Colegio Alpha y Omega Alotenango Sacatepèquez, Guatemala INTRODUCCIÓN

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN Bienvenido al más actual y moderno sistema de enseñanza de la Matemática. Este sistema rompe con todos los tabús existentes en este campo y hacen de esta materia, un sencillo juego de números, símbolos y leyes que por espacio de tres años divididos en tres ciclos de cuatro bimestres cada uno te llevarán por el emocionante mundo de la matemática Básica. Al finalizar este curso te garantizamos un excelente dominio del mismo y un éxito asegurado en cualquier carrera del nivel medio, ya que adquirirás los conocimientos sobre todas las áreas requeridas por el pensum del ministerio de Educación, con énfasis en los puntos más utilizados en el nivel Diversificado y Universitario. Cada uno de los puntos tiene un aplicación lógica de la vida real para que tu veas como se aplica en ejemplos y casos reales a nivel familiar y empresarial. El formato que seguirá este texto esta elaborado de acuerdo a la experiencia adquirida con los alumnos, utilizando un lenguaje adecuado y entendible sin desviarse de los conceptos técnicos. Cada tema tratado consta de una explicación detallada y entendible, Ejemplos de Aplicación y resolución y suficientes ejercicios y actividades que facilitan el dominio del mismo y una evaluación integral en la cual el alumno se demostrará así mismo su avance y dominio del tema tratado. Esperando disfrutes con la obtención de los conocimientos en compañía de tu instructor. Atentamente; f) César A. Melgar Prof. Cèsar Augusto Melgar B.c.melgar1@gmail.com 1

2 CONJUNTOS Cuando tu observas el mundo notas que hay grupos, familias, asociaciones, empresas, reuniones, agrupaciones que tienen o hacen posible un fin común. Todas ellas forman conjuntos. Por lo que podemos decir que un conjunto es: La unión, reunión, agrupación de personas, animales o cosas. Por lo que formar un conjunto es: Agrupar, juntar, reunir ó amontonar personas, animales o cosas. A las personas, animales ó cosas que forman un conjunto les vamos a llamar Elementos. Para denotar un conjunto vamos a utilizar Cualquier letra del Alfabeto en mayúscula seguida de un signo de igualdad (=) y a los elementos los vamos a encerrar entre unos signos de agrupación llamados llaves {}. Dos elementos iguales en un mismo conjunto no se pueden repetir Ejemplos: A= {a, e, i, o u} es el conjunto de las vocales B= {o. 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} es el conjunto de números dígitos Ejercicios: 1- Escribe 10 conjuntos diferentes Actividades: 1- Forma Conjuntos: En el patio de tu colegio, giraran en torno a tu instructor y el determinara el número de elementos con que formarás un conjunto de compañeros. Los alumnos que no logren integrarse a ningún conjunto saldrán del juego hasta que haya un grupo ganador. RELACIÓN DE PERTENENCIA: Decimos que un elemento determinado pertenece a un conjunto si y solo si esta incluido en ese conjunto, por lo que podemos decir que un elemento pertenece a un conjunto si esta incluido en él. La relación de pertenencia la representaremos con el símbolo y la relación de no pertenencia con. Ejemplos: Si observamos el conjunto de la vocales podemos deducir que: La vocal a pertenece al conjunto A a A La vocal i pertenece al conjunto A i A La consonante c no pertenece al conjunto A c A No olvidemos que un elemento pertenece a un conjunto determinado si esta incluido en ese conjunto. Ejercicios: Dados los siguientes conjuntos escriba en los espacios el signo de pertenencia o no pertenencia según sea el caso. Prof. Cèsar Augusto Melgar B.c.melgar1@gmail.com 2

3 A = {a, e, i, o, u} B = {c, d, f, j h, i} C = {do, re} D = {1, 3, 5, 7, 9} E = {2, 4, 6, 8, 10} 1- a B 2-4 E 3- do C 4-1 D 5- re C 6-4 E 7- u E 8- d B 9- a B 10 7 D 11- f E 12- o C 13- j D 14-5 C 15-4 B CLASES DE CONJUNTOS (CARDINALIDAD) Así como alrededor nuestro existen grupos formados por diversas cantidades de miembros, así también existen diversas clases de conjuntos. Conjunto Vacío: Es aquel que carece de elementos, es decir no tiene ningún elemento. Son ejemplos de conjuntos vacíos: El conjunto formado por todos lo triángulos que tienen cuatro lados El conjunto formado por todos los niños vivos y sin cabeza El conjunto de todos los perros que maúllan. El conjunto vacío lo representaremos así: Ø También lo podemos representar Así. A = {} Conjunto Unitario: Es aquel que tiene un solo elemento. Son ejemplos de conjuntos unitarios. A = {1} B = { } C = {do} D = {Carlos} Conjuntos Finitos: Son aquellos que tienen más de un elemento pero que estos puedan ser contados. Son ejemplos de conjuntos finitos: A0 {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,} El conjunto formado por todos los estudiantes de Guatemala Conjuntos Infinitos: Son aquellos conjuntos que tienen tantos pero tantos elementos que es imposible contarlos. Ejemplos: El conjunto formado por las estrellas del universo El conjunto formado por todos los granos de arena de los mares El conjunto formado por todos los números Conjunto Universo: Llamaremos conjunto universo a un súper conjunto que contiene o incluye a otros conjuntos. El conjunto Universo lo representaremos con U Ejercicios : Dados los siguientes conjuntos determine que clase de conjunto es: A = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Prof. Cèsar Augusto Melgar B.c.melgar1@gmail.com 3

4 B = {a} C = {} D = {estrellas del universo} E = {todos los guatemaltecos} FORMAS DE EXPRESAR CONJUNTOS Existen dos maneras de expresar conjuntos. Cuando escribimos dentro de las llaves todos y cada uno de los elementos, lo estamos haciendo en forma enumerativa. Notemos que para escribirlos enumerativa mente deberán colocarse todos y cada uno de los elementos. Son ejemplos de conjuntos escritos en forma enumerativa: A = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} B = {a, e, i, o, u} C = {do, re, mi, fa, sol, la, si} Cada elemento deberá escribirse separado de otro por una coma. No olvidemos que un mismo elemento no puede repetirse en un mismo conjunto. Forma Descriptiva: Cuando escribimos lo elementos de un conjunto tomando cono base o referencia una cualidad que tengan en común, lo estamos haciendo en forma descriptiva. Notemos que se debe tomar en cuenta algo que tengan en común todos y cada uno de los elementos. Son ejemplos de conjuntos escritos en forma descriptiva los siguientes. A = {x/x es un número dígito} B = {y/y es una vocal} C = {z/z es una nota musical} RELACION ENTRE LAS DOS FORMAS DE ESCRIBIR CONJUNTOS ENUMERTIVA DESCRIPTIVA EN COMUN A= { A, E, I, O, U} { X /X ES UNA VOCAL} Todas son vocales B= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} { y /y es un número dígito} todos son dígitos. C= {do, re, mi, fa, sol, la, si} {z/z es una nota musical} todas son notas musicales Prof. Cèsar Augusto Melgar B.c.melgar1@gmail.com 4

5 HOJA DE TRABAJO No. 1 Valor 10 puntos Instrucciones: En los cuadernillos de trabajo y tomando en cuenta el cuadro de cotejo resuelva los siguientes ejercicios. PRIMERA SERIE (valor 2 puntos) Instrucciones: Haz lo que se te pide 1- Escribe 10 conjuntos diferentes 2- Escribe 5 conjuntos vacíos 3- Escribe 5 conjuntos unitarios 4- Escribe 5 conjuntos finitos 5- Escribe 5 conjuntos infinitos SEGUNDA SERIE (valor 2 Puntos) Instrucciones: Dados los siguientes conjuntos determina si los elementos enumerados pertenecen o no pertenecen al conjunto, y escribe en el espacio en blanco el símbolo correcto. A= { 2, 3, 4, 5,} B= {a, e, i, o, u } C= { do, re, mi, fa} D= {1, 5, 7, 8} E= { sol. Luna. Estrella, cometa, meteorito} 1-2 B 2- a B 3- Sol E 4- do A 5-5 A 6- fa B 7- luna E 8-1 B 9- u C 10- cometa E TERCERA SERIE (valor 2 puntos) Instrucciones: Escribe los siguientes conjuntos en forma descriptiva 1- A= {a, e, i, o, u} 2- B= { do, re, mi, fa, sol, la, si } 3- C= {rojo, azul, amarillo} 4- D= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 5- E= {pulgar, índice, medio, anular, meñique Prof. Cèsar Augusto Melgar B.c.melgar1@gmail.com 5

6 CUARTA SERIE ( valor 2 puntos) Instrucciones: Escribe los siguientes conjuntos en forma enumerativa 1- A= { x /x es una letra de la palabra corazón} 2- B= {z/z es un número dígito par} 3- C= {y/y es una nota musical} 4- D= {a/a es un planeta del sistema solar} 5- D= {b/b es un país de Centroamérica} Tabla de Cotejo Contenidos Limpieza Primera serie Segunda serie Tercera Serie Cuarta Serie Trabajo completo Total Observaciones del Alumno al maestro: Observaciones del maestro al alumno: Prof. Cèsar Augusto Melgar B.c.melgar1@gmail.com 6

7 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión de Conjuntos: Trabajando con los conjuntos A y B, Decimos que la unión de A y B será el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, o que pertenecen a ambos conjuntos. La unión de conjuntos la representaremos con el símbolo. Ejemplos: Si U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {1, 2, 3} B = {2, 4, 5} Realizando A unión B, este conjunto nos queda asi: A B = {1, 2, 3, 4, 5} Aquí observamos que el numero 2 en el conjunto unión aparece una sola vez porque recordemos que un elemento no puede repetirse en el mismo conjunto. Ahora veamos como nos queda la grafica de esta operación: U A 0 B Observa que: 8 A B 1 El conjunto union se formo con todos los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B y para representarlos sombreamos los dos conjuntos con líneas oblicuas. 2 El numero de elementos del conjunto unión depende del numero de elementos de los conjuntos que se vallan a unir. Otro ejemplo nos queda asi: Si U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} D = {1, 2, 3, 4, 5} E = {2, 3, 6, 7} Prof. Cèsar Augusto Melgar B.c.melgar1@gmail.com 7

8 F = {1, 2, 6, 8} (D E) F =? Realizamos primero la operación (D E), y nos queda así: (D E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Luego realizamos la operación (D E) F, tomando los elementos del conjunto (D E) y los del conjunto F, y nos queda asi: (D E) F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Como podemos observar ningún elemento queda repetido. Ahora veamos como nos queda la grafica de esta operación de conjuntos: U 9 D E 0 (D E) F Ejercicios: En tu cuadernillo de trabajo, realiza la unión de los siguientes conjuntos y represéntalos por medio de Diagramas de Venn: U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} A = {a, b, c, d, e} B = {c, d, f, h} C = {a, d, f, j} Trabaja: a) A B b) B C c) A C d) (A B) C e) A (B C) Intersección de Conjuntos: Trabajando con los conjuntos A y B; decimos que la intersección de estos dos conjuntos, será el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B, en otras palabras; los elementos del conjunto intersección están en A y están en B al mismo tiempo. La intersección de conjuntos la indicaremos con el símbolo. Prof. Cèsar Augusto Melgar B.c.melgar1@gmail.com 8

9 Ejemplos: Sean: U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} A = {a, b, c, d} B = {a, c, e, f} C = {a, b, e, g} 1. A B 2. (A B) C Trabajando el ejemplo numero uno, la operación A B, nos queda asi: A B = {a, c} De esta manera formamos el conjunto intersección de estos dos conjuntos; ahora veamos como representamos en una grafica esta operación. U i g A b d a e B c f j h k A B Asi nos queda la grafica de esta operación y observamos que el conjunto intersección lo forman los elementos que se encuentra en la parte sombreada de la grafica. Resolvamos ahora el segundo ejemplo (A B) C: Primero realizamos (A B) = {a, c} Luego realizamos (A B) C = {a} En la segunda parte de la operación nos queda únicamente a, porque para realizar la operación tomamos el conjunto intersección de la primera operación realizada y el conjunto C. Prof. Cèsar Augusto Melgar B.c.melgar1@gmail.com 9

10 Ahora realicemos la grafica: U h A d a b c f B i g j C k (A B) C Es asi como realizamos la grafica de esta operación y observamos que la parte sombreada de la grafica esta formada solo por el elemento a ; vemos que este elemento es el único elemento que esta en los tres conjuntos, por lo que el conjunto intersección esta formado solamente por el elemento a. Prof. Cèsar Augusto Melgar B.c.melgar1@gmail.com 10