Unidad 6. Raíces de polinomios. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

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1 Unidad 6 Raíces de polinomios Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: Comprenderá el Teorema Fundamental del Álgebra. Aplicará los teoremas del residuo y del factor en la obtención de las raíces de un polinomio. Aplicará diversos métodos en la obtención de raíces reales y complejas.

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3 raíces de polinomios Introducción En esta unidad continuaremos nuestro estudio de las ecuaciones; primero definiendo el concepto de ecuación polinomial para después encontrar sus soluciones e identificarlas como raíces del polinomio al cual está asociada. Determinaremos que todo polinomio tiene al menos una raíz real o compleja, resultado que se conoce como Teorema fundamental del álgebra. Y dado que no existe ningún método infalible para encontrar las raíces de cualquier polinomio, estableceremos algunas reglas que nos ayudarán a determinarlas, además conoceremos la manera de encontrar todas las raíces de un polinomio con la ayuda de algunas raíces conocidas, utilizando para ello el Teorema del residuo y el Teorema del factor Ecuaciones polinomiales Recordemos que un polinomio es una expresión del tipo: a 0 + a 1 x a n x n donde a 0, a 1,..., a n son números reales o incluso pueden ser complejos. A los números a 0, a 1,..., a n se les llama coeficientes del polinomio mientras que a x se le llama variable. En esta unidad estudiaremos polinomios cuyos coeficientes son exclusivamente números reales. También recordaremos que el valor numérico de un polinomio se obtiene al asignar a la variable x un valor fijo y sustituirlo en cada uno de los términos del polinomio. Ejemplo 1 Consideremos el polinomio p(x) = 3x 2 4x + 5 y obtengamos el valor numérico para algunos valores de x: para x = 7: p(7) = 3(7) 2 4(7) + 5 = = 124 para x = 2: p( 2)=2( 2) 2 4( 2) + 5 = = 21 para x = 23: p(23) = 3(23) 2 4(23) + 5 = =

4 Álgebra superior Si se iguala a cero un polinomio a 0 + a 1 x a n x n se obtiene la ecuación polinomial a 0 + a 1 x a n x n = 0. Por ejemplo, p(x) = 4x 3 + 4x + 6 es un polinomio y su ecuación polinomial correspondiente es 4x 3 + 4x + 6=0. Utilizando la ecuación polinomial definiremos el concepto de raíz y su relación con las soluciones de la ecuación polinomial Raíces de una ecuación polinomial Una vez que se tiene la ecuación polinomial asociada a un polinomio, se podrá determinar un valor de x tal que al sustituirlo en la ecuación obtengamos una igualdad? Es, decir, podremos encontrar una solución de la ecuación? Por ejemplo, dado el polinomio 4x 4 20x 3 + 4x 2 14x 30, podremos encontrar algún valor de x tal que cumpla con la igualdad 4x 4 20x 3 + 4x 2 14x 30 = 0? Se propone el valor x = 5, veamos: 4(5) 4 20(5) 3 + 4(5) 2 14(5) 30 = = 0 En este caso se dice que el número 5 es solución de la ecuación 4x 4 20x 3 + 4x 2 14x 30 = 0, o que 5 es raíz del polinomio: 4x 4 20x 3 + 4x 2 14x 30. Se dice que a es raíz del polinomio p(x) si es solución de la ecuación polinomial p(x) = 0; es decir si p(a) = 0. A las raíces de p(x) también se les llama ceros de p(x). 232

5 raíces de polinomios Ejemplo 2 a) 4 es raíz de p(x) = x 3 7x x 16 ya que: p(4) = (4) 3 7(4) (4) 16 = = = 0 b) Una raíz de p(x ) = x 3 2x 2 + x + 4 es 1 ya que la ecuación: x 3 2x 2 + x + 4 = 0 tiene como solución x = 1, en efecto: ( 1) 3 2( 1) 2 + ( 1) + 4 = = = 0 c) p(x) = x 3 5x 2 33x 27 tiene como raíz al 9, ya que p(9) = (9) 3 5(9) 2 33(9) 27 = = 0 Un polinomio puede tener varias raíces e incluso puede que sus raíces no sean números reales sino complejos. Ejemplo 3 a) Consideremos el polinomio p(x) = x 3 2x x tiene como raíz x= 0, x = (1 + 5i) y x = (1 5i): la primera raíz que comprobamos es x = 0 p(0) = 0 3 2(0) (0) = 0 la segunda 1+5i p(1+5i) = (1+5i) 3 2(1+5i) (1+5i) = ( i) + (48 20i) + ( i ) = 0 y la tercera 1 5i p(1 5i)= (1 5i) 3 2(1 5i) (1 5i) = ( i) ( i) + (26 130i) = 0 Si un polinomio tiene como raíces un número complejo y su conjugado, se dice que tiene raíces conjugadas complejas. Por ejemplo, el polinomio p(x) = x 3 2x x analizado anteriormente tiene una raíz real, el 0, y las raíces conjugadas complejas 1+5i y 1 5i. 233

6 Álgebra superior Ejercicio1 1. Establezca la ecuación polinomial de los polinomios: a) 9x 5 + 4x 3 + 5x b) 25x 3 + 4x 2 + 5x Determina si los valores dados son raíces del polinomio: 3 2 a) 2; x 3x + 5x b) 1; x 2x 3x c) 1 i; x 5x + 8x Teorema fundamental del álgebra En los ejemplos anteriores, vimos que es posible encontrar al menos una raíz de un polinomio, pero será esto posible siempre? La respuesta es sí y se enuncia como teorema: El Teorema fundamental del álgebra dice que todo polinomio de grado mayor que cero tiene al menos una raíz real o compleja. Ejemplo 4 a) Considere el polinomio x tiene como raíces conjugadas complejas a i y i ya que (i) = = 0 y ( i) = (i) 2 + 1= = 0. b) El polinomio x 4 3x 3 13x x + 36 tiene dos raíces reales: x = 1 y x = 4, y dos raíces conjugadas complejas: x = 3i y x = 3i. Verifiquemos que todas ellas sean raíces. 234

7 raíces de polinomios El 1 es raíz ya que: ( 1) 4 3( 1) 3 13( 1) ( 1) + 36 = = 0 y también lo es el 4: (4) 4 3(4) 3 13(4) (4) + 36 = = 0 y el 3i: (3i) 4 3(3i) 3 13(3i) (3i) + 36 = 81 81i i + 36 = 0 y el 3i: ( 3i) 4 3( 3i) 3 13( 3i) ( 3i) + 36 = 81 81i i + 36 = 0 Que todo polinomio siempre tenga, por lo menos, una raíz es el resultado más importante del álgebra sin embargo si tomamos como ejemplo al polinomio x 4 3x 3 13x x + 36 estudiado anteriormente encontramos que tenía como raíces a los números 1, 4, 3i y 3i. Será posible encontrar alguna otra raíz para este polinomio? En general, dado un polinomio de grado n, cuántas raíces puede tener? Un polinomio de grado n tiene n raíces reales o complejas. Utilizando este resultado, podemos garantizar que el polinomio x 4 3x 3 13x x + 36, por ser de grado 4, sólo tiene las 4 raíces determinadas en el apartado anterior: 1, 4, 3i y 3i. Ejemplo 5 Consideremos el polinomio x 3 x de grado 3, por el resultado anterior tiene 3 raíces: 1, 1 y 0. Verifiquemos si son raíces: para x = 1 si x = 1 p(1) = = 0 p( 1) = ( 1) 3 ( 1) = = 0 23

8 Álgebra superior y finalmente si x = 0 p(0) = = 0 Por lo que 1, 1 y 0 sí son raíces. 6.4 Teorema del residuo y del factor Para saber si un número α es raíz de un polinomio p(x), necesitamos sustituir a x por α en todos los términos del polinomio, si el resultado numérico es cero, entonces α es raíz. También podríamos dividir al polinomio p(x) entre (x α ), en este caso, si el residuo es cero, entonces α es raíz. Podremos afirmar que siempre el resultado numérico de sustituir x por α es igual a p(α)? La respuesta es sí y a este resultado se lo conoce como Teorema del residuo. Si dividiéramos al polinomio p(x) entre el polinomio (x α ) obtendríamos un polinomio cociente q(x) y un residuo numérico r: x α q( x) p( x) Esto lo podemos escribir como: p(x) = (x α ) q(x) + r. Si se sustituye a x por α, en la última expresión, se obtendría: p(α) = (α α ) q(α) + r = r De lo que podemos concluir que el valor numérico del polinomio que se obtiene al sustituir x por α, es: p( α ) = r Ahora si α es raíz del polinomio p(x), entonces al sustituir x por α en el polinomio p(x) el residuo numérico es cero, r = 0. Pero si r = 0, entonces: p(x) = (x α ) q(x) De lo que (x α ) divide al polinomio p(x), o dicho de otra manera, (x α ) es un divisor de p(x). También se cumple el recíproco: si (x α) es un divisor de p(x), entonces el número α es una raíz del polinomio p(x), o sea, p(α) = 0. A este enunciado se le conoce como Teorema del factor. Aún mas, ya sabemos que si p(x) es un polinomio de grado n y tiene una raíz conocida α 1, entonces p(x) se puede escribir como: r 23

9 raíces de polinomios p(x) = (x α 1 ) g 1 (x) y, como se vio en la división sintética, el polinomio g 1 (x) es de grado n 1. Ahora si g 1 (x) tiene una raíz α 2, entonces: g 1 (x) = (x α 2 ) g 2 (x) donde g 2 (x) es un polinomio de grado n 2. Se podrá afirmar que α 2 también es raíz de p(x)? Para verificar este resultado sustituimos a g 1 (x) en p(x) = (x α 1 ) g 1 (x) para que p(x) se escriba como: p(x) = (x α 1 ) (x α 2 ) g 2 (x) Si sustituimos a x por α 2 : p(α 2 ) = (α 2 α 1 ) (α 2 α 2 ) g 2 (α 2 ) = 0 De lo que α 2 también es raíz de p(x). Si encontráramos una raíz de g 2 (x), de g 3 (x) y así hasta g n-1 (x) tendríamos que: p(x) = (x α 1 ) (x α 2 ) (x α 3 )... (x α n-1 ) g n-1 (x) Y como el factor g n-1 (x) es de grado 1, entonces es de la forma (cx+b) que se puede escribir como c(x α n ), de lo que: p(x) = c (x α 1 ) (x α 2 ) (x α 3 )... (x α n-1 ) (x α n ) Por lo tanto un polinomio se puede escribir como el producto de (x-α i ) donde α i son todas sus raíces. Y si tuviéramos todas las raíces pero no conociéramos al polinomio, para obtenerlo basta con multiplicar los factores (x-α i ). Ejemplo 6 Para obtener el polinomio cuyas raíces sean 5, 4, 1+i y 1-i. El polinomio buscado tiene los factores (x ( 5)), (x 4), (x (1+i)) y (x (1 i)). De lo que: p(x) = (x ( 5)) (x 4) (x (1+i)) (x (1 i)) p(x) = (x+5) (x 4) (x 1 i) (x 1+i) p(x) = (x 2 + x 20) (x 2 2x + 2) donde: p(x) = x 4 x 3 20x x 40 es el polinomio buscado. 23

10 Álgebra superior Como ya vimos, un polinomio p(x) de grado n, se puede escribir como producto de todas sus raíces de la siguiente manera: p(x) = (x α 1 ) (x α 2 ) (x α 3 )... (x α n-1 ) (x α n ) p(x) tiene n factores, entonces sólo puede tener n raíces, pero será posible que dos raíces sean iguales? La respuesta es sí. Ejemplo 7 El polinomio p(x) = x x x 162 se puede escribir como p(x) = (x + 9) (x + 9) (x 2) por lo tanto tiene tres raíces: el 9 que se repite dos veces y el 2. La raíz que se repite, 9, se dice que tiene multiplicidad 2. Un polinomio de grado n, tiene n raíces que pueden ser: 1. n raíces distintas: 2. algunas de sus raíces pueden tener multiplicidad m, donde m es el número de veces que se repite dicha raíz como factor del polinomio. Ejemplo 8 Determinemos el polinomio que tiene las siguientes raíces: 5 de multiplicidad 3, 2 de multiplicidad 2, 4 y 0. El polinomio que se busca es: p(x) = (x 5) (x 5) (x 5) (x ( 2)) (x ( 2)) (x 4) (x 0) p(x) = (x 5) 3 (x+2) 2 (x 4) x p(x) = (x 3 15x x 125) (x 2 + 4x + 4) (x 4) x p(x) = x 7 15x x x 4 660x x x 238

11 raíces de polinomios Obsérvese que si se suman las multiplicidades de todas las raíces del polinomio, tomando las que no se repiten como de multiplicidad 1, se obtiene el grado del polinomio. Por ejemplo, en el polinomio anterior, =7. Ejercicio 2 1. Indica el número de raíces que pueden tener los siguientes polinomios: a) x 7 1. b) x 4 x c) x 3 x Si se sabe que un polinomio g(x) de grado 5 sólo tiene una raíz de multiplicidad 3, entonces, cuántas raíces distintas tiene el polinomio?. 3. En los siguientes ejemplos, dadas las raíces, encuentra el polinomio. a) 3, 2, y 1/2 b) 2i, 2i, 2 y 1 c) 3 + 4i, 3 4i, 3/2 y 5 d) 3+ 5, 3 5, y Obtención de las raíces de un polinomio En el apartado anterior, hemos establecido una regla para que, a partir de las raíces, conozcamos el polinomio, podrá establecerse el método inverso?, es decir, podremos, a partir de un polinomio dado, encontrar todas sus raíces? Para encontrar la raíz de los polinomios de grado 1, de la forma: a 0 + a 1 x = 0 basta con despejar a la variable x de la siguiente manera: a x = a

12 Álgebra superior Si se tuviera un polinomio de grado 2, de la forma: ax 2 + bx + c = 0 para encontrar sus raíces utilizamos la siguiente fórmula: ± x = 2 b b 4ac 2a conocida como fórmula general para ecuaciones de segundo grado. Para polinomios de grado mayor que 2, aunque existen algunas fórmulas muy complicadas, no existe ningún método infalible, pero si hay reglas para obtener raíces. Si el polinomio 6x 3 x 2 5x + 2 tuviera una raíz racional b a, entonces los valores posibles del numerador de la raíz, b, serían los divisores del término independiente 2 (±1 y ±2), y los valores posibles del denominador de la raíz, a, son los divisores del coeficiente del término de mayor grado 6 (±1 ±2 ±3 y ±6). Por tanto, las posibles raíces racionales de p(x) son: ±1 ±2 ±1/2 ±1/3±1/6 y ±2/3. Después, sustituyendo a cada uno de estos valores en p(x) se puede saber cuál es la raíz: Valor de x Valor de f(x) /2 0 1/ / / / / /3 0 2/ Por lo que las raíces de 6x 3 x 2 5x + 2 son: 1, 1/2 y 2/3. 240

13 raíces de polinomios Cuando se buscan raíces en un polinomio, también se cumplen las siguientes reglas: 1. Si un número complejo es una raíz de un polinomio de coeficientes reales, su complejo conjugado es también raíz de dicha ecuación. 2. Todo polinomio de grado impar admite por lo menos una raíz real. 3. Si en un polinomio, todos sus coeficientes son racionales y tiene una raíz de la forma a+ b, con a y b racionales y b irracional, entonces a b es otra raíz del polinomio. Ejemplo 9 a) Busquemos las raíces del polinomio p(x) = x 3 + x 2 4x + 6 si se sabe que una raíz es el número complejo (1 i). Como el polinomio tiene coeficientes reales entonces si (1 i) es raíz, (1+i) también es raíz. Por lo que podemos escribir al polinomio como: p(x) = [x (1 i)][x (1+ i)](x α) donde α es la raíz que nos falta por conocer. Haciendo la multiplicación de los dos primeros factores se tiene que: p(x) = (x 2 2x + 2)(x α) De lo que: 3 2 p( x) x + 2x 4x + 6 ( x α) = = 2 2 ( x 2x + 2) x 2x + 2 y haciendo la división de los polinomios se obtiene que: α = 3 b) Sea el polinomio p(x) = x 5 x 4 9x 3 63x x y dadas las raíces 2 y 2+3i, e encuentran las demás raíces del polinomio. Por ser un polinomio de grado 5 este tiene 5 raíces, si conocemos 2 raíces, nos faltan 3 raíces por conocer. 241

14 Álgebra superior Ahora p(x) tiene coeficientes racionales y tiene una raíz de la forma a+ b, por tanto 2 también es raíz. Por otro lado, el polinomio tiene una raíz compleja 2+3i, por lo que el complejo conjugado 2-3i también lo es. Por lo que sólo nos falta conocer una raíz. p(x) lo podemos escribir como: p(x) = (x 2 )(x + 2 )(x + 2+3i)(x +2 3i)(x α) donde α es la raíz que nos hace falta conocer. Utilizando la diferencia de cuadrados entonces: p(x) = (x 2 2) [(x+2) 2 + 9] (x α) o simplificando aún más: p(x) = (x 4 + 4x x 2 8x 26)(x α) y despejando la raíz: que: ( x α) = p( x) x x x x ahora, sustituyendo p(x) por x 5 x 4 9x 3 63x x se obtiene ( x α) = 5 x 4 x 3 x 2 x x 4 x + 3 x + 2 x x Haciendo la división de polinomios, se llega a que (x α) = (x 5). Por lo que la quinta y última raíz es igual a 5. c) Ahora encontremos las raíces del polinomio: p(x) = x 6 3x 5 2x x 3 61x x +30 dadas las raíces 1+ 2 y 1+2i. Como el polinomio, p(x) = x 6 3x 5 2x x 3 61x x + 30, tiene coeficientes racionales, si una raíz es de la forma: (a+ b ), entonces (a b ) es raíz, por lo que: 1 2 es raíz. También sabemos que si (a + ib) es raíz, entonces (a ib) es raíz. De lo que 1 2i es raíz. Como el polinomio es de grado 6, entonces faltan 2 raíces por conocer. A p(x) lo podemos escribir como: p(x) = (x 1+ 2 )(x 1 2 )(x 1 2i)(x 1+2i)g(x) donde el polinomio g(x) tiene las dos raíces que nos faltan por conocer. 242

15 raíces de polinomios Realizando las multiplicaciones entre las raíces de p(x) se puede escribir como: p(x) = (x 4 4x 3 + 8x 2 8x 5)g(x) Ahora despejando a g(x): p(x) x x x x x x ( x 4x + 8x 8x 5) x 4x + 8x 8x 5 g( x) = = Haciendo la división se obtiene que: g(x )= x 2 + x 6 Aplicando la fórmula general de segundo grado: ± x = 2(1) (1) 4(1)( 6) Se obtiene que las dos últimas raíces son x = 2 y x = 3. Ejercicio 3 1. Demostrar que (x 5) es un divisor del polinomio: x 4 7x x 2 7x Demostrar que (x a) divide siempre a (x n a n ) para cualquier valor de n. 3. Encontrar las raíces de los siguientes polinomios: a) p(x) = x 3 18x x 208 sabiendo que una raíz es 5 + i b) p(x) = x 4 4x 3 3x x 4 sabiendo que una raíz es 2 3 c) p(x) = x 4 + 2x

16 Álgebra superior Problemas resueltos 1. Establece la ecuación polinomial de 5x 9 + 6x 3 + 8x 2 + 3x +67. Respuesta Del polinomio 5x 9 + 6x 3 + 8x 2 + 3x + 67 se tiene la ecuación polinomial: 5x 9 + 6x 3 + 8x 2 + 3x + 67 = 0 2. Verifica si: a) 2i es raíz de 2x 3 + 3x 2 + 8x + 12 b) 3/2 es raíz de 2x 4 19x x x 168 c) 7 es raíz de x 5 8x 4 3x x x Respuesta a) 2(2i) 3 + 3(2i) 2 + 8(2i) + 12 = 16i i + 12 = 0, por lo tanto 2i sí es raíz. b) 2(3/2) 4 19(3/2) (3/2) (3/2) 168 = = 0, por lo tanto 3/2 sí es raíz. c) ( 7 ) 5 8( 7 ) 4 3( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) = = 0 por lo que 7 sí es raíz. 3. Indica el máximo número de raíces diferentes que puede tenerlos siguientes polinomios: a) x 8 + x 4 x 2 2 b) 10x 9 + x 7 6x 5 + x 3 + 8x 9 244

17 raíces de polinomios Respuesta a) Como el grado del polinomio es 8, entonces el máximo número de raíces distintas que puede tener es 8. b) Como el grado del polinomio es 9 entonces el máximo número de raíces distintas es Encuentra los polinomios que tienen las siguientes raíces: a) 5i, 5i, 1/2 y 3 b) 3, 3, 2/3 y 6 Respuesta a) (x 5i)(x+5i)(x 1/2)(x+3) = (x )(x 2 + 5/2x 3/2) = x 4 + 5/2x /2x /2x 75/2 b) (x 3 )(x+ 3 )(x+2/3)(x 6) = (x 2 9)(x 2 16/3x 4) = x 4 16/3x 3 13x x Demuestra que (x+a) es un divisor de (x n a n ) siempre que n sea un número entero, positivo y par (a 0). Respuesta Sea p(x) = x n a n, entonces p( a) = ( a) n a n es cero siempre que ( a) n = a n o sea cuando n es par. Obsérvese que cuando n es impar se cumple la igualdad ( a) n = a n o sea que, cuando n es impar p( a) = ( a) n a n = 2a n 0 por tanto p(x) = x n a n sólo es divisible entre (x+a) cuando n es par. 6. Encuentra las raíces de: a) x 3 + 5x 2 x 5 sabiendo que 5 es raíz b) x 4 + 4x 3 8x 2 32x 21 sabiendo que el 3+ 2 es raíz c) x 3 + 3x 2 + 3x

18 Álgebra superior Respuesta a) Como 5 es raíz, entonces escribamos al polinomio como: x 3 + 5x 2 x 5 = (x+5)g(x) Haciendo la división se encuentra que: g(x) = x 2 1 Cuyas raíces son x = 1 y x = 1 por lo que las tres raíces de x 3 + 5x 2 x 5 son: 5, 1 y 1. b) Como x 4 + 4x 3 8x 2 32x 21 es un polinomio con coeficientes racionales y 3+ 2 es raíz, entonces el 3 2 también es raíz, ahora busquemos raíces racionales. Los divisores de 21 son ±1, ±3, ±7, ±21, entonces: Valor de x Valor de f(x) Por lo que las raíces del polinomio son: 1, 3, 3 2 y c) El polinomio x 3 + 3x 2 + 3x + 1 es un binomio al cubo: x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = (x+1) 3 Por lo que tiene una sola raíz de multiplicidad 3, x = Encuentra las raíces del polinomio: x 4 2x 3 + x 2 8x 12 estimando como raíces posibles a: ±1, +2, +3, y evaluando el polinomio en una tabla: 24

19 raíces de polinomios Valor de x Valor de f(x) Por lo que hemos encontrado dos raíces, 1 y 3. Para encontrar las demás raíces escribamos al polinomio como: x 3 4x 2 + 9x 26 = (x+1)(x 3)g(x) Que se puede escribir como: x 3 4x 2 + 9x 26 = (x 2 2x 3)g(x) Despejando a g(x) y haciendo la división se tiene que: g(x) = x Cuyas raíces son: x = 2i y x = 2i Por tanto las raíces del polinomio son: 1, 3, 2i, 2i. Problemas propuestos 1. Es 2 raíz de la ecuación x 4 2x 2 x + 7 = 0? 2. Encuentra los polinomios que tienen como raíz: a) a 2 de multiplicidad 3, a 1+7i y a 1 7i. b) a 3 de multiplicidad 2, a 1 de multiplicidad 3, y a Es el (x 8) divisor del polinomio x 4 12x x 2 532x + 800? 4. Encuentra las raíces de: a) x 3 25x 2 212x 638 sabiendo que 7+3i es raíz. b) x 4 + 2x x x Determina las raíces reales de: p(x) = x 3 7 x 2 + 2x Determina las raíces de: f(x) = 12x 4-5x 3-11x 2 +6x=0 24

20 Álgebra superior Autoevaluación 1. La ecuación polinomial de 8x 5 + 3x 2 + 5x 5 es: a) p(x) = 8x 5 + 3x 2 + 5x 5 b) 8x 5 + 3x 2 + 5x 5 = 0 c) p(0) = 5 d) 3 y Si un polinomio es de grado 4 y tiene una raíz de multiplicidad 3 entonces tiene: a) Una raíz. b) Dos raíces diferentes. c) Tres raíces diferentes. d) Cuatro raíces diferentes. 3. El polinomio que tiene como raíces a 7+2i, 7 2i, 1+ 2, 1 2 y 5 es: a) 2x 5 + x 4 2x x 2 + 2x + 7 b) 5x 5 + 8x 4 56x 3 68x x + 87 c) x 5 21x x 3 492x x d) x 5 x 4 5x x x x 4 es un divisor de p(x) = x 4 9x x 2 81x ya que: a) p( 4) 0 b) p(4) 0 c) p( 4) = 0 d) p(4) = 0 248

21 raíces de polinomios 5. Si 6+7i es una de las raíces de un polinomio con coeficientes racionales, entonces podemos afirmar que también es raíz: a) 6 7i b) 6+7i c) 6 7i d) 6+7i es una raíz de multiplicidad 2 6. Si 4+ 5 es raíz de un polinomio con coeficientes racionales, entonces podemos afirmar que también es raíz: a) 4+ 5 es una raíz de multiplicidad 2 b) 4 5 c) 4+ 5 d) Las raíces de x 4 13x son: a) ± 3 y ± 2 b) ± 4 y ± 3 c) ± 5 y ± 2 d) ± 2 y ± 4 8. Las raíces de x 4 3x 3 + 5x 2 27x 36 son: a) 1, 4, +5i y 5i b) 4, 1, +5i y 5i c) 4, 1, +3i y 3i d) 1, 4, +3i y 3i 24

22 Álgebra superior Respuestas a los ejercicios Ejercicio a) Función polinomial: f(x)=9x 5 +4x 3 +5x Ecuación polinomial 9x 5 +4x 3 +5x 2 +5=0 b) Función polinomial: f(x)=25x 3 +4x 2 +5x+6. Ecuación polinomial 25x 3 +4x 2 +5x+6=0 a) No es ya que p( 2) = 36 b) Sí. c) Sí. Ejercicio 2 1. a) Siete. b) Cuatro. c) Tres. 2. Tres. 3. a) Dadas las raíces se plantea el polinomio p(x) = (x+3)(x 2)(x 1/2) Haciendo el producto de los factores: (x 2 + 3x 2x 6)(x 1/2) (x 2 +x 6)(x 1/2) x 3 + x 2 6x 1/2x 2 1/2x + 3 Por último se tiene que el polinomio es: x 3 + 1/2x 2 13/2x + 3 b) Dadas las raíces se plantea el polinomio: p(x) = (x+2i )(x 2i)(x+2)(x+1) 20

23 raíces de polinomios Aplicando la diferencia de cuadrados se obtiene: (x 2 +4)(x+2)(x+1) Haciendo las demás operaciones: (x 3 +2x 2 +4x +8)(x+1) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + x 3 + 2x 2 + 4x + 8 De lo que el polinomio es: x 4 + 3x 3 + 6x x + 8 c) Dadas las raíces planteamos el polinomio: p(x) = (x (3+4i))(x (3 4i))(x 5)(x 3/2) Agrupando: ((x 3) + 4i)((x 3) 4i)(x 5)( 4 5)(x 3/2) Aplicando la diferencia de cuadrados y haciendo las demás multiplicaciones: ((x 3) 2 +16)(x 2 5x 3/2x +15/2) (x 2 6x + 25)(x 2 13/2x +15/2) x 4 13/2x /2x 2 + 6x 3 39x 2 45x + 25x 2 325/2x + 375/2 Por último el polinomio buscado es: x 4 25/2x /2x 2 415/2x + 375/2 d) Dadas las raíces se plantea el polinomio: p(x) = (x (3+ 5 ))(x (3 5 ))(x 6) Agrupando: ((x 3)+ 5 )((x 3) 5 )(x 6) Aplicando la diferencia de cuadrados obtenemos: ((x 3) 2 5)(x 6) Elevando al binomio al cuadrado y sumando se tiene: (x 2 6x + 4)(x 6) Haciendo la multiplicación se llega a: x 3 6x 2 6x x + 4x 24 Por último, el polinomio buscado es: x 3 12x x 24 Ejercicio 3 1. Por el teorema del factor, basta con demostrar que p(5)=0, donde: p(x) = x 4 7x x 2 7x +12 Por lo tanto: p(5) = (5) 4 7(5) (5) 2 7(5) + 12 = = 0 Entonces (x 5) si divide a p(x) = x 4 7x x 2 7x

24 Álgebra superior 2. Por el teorema del factor, basta con demostrar que: p(a) = 0 donde p(x) = x n a n Como p(a) = a n a n = 0 queda demostrado que (x a) divide a (x n a n ) para todo n. 3. a) Como 5+i es raíz, entonces 5 i también es raíz. Ahora, como el polinomio tiene tres raíces, entonces se puede escribir como: x 3 18x x 208 = (x (5+i))(x (5 i))(x α) donde α es la raíz que falta por conocer. Utilizando diferencia de cuadrados, el polinomio se puede escribir como: x 3 18x x 208 = (x 2 10x + 26)(x α) Por tanto: 3 2 x 18x + 106x 208 x α = 2 x 10x + 26 Haciendo la división de los polinomios se obtiene que α = 8. b) Como el polinomio p(x) = x 4 4x 3 3x x 4 tiene sólo coeficientes racionales entonces, si 2 3 es raíz implica que 2+ 3 también lo es. Para encontrar las dos raíces que nos faltan hay que fijarnos en los divisores de 4. Como los divisores son: ±1, ±2, y ±4 tenemos que evaluar la función en todos los puntos. Valor de x Valor de f(x) Por tanto las raíces son: 2, 2, 2+ 3 y

25 raíces de polinomios c) Para encontrar las raíces del polinomio: p(x) = x 4 + 2x 2 +1 observemos que la ecuación polinomial se puede escribir como x 4 + 2x = (x 2 +1) 2 = [(x+i)(x i)] 2 = 0 lo que implica que las raíces son i y i, y ambas son raíces con multiplicidad 2. Respuestas a los problemas propuestos 1. No, p(2) = a) x 5 8x x 3 332x x 400 b) x 6 7x 5 + 6x x 3 19x 2 75x Si ya que p(8)=0. 4. a) las raíces son 7+3i, 7 3i y 11 b) las raíces son 1 de multiplicidad 2, 3i y 3i 5. x1 = 4, x2 = 5, x3 = Las raíces son: 0, 2/3, 3/4, 1. Respuestas a la autoevaluación 1. b) 2. b) 3. c) 4. d) 5. a) 6. d) 7. a) 8. d) 23