Dados V y V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo, una aplicación f: V V se dice que es una aplicación lineal si verifica:

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Ángela Espinoza Río
hace 6 años
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1 FACUTAD DE CIENCIAS SOCIAES Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Are de Álgebr) PRÁCTICA Nº 7 Aplicciones lineles. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción linel sí como el cálculo de l expresión mtricil de un plicción linel respecto de ls bses del dominio y codominio de dich plicción..- APICACIÓN INEA. Ddos V y V dos espcios vectoriles sobre un cuerpo, un plicción f: V V se dice que es un plicción linel si verific:. f(u + v) = f(u) + f(v), u, v V. 2. f(αu) = αf(u), α, u V. En Mthemtic trbjremos con ls coordends de los vectores respecto de un bse y no con los vectores. Pr definir un plicción linel debemos de seguir ls regls hbitules de Mthemtic: nombre[vrible_]:= expresión Teniendo en cuent que en este cso tendremos como vrible un vector y como expresión otro vector: Ejemplo. Definir en Mthemtic l plicción linel f: 3 4 dd por f(x, y, z) = (2x, x + y, 3x + y z, y + 5z) y clculr f(3,2,): f[{x_,y_,z_}]:={2x,x+y,3x+y-z,y+5z}; f[{3,2,}] {6, 5, 0, 7} PRÁCTICA 7: APICACIONES INEAES. I

2 FACUTAD DE CIENCIAS SOCIAES Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Are de Álgebr) En l práctic pr estudir si f es plicción linel se suele usr l definición l siguiente crcterizción: plicción f: V V es linel si, y solo si, f(αu + βv) = αf(u) + βf(v), α, β, u, v V. Ejemplo 2. Estudir si l plicción del ejemplo nterior es linel. f[{x_,y_,z_}]:={2x,x+y,3x+y-z,y+5z}; Simplify[f[*{x,y,z}+b*{x2,y2,z2}]]== Simplify[*f[{x,y,z}]+b*f[{x2,y2,z2}]] Ejemplo 3. Estudir si l plicción g: 3 2 dd por g(x, y, z) = (xy, x + y) es linel. g[{x_,y_,z_}]:={x*y,x+y}; Simplify[g[*{x,y,z}+b*{x2,y2,z2}]] == Simplify[*g[{x,y,z}] + b*g[{x2,y2,z2}]] {(x + b x), (x + b x + y + b y)} == { x + b x, x + b x + y + b y} 2. EXPRESIÓN MATRICIA DE UNA APICACIÓN INEA. Se f: V V un plicción linel y se B = {e, e 2,..., e n } un bse de V. Entonces f está totlmente determind por ls imágenes de los vectores de B, es decir, f(e ), f(e 2 ),..., f(e n ), pues ddo un vector x de V de coordends x (x,...,x n ) B, entonces, f(x) = f(x e x n e n ) = x f(e ) x n f(e n ) Se hor B ={u,..., u m } bse de V y consideremos ls coordends de los vectores f(e ),..., f(e n ) respecto de B : f(e ) (,, m ) B f(e 2 ) ( 2,, m2 ) B f(e n ) ( n,, mn ) B PRÁCTICA 7: APICACIONES INEAES. II

3 FACUTAD DE CIENCIAS SOCIAES Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Are de Álgebr) De est form se tiene: f(x) ( x n x n, 2 x n x n,..., m x mn x n ) B Ahor bien, si denotmos ls coordends de f(x) por f(x) (y,..., y m ) B, entonces se obtiene: y = x + + n x n y 2 = 2 x + + 2n x n o mtricilmente: y m = m x + + mn x n y y2 = M M ym m M m2 O n x 2n x2 M M mn xn Est expresión recibe el nombre de ecución mtricil de un plicción linel f respecto de ls bses B y B. mtriz 2 A = M m 2 22 M m2 O n 2n M mn recibe el nombre de mtriz socid f respecto de ls bses B y B que denotremos por A = M B,B (f). (Notr que el número de columns es igul l dimensión de V y su número de fils igul l dimensión de V ). Así, pr clculr l mtriz socid podemos dividirlo en dos psos: Pso : Clculmos ls imágenes de los vectores de l bse B de V: f(e ),..., f(e n ). Pso 2: Clculmos ls coordends de lo obtenido en el pso nterior respecto de l bse B de V. Recordemos que si f es un endomorfismo, V =V, l bse B de V se tom como B. Ejemplo 4. Clculr l expresión mtricil de l plicción linel f: 3 4 dd por PRÁCTICA 7: APICACIONES INEAES. III

4 FACUTAD DE CIENCIAS SOCIAES Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Are de Álgebr) f(x, y, z) = (2x, x + y, 3x + y z, y + 5z) respecto de ls bses B = {(,, ), (,, 0), (, 0, 0)} y B = {(, 2, 3, 0), (2, 4, 6, ), (, 0, 0, 0), (0,, 0, 0)}. f[{x_,y_,z_}]:={2x,x+y,3x+y-z,y+5z} B= {{,,},{,,0},{,0,0}}; Bp={{,2,3,0},{2,4,6,},{,0,0,0},{0,,0,0}}; A= Trnspose[Tble[ inersolve[trnspose[bp], f[b[[i]]]],{i,,3}]]; MtrixForm[A] REACIÓN ENTRE MATRICES ASOCIADAS A DISTINTAS BASES. Se f: V V un plicción linel con n = dim(v), m = dim(v ), y consideremos B y B bses de V y B y B bses de V, si A es l mtriz socid f respecto de B y B y C es l mtriz socid f respecto de B y B, se tiene que C y A son mtrices equivlentes, demás C = Q - AP, donde P es l mtriz del cmbio de bse en V de B B y Q es l mtriz del cmbio de bse en V de B B. En el cso prticulr de un endomorfismo y tomndo l mism bse en el espcio de prtid y en el de llegd, l relción entre A y C es C = P - AP. Dos mtrices cudrds A y C pr ls que existe un mtriz regulr P de form que C = P - AP se dice que son semejntes. Proposición.. Dos mtrices son equivlentes si, y solo si, son mtrices socids l mism plicción linel respecto de distints bses. 2. Dos mtrices son semejntes si, y solo si, son mtrices socids l mismo endomorfismo respecto de distints bses. Ejemplo 5. Comprobr l relción entre l mtriz socid f respecto de ls bses nteriores y l mtriz socid f respecto de ls bses cnónics. f[{x_,y_,z_}]:={2x,x+y,3x+y-z,y+5z} Bc3= IdentityMtrix[3]; PRÁCTICA 7: APICACIONES INEAES. IV

5 FACUTAD DE CIENCIAS SOCIAES Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Are de Álgebr) Bc4=IdentityMtrix[4]; c= Trnspose[Tble[ inersolve[trnspose[bc4], f[bc3[[i]]]],{i,,3}]]; B= {{,,},{,,0},{,0,0}}; Bp={{,2,3,0},{2,4,6,},{,0,0,0},{0,,0,0}}; A= Trnspose[Tble[ inersolve[trnspose[bp], f[b[[i]]]],{i,,3}]]; P=Trnspose[Tble[inerSolve[Trnspose[B],Bc3[[i]]],{i,3}]]; Q=Trnspose[Tble[inerSolve[Trnspose[Bp],Bc4[[i]]],{i,4}]]; Inverse[Q].A.P==c 4. OPERACIONES CON APICACIONES INEAES Y REACIÓN CON AS MATRICES ASOCIADAS. Ddos V y V dos espcios vectoriles sobre un cuerpo, denotremos por Hom (V, V ) l conjunto de tods ls plicciones lineles de V en V. En este conjunto se podemos definir operciones sum y producto por esclr de l form: Dds f, g Hom (V, V ) y λ se define ls plicciones lineles: f + g: V V ; (f + g)(u) = f(u) + g(u) λf: V V ; (λf)(u) = λf(u) Dds plicciones lineles f: V V y g: V V, su composición g ë f: V V definid por (gë f)(x) = g(f(x)) es tmbién linel. Vemos cómo l signción un plicción linel de su mtriz socid se comport bien respecto ls operciones con plicciones lineles: Proposición. Sen V, V y V espcios vectoriles sobre de dimensiones finits, B, B y B bses de V, V y V respectivmente y f, g: V V y h: V V plicciones lineles, entonces se tiene:. M B,B (f + g) = M B,B (f) + M B,B (g). 2. M B,B (λf) = λm B,B (f), pr todo λ. 3. M B,B (h ë f) = M B,B (h) M B,B (f). Ejemplo 6. Clculr ls mtrices socids f, g y h respecto de ls bses cnónics y comprobr l proposición nterior, siendo: PRÁCTICA 7: APICACIONES INEAES. V

6 FACUTAD DE CIENCIAS SOCIAES Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Are de Álgebr) f: 3 3 dd por f(x, y, z) = (x + y, 3x + y z, y + 5z). g: 3 3 dd por g(x, y, z) = (2x, y + z, x + y). h: 3 4 dd por h(x, y, z) = (2x, x + y, 3x + y z, 2y + z). f[{x_,y_,z_}]:={x+y, 3x+y-z, y+5z} g[{x_,y_,z_}]:={2x, y+z, x+y} h[{x_,y_,z_}]:={2x-z, x+y, 3x+y-z, 2y+z} s[{x_,y_,z_}] = f[{x,y,z}] + g[{x,y,z}]; p[{x_,y_,z_}] = 3*f[{x,y,z}]; c[{x_,y_,z_}] = h[f[{x,y,z}]]; B= IdentityMtrix[3]; Af = Trnspose[Tble [f[b[[i]]],{i,,3}]]; Ag = Trnspose[Tble [g[b[[i]]],{i,,3}]]; Ah = Trnspose[Tble [h[b[[i]]],{i,,3}]]; As = Trnspose[Tble [s[b[[i]]],{i,,3}]]; Ap = Trnspose[Tble [p[b[[i]]],{i,,3}]]; Ac = Trnspose[Tble [c[b[[i]]],{i,,3}]]; Af + Ag ==As 3*Af ==Ap Ah.Af ==Ac PRÁCTICA 7: APICACIONES INEAES. VI

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