Torsión de Barras Circulares.

Transcripción

1 Torsión de Barras Cirulares. Inroduión Ese apíulo esá dediado al esudio de las ensiones y deformaiones angeniales en la seión ransversal de un elemeno (miembro) debido a la aión de un momeno de orsión (momeno en orno al eje longiudinal del elemeno). Ese esudio esará resringido a seiones irulares maizas y hueas. Hipóesis Básias para iembros Cirulares Considerar miembros de seión ransversal irular maiza o ubular. Una seión irular plana, perpendiular al eje del miembro, permanee plana después de apliada la orsión. En oras palabras, no iene lugar el alabeo o disorsión de planas normales al eje del miembro. En un miembro de seión irular someido a orsión, las deformaiones uniarias de ore γ varían linealmene desde el eje enral, alanzando su máximo valor γ max en la periferia de la seión (Fig. ). Se onsidera un maerial homogéneo y linealmene elásio. Deformaión de un miembro irular someido a orsión. Considerar la roaión relaiva de dos seiones irulares maiza adyaenes de radio de un elemeno de longiud L, al omo lo muesra la Fig.. x+ x x r x x γ max γ() Fig.. Roaión relaiva de dos seiones irulares adyaenes debido a orsión

2 De la geomería de la Fig. se obiene la siguiene relaión r φ dφ γ lim r () x 0 x dx La expresión anerior, debido a la hipóesis de la geomería de deformaión, es válida para ualquier valor de r al que r. demás, de la geomería de deformaión presenada en la Fig., se iene que un plano paralelo al eje longiudinal x roa en forma relaiva en un ángulo γ debido al ángulo φ. Por lo ano, si el plano enía forma de reángulo, luego de la roaión relaiva φ de la seión ransversal iene forma de rombo. Si la expresión de la E. () se disreiza, para pequeños valores de la deformaión γ se umple φ γ r () x donde φ y γ esán expresados en radianes. De la E. () se puede onluir lo siguiene: La deformaión de ore γ es proporional al ángulo φ La deformaión de ore γ es proporional a la disania r medida desde el eje del elemeno irular hasa el puno en onsideraión. La deformaión de ore γ varía linealmene on la disania medida desde el eje del elemeno irular La deformaión de ore γ máxima se da en la superfiie del elemeno (r ) φ γ max x (3a) r γ γ max (3b)

3 Tensiones debido a la Torsión en el Rango Elásio. Considerar la ley de Hooke para la ensión de ore τ τ Gγ (4) donde G es el módulo de rigidez o módulo de ore del maerial. Uilizando las Es. (3) y (4), se obiene τ r τ max (5) lo que india que la ensión de ore τ varía linealmene on la disania r medida desde el eje longiudinal del elemeno irular. Para el aso de una seión anular, se umple la siguiene relaión (Fig. ) (6) τ min τ max (a) y (b) z τ max τ min z Fig.. (a) Disribuión de ensiones angeniales debido a la orsión en una seión maiza y (b) en una seión anular 3

4 omeno de Torsión Inerno: y z τ xy r τ xz z τ y Fig. 3. Equilibrio en la seión ransversal debido a un momeno de orsión Considerar las ensiones que aúan en la seión ransversal mosrada en la Fig. 3. Por equilibrio, se deben umplir las siguienes relaiones τ d xz 0 (7a) τ d xy 0 (7b) ( y τ z) τ xz + xy d (7) rτ d (7d) r τ max r τ maxd r d (7e) τ max J (7f) donde J es el momeno polar de ineria on respeo a O (Fig. a). Uilizando Es. (5) y (7f), se obiene r τ ( r ) (8) J Las Es. (7) y (8) se onoen omo las fórmulas de la orsión elásia. Suponer que la seion irular ransversal esá ompuesa por dos maeriales diferenes. Se asume que 4

5 en la ineraión de ambos maeriales exise una ompaibilidad de deformaión por ore γ (Fig. 4). G < G b τ b τ Fig. 4. Comporamieno elásio de un miembro irular en orsión on núleo inerior de maerial blando Para el esudio de la orsión en miembro de seión ransversal irular, res onepos básios de la meánia de sólidos fueron apliados, que pueden resumirse de la siguiene manera: Las euaiones de equilibrio se usan para deerminar los pares de orsión resisenes inernos en una seión. La geomería de deformaión se posula de manera que las deformaiones varían linealmene desde el eje del miembro. Las leyes onsiuivas del maerial se usan para relaionar las deformaiones uniarias oranes on las ensiones de ore. Considerar un elemeno irular someido a un momeno de orsión, al omo muesra la Fig. 5. Si se aísla un elemeno infiniesimal del sólido someido a orsión (Fig. 5a), exise una ensión angenial τ x (aúa en el plano definido por x) que genera el momeno de orsión resulane en la seión. Como se ha viso aneriormene, exise una ensión angenial numériamene igual a τ x que aúa en un plano perpendiular (plano definido por y). Por equilibrio de fuerzas, exisen ensiones angeniales que aúan en los planos definidos por x y y del elemeno infiniesimal (Fig. 5a). El esado de ensiones esudiado es de ore puro. Sin embargo, las ensiones prinipales aúan en planos orienados a 45º on respeo al eje del elemeno irular (Fig. 5b). Esas ensiones son iguales en valor absoluo pero de signo onrario enre sí, e iguales en valor absoluo a las ensiones angeniales (esado de ore puro). 5

6 Plano yz (a) (b) Fig. 5. (a) Esado de ensiones de un elemeno diferenial su un sólido someido a orsión; (b) ensiones prinipales Observaiones: Cuando el análisis se limia al esudio de elemenos difereniales orienados de al forma que sus superfiies son paralelas o perpendiulares al eje longiudinal del elemeno, en esas superfiies se desarrolla un esado de ensiones de ore puro. Si el elemeno diferenial se roa en 45º, se enuenra un esado de ensiones que orresponden a ensiones de raión y ompresión en las superfiies del elemeno diferenial roado. Los maeriales dúiles generalmene fallan a ore. Fallan en un plano perpendiular al eje longiudinal del elemeno por efeo de la orsión. Los maeriales frágiles presenan una menor apaidad a raión que la ore. Por lo ano, fallan en planos perpendiulares a la direión de máxima ensión de raión. ngulo de Torsión en iembros Cirulares El ángulo de orsión en elemenos someidos a orsión iene inerés en su deerminaión para esudiar efeos ales omo: Conrol de deformaiones nálisis de vibraiones orsionales Esudio de problemas indeerminados de orsión. 6

7 Considerar el elemeno diferenial de la Fig. 6 que perenee a un elemeno irular maizo someido a una orsión. Fig. 6. Elemeno diferenial de un miembro irular someido a orsión sumiendo que el maerial iene un omporamieno elásio lineal y que las deformaiones son pequeñas, se obiene las siguienes relaiones geomérias, DD γ dx dφ γ max max dφ dx Uilizando las Es. (4) y (8), se obiene la relaión siguiene dφ dx (9) La expresión anerior permie deerminar el ángulo relaivo de orsión de dos seiones adyaenes separadas por una disania infiniesimal dx. Por lo ano, B B φ B φ dφ dx (0) donde φ B y φ son las roaiones angulares de las seiones B y respeivamene. En general puede ser que orsión, G y J sean funión de la variable x. 7

8 Problemas Esáiamene Indeerminados en Torsión. Conepos Preliminares La E. (9) permie deerminar el giro relaivo φ enre dos seiones debido a un momeno de orsión. Supongamos que esas dos seiones esán separadas una disania L, y que lo érminos, G y J son onsanes a lo largo del eje longiudinal de la barra. De la auerdo a la E. (9), el valor de φ esá dado por φ L Se define omo rigidez a la orsión k al érmino k φ L (a) La rigidez a la orsión represena el momeno de orsión neesario para generar una roaión de radian. El reíproo de k se define omo la flexibilidad a la orsión f, que se define omo la roaión que resula al apliar un momeno de orsión uniario. f L (b) k Indeerminaión Esáia En las seiones aneriores se esudió que para deerminar las ensiones angeniales en una seión deerminada, era neesario onoer el momeno inerno de orsión resulane sobre diha seión. Ese momeno inerno se obiene mediane las euaiones de la esáia (diagrama de esfuerzo inerno). Hay siuaiones, sin embargo, donde el momeno de orsión inerno no puede deerminarse úniamene on las euaiones de la esáia. Las euaiones de equilibrio deben omplemenarse on relaiones que involuren las deformaiones del miembro y que se obengan onsiderando la geomería del problema. Debido a que la esáia no es sufiiene para deerminar los esfuerzos inernos, se die que el miembro es esáiamene indeerminado. 8

9 Se puede lasifiar la indeerminaión esáia de un problema en una indeerminaión inerna o una indeerminaión exerna. Una indeerminaión exerna es uando mediane las euaiones de la esáia, no se pueden alular las reaiones del miembro. Por ejemplo un elemeno someido a un momeno de orsión enre nodos doblemene emporados. En ese aso, exise una euaión de equilibrio y dos inógnias (reaiones). Para resolver ese problema se puede seguir el siguiene proedimieno (méodo de flexibilidad): Reduir el problema a uno esáiamene deerminado, eliminando una de las reaiones redundanes. Se alula el ángulo de roaión φ 0 debido a la aión de las argas exernas en el lugar donde originalmene esaba la reaión eliminada. Se alula el ángulo de roaión φ debido a la aión de la reaión eliminada onsiderada omo arga exerna, en el lugar donde originalmene esaba esa reaión. Se aplia el onepo de ompaibilidad de deformaiones: φ 0 + φ 0. De esa manera se obiene una segunda euaión, en érminos, de las argas apliadas y de la reaión elegida ( eliminada ) que permie enonrar los diagramas de esfuerzos inernos. También exise una indeerminaión esáia, uando a pesar que la(s) reaión(es) es onoida, no se puede deerminar la disribuión inerna de los esfuerzos debido a que el elemeno en esudio esá ompueso por dos o más elemenos o formado por dos o más maeriales. ese ipo de indeerminaión se la llama indeerminaión inerna. Para resolver ese problema se puede seguir el siguiene proedimieno (méodo de rigidez): En la unión de ambos elemenos o maeriales, el ángulo de orsión es el mismo para ada pare onsiuyene del miembro. Para onsiuyene del miembro se umple ( k ) i ( ) i φ (a) 9

10 donde i orresponde al i-ésimo onsiuyene del miembro someido a orsión. Por lo ano, el momeno de orsión inerno resulane esá dado por la expresión n n i i i ( k ) ( ) φ (b) i Considerando que el ángulo de orsión es el mismo es el mismo para ada pare onsiuyene del miembro y uilizando las expresiones aneriores, se dedue que la rigidez equivalene del miembro es la suma de las rigidees individuales de sus onsiuyenes. Por lo ano, el momeno de orsión ( ) i de ada onsiuyene del miembro esá dado por ( ) i n i ( k ) ( k φ) i i () Energía de Deformaión Debido a la Torsión Considerar un elemeno de maerial elásio-lineal lineal, someido a un momeno de orsión en orno a su eje longiudinal, el inremeno de la energía de deformaión inerna du, esá dado por du τdxdzγdy τγdv (3) Considerando la ley de Hooke (E. 4) y la relaión enre la ensión de ore τ y el momeno dado por la E. (8), la energía de deformaión debido a la orsión esa dada por U U ( ) r ( ) dv V l ( ) dl l r ddl (4a) (4b) 0