EXAMEN DE MATEMÁTICAS (2º DE BACHILLERATO) ANÁLISIS (DERIVADAS)

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1 EXAMEN DE MATEMÁTICAS (º DE BACHILLERATO) ANÁLISIS (DERIVADAS) (CLS09) (1 punto) Probar que la ecuación e + 0 tiene alguna solución (CLJ13) (1 punto) Sea la función + Calcula sus asíntotas y estudia su crecimiento y decrecimiento 3 (CTJ13) (1 punto) La función f () es derivable, siendo la grafica de su función derivada, f (), la dibujada en la figura adjunta Indica las abscisas de los etremos relativos de la función f () y clasifica estos etremos 4 (CNJ13) (1,5 puntos) La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de forma que los vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo El perímetro del rectángulo es de 100 metros Calcular las longitudes de sus lados para que el área del rombo inscrito sea máima 5 (LRJ13) (1 punto) Dependiendo de los valores de a, estudia la continuidad de la función: ( e 1) si 0 e 1 a si 0 6 (MAJ13) (1 punto) Dada la función cos, se pide: Determina los etremos absolutos de f () en π π, 7 (EXJ13) (1,5 puntos) Estudia si la recta y 4 es tangente a la gráfica de la función en alguno de sus puntos 8 (ANS09) Sea f : R R la función definida por + e a) (0,5 puntos) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, así como los etremos relativos o locales de f b) (0,5 puntos) Determina los intervalos de concavidad y de conveidad de f c) (1 punto) Determina las asíntotas de la gráfica de f d) (0,5 puntos) Esboza la gráfica de f Alcalá de Henares, 1 de abril de 014 JoséMMM

2 EXAMEN DE MATEMÁTICAS ANÁLISIS (DERIVADAS) Soluciones (CLS09) (1 punto) Probar que la ecuación e + 0 tiene alguna solución Se aplica el teorema de Bolzano: Si una función es continua en un intervalo [a, b] y toma valores de signo opuesto en los etremos (por ejemplo, f (a) > 0 y f (b) < 0), entonces eiste al menos un punto c [a, b] tal que f (c) Se considera la función e + que es continua en todo R, en particular en el intervalo [, 0] Como f ( ) ( ) e + < 0 y f (0) 0 e + 1, entonces eiste un punto c [, 0] tal que f (c) 0 (CLJ13) (1 punto) Sea la función + Calcula sus asíntotas y estudia su crecimiento y decrecimiento Tiene dos asíntotas: una vertical y otra horizontal La recta es AV, pues lim + La recta y 1 es AH, pues lim 1 + Derivada: + ( ) 4 f ( ) ( + ) ( + ) Como la derivada es siempre positiva, la función es creciente en todo su dominio: en R { } 3 (CTJ13) (1 punto) La función f () es derivable, siendo la grafica de su función derivada, f (), la dibujada en la figura adjunta Indica las abscisas de los etremos relativos de la función f () y clasifica estos etremos Los etremos relativos de f () se dan en los puntos en los que se anula f () Estos puntos son: 3, 1 y Además: Si < 3, f () < 0 f () decrece Si 3 < < 1, f () > 0 f () crece Por tanto, en 3 se da un mínimo Si 1 < <, f () < 0 f () decrece Por tanto, en 1 se da un máimo Si >, f () > 0 f () crece Por tanto, en se da un mínimo

3 4 (CNJ13) (1,5 puntos) La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de forma que los vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo El perímetro del rectángulo es de 100 metros Calcular las longitudes de sus lados para que el área del rombo inscrito sea máima Si es la base del rectángulo e y su altura, se tiene que: + y 50 y 50 La base y la altura del rectángulo coinciden con las diagonales, D y d, del rombo, cuya área viene dada por: D d ( 50 ) 50 A A( ) El máimo de A () se da en las soluciones de A ( ) 0 que hacen negativa a A () Derivando, 50 A ( ) 0 5 Como A ( ) 1, para el valor hallado se da el máimo buscado Por tanto, se trata de un rombo inscrito en un cuadrado de lado 5 m 5 (LRJ13) (1 punto) Dependiendo de los valores de a, estudia la continuidad de la función: ( e 1) si 0 e 1 a si 0 La función será continua en 0 cuando lim f (0) a 0 ( e 1) 0 ( ) ( e 1 ) e e e 0 L H lim lim ( L H ) lim 0 e e e e e 1 lim 1 0 e + e 1+ 0 Por tanto, a 1 6 (MAJ13) (1 punto) Dada la función cos, se pide: π π Determina los etremos absolutos de f () en, a) Derivando: cos f ( ) cos ( sin ) sin( ) f ( ) 0 sin( ) 0 0, π/, π/ Derivando otra vez: f ( ) 4cos( ) 0 Como f ( 0) 4cos0 4 en 0 se da un máimo de la función Como f ) cos f π/ cos mismo para π/, en esos dos puntos la función tiene sendos mínimos ( 0 para todo, y se cumple que ( ) ( π/ ) 0, y lo

4 7 (EXJ13) (1,5 puntos) Estudia si la recta y 4 es tangente a la gráfica de la función en alguno de sus puntos La recta será tangente si la derivada de la función puede tomar el valor 4, que es la pendiente de la recta f ( ) La derivada vale 4 si ± / 3 La recta y 4 puede ser tangente de la curva en dos puntos, cuyas abscisas son 1 y 4/3 Por tanto, en los puntos P(1, ) y Q( 5/3, /7) Pero, para que sea tangente, además, la recta debe pasar por alguno de esos puntos Como el punto (1, ) pertenece a la recta, se concluye que la recta es tangente a la curva en ese punto P(1, ) (Véase la figura) 8 (ANS09) Sea f : R R la función definida por + e a) (0,5 puntos) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, así como los etremos relativos o locales de f b) (0,5 puntos) Determina los intervalos de concavidad y de conveidad de f c) (1 punto) Determina las asíntotas de la gráfica de f d) (0,5 puntos) Esboza la gráfica de f a) Haciendo la derivada e igualando a 0 se tiene: f ( ) 1 e 1 e 0 e 1 0 Con esto: Si < 0, f () < 0 f decrece Si > 0, f () > 0 f crece Por tanto, en 0 se tiene un mínimo b) Haciendo la derivada segunda se tiene: Como f ( ) e f ( ) e > 0, para cualquier valor de, la función es siempre convea ( ) c) La función no tiene asíntotas verticales, pues está definida en todo R + e lim Tampoco tiene asíntotas horizontales, pues lim ( ) + y ( e ) La recta y m + n es asíntota oblicua de la curva f () cuando se cumple que: lim m, m 0 y ; n lim ( m), n + e 1 m lim ( L H ) e lim 1 1

5 n lim ( + e ) 0 Por tanto, la recta y es asíntota oblicua de f d) Algunos puntos de la gráfica son: Mínimo: (0, 1); ( 1, 1,71); (, 5,39); (1, 1,37); (,,14) Con esto, y con los datos obtenidos en a), b) y c), puede trazarse la gráfica

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