo:. es divergente y que: Como semos que diverge tmién diverge.. 4 es onvergente y que: 4 4 Como semos que onverge 4 tmién onverge. - Cundo se trt de un integrl de segund espeie l funión estándr on l que omprremos será: ( ) ( ) n siendo l funión disontinu en 9

11 Es deir, n ( ) onverge si n<, diverge si n. Ejemplo:. 0 ( ) es divergente y que: ( ) ( ) ; ( ) (n= ). 0 ( ( ) ) es onvergente y que: ( ) n= /< ; ( ).- BIBLIOGRAFIA Teorí y ejeriios de lulo utores J.L.Crro, I.Leurri,E.Mrtinez. ISBN: editoril ARTE KOPI-0 0