Cambio de base. Objetivos. Estudiar la relación entre las coordenadas de un vector en dos bases.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Cambio de base. Objetivos. Estudiar la relación entre las coordenadas de un vector en dos bases."

Transcripción

1 Cambio de base Objetivos Estudiar la relación entre las coordenadas de un vector en dos bases Requisitos Definición de una base, multiplicación de una matriz por un vector, delta de Kronecker Definición (vector de coordenadas de un vector en una base) Sean V un EV/F, B = (b,, b n ) una base de V y v un vector de V Como B es una base, existe una tupla x x = F n x n tal que El vector columna v = x j b j se llama vector de coordenadas del vector v en la base B y se denota por v B o [v B j= x x n Matriz de cambio de base Definición (matriz de transición = matriz de cambio de base) Sean A = (a,, a n ) y B = (b,, b n ) bases de V La matriz de transición de A a B llamada también matriz de cambio de A a B es la matriz n n cuyas columnas son vectores columnas de las coordenadas de los vectores b,, b n en la base A: P A,B := [ (b ) A,, (b n ) A 3 Otra forma de la definición Sean A = (a,, a n ) y B = (b,, b n ) bases de V Para todo j {,, n} denotemos por t,j,, t n,j, a las coordenadas del vector b j en base A: b j = t i,j a i () i= Entonces la matriz [ t i,j i,j= se llama matriz de transición de A a B y se denota por P A,B: P A,B := [ t i,j i,j= Cambio de base, página de 6

2 Ejemplo Sea V un EV de dimensión, B = (a, a ) y B = (b, b ) bases de V Supongamos que b = 3a a, b = a + 5a Entonces [ P A,B = Observación En la igualdad () escribamos el producto del vector por escalar en otro orden: b j = a i t i,j, i= La igualdad obtenida significa que el renglón que consiste en los vectores (b,, b n ) es igual al producto del renglón (a,, a n ) por la matriz P A,B : (b,, b n ) = (a,, a n )P A,B De manera breve, B = AP A,B 6 Proposición (cambio de coordenadas al cambiar la base) Sean A, B bases de V, v V Entonces v A = P A,B v B Demostración Sea P A,B = [ t i,j, esto es, i,j= j {,, n} b j = t i,j a i i= Sea v A = [ x i i=, v B = [ y j j= Entonces v = y j b j = j= ( ) t i,j y j a i i= j= Por otro lado, v = x i a i i= Las coordenadas del vector v en la base A se determinan de manera única, por lo tanto i {,, n} x i = Pero esto significa que v A = P A,B v B t i,j y j j= Cambio de base, página de 6

3 7 Ejemplo En el espacio P (R) los polinomios e (x) = y e (x) = x forman la base canónica E, y los polinomios f (x) = + x, f (x) = x forman otra base F Consideremos el polinomio h = 3f + f h F = [ 3, h E = [ [ 3 = [ En realidad, h(x) = 3( + x) + ( x) = + x, esto es, h = e + e Unicidad de la matriz que representa el cambio de coordenadas 8 Lema Sea A M m,n (F) y sea q {,, n} Denotemos por e q al vector del espacio F n cuya q-ésima componente es y todas las demás son : e q = [ δ q,j j= Entonces el producto Ae q es igual a la q-ésima columna de la matriz A: Ae q = A,q Demostración Apliquemos la definición del producto de una matriz por un vector y la propiedad principal del símbolo de Kronecker: (Ae q ) i = A i,j (e q ) j = j= A i,j δ q,j = A i,q j= El índice i {,, n} es arbitrario, por lo tanto Ae q = A i, 9 Ejemplo [ [ = 7 Proposición (criterio de la igualdad de dos matrices) Sean A, B M m,n (F) tales que Ax = Bx para todo x F n Entonces A = B Demostración Elijamos arbitrariamente q {,, n} y pongamos x = e q = [ δ q,j j= Entonces A,q = Ax = Bx = B,q Como q es arbitrario, A = B Cambio de base, página 3 de 6

4 Proposición (unicidad de la matriz que representa el cambio de coordenadas) Sean A, B bases de V Supongamos que M M n (F) es una matriz tal que para todo v V v A = Mv B Entonces P A,B = M Demostración Usemos la hipótesis de la proposición y la fórmula del cambio de coordenadas: Mv B = P A,B v B v V () Para todo x F n existe un v V tal que v B = x: v = x j b j j= Por lo tanto podemos escribir () de la siguiente manera: Mx = P A,B x x F n Aplicamos el criterio de igualdad de matrices y obtenemos que M = P A,B Teorema (sobre la composición de cambios de base) Sean A, B y C bases de un espacio vectorial V Entonces P A,C = P A,B P B,C 3 Observación Sea B una base de V Entonces es fácil ver que P B,B = I Corolario Sean A y B bases de V Entonces P B,A = P A,B 5 Ejercicio Demostrar el teorema y el corolario 6 Ejercicio En el espacio R 3 consideramos la base canónica E, otra base F = (f, f, f 3 ) y un vector v: 3 5 f = 6, f =, f 3 = 3, v = 3 5 Escriba P E,F, calcule P F,E y haga la comprobación: P E,F P F,E = I Calcule v F por la fórmula v F = P F,E v E y haga la comprobación por la fórmula v E = P E,F v F Cambio de base, página de 6

5 7 Ejemplo Sea E la base canónica del espacio R 3 y sea B la base que consta de los vectores dados b, b, b 3 Escriba la matriz de cambio P E,B, calcule la matriz de cambio P B,E y haga la comprobación: P E,B P B,E = I 3 b =, b =, b 3 = Solución Como E es la base canónica, v E = v para todo v R 3 Por ejemplo, b = e + e + e 3, (b ) E = = b Por la definición de la matriz de cambio de base, P E,B = [ (b ) E, (b ) E, (b 3 ) E = Calculamos la matriz P B,E = P E,B : R += R R 3 += R R += R R 3 += R 3 R += R 3 3 R = 3 R 3 = Respuesta: Comprobación: P E,B P B,E = = P B,E = 3 3 = Cambio de base, página 5 de 6

6 8 Ejemplo Sean E y B las bases R 3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u, w vectores de R 3 tales que 3 u E =, w B = Calcular u B y w E, calcular (u w) E como u E w E, calcular (u w) B como u B w B Hacer la comprobación: (u w) E = P E,B (u w) B Solución Primero calculemos u B y w E : 3 u B = P B,E u E = 3 w E = P E,B u B = Ahora podemos las coordenadas de la diferencia respecto a ambas bases: 3 (u w) E = u E w E = ; (u w) B = u B w B = Comprobación: P E,B (u w) B = = (u w) E Cambio de base, página 6 de 6

Definición de la matriz inversa

Definición de la matriz inversa Definición de la matriz inversa Objetivos Aprender la definición de la matriz inversa Requisitos Multiplicación de matrices, habilidades básicas de resolver sistemas de ecuaciones Ejemplo El número real

Más detalles

Matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases

Matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases Matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases Objetivos Definir la matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases y estudiar la representación matricial

Más detalles

Definición de la matriz inversa

Definición de la matriz inversa Definición de la matriz inversa Ejercicios Objetivos Aprender la definición de la matriz inversa Requisitos Multiplicación de matrices, matriz identidad, habilidades básicas de resolver sistemas de ecuaciones

Más detalles

Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Problemas para examen Si en algún problema se pide calcular el número de flops (operaciones aritméticas con punto flotante), entonces en el

Más detalles

Cálculo de la matriz asociada a una transformación lineal (ejemplos)

Cálculo de la matriz asociada a una transformación lineal (ejemplos) Cálculo de la matriz asociada a una transformación lineal ejemplos Objetivos Estudiar con ejemplos cómo se calcula la matriz asociada a una transformación lineal Requisitos Transformación lineal, definición

Más detalles

Operaciones con matrices

Operaciones con matrices Operaciones con matrices Problemas teóricos En todos los problemas de esta lista se supone que F es un campo (cuerpo). Si no conoce bien el concepto de campo, entonces puede pensar que F = R. Operaciones

Más detalles

Producto de matrices triangulares superiores

Producto de matrices triangulares superiores Producto de matrices triangulares superiores Ejercicios Objetivos Demostrar que el producto de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior Deducir una fórmula para las entradas

Más detalles

Espacios Vectoriales www.math.com.mx

Espacios Vectoriales www.math.com.mx Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................

Más detalles

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Funciones de Clase C 1

Funciones de Clase C 1 Capítulo 7 Funciones de Clase C 1 Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto de función de clase C 1. Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables,

Más detalles

Ecuaciones matriciales AX = B y XA = B. Cálculo de la matriz inversa

Ecuaciones matriciales AX = B y XA = B. Cálculo de la matriz inversa Ecuaciones matriciales AX = B y XA = B Cálculo de la matriz inversa Objetivos Aprender a resolver ecuaciones matriciales de la forma AX = B y XA = B Aprender a calcular la matriz inversa con la eliminación

Más detalles

Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión.

Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión. Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión. Algebra I I Relación de problemas 3. Espacios vectoriales. 1.-Estudiar si los siguientes conjuntos forman o

Más detalles

Matrices triangulares y matrices ortogonales

Matrices triangulares y matrices ortogonales Matrices triangulares y matrices ortogonales Problemas para examen Matrices diagonales 1. Sea a R n. Se denota por diag(a) la matriz diagonal con entradas a 1,..., a n : diag(a) = [ a j δ j,k ] n j,k=1.

Más detalles

Órdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple

Órdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple Órdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple Estos apuntes están redactados por Maria de los Angeles Isidro Pérez y Egor Maximenko.

Más detalles

r j ϕ j (v i ) = r i, ϕ(v i ) = v = n a ij ϕ j(v) ϕ i (v) =

r j ϕ j (v i ) = r i, ϕ(v i ) = v = n a ij ϕ j(v) ϕ i (v) = ESPACIO DUAL 1. Espacio Dual En temas anteriores dados V y V espacios vectoriales sobre k, definíamos en Hom(V, V ) una suma y un producto por elementos de k que convertían este conjunto en un espacio

Más detalles

Transformaciones lineales y matrices

Transformaciones lineales y matrices CAPíTULO 5 Transformaciones lineales y matrices 1 Matriz asociada a una transformación lineal Supongamos que V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y que T : V W es una transformación lineal

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: 1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con

Más detalles

Límite superior y límite inferior de una sucesión

Límite superior y límite inferior de una sucesión Límite superior y límite inferior de una sucesión Objetivos. Definir las nociones de los límites superior e inferior de una sucesión y estudiar sus propiedades básicas. Requisitos. Supremo e ínfimo de

Más detalles

Forma binomial de números complejos (ejercicios)

Forma binomial de números complejos (ejercicios) Forma binomial de números complejos (ejercicios) Objetivos. Mostrar que los números reales x se pueden identificar con números complejos de la forma (x, 0), y cada número complejo (x, y) se puede escribir

Más detalles

V 2 : vectores libres en el plano

V 2 : vectores libres en el plano V 2 : vectores libres en el plano Egor Maximenko ESFM del IPN 8 de agosto de 2009 Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de 2009 1 / 13 Contenido 1 Conjunto V 2 2 Operaciones

Más detalles

Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales

Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.

Más detalles

Teoremas de Convergencia

Teoremas de Convergencia Capítulo 24 Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan permutar los símbolos y

Más detalles

Propiedades de las operaciones lineales con matrices

Propiedades de las operaciones lineales con matrices Propiedades de las operaciones lineales con matrices Ejercicios Objetivos. Aprender a demostrar propiedades de las operaciones lineales en M m n (R). Requisitos. Operaciones lineales en R n, definición

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos Coordinación de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semana 7: Lunes - Viernes 7 de Abril Cálculo Contenidos Clase 1: Álgebra de límites. Teorema del Sandwich. Cálculo de límites. Límites trigonométricos.

Más detalles

Espacios vectoriales reales.

Espacios vectoriales reales. Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre

Más detalles

Tema 1: Matrices y Determinantes

Tema 1: Matrices y Determinantes Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierías Facultad de Ingeniería, Mecánica, Eléctrica y Electrónica Trimestre

Más detalles

Matemáticas Discretas TC1003

Matemáticas Discretas TC1003 Matemáticas Discretas TC13 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas ITESM Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25 Una matriz A m n es un arreglo

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291)

Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291) Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291) I. Combinación Lineal Definición: Sean v 1, v 2, v 3,, v n vectores en el espacio vectorial V. Entonces cualquier

Más detalles

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE.

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE. ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K (Q,

Más detalles

TEMA 6 Ejercicios / 3

TEMA 6 Ejercicios / 3 TEMA 6 Ejercicios / 1 TEMA 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1. Ecuaciones de los planos cartesianos en forma vectorial, paramétrica e implícita. Ecuaciones del plano XY: Punto del plano P 0, 0, 0 Vectores

Más detalles

Conjunto R n y operaciones lineales en R n

Conjunto R n y operaciones lineales en R n Conjunto R n y operaciones lineales en R n Objetivos. Definir el conjunto R n y operaciones lineales en R n, estudiar propiedades de las últimas. Requisitos. Conjunto de los números reales R, propiedades

Más detalles

Guía 3. Semejanzas de triángulos, Teorema de Tales, Teorema de la Bisectriz, Teorema del Seno.

Guía 3. Semejanzas de triángulos, Teorema de Tales, Teorema de la Bisectriz, Teorema del Seno. Guía 3. Semejanzas de triángulos, Teorema de Tales, Teorema de la Bisectriz, Teorema del Seno. Sofía Taylor Enero 2011 1 Principios Teóricos 1.1 Semejanza de Triángulos Se dice que un triángulo es semejante

Más detalles

b) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A

b) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica:

Más detalles

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:

Más detalles

MATRICES. Capítulo 3. Martínez Héctor Jairo Sanabria Ana María Semestre 02, Introducción Definición y Tipo de Matrices

MATRICES. Capítulo 3. Martínez Héctor Jairo Sanabria Ana María Semestre 02, Introducción Definición y Tipo de Matrices 55 Capítulo 3 MATRICES Martínez Héctor Jairo Sanabria Ana María Semestre 02, 2007 3 Introducción En los capítulos anteriores, utilizando la noción de matriz, simplificamos la representación de problemas

Más detalles

1. Producto escalar. Propiedades Norma de un vector. Espacio normado. 1.2.Ortogonalidad. Ángulos. 1.4.Producto escalar en V 3.

1. Producto escalar. Propiedades Norma de un vector. Espacio normado. 1.2.Ortogonalidad. Ángulos. 1.4.Producto escalar en V 3. . Producto escalar. Propiedades... Norma de un vector. Espacio normado...ortogonalidad. Ángulos..3.Producto escalar en V..4.Producto escalar en V 3.. Producto vectorial de dos vectores de V 3...Expresión

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

Más detalles

Matriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Matriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. MATRICES Matriz Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a

Más detalles

May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN

May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN May 4, 2012 1. Optimización Sin Restricciones En toda esta sección D denota un subconjunto abierto de R n. 1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Proposición 1.1. Sea f : D R diferenciable. Si p

Más detalles

ANILLOS DE POLINOMIOS. Sea A un anillo conmutativo. El conjunto A[X] de polinomios sobre A esta formado por los elementos

ANILLOS DE POLINOMIOS. Sea A un anillo conmutativo. El conjunto A[X] de polinomios sobre A esta formado por los elementos ANILLOS DE POLINOMIOS Sea A un anillo conmutativo. El conjunto A[X] de polinomios sobre A esta formado por los elementos n i=0 a i X i = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 +... + a n X n. Se definen dos operaciones

Más detalles

Subespacios Vectoriales

Subespacios Vectoriales Subespacios Vectoriales Prof. Apuntes del Postgrado en Ingeniería 31 Mayo 2008 Subespacio Definición de Subespacio y Ejemplos. Definición Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V(K). Si

Más detalles

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder

Más detalles

ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA , Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS.

ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA , Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS. ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA 520135, 522115 Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K

Más detalles

Ejemplo 1. Ejemplo introductorio

Ejemplo 1. Ejemplo introductorio . -Jordan. Ejemplo 1. Ejemplo introductorio. -Jordan Dos especies de insectos se crían juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los días se les proporcionan dos tipos de alimento A y B. 1 individuo

Más detalles

Subespacio generado por un conjunto finito de vectores (envoltura lineal de un conjunto finito de vectores)

Subespacio generado por un conjunto finito de vectores (envoltura lineal de un conjunto finito de vectores) Subespacio generado por un conjunto finito de vectores (envoltura lineal de un conjunto finito de vectores). Listas de vectores. Listas de vectores son personajes típicos de Álgebra Lineal. Una lista de

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

VECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector

VECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector VECTORES Un vector (Vector posición) en el plano es un par ordenado de números reales A(a, b). Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema

Más detalles

Problemas de Espacios Vectoriales

Problemas de Espacios Vectoriales Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial

Más detalles

13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3.

13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3. ÍNDICE 13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL............. 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL...... 275 13.3. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN

Más detalles

Demostraciones con números primos (ejercicios)

Demostraciones con números primos (ejercicios) Demostraciones con números primos (ejercicios) Objetivos. Acostumbrarse a la definición de número primo, aprender a usarla en demostraciones simples. Requisitos. Propiedades de divisibilidad, máximo común

Más detalles

Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales

Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales Eva Ascarza-Mondragón Helio Catalán-Mogorrón Manuel Vega-Gordillo Índice 1 Definición 3 2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales 4 21 Tipos de sistemas ecuaciones

Más detalles

TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y

TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y Álgebra II: Tema 8. TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y NúMERO DE CONDICIóN Índice. Introducción 2. Norma vectorial y norma matricial. 2 2.. Norma matricial inducida por normas vectoriales......... 4 2.2. Algunos

Más detalles

Información importante

Información importante Coordinación de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 010 Semana 7: Lunes 3 viernes 7 de Mayo Información importante El proceso de apelación del primer certamen comienza esta semana. Los cuadernillos los

Más detalles

Ejemplo 1 Sea V un espacio con producto interno sobre un cuerpo K. A las transformaciones lineales T : V K las llamamos funcionales lineales.

Ejemplo 1 Sea V un espacio con producto interno sobre un cuerpo K. A las transformaciones lineales T : V K las llamamos funcionales lineales. Facultad de Ingeniería - IMERL - Geometría y Álgebra Lineal 2 - Curso 2008. 1 Transformaciones lineales en espacios con producto interno Notas para el curso de Geometría y Algebra Lineal 2 de la Facultad

Más detalles

Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.

Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles

1 Aplicaciones lineales

1 Aplicaciones lineales UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Aplicaciones lineales y diagonalización. El objetivo principal de este tema será la obtención de una matriz diagonal

Más detalles

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una

Más detalles

UNIDAD 8 Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD 8 Geometría analítica. Problemas afines y métricos UNIDAD Geometría analítica. Problemas afines y métricos Pág. 1 de 5 1 Se consideran los puntos A (, ) y B (4, 6). a) Calcula las coordenadas de un punto P que divida al segmento AB en dos partes 1 tales

Más detalles

Por ser f continua y R compacto, existen x 0, y 0 en R tales que f(x 0 ) = sup{f(t) : t R} y f(y 0 ) = inf{f(t) : t R}

Por ser f continua y R compacto, existen x 0, y 0 en R tales que f(x 0 ) = sup{f(t) : t R} y f(y 0 ) = inf{f(t) : t R} Proposición. Sea un rectángulo en R n, y sea f : R una función continua. Entonces f es integrable en. Conjuntos de Demostración: Como f es continua en, y es compacto, f es acotada en, y uniformemente continua.

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

Problemas de exámenes de Aplicaciones Lineales y Matrices

Problemas de exámenes de Aplicaciones Lineales y Matrices 1 Problemas de exámenes de Aplicaciones Lineales y Matrices 1. Consideramos f End(R n ), que tiene matriz A respecto la base canónica. Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? a) Si v es un vector

Más detalles

Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3

Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3 Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3 Objetivos. Definir el conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3. Requisitos. Conjunto de los números reales R, propiedades de las operaciones aritméticas en

Más detalles

Tema 2.- Formas Cuadráticas.

Tema 2.- Formas Cuadráticas. Álgebra. 004 005. Ingenieros Industriales. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema.- Formas Cuadráticas. Definición y representación matricial. Clasificación de las formas

Más detalles

Vectores y rectas. 4º curso de E.S.O., opción B. Modelo de examen (ficticio)

Vectores y rectas. 4º curso de E.S.O., opción B. Modelo de examen (ficticio) demattematicaswordpresscom Vectores y rectas º curso de ESO, opción B Modelo de examen (ficticio) Sean los vectores u = (,5) y v = (, ) a) Analiza si tienen la misma dirección No tienen la misma dirección

Más detalles

Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS

Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS 1 Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS 1.1 Los Números Naturales. Los números naturales aparecen por la necesidad que tiene el hombre (primitivo) tanto de contar como de ordenar

Más detalles

Análisis Matemático I: La integral de Riemann

Análisis Matemático I: La integral de Riemann Contents : La integral de Riemann Universidad de Murcia Curso 2006-2007 Contents 1 Definición de la integral y propiedades Objetivos Definición de la integral y propiedades Objetivos 1 Definir y entender

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones y Matrices

Sistemas de Ecuaciones y Matrices Sistemas de Ecuaciones y Matrices 0.1 Sistemas de ecuaciones Consideremos las gráficas de dos funciones f y g como en la figura siguiente: P Q y = fx y = gx En la práctica, en ocasiones hay que encontrar

Más detalles

Integrales múltiples

Integrales múltiples ntegrales múltiples Cálculo (2003) El objetivo de este capítulo es definir y aprender a calcular integrales de funciones reales de varias variables, que llamamos integrales múltiples. Las motivación más

Más detalles

Demostraciones a Teoremas de Límites

Demostraciones a Teoremas de Límites Demostraciones a Teoremas de Límites Programa de Bachillerato.Universidad de Chile. Otoño, 009 En esta sección solo daremos los fundamentos teóricos que nos permiten resolver los problemas que se nos plantean,

Más detalles

Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ...

Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ... MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones

Más detalles

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales. Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la siguiente forma: a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 0 (x)y(x)

Más detalles

ESCUELA INTERNACIONAL DE IDIOMAS Avenida Pedro de Heredia, Calle 49a #31-45, barrio el Libano 6600671

ESCUELA INTERNACIONAL DE IDIOMAS Avenida Pedro de Heredia, Calle 49a #31-45, barrio el Libano 6600671 Página: Pág: 1 HORARIOS DE CLASES IDIOMAS Jornada: M Sem:01 Curso:01 A.1.1 AA A.1.1 AA A.1.1 AA 11:00AM-12:00PM VIONIS VIONIS Jornada: M Sem:01 Curso:02 A.1.1 AB A.1.1 AB A.1.1 AB VIONIS VIONIS Jornada:

Más detalles

Capítulo 8: Vectores

Capítulo 8: Vectores Capítulo 8: Vectores 1. Lección 30. Operaciones con vectores 1.1. Vectores El concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2011 específico1 [2'5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla.

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. ÁLGEBRA LINEAL Apuntes elaborados por Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009 Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. Índice general Tema 1. Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones

Más detalles

SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES

SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES BINARIAS PAR ORDENADO Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde a es llamada al primera componente y b es llamada la

Más detalles

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a

Más detalles

Transformaciones lineales

Transformaciones lineales Capítulo 3 Transformaciones lineales Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia

Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 8 Relaciones de Equivalencia

Más detalles

Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones

Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones Proyecciones La proyección de un punto A sobre una recta r es el punto B donde la recta perpendicular a r que pasa por A corta a la recta r. Con un dibujo se entiende muy bien. La proyección de un segmento

Más detalles

Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad

Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad Estructuras Discretas Relaciones Definición: relación Relaciones Claudio Lobos, Jocelyn Simmonds clobos,jsimmond@inf.utfsm.cl Universidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 152 Sean

Más detalles

Inversas de las matrices triangulares superiores

Inversas de las matrices triangulares superiores Inversas de las matrices triangulares superiores Ejercicios Objetivos. Demostrar que la inversa a una matriz triangular superior también es triangular superior. Requisitos. Algoritmo de inversión de una

Más detalles

DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD

DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3)

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,

Más detalles

The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.

The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain. The shortest path etween two truths in the real domain passes through the complex domain. Jacques Hadamard Introducción En este ejercicio vamos a emprender un enfoque distinto de la geometría analítica

Más detalles

Dependencia e independencia lineal

Dependencia e independencia lineal CAPíTULO 3 Dependencia e independencia lineal En este capítulo estudiaremos tres conceptos de gran importancia para el desarrollo del álgebra lineal: el concepto de conjunto generador, el concepto de conjunto

Más detalles

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21 Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)

Más detalles

CAPÍTULO II 7 RELACIÓN ENTRE PUNTOS DE UNA RECTA Y NÚMEROS REALES

CAPÍTULO II 7 RELACIÓN ENTRE PUNTOS DE UNA RECTA Y NÚMEROS REALES CAPÍTULO II 7 RELACIÓN ENTRE PUNTOS DE UNA RECTA Y NÚMEROS REALES Longitud de un segmento Admitiremos las siguientes proposiciones: a) Dado un segmento cualquiera AB de una recta, y dado otro segmento

Más detalles

Potencia y eje radical Carmela Acevedo

Potencia y eje radical Carmela Acevedo Potencia y eje radical Carmela Acevedo Potencia Definición: La potencia de un punto P respecto a una circunferencia Γ es el producto P A P B, donde A y B son los puntos de corte de una recta secante a

Más detalles

Teoría Tema 9 Ecuaciones del plano

Teoría Tema 9 Ecuaciones del plano página 1/11 Teoría Tema 9 Ecuaciones del plano Índice de contenido Determinación lineal de un plano. Ecuación vectorial y paramétrica...2 Ecuación general o implícita del plano...6 Ecuación segmentaria

Más detalles

Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones

Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN 1.2. OPERACIONES CON COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN 1.2. OPERACIONES CON COMPLEJOS NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN La ecuación x + 1 0 no tiene solución en el cuerpo de los números reales R ya que no existe un número real x tal que x 1. Necesitamos un conjunto que contenga a R, que

Más detalles

Proceso Selectivo para la XXII IMC, Bulgaria

Proceso Selectivo para la XXII IMC, Bulgaria Proceso Selectivo para la XXII IMC, Bulgaria Facultad de Ciencias UNAM Instituto de Matemáticas UNAM SUMEM Indicaciones Espera la indicación para voltear esta hoja. Mientras tanto, lee estas instrucciones

Más detalles

Matrices y Determinantes

Matrices y Determinantes Apuntes de Álgebra Lineal Capítulo 3 Matrices y Determinantes 31 Operaciones con matrices 311 Suma, resta y multiplicación por escalares Las matrices de un tamaño fijo m n se pueden sumar entre sí y esta

Más detalles

Espacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría

Espacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.

Más detalles

Operaciones lógicas principales: Negación, Conjunción y Disyunción

Operaciones lógicas principales: Negación, Conjunción y Disyunción Operaciones lógicas principales: Negación, Conjunción y Disyunción Definiciones informales. A es verdadera A es falsa A B es verdadera A es verdadera y B es verdadera A B es verdadera A es verdadera o

Más detalles