Problemas de Geometría Proyectiva

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1 Problemas de Geometría Proyectiva José M. Sánchez Abril José M. Rodríguez-Sanjurjo, Jesús M. Ruiz 1995 * I. VARIEDADES PROYECTIVAS Número 1. Se consideran en el plano proyectivo P 2 los cuatro puntos a 0 = (1 : 0 : 1), a 1 = (0 : 2 : 1), a 2 = (0 : 0 : 1) y a 3 = (1 : 1 : 0). (1) Comprobar que R = {a 0, a 1, a 2 ; a 3 } es una referencia proyectiva, y buscar una base asociada a ella. (2) Calcular las coordenadas homogéneas respecto a R de los dos puntos (1 : 2 : 1) y (1 : 1 : 1). (3) Calcular las coordenadas homogéneas respecto a R de un punto arbitrario (x 0 : x 1 : x 2 ). Número 2. Sea R = {a 0, a 1, a 2 ; a 3 } una referencia proyectiva de P 2. (1) Mostrar que cualquier reordenación suya R es también una referencia proyectiva. (2) Calcular la matriz del cambio de referencia entre dos reordenaciones cualesquiera. Se obtiene siempre la misma matriz? Se obtienen siempre matrices distintas? Número 3. Comprobar que los tres puntos (1 : 2 : 2), (3 : 1 : 4) y (2 : 1 : 2) de P 2 están alineados, y determinar una ecuación de la recta que pasa por ellos. Número 4. En el plano proyectivo P 2 hallar: (1) El punto de intersección de la recta r que pasa por los puntos (3 : 1 : 2) y (1 : 5 : 3) y la recta s de ecuación 2x 0 3x 1 4x 2 = 0. (2) La ecuación de la recta que pasa por el punto (1 : 2 : 2) y el punto de corte de las rectas 2x 0 3x 1 + 7x 2 = 0 y 5x 0 + 2x 2 = 0. Número 5. En el espacio proyectivo P 3 hallar: (1) La ecuación del plano que contiene a la recta r : x 0 x 1 + x 2 = 0 = x 1 2x 2 + x 3 y al punto p = (1 : 2 : 0 : 1). (2) La ecuación del plano que pasa por los puntos (1 : 0 : 1 : 1), ( 1 : 0 : 3 : 2) y (5 : 2 : 0 : 1). (3) Las ecuaciones de la recta que se obtiene al cortar el plano del apartado (2) con el plano que pasa por los puntos (1 : 1 : 1 : 2), (1 : 0 : 0 : 1) y (0 : 0 : 1 : 0). Número 6. Se consideran en el plano proyectivo P 2 las dos referencias proyectivas: R = {(2 : 0 : 1), (1 : 1 : 0), (1 : 1 : 1); (1 : 0 : 1)}, y * Revisión

2 R = {(1 : 1 : 1), (0 : 1 : 1), (1 : 0 : 1); (2 : 2 : 3)}. Se considera asímismo la recta r P 2 que pasa por los puntos a y b, cuyas coordenadas respecto de la primera referencia son (1 : 0 : 1) y (2 : 1 : 0), respectivamente. (1) Calcular una ecuación de r respecto de R. (2) Calcular las coordenadas de a y b respecto de R, y la ecuación de r respecto de R. (3) Calcular las ecuaciones del cambio de referencia de R a R. (4) Utilizar esas ecuaciones de cambio para obtener la ecuación de r respecto de R a partir de la ecuación respecto de R. Número 7. Se consideran en P 3 los puntos a = (1 : 2 : 1 : 1), a = (1 : 1 : 2 : 1), b = (3 : 0 : 1 : 1) y b = ( 1 : 1 : 0 : k), donde k es un escalar. Sean r la recta que pasa por a y a y s la que pasa por b y b. Determinar k para que r s, y calcular V (r, s). Número 8. En P 4 se considera la variedad X generada por los puntos (1 : 0 : 1 : 0 : 1), (0 : 1 : 0 : 1 : 1) y (2 : 2 : 2 : 1 : 2), y la variedad Y de ecuaciones x 0 x 1 + x 4 = 0 = 2x 0 + x 2 x 3. Calcular las variedades X Y y V (X, Y ). Número 9. En cada uno de los casos siguientes encontrar una ecuación de la recta del plano proyectivo complejo P 2 (C) que pasa por los dos puntos dados: (a) ( 1 : 1 : 1), (1 : 3 : 2i); (b) (1 : 1 : i), (i : 1 : 1); (c) (1 : 1 : 2i), (1 : 2 : 2i); (d) ( 1 : 1 : i), (1 : 1 : i). Número 10. Determinar si las rectas siguientes de P 3 se cruzan o son incidentes: r : x 0 x 1 + x 2 = 0 = x 1 2x 2 + x 3, s : x 0 + x 2 3x 3 = 0 = x 0 2x 1 2x 2. Número 11. Demostrar que dadas tres rectas cualesquiera r, r y r de P 4 que no están contenidas en un mismo hiperplano y que son disjuntas dos a dos, existe una recta única que corta a las tres rectas r, r y r. Número 12. En el espacio proyectivo P 3 determinar la variedad proyectiva intersección de los tres planos de ecuaciones respectivas π 1 : 3x 0 3x 1 +x 2 5x 3 = 0; π 2 : 5x 0 +3x 1 5x 2 +x 3 = 0, y π 3 : 3x 0 +3x 1 4x 2 +2x 3 = 0. Determinar la dimensión de ese subespacio proyectivo. II. APLICACIONES PROYECTIVAS Número 13. Estudiar si la aplicación proyectiva f : P 3 P 3 de ecuaciones 0 = x 0 1 = x 3 2 = x 2 3 = x 3 2

3 es una proyección cónica. Calcular las imágenes y las imágenes inversas del punto p = (1 : 1 : 0 : 1) y de la recta r : x 1 = 0 = x 0 + x 2 + x 3. Número 14. Hallar la matriz que respecto del sistema de referencia estándar de P 1 tiene la homografía f : P 1 P 1 tal que f(1 : 2) = (7 : 5), f(3 : 1) = (9 : 5), f( 2 : 1) = (8 : 5). Determinar los puntos fijos de f. Número 15. Determinar la homografía del plano proyectivo real P 2 que transforma los puntos (1 : 0 : 0), (1 : 1 : 0), (0 : 2 : 1) y (3 : 3 : 1) en los puntos (1 : 0 : 1), (0 : 2 : 1), (0 : 0 : 1) y (1 : 1 : 0), respectivamente. Número 16. Una homografía del plano proyectivo real P 2 transforma las rectas de ecuaciones x 0 = 0, x 1 = 0 y x 2 = 0 en las rectas de ecuaciones x 0 x 1 + x 2 = 0, x 0 + 2x 2 = 0 y x 0 + x 1 = 0 respectivamente. Además deja fijo el punto (1 : 1 : 1). Determinar la expresión analítica de dicha homografía. Número 17. Sean a 0, a 1, a 2 y a 3 cuatro puntos distintos de la recta proyectiva real P 1. Demostrar que hay una homografía única de P 1 que transforma los puntos a 0, a 1, a 2 y a 3 en los puntos a 2, a 3, a 0 y a 1, respectivamente. Número 18. Sean a 0, a 1, a 2 y a 3 cuatro puntos distintos del plano proyectivo real P 2 tales que la variedad proyectiva V (a 0, a 1, a 2 ) no pasa por a 3. Demostrar que existe una homografía de P 2 que transforma los puntos a 0, a 1, a 2 y a 3 en los puntos a 1, a 2, a 0 y a 3, respectivamente. Es única esa homografía? Número 19. En el plano proyectivo real P 2 se consideran las referencias proyectivas R = {a 0, a 1, a 2 ; a 3 } y R = {a 2, a 3, a 1 ; a 0 }. Determinar, respecto de la referencia proyectiva R, la expresión analítica de la homografía que transforma R en R. Determinar la expresión analítica de la misma homografía respecto de la referencia R = {a 3, a 2, a 0 ; a 1 }. Número 20. Se denota {a 0, a 1, a 2, a 3 ; a 4 } la referencia proyectiva estándar de P 3, y se consideran los puntos: b 1 = (1 : 1 : 0 : 1), b 4 = (2 : 1 : 1 : 0) Mostrar que R = {a 0, b 1, a 3, a 2 ; b 4 } es una referencia proyectiva, y calcular respecto de ella las ecuaciones de la homografía f : P 3 P 3 tal que f(a 0 ) = (1 : 1 : 0 : 1), f(b 1 ) = (1 : 0 : 1 : 0), f(a 3 ) = (0 : 0 : 1 : 1), f(a 2 ) = a 3, f(b 4 ) = a 1. Número 21. En P 2 se consideran el punto a = (1 : 2 : 1) y la recta r : x 0 + x 1 x 2 = 0. Encontrar la expresión analítica de la proyección cónica de centro a e imagen r. Número 22. Determinar las ecuaciones de la proyección cónica de P 3 sobre el plano de ecuación x 0 + x 1 + x 2 + x 3 = 0, de centro (1 : 0 : 1 : 0). Determinar también las ecuaciones de la imagen inversa del punto (1 : 1 : 1 : 1) y del hiperplano x 0 + x 1 = 0. 3

4 Número 23. En el espacio proyectivo real P 3 se consideran las rectas r de ecuaciones x 0 x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 = x 1 2x 2 + x 3 y r de ecuaciones x 0 + x 2 = 0 = x 1 x 2 + x 3. Hallar la expresión analítica de la proyección cónica de P 2 sobre la recta r, de centro la recta r. Número 24. Sean r y s dos rectas distintas del plano proyectivo real P 2 y sean P y Q dos puntos distintos que no están ni en r ni en s. Se consideran las aplicaciones f : r s y g : s r definidas por: para cada punto A de r, f(a) es el punto de corte de s con la recta que pasa por P y A, y para cada punto B de s, g(b) es el punto de corte de r con la recta que pasa por Q y B. Demostrar que la composición h = g f es una homografía de la recta r. Obtener una expresión analítica de h respecto de la referencia proyectiva R = {a 0, a 1 ; a 2 } de r, siendo r la recta de ecuación x 0 + x 1 = 0, s la recta de ecuación x 0 x 1 = 0, P = (1 : 0 : 0), Q = (2 : 0 : 1), a 0 = (1 : 1 : 1), a 1 = (1 : 1 : 0) y a 2 = (0 : 0 : 1). III. RELACIONES ENTRE ESPACIO AFÍN Y PROYECTIVO Número 25. Comprobar que R = {(1, 2, 1); (1, 1, 0), (2, 1, 3), (0, 0, 1)} es una referencia cartesiana del espacio afín real A 3. Hallar la referencia proyectiva R asociada a R y las coordenadas respecto de R de un punto arbitrario de P 3. Número 26. Sea f la aplicación afín de A 2 en A 3 determinada por las condiciones f(1, 0) = (2, 2, 0), f( 1, 1) = (0, 1, 1) y f(1, 2) = ( 2, 0, 2). Hallar la expresión analítica de la extensión proyectiva f de f, y el centro y la imagen de f. Número 27. Una afinidad f del plano afín A 2 transforma p = ( 1, 3) en p = (1, 2), y p en p = (3, 1), y tiene una recta de puntos fijos paralela a la recta que pasa por p, p y p. Además, la extensión proyectiva f de f trasforma la recta x 0 + x 1 + x 2 = 0 en la recta x 0 + x 1 + 4x 2 = 0. Encontrar las ecuaciones de f y f. Número 28. En un plano proyectivo P se considera la figura siguiente: F R = {A, B, F ; G} D C G A B E Sea A el plano afín P \ V (B, C). (1) Demostrar que R = {A, B, F ; G} es la referencia proyectiva asociada a una referencia cartesiana R a de A. Hallar las coordenadas de los puntos D y E respecto de R a. (2) Hallar las coordenadas del punto D respecto de la referencia {A, E, G} de A, y las del punto A respecto de la referencia {G, E, D}. Número 29. Con los datos del número precedente, sean f la homografía de P que transforma A, B, F, G en E, B, F, D, y g la que transforma A, B, C, D en E, F, B, G. 4

5 (1) Obtener las expresiones analíticas de f y g respecto de la referencia R. (2) Comprobar que hay aplicaciones afines A A cuyas extensiones proyectivas son f y g. Número 30. Sea r una recta proyectiva y R = {a 0, a 1 ; a 2 } una referencia proyectiva suya; sea a r el punto de coordenadas (2 : 1) respecto de R. En la recta afín r \ {a 0 } se considera la referencia cartesiana R a = {a; aa 2 }. Determinar la referencia proyectiva R a de r asociada a la referencia cartesiana R a, la matriz del cambio de coordenadas de R a R a y la coordenada del punto a 1 respecto de R a. Número 31. Consideramos en el plano proyectivo P 2, la recta r de ecuación x 0 + x 1 + x 2 = 0 respecto de la referencia proyectiva estándar R. En el plano afín P 2 \ r tenemos la referencia cartesiana R = {a 0 ; a 0 a 1, a 0 a 2 }, siendo a 0 = (1 : 1 : 1), a 1 = (1 : 2 : 0) y a 2 = (2 : 0 : 1); denotamos por (y 1, y 2 ) las coordenadas de un punto p P 2 \ r respecto de R. (1) Expresar las coordenadas (y 1, y 2 ) en función de las coordenadas (x 0 : x 1 : x 2 ) de p en P 2 respecto de R. (2) Hallar el punto medio del segmento pq donde p = (2 : 1 : 1) y q = (0 : 2 : 1), gráficamente y en coordenadas. Número 32. En el plano proyectivo P 2 sea r la recta de ecuación 3x 0 x 1 + 2x 2 = 0 y consideremos el plano afín P 2 \ r. Hallar la ecuación de la recta afín que pasa por los puntos (1 : 2 : 3) y (2 : 1 : 5), respecto de la referencia cartesiana {a 0 ; a 0 a 1, a 0 a 2 } de P 2 \ r, donde a 0 = (0 : 1 : 1), a 1 = (1 : 0 : 1) y a 2 = (0 : 3 : 1). Número 33. Consideramos el plano afín P 2 \r, donde r es la recta de ecuación x 0 +x 1 +x 2 = 0 y la traslación definida por el vector pq con p = (1 : 1 : 0) y q = (0 : 1 : 1). Hallar la expresión analítica de la extensión proyectiva de la traslación. Número 34. De una homografía del plano proyectivo P 2 se sabe que en el plano afín x 0 x 2 0 determina una homotecia de centro (1 : 2 : 3) y razón 1. Dar unas ecuaciones de la homografía. Número 35. Sea A 2 el plano afín P 2 \ r, donde r es la recta de P 2 de ecuación x 1 x 2 = 0. Sea h : A 2 A 2 la homotecia de centro (1 : 0 : 1) que transforma el punto (1 : 1 : 1) en el punto (2 : 1 : 2). Hallar la razón de h y una expresión analítica de la extensión proyectiva h de h. Número 36. Sea f la homografía del plano proyectivo real P 2 definida por 0 = x 1 + x 2 1 = x 0 + x 2 2 = x 0 + x 1 Demostrar que f tiene una recta r de puntos fijos y que la restricción de f al plano afín P 2 \ r es una homotecia. Hallar el centro y la razón de dicha homotecia. Número 37. en E, C, F, A. Con los datos del número 28, sea h la homografía de P que trasforma A, E, C, F 5

6 (1) Escribir las ecuaciones de h respecto de la referencia proyectiva R. (2) Mostrar que h 2 es la extensión proyectiva de una homotecia ϕ del plano afín P \V (B, D) (3) Escribir las ecuaciones de ϕ respecto de la referencia {A, E, F }. (4) Cuál es el centro y cuál la razón de ϕ? Número 38. En P 2 se consideran los puntos a 0 = (1 : 1 : 0), a 1 = (0 : 1 : 1), a 2 = (2 : 1 : 2) y a 3 = (1 : 1 : 1). Determinar una recta r tal que en el plano afín P 2 \ r se verifique a 3 = a 0 + a 0 a 1 + a 0 a 2. Determinar las coordenadas cartesianas del punto (1 : 0 : 0) en la referencia cartesiana {a 1 ; a 0 a 1, a 0 a 2 } de P 2 \ r. Número 39. Sea f la proyección cónica de P 2 sobre el plano x 0 = 0 con centro (1 : 0 : 1 : 0). Hallar unas ecuaciones de la proyección paralela inducida por f en el complementario del plano x 0 x 2 = 0. IV. RAZÓN DOBLE Número 40. Se consideran en P 1 los cuatro puntos A = (1 : 1), B = (3 : 1), C = (1 : 0) y D = (2 : 1). (1) Calcular la razón doble [A, B, C, D]. (2) Dado un escalar k, hallar el punto D k P 1 tal que [A, B, C, D k ] = k. Número 41. Se consideran en el plano proyectivo real P 2 los puntos A = (1 : 1 : 0), B = (0 : 1 : 1) y C = (1 : 1 : 2). Hallar otros dos puntos C y D tales que [A, B, C, D] = 1/2 y [A, B, C, D] = 2/3. Número 42. En un plano proyectivo P 2 se consideran los cuatro puntos A = (1 : 0 : 0), B = (1 : 1 : 1), C = (0 : 1 : 1) y D = ( 2 : 1 : 1). Comprobar que están alineados y calcular la razón doble [A, B, C, D]. Hallar el punto A P 2 tal que [A, B, C, D] = 1. Número 43. Se consideran en la recta proyectiva real P 1 los cuatro puntos siguientes: a = (1 : 0), b = (0 : 1), a = (1 : 1), c = (1 : 1). Mostrar que no existe ningún par de puntos c, d de manera que las dos cuaternas a, b, c, d y a, b, c, d sean armónicas. Número 44. Sean A, B y C tres puntos distintos de una recta afín r, cuya completada proyectiva es la recta proyectiva r = r {D }. Demostrar que [A, B, C, D ] = 1 en r si y sólo si C es el punto medio del segmento AB en r. Número 45. En una recta afín r se toman cuatro puntos distintos A, B, C y D; en una referencia cartesiana de r de origen el punto P 0 las coordenadas de los cuatro puntos son a, b, c y d, respectivamente. Demostrar: (1) Si P 0 es el punto A, entonces la razón doble [A, B, C, D] = 1 si y sólo si 2 b = 1 c + 1 d. (2) Si P 0 es el punto medio del segmento AB, entonces la razón doble [A, B, C, D] = 1 si y sólo si a 2 = c d. 6

7 Número 46. En una recta proyectiva r se tienen tres puntos a, c, d, y se construye una sucesión (b n ) según la configuración siguiente: r a b 3 b2 b 1 c d Calcular la razón doble [a, b n, c, d]. Número 47. Sea R = {a 0, a 1, a 2 ; a} una referencia proyectiva del plano proyectivo real P 2. Sean a 3 el punto de corte de las rectas V (a 0, a) y V (a 1, a 2 ), a 4 el punto de corte de las rectas V (a 0, a 1 ) y V (a 2, a), a 5 el punto de corte de las rectas V (a 1, a) y V (a 3, a 4 ) y a 6 el punto de corte de las rectas V (a 0, a 2 ) y V (a 3, a 4 ). a 6 a 2 a a 3 a 0 a 4 a 5 a 1 Calcular la razón doble [a 3, a 4, a 5, a 6 ]. Número 48. En el espacio proyectivo real P 3 se consideran los puntos A = (1 : 1 : 1 : 1), B = ( 1 : 2 : 2 : 1) y C = (2 : 1 : 1 : 2), y el plano H de ecuación x 0 + x 1 x 2 = 0. (1) Demostrar que los puntos A, B y C están en una recta proyectiva r, hallar el punto de corte D del plano H y la recta r, y calcular la razón doble [A, B, C, D]. (2) Determinar las ecuaciones de la aplicación proyectiva de P 3 en sí mismo que deja fijos los puntos del plano H y el punto C, y transforma A en B. Número 49. Calcular, por dos métodos distintos, la razón doble [a, b, c, d] de las cuatro rectas siguientes de P 2 : a : x 0 x 1 + 2x 2 = 0, b : x 0 + x 1 x 2 = 0, c : 2x 0 4x 1 + 7x 2 = 0, d : 5x 0 + x 1 + x 2 = 0 7

8 Número 50. Hallar, por dos métodos distintos, la razón doble [H 1, H 2, H 3, H 4 ], de los siguientes hiperplanos del espacio proyectivo P 3 : H 1 : x 1 + 3x 2 = 0, H 2 : x 2 = 0, H 3 : 5x 1 x 2 = 0, H 4 : 4x 1 3x 2 = 0. Número 51. Sean A, B, C y D cuatro puntos alineados y A, B, C y D otros cuatro puntos también alineados de P 2, y tales que [A, B, C, D] = [A, B, C, D ]. (1) Demostrar que si las rectas V (A, A ), V (B, B ) y V (C, C ) son concurrentes, entonces la recta V (D, D ) también pasa por el punto de concurrencia. (2) Demostrar que si A y A son el mismo punto, entonces las rectas V (B, B ), V (C, C ) y V (D, D ) son concurrentes. V. HOMOGRAFÍAS Número 52. Una homografía h de la recta proyectiva P 1 deja fijos los puntos A = (1 : 0) y B = (1 : 1). También se sabe que la razón doble [A, B, C, h(c)] = 2, donde C es el punto (1 : 1). Obtener la expresión analítica de h en la referencia proyectiva estándar. Número 53. Determinar la expresión analítica de una homografía de la recta proyectiva real P 1 de la que se sabe que tiene un punto fijo único, el punto (0 : 1), y que transforma el punto (1 : 2) en el punto (2 : 5). Número 54. Sea h la homografía de P 1 que transforma los puntos A, B y C en los puntos A, C y D, donde A = (1 : 0), B = (0 : 1), C = (1 : 1) y D = (2 : 3). Qué transformación induce h en la recta afín P 1 \ {A}? Dar la matriz de esta transformación afín respecto de la referencia cartesiana {B; CB} y la coordenada del punto imagen del punto D en la referencia cartesiana {C; BC}. Número 55. ecuaciones Determinar las variedades invariantes de la homografía f de P 2 definida por las 0 = 2x 1 + 4x 2 1 = 9x 0 6x 1 2 = 6x 2 Hallar una referencia respecto de la cual la matriz de f tenga forma de Jordan. Número 56. Se consideran las siguientes propiedades de una homografía del plano proyectivo real P 2 : (i) Transforma el punto (1 : 0 : 0) en el cuarto armónico de los puntos (0 : 3 : 2), (1 : 1 : 1) y (2 : 1 : 0), (ii) Deja fijo el punto (1 : 0 : 1), y (iii) Su restricción a la recta r : x 0 x 1 + x 2 = 0 es una homografía involutiva sin puntos fijos. Dar las ecuaciones de todas las homografías que cumplen las tres propiedades. Cuáles son sus formas de Jordan? 8

9 Número 57. Determinar la homografía de P 2 que deja fijos los puntos (2 : 0 : 1), (0 : 1 : 1) y (0 : 0 : 1), y transforma el punto (1 : 1 : 1) en el punto (4 : 6 : 5). Número 58. Determinar una homología del plano proyectivo real P 2, sabiendo que su base es la recta de ecuación x 0 + x 1 2x 2 = 0, su vértice es el punto (1 : 1 : 0), y transforma el punto (0 : 1 : 1) en el punto (1 : 0 : 1). Número 59. Demostrar que las homografía de P 2 definidas por 0 = 3x 0 f : 1 = 3x 0 = x 1 + x 2 1 y g : 2 = x 1 = x 0 + x 2 0 2x 1 + x 2 2 = x 0 + x 1 son homologías. Hallar sus variedades invariantes. Número 60. Una homología de P 2 de característica 1/2 transforma la recta de ecuación x 0 + x 1 + x 2 = 0 en la recta de ecuación x 0 x 1 = 0 y deja invariante la recta x 1 = 0. Determinar su expresión analítica sabiendo que su base es la recta 2x 0 + x 2 = 0. Número 61. Determinar una homología de P 2 de la que se sabe que su vértice es un punto de su base, y que transforma las rectas de ecuaciones x 0 + x 1 = 0 y x 0 x 1 = 0 en las rectas x 0 + x 2 = 0 y x 0 x 2 = 0, respectivamente. Número 62. Para cada escalar k, se considera la homografía de P 2 dada por: 0 = kx 0 + x 1 + x 2 f k : 1 = x 0 + x 2 2 = x 0 + x 1 Determinar los valores de k para los que f k es una homología, y en cada caso su vértice, su base y su característica. Número 63. Una homografía involutiva h de P 2 deja invariantes los puntos (1 : 1 : 0) y (0 : 1 : 0), y la recta x 0 + x 1 + 3x 2 = 0, que pasa por el primero de ellos. Además, h trasforma (0 : 3 : 1) en (4 : 1 : 1). Precisar si h está determinada de manera única, y de qué tipo es su matriz de Jordan. Determinar sus rectas invariantes. Número 64. Para cada a R, sea h = h a la homografía de P 2 definida por las ecuaciones 0 = x 0 + x 2 1 = x 0 + ax 1 + x 2 2 = x 0 + 3x 2 (1) Hallar la forma de Jordan de h. (2) Hallar la base y el vértice de h cuando h es una elación. (3) Sabiendo que una de las homografías anteriores deja invariante la recta r que pasa por los puntos a = (0 : 1 : 4) y b = (1 : 0 : 1), obtener la matriz de la restricción de esa homografía a r, en la referencia {h 1 (a), a; b} 9

10 Número 65. (1) En el espacio proyectivo real P 3 se considera el plano de ecuación π : x 0 + x 1 2x 2 = 0. Una homografía g de π deja fijo el punto (2 : 0 : 1 : 0), trasforma el punto (0 : 2 : 1 : 1) en el punto (0 : 2 : 1 : 3), éste en el punto (8 : 6 : 1 : 5), y el punto (1 : 1 : 0 : 1) en el punto (4 : 4 : 0 : 3). Determinar la forma de Jordan y las variedades invariantes de f, expresándo éstas en la referencia proyectiva estándar de P 3. (2) Calcular la matriz respecto de la referencia proyectiva estándar de la homografía f de P 3 que induce g en el plano π, y deja fijos los puntos de la recta x 1 = 0 = x 3. (3) Describir las variedades invariantes y la forma de Jordan de f. Número 66. Sea f la homografía f de P 3 definida por las ecuaciones 0 = 2x 0 + x 1 + 3x 3 1 = x 1 2 = 3x 0 + x 2 3x 3 3 = x 1 + x 3 (1) Comprobar que el plano π : x 1 + 2x 3 = 0 es invariante, y hallar la matriz de f π, en una referencia formada por los puntos (0 : 0 : 1 : 0), (0 : 2 : 0 : 1) y sus sucesivas imágenes. (2) Determinar las rectas invariantes de f contenidas en π. (3) Obtener la forma de Jordan y las variedades invariantes de f. VI. CORRELACIONES Número 67. Sea f la correlación de P 2 de ecuaciones 0 = x 0 + x 2 1 = x 1 + 2x 2 2 = x 0 + 2x 1 Hallar las imágenes mediante f de la recta r : x 1 x 2 = 0 y del punto (1 : 2 : 3). Número 68. Sea f la correlación de P 3 de ecuaciones 0 = 2x 2 1 = x 2 x 3 2 = 2x 0 x 1 + 3x 3 3 = x 1 + 3x 2 Hallar las imágenes mediante f del plano π : x 0 x 1 = 0, de la recta r : x 0 x 1 = 0 = x 2 + x 3 y del punto (1 : 1 : 0 : 0). Número 69. Determinar la expresión analítica de una correlación de P 2 que transforma los puntos (1 : 0 : 0), (1 : 2 : 1), (0 : 2 : 1) y (1 : 2 : 0) en las rectas de ecuaciones x 0 x 1 = 0, x 0 + x 2 = 0, x 0 x 1 + x 2 = 0 y x 0 = 0, respectivamente. Hallar el punto transformado de la recta x 0 = 0. Número 70. Una correlación de P 2 transforma las rectas x 0 x 1 = 0, x 0 + x 2 = 0 y x 0 x 1 + x 2 = 0 en los puntos (1 : 1 : 0), (1 : 1 : 2) y (0 : 1 : 2), respectivamente. Sabiendo que el 10

11 punto (1 : 0 : 0) se transforma en la recta 4x 1 3x 2 = 0, obtener la expresión analítica de dicha correlación. Hallar también el punto que se transforma en la recta x 0 x 1 = 0. Número 71. Determinar la expresión analítica de la colineación que se obtiene al componer las correlaciones de los dos ejercicios anteriores. Número 72. Sea R = {a 0, a 1, a 2 ; a 3 } una referencia del plano proyectivo real P 2. Demostrar que existe una correlación única que transforma cada vértice del triángulo a 0 a 1 a 2 en el lado opuesto correspondiente, y transforma a 3 en una recta prefijada que no pasa por ninguno de los puntos a 0, a 1 y a 2. Comprobar que dicha correlación es simétrica. Número 73. Demostrar que existe una correlación única de P 2, que transforma cada uno de los vértices de un pentágono dado en el lado opuesto correspondiente. Además, dicha correlación es simétrica. Número 74. g siguientes: En el espacio proyectivo real P 3 se consideran la correlación f y la colineación 0 = 2x 0 + x 2 f : 1 = x 1 2 = x 0 + 2x 2 3 = x 3 0 = x 0 + 2x 3 g : 1 = x 1 2 = x 2 3 = 2x 0 + 3x 3 Hallar las imágenes mediante la correlación g f del plano π : x 1 + x 2 = 0 y de la recta r : x 0 = x 1 + x 2 = 0. Número 75. Una correlación involutiva simétrica de P 3 transforma en sí mismas las rectas x 1 = 0 = x 2 x 3 y x 1 = 0 = x 2 + x 3, y transforma los puntos (0 : 0 : 1 : 1) y (0 : 0 : 1 : 1) de esas rectas en planos que contienen al punto (0 : 1 : 0 : 0). Sabiendo que el punto (0 : 1 : 1 : 0) se transforma en el plano x 0 + x 2 = 0, obtener la expresión analítica de la correlación. Número 76. Una correlación involutiva simétrica de P 3 transforma en sí mismas las rectas r, r y r de ecuaciones respectivas x 1 = 0 = x 2, x 1 = 0 = x 2 + 2x 3 y x 2 = 0 = 2x 0 x 1, y transforma el punto (0 : 1 : 1 : 0) en el plano x 0 + x 3 = 0. (1) Hallar los planos transformados de los puntos (1 : 0 : 0 : 0) y (0 : 0 : 0 : 1). (2) Teniendo en cuenta cómo deben ser los planos transformados de los puntos (1 : 2 : 0 : 0) de r y (0 : 0 : 2 : 1) de r, obtener la expresión analítica de la correlación. Número 77. Una correlación involutiva simétrica de P 3 transforma los puntos (1 : 0 : 0 : 0) y (0 : 1 : 0 : 0) en los planos 4x 0 x 1 2x 2 = 0 y x 0 x 1 2x 3 = 0, respectivamente, y transforma la recta x 0 = 0 = x 1 en la recta 2x 0 + 2x 1 x 2 = 0 = 2x 0 + 4x 1 + x 3. Determinar la expresión analítica de dicha correlación. Número 78. Sea f la elación de P 3 de vértice (0 : 1 : 0 : 0) y base el plano x 0 x 2 = 0, que 11

12 transforma (0 : 0 : 1 : 0) en (0 : 1 : 1 : 0). Sea g la correlación de P 3 de ecuaciones 0 = 2x 0 1 = x 0 + 2x 1 2 = 2x 2 3 = x 2 + 2x 3 Mostrar que la aplicación h : x g(f(g 1 (x)) es una homología, y hallar su base y su vértice. VII. CUÁDRICAS Número 79. Dada la cuádrica Q de P 3 definida por la ecuación x x2 1 + x2 3 + x 0x 2 x 1 x 2 + 2x 1 x 3 x 2 x 3 = 0, hallar el plano tangente a Q en el punto (1 : 2 : 1 : 2). Comprobar que la intersección de la cuádrica Q con dicho plano es una cónica degenerada. Determinar los escalares a tales que la recta de ecuaciones x 0 x 1 + ax 2 = 0 = 2x 0 + x 3 es tangente a la cuádrica. Número 80. Determinar las rectas del plano proyectivo real P 2 que son tangentes a la cónica de ecuación x 2 0 2x2 1 2x x 0x 2 4x 1 x 2 = 0 y pasan por el punto (2 : 2 : 1). Número 81. Determinar el plano polar del punto a = (1 : 0 : 1 : 0) de P 3 respecto de la cuádrica de ecuación x 2 1 4x x 0x 2 2x 0 x 3 + 2x 2 x 3 = 0. Hallar la ecuación del cono formado por las rectas tangentes a la cuádrica que pasan por el punto a. Número 82. Se considera en P 3 la cuádrica Q de ecuación 4x x2 3 2x 0x 2 = 0 (1) Determinar la recta polar respecto de Q de la recta r : x 0 2x 3 = 0 = 2x 1 x 2 x 3. (2) Hallar los planos tangentes a Q que contienen a la recta r. Número 83. La polaridad asociada a una cuádrica Q de P 3 transforma el punto (0 : 1 : 0 : 0) en el plano x 1 x 2 = 0 y la recta x 0 + x 1 = 0 = x 0 x 1 en la recta x 0 + x 3 = 0 = x 1 + x 3. Cuál es el plano polar del punto (0 : 0 : 1 : 0) respecto de Q? Sabiendo que las intersecciones de Q con los planos x 2 = 0 y x 3 = 0 son cónicas degeneradas, determinar la ecuación de Q y encontrar los puntos de tangencia con los planos anteriores. Número 84. Se consideran en P 2 la cónica C : 4x x2 1 + x2 2 2x 0x 2 4x 1 x 2 = 0 y la recta r : 2x 1 x 2 = 0. Obtener la expresión analítica de la homografía inducida por la cónica en la recta, respecto de la referencia de ésta formada por los puntos (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 2) y (1 : 1 : 2). Número 85. En el espacio proyectivo real P 3 se consideran la cuádrica Q de ecuación 2x x 0 x 1 + x 0 x 2 2x 0 x 3 + 2x 1 x 2 + 2x 2 x 3 = 0 y la recta r de ecuaciones 3x 0 x 2 = 0 = x 1 + x 3. Obtener la expresión analítica de la homografía subordinada por la cuádrica sobre la recta respecto de la referencia de ésta formada por el punto (1 : 0 : 3 : 0) y los puntos de intersección de la recta con la cuádrica. Número 86. Para cada escalar k ( 0, 1) se considera en P 2 la cónica C k : x kx 1x 2 = 0; sea además C la cónica de ecuación x x 1x 2 = 0. Determinar k para que todas las polares respecto de C de puntos de C k sean tangentes a C k. 12

13 Número 87. En el plano afín real A 2 se considera la cónica de ecuación x 2 +2xy 4y 3 = 0. Comprobar que la recta r de ecuación y + 1 = 0 es tangente a la cónica y determinar otra recta tangente que sea paralela a r. Número 88. Dada la cuádrica afín de A 3 de ecuación 3x 2 y 2 z 2 2xy 4yz + 4y + 3 = 0, hallar la ecuación del cilindro formado por las rectas tangentes a la cuádrica que son paralelas a la recta x y = 0 = 2x + z. Determinar el centro de la cónica de tangencia de la cuádrica y el cilindro. Número 89. Determinar los planos tangentes a la cuádrica afín 4x 2 4y 2 + 8xz 4x + 9 = 0 de A 3 que son paralelos al plano x + 2y = 0. Número 90. Clasificar las cónicas afines definidas por las ecuaciones siguientes: (a) x 2 + y 2 + 4x 8y + 4 = 0. (b) 4x 2 + y 2 4xy 2y + 4 = 0. (c) y 2 + xy + 2x 2y 6 = 0. (d) x 2 + 4y 2 4xy + 2x 4y 3 = 0. Número 91. (1) Clasificar las cónicas proyectivas siguientes: (a) x x2 1 x2 2 + x 0x 1 = 0. (b) x x2 2 + x 0x 1 4x 0 x 2 x 1 x 2 = 0. (c) x x2 1 2x2 2 2x 0x 1 2x 0 x 2 + 6x 1 x 2 = 0. (2) Clasificar las cónicas afines inducidas por las cónicas proyectivas anteriores en el plano afín 2x 0 x 1 + 3x 2 0. Número 92. proyectivas: Clasificar las cuádricas siguientes del espacio afín A 3, así como sus completadas (a) 4x 2 + z 2 2xy + 2y + 4 = 0. (b) x 2 + z 2 xy + 2xz yz + x + 1 = 0. (c) x 2 y 2 + 4xz + 2yz + 2y 2z 1 = 0. (d) x 2 + y 2 + 4z 2 2xy + 4xz 4yz 4y = 0. (e) x 2 2z 2 xz + x + z = 0. 13