En el grafo de la figura P3.1 se elige el árbol formado por las ramas {1, 2, 3}. C 3. Figura P3.1

Transcripción

1 Problemas resueltos. Problema. En el grafo de la figura P. se elige el árbol formado por las ramas {,, }. B Figura P. a) Determinar Q la matriz de incidencia de los elementos en los conjuntos de corte fundamentales. b) Determinar la matriz de incidencia de los elementos en los circuitos fundamentales. c) Determinar la matriz que transforma las corrientes de mallas en las corrientes de los elementos. Solución. a) Matriz Q. En la figura P., se han identificado los conjuntos de corte fundamentales por el número de la única rama que está presente en cada conjunto. Para identificar los elementos que forman el conjunto de corte se traza una línea que separe en dos partes al grafo, teniendo presente que sólo puede cortarse sólo a una rama. Puede observarse que la cuerda no forma parte del conjunto de corte fundamental, ya que es cortada dos veces. Similar situación ocurre con la cuerda en el conjunto de corte. D

2 apítulo ccf ccf ccf Figura P. onjuntos de corte fundamentales. Se obtiene la matriz Q, de rango tres. ccf ccf ccf Pueden escribirse las ecuaciones LK, empleando Q, según: i i i i i i O en forma alternativa, empleando la submatriz Qc, expresar las corrientes de ramas en términos de las corrientes de cuerdas. i 0 i i i i 0 i

3 Ecuaciones de Interconexión b) La figura P., muestra los circuitos fundamentales. cf cf cf Figura P.. ircuitos fundamentales Se obtiene la matriz, de rango tres. cf 0 0 cf cf Pueden escribirse las ecuaciones LVK, empleando, según: v v v v v v O en forma alternativa, empleando la submatriz r, expresar los voltajes de cuerdas en términos de los voltajes de ramas.

4 apítulo v v v v v 0 0 v c) Para las corrientes de mallas, cuyas orientaciones se muestran en la figura P.. B Figura P. orrientes de mallas. Puede determinarse la matriz M transpuesta, que representa las ecuaciones en los elementos en términos de las corrientes de mallas. D i 0 i 0 0 im i 0 im i 0 im i 0 i 0 0 Problema. Para el grafo de la figura P., con árbol: {,,, }; con mallas: Malla {, 7, }, Malla {, 7, 8}, Malla {,, 8}, Malla {,, } y con nodos: Nodos {, B,, D}.

5 Ecuaciones de Interconexión 7 B E 8 D Figura P. a) Determinar los circuitos fundamentales que no tienen elementos comunes con circuitos fundamentales. Indicando los conjuntos. b) Determinar la matriz Tb que transforma los voltajes de ramas en los voltajes de nodos. c) Determinar la matriz Tc que transforma las corrientes de mallas en las corrientes de las cuerdas. Las corrientes de mallas tienen su dirección según reloj. Solución. a) Se tienen los siguientes conjuntos de corte fundamentales, uno por cada rama: ccf {,, }, ccf {,,, 7}, ccf {,,, 7, 8}, ccf {,, 7, 8} Se tienen los siguientes circuitos fundamentales, uno por cada cuerda: cf {,,, }, cf {,,,, }, cf7 {7,,, }, cf8 {8,, } omparando cada conjunto de corte fundamental, con cada uno de los circuitos fundamentales, se obtienen: onjunto fundamental cf no tiene elementos comunes con el conjunto de corte fundamental ccf. onjunto fundamental cf7 no tiene elementos comunes con el conjunto de corte fundamental ccf onjunto fundamental cf8 no tiene elementos comunes con los conjuntos de corte fundamentales: ccf y cff.

6 apítulo b) Se desea encontrar: vn] [Tb] vr] plicando LVK, con E el nodo de referencia y considerando las polaridades con sentidos opuestos a las direcciones de las corrientes, se tienen para la figura P.: B 7 8 E D B D E BE E DE Figura P. v v v v + v + v 7 v v v v v + v + v v v v v v v v + v 8 Expresando el conjunto de ecuaciones mediante matrices, se obtiene: v 0 - v v B - - v v v v D 0 0 v c) Se desea encontrar ic] [Tc] im] En la figura P.7 se han identificando las corrientes en las mallas.

7 Ecuaciones de Interconexión 7 7 im im 8 im E im B D Figura P.7 Expresando las corrientes de cuerdas en términos de las corrientes de mallas, mediante LK, se obtiene: i i i 7 i im im im 0-0 im Las matrices anteriores tienen inversas. Pueden plantearse los voltajes de ramas en función de los voltajes de nodos. v v v v v v B v v D También pueden expresarse las corrientes de mallas en función de las corrientes de cuerdas.

8 8 apítulo im im - 0 im - - im i i i 7 i 8 Problema. Para la red de la figura P.8: B R im R J im E R im R tierra Figura P.8 Determinar: a) Las corrientes de mallas en función de los voltajes de nodos. b) Los voltajes de nodos en función de las corrientes de mallas. c) Potencia que sale de la fuente de corriente en función de las corrientes de mallas. d) Potencia que entra en la fuente de tensión en función de los voltajes de nodos. Solución: a) Los dos conjuntos de variables son independientes. Por lo cual puede encontrarse una transformación lineal entre ellas. Basta plantear tres ecuaciones linealmente independientes que las relacionen: im R va vb, im R va, ( im im ) R vc (P.)

9 Ecuaciones de Interconexión 9 o bien: im R va vb, im R va, ( im im ) R vb vc (P.) Planteando en forma de matrices: im R im R im R 0 R R v a v b v c b) De (P.) ó (P.) pueden despejarse los voltajes de nodos: va im R, vc R im R im, vb im R im R Obteniéndose: v a v b v c 0 R 0 im R R 0 im 0 R R im c) Potencia que sale de la fuente de corriente P j( v v ) j( R ( im im ) + R im ) s c a d) Potencia que entra a la fuente de tensión: va vc Pe eim e( ) R R

10 0 apítulo Ejercicios propuestos. Ejercicio.. Para el grafo de la figura E.: B 7 8 E D Figura E. a) on árbol {,,, }, verificar que se cumple: [ Q ] [ ] t c b) on: Malla {, 7, }, Malla {, 7, 8}, Malla {,, 8}, Malla {,, } y nodos: Nodos {, B,, D}. Verificar que se cumple: t [ M][ ] [ 0] c) Verificar que la matriz r, de incidencia de las ramas en los nodos tiene inversa. r Ejercicio.. Para el grafo de la figura E. Determinar expresiones para los voltajes de los elementos, en términos de los voltajes de nodos y en términos de los voltajes de ramas. Determinar expresiones para las corrientes en los elementos, en términos de las corrientes en las cuerdas y en términos de las corrientes de mallas.

11 Ecuaciones de Interconexión Expresar las corrientes de mallas en términos de las corrientes de cuerdas. Expresar los voltajes de nodos en términos de los voltajes de ramas. Expresar los voltajes de cuerdas en términos de los voltajes de ramas. Expresar las corrientes de ramas en términos de las corrientes en las cuerdas. Plantear LVK y LK empleando r solamente. Ejercicio.. Demostrar que pueden plantearse las ecuaciones de interconexión, LVK y LK, empleando Qc solamente. Es decir: i Q i Ejercicio.. ] [ ] ] t ] [ ] ] r c c v Q v c c r Demostrar que pueden plantearse las ecuaciones de interconexión, LVK y LK, empleando r solamente. Es decir: v v ] [ ] ] t ] [ ] ] c r r i i r r c Ejercicio.. Determinar condiciones para que en la red de la figura E. se cumpla: v + v + v 0 R R v v v R Figura E.

12 apítulo Ejercicio.. Para la red de la figura E., determinar: i, i e i en términos de ia e ib. i R R R i i i a i b i c Figura E.