Cambio de base. Objetivos. Estudiar la relación entre las coordenadas de un vector en dos bases.

Transcripción

1 Cambio de base Objetivos Estudiar la relación entre las coordenadas de un vector en dos bases Requisitos Definición de una base, multiplicación de una matriz por un vector, delta de Kronecker Definición (vector de coordenadas de un vector en una base) Sean V un EV/F, B = (b,, b n ) una base de V y v un vector de V Como B es una base, existe una tupla x x = F n x n tal que El vector columna v = x j b j se llama vector de coordenadas del vector v en la base B y se denota por v B o [v B j= x x n Matriz de cambio de base Definición (matriz de transición = matriz de cambio de base) Sean A = (a,, a n ) y B = (b,, b n ) bases de V La matriz de transición de A a B llamada también matriz de cambio de A a B es la matriz n n cuyas columnas son vectores columnas de las coordenadas de los vectores b,, b n en la base A: P A,B := [ (b ) A,, (b n ) A 3 Otra forma de la definición Sean A = (a,, a n ) y B = (b,, b n ) bases de V Para todo j {,, n} denotemos por t,j,, t n,j, a las coordenadas del vector b j en base A: b j = t i,j a i () i= Entonces la matriz [ t i,j i,j= se llama matriz de transición de A a B y se denota por P A,B: P A,B := [ t i,j i,j= Cambio de base, página de 6

2 Ejemplo Sea V un EV de dimensión, B = (a, a ) y B = (b, b ) bases de V Supongamos que b = 3a a, b = a + 5a Entonces [ P A,B = Observación En la igualdad () escribamos el producto del vector por escalar en otro orden: b j = a i t i,j, i= La igualdad obtenida significa que el renglón que consiste en los vectores (b,, b n ) es igual al producto del renglón (a,, a n ) por la matriz P A,B : (b,, b n ) = (a,, a n )P A,B De manera breve, B = AP A,B 6 Proposición (cambio de coordenadas al cambiar la base) Sean A, B bases de V, v V Entonces v A = P A,B v B Demostración Sea P A,B = [ t i,j, esto es, i,j= j {,, n} b j = t i,j a i i= Sea v A = [ x i i=, v B = [ y j j= Entonces v = y j b j = j= ( ) t i,j y j a i i= j= Por otro lado, v = x i a i i= Las coordenadas del vector v en la base A se determinan de manera única, por lo tanto i {,, n} x i = Pero esto significa que v A = P A,B v B t i,j y j j= Cambio de base, página de 6

3 7 Ejemplo En el espacio P (R) los polinomios e (x) = y e (x) = x forman la base canónica E, y los polinomios f (x) = + x, f (x) = x forman otra base F Consideremos el polinomio h = 3f + f h F = [ 3, h E = [ [ 3 = [ En realidad, h(x) = 3( + x) + ( x) = + x, esto es, h = e + e Unicidad de la matriz que representa el cambio de coordenadas 8 Lema Sea A M m,n (F) y sea q {,, n} Denotemos por e q al vector del espacio F n cuya q-ésima componente es y todas las demás son : e q = [ δ q,j j= Entonces el producto Ae q es igual a la q-ésima columna de la matriz A: Ae q = A,q Demostración Apliquemos la definición del producto de una matriz por un vector y la propiedad principal del símbolo de Kronecker: (Ae q ) i = A i,j (e q ) j = j= A i,j δ q,j = A i,q j= El índice i {,, n} es arbitrario, por lo tanto Ae q = A i, 9 Ejemplo [ [ = 7 Proposición (criterio de la igualdad de dos matrices) Sean A, B M m,n (F) tales que Ax = Bx para todo x F n Entonces A = B Demostración Elijamos arbitrariamente q {,, n} y pongamos x = e q = [ δ q,j j= Entonces A,q = Ax = Bx = B,q Como q es arbitrario, A = B Cambio de base, página 3 de 6

4 Proposición (unicidad de la matriz que representa el cambio de coordenadas) Sean A, B bases de V Supongamos que M M n (F) es una matriz tal que para todo v V v A = Mv B Entonces P A,B = M Demostración Usemos la hipótesis de la proposición y la fórmula del cambio de coordenadas: Mv B = P A,B v B v V () Para todo x F n existe un v V tal que v B = x: v = x j b j j= Por lo tanto podemos escribir () de la siguiente manera: Mx = P A,B x x F n Aplicamos el criterio de igualdad de matrices y obtenemos que M = P A,B Teorema (sobre la composición de cambios de base) Sean A, B y C bases de un espacio vectorial V Entonces P A,C = P A,B P B,C 3 Observación Sea B una base de V Entonces es fácil ver que P B,B = I Corolario Sean A y B bases de V Entonces P B,A = P A,B 5 Ejercicio Demostrar el teorema y el corolario 6 Ejercicio En el espacio R 3 consideramos la base canónica E, otra base F = (f, f, f 3 ) y un vector v: 3 5 f = 6, f =, f 3 = 3, v = 3 5 Escriba P E,F, calcule P F,E y haga la comprobación: P E,F P F,E = I Calcule v F por la fórmula v F = P F,E v E y haga la comprobación por la fórmula v E = P E,F v F Cambio de base, página de 6

5 7 Ejemplo Sea E la base canónica del espacio R 3 y sea B la base que consta de los vectores dados b, b, b 3 Escriba la matriz de cambio P E,B, calcule la matriz de cambio P B,E y haga la comprobación: P E,B P B,E = I 3 b =, b =, b 3 = Solución Como E es la base canónica, v E = v para todo v R 3 Por ejemplo, b = e + e + e 3, (b ) E = = b Por la definición de la matriz de cambio de base, P E,B = [ (b ) E, (b ) E, (b 3 ) E = Calculamos la matriz P B,E = P E,B : R += R R 3 += R R += R R 3 += R 3 R += R 3 3 R = 3 R 3 = Respuesta: Comprobación: P E,B P B,E = = P B,E = 3 3 = Cambio de base, página 5 de 6

6 8 Ejemplo Sean E y B las bases R 3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u, w vectores de R 3 tales que 3 u E =, w B = Calcular u B y w E, calcular (u w) E como u E w E, calcular (u w) B como u B w B Hacer la comprobación: (u w) E = P E,B (u w) B Solución Primero calculemos u B y w E : 3 u B = P B,E u E = 3 w E = P E,B u B = Ahora podemos las coordenadas de la diferencia respecto a ambas bases: 3 (u w) E = u E w E = ; (u w) B = u B w B = Comprobación: P E,B (u w) B = = (u w) E Cambio de base, página 6 de 6