Lección 9: LA MEDIDA. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

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1 Lección 9: LA MEDIDA. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL LA GEOMETRÍA La Geometría es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de la medida en el espacio. La palabra geometría procede de dos vocablos griegos: geos que significa Tierra (planeta) y metros que significa medida. Su significado literal sería entonces, medida de la Tierra Y, ciertamente, la Geometría nace de la necesidad que tenía el hombre de medir las distancias y los objetos que le rodeaban. Pero, qué es medir?, qué se mide?, con qué se mide? MAGNITUDES MEDIR es comparar una cantidad de una magnitud con una porción conocida de la misma magnitud, que se llama unidad de medida, comprobando cuántas veces la cantidad de magnitud desconocida contiene a la unidad. Por lo tanto, se miden MAGNITUDES. MAGNITUD es cualquier propiedad de los cuerpos que se puede medir y cuantificar (expresar con una cantidad). De algunas propiedades de los objetos o de las personas, como la imaginación, la belleza, la bondad no se puede decir qué cantidad existe. En cambio, a otras propiedades como la longitud, la masa, el tiempo, etc., se les puede asociar un número, es decir, podemos medirlas. Son magnitudes las propiedades físicas de los cuerpos como son la LONGITUD, la MASA, la CAPACIDAD, la SUPERFICIE, el VOLUMEN, el PESO, el TIEMPO, la TEMPERATURA, la VELOCIDAD, la FUERZA, la PRESIÓN, etc. OJO! NO SE DEBE CONFUNDIR LAS MAGNITUDES CON LAS UNIDADES DE MEDIDA. El metro, el quilogramo, el litro o el minuto, por ejemplo, NO SON MAGNITUDES. Son unidades de medida de magnitudes como la longitud, la masa, la capacidad o el tiempo. Para medir se pueden utilizar diferentes procedimientos: El método de medida directa consiste en obtener el resultado por comparación directa con una cantidad conocida de la magnitud. El método de medida indirecta consiste en utilizar una fórmula cuyo resultado es la medida. Las magnitudes que se pueden medir directamente se llaman MAGNITUDES FUNDAMENTALES. Son magnitudes fundamentales, entre otras, la LONGITUD, la MASA, la CAPACIDAD y el TIEMPO.

2 Las magnitudes que no se pueden medir directamente se llaman MAGNITUDES DERIVADAS. Su medida depende de la medida de las magnitudes fundamentales. Algunas de estas son la SUPERFICIE (depende de la longitud), el PESO (depende de la masa), el VOLUMEN (depende de la longitud o de la capacidad), la VELOCIDAD (depende de la longitud y del tiempo), etc Se puede usar como instrumento de medida, un aparato o dispositivo específico para obtener una medida de una determinada magnitud, una parte de nuestro cuerpo o un objeto que posea dicha magnitud. Cuando no se dispone de un instrumento de medida adecuado para hacer una medida o no se dispone de tiempo suficiente para hacerla y tampoco es necesario ser demasiado preciso en la medición se puede hacer una estimación de dicha medida. Para hacer una buena estimación se debe tener en cuenta: - Hacernos una idea clara de la unidad de medida en la que queremos hacer la estimación. - Comparar mentalmente la medida que queremos hacer con la de objetos cercanos o partes de nuestro cuerpo cuya medida conocemos más o menos. - Si la medida que se quiere hacer es muy grande, dividirla en partes más o menos iguales, tomando como referencia marcas que puede haber en el objeto que se quiere medir. La precisión de una medida va a depender del instrumento de medida que se utilice y de la persona que la realice, por lo que se pueden cometer errores, lo que no quiere decir que la medida sea equivocada. Cualquier medida puede ser errónea. Los errores pueden ser: - Sistemáticos: son los que se deben al mal funcionamiento de un instrumento de medida o a su mala utilización. Producen siempre un aumento de la medida exacta o siempre una disminución. - Accidentales: Son aquellos cuya causa se desconoce y por lo tanto unas veces aumenta el valor real de la medida y otras veces las disminuye, de manera imprevisible. En toda medida hay distinguir entre error absoluto y error relativo. - ERROR ABSLUTO (Ea): es el valor absoluto de la diferencia entre el valor medido (Vm) y el valor real de la medida (Vr). EE aa = VV mm VV rr - ERROR RELATIVO (Er): es el cociente entre error absoluto y el valor real de la medida. EE rr = EE aa VV rr ACTIVIDAD RESUELTA La distancia desde la casa de Luis al Instituto se estima que es de m pero una de las mediciones hechas para determinarla ha dado m. La distancia de Madrid a Barcelona es de 620 kilómetros pero en una de las mediciones realizadas se obtuvo una distancia de km.

3 a) Calcula los errores absolutos cometidos en ambas mediciones. b) Calcula los errores relativos de ambas mediciones. c) Cuál es la medida más aproximada a la real? Distancia real de la casa de Luís al Instituto: m al Instituto: m Distancia medida de la casa de Luís Distancia real de Madrid a Barcelona: 620 km Km Distancia medida de Madrid a Barcelona: a) Errores absolutos? El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor medido y el valor real. EE aa = VV mm VV rr EE aa = = 4 = 4 mm, error absoluto cometido en la medición de la distancia entre la casa de Luis y el Instituto. EE aa = = = 0 62 kkkk = 620 mm, error absoluto cometido en la medición de la distancia entre Madrid y Barcelona. El error absoluto cometido en la medición de la distancia entre la casa de Luis y el Instituto fue de 4 m y el error absoluto cometido en la medición de la distancia entre Madrid y Barcelona fue de 620 m.. b) Errores relativos? - El error relativo es el cociente entre error absoluto y el valor real de la medida. 4 EE rr = EE aa EE VV rr = = 0 002, es el error relativo cometido al medir la distancia rr desde la casa de Luís al Instituto. E r = E a EE V rr = 0,62 r 620 = 0 001, es el error relativo cometido al medir la distancia desde Madrid a Barcelona. El error relativo cometido en la medición de la distancia entre la casa de Luis y el Instituto fue de y el error relativo cometido en la medición de la distancia entre Madrid y Barcelona fue de c) Medida más aproximada a la real? Como >0 001, por lo que es mayor el error cometido al medir la distancia desde la casa de Luís al Instituto. La medida más aproximada es la medida de la distancia de Madrid a Barcelona.

4 Las medidas se pueden expresar: - En FORMA INCOMPLEJA, cuando se expresa con una sola unidad de medida. Por ejemplo, 274 metros. - En FORMA COMPLEJA, cuando se expresa con varias unidades distintas. Por ejemplo: 2 hectómetros 7 decámetros 4 metros. ====================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente los apuntes anteriores, reflexiona y estudia lo destacado. Cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. 1.- Indica cuales de las siguientes propiedades son magnitudes. - COLOR TEMPERATURA LONGITUD SUPERFICIE VOLUMEN BELLEZA MASA - OLOR EDAD. 2.- Cuáles de las siguientes características de una persona se pueden medir: - MASA COLOR DE OJOS SIMPATÍA TALLA DE ZAPATOS BELLEZA CINTURA - COLOR EDAD - ALTURA 3.- Indica cuales de las siguientes magnitudes son fundamentales y cuáles son derivadas. a) LONGITUD b) SUPERFICIE c) CAPACIDAD d) MASA e) VELOCIDAD f) TIEMPO g) VOLUMEN f) TEMPERATURA 4.- Clasifica las siguientes medidas en complejas e incomplejas. a) 24 kilómetros. b) 2 metros 5 centímetros c) 14 litros d) 6 m 2 f) 3 kilogramos 2 hectogramos 5 decagramos. g) 4 hectómetros 5 decámetros. 5.- Cita objetos cuya medida estimada sea cada una de éstas: a) 1 metro. b) 20 kilogramos. c) 5 litros. d) 10 horas. 6.- Señala una lista de aparatos o instrumentos que sirvan para medir las siguientes magnitudes: a) LONGITUD: b) SUPERFICIE: c) VOLUMEN: d) TEMPERATURA: e) CAPACIDAD: f) TIEMPO: 7.- Al medir una distancia de 54 metros, Xoán ha medido m. Cuál es el error absoluto cometido? Y el error relativo?

5 8.- Al pesar un paquete de 1 kg de arroz se comprueba que pesa 985 g. Tomando como peso real el que indica el paquete, cuál fue el error absoluto cometido? Y el error relativo cometido? ==================================================================== SISTEMA MÉTRICO DECIMAL. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES Las unidades de medida se organizan en sistemas de unidades. Un sistema de unidades es un conjunto de unidades de medida que permite medir diferentes magnitudes. En la actualidad los sistemas de unidades más utilizados son: - El Sistema Métrico Decimal (SMD) fue creado en Francia en el siglo XVIII y establece una unidad patrón para cada una de las magnitudes: Metro (m) para la LONGITUD. Gramo (g) para la MASA. Litro (l) para la CAPACIDAD. A partir de ellas se forman una serie de unidades mayores (múltiplos) y menores (divisores) que la unidad patrón. Cada uno de los múltiplos es diez veces mayor que la unidad de orden inmediatamente inferior y cada divisor es diez veces menor que la unidad de orden inmediatamente superior. Se construyen con los siguientes prefijos seguidos dele nombre de la unidad patrón: PREFIJO SÍMBOLO EQUIVALENCIA MIRIA ma KILO k 1000 HECTO h 100 DECA da 10 DECI d 0 1 CENTI c 0,01 MILI m El Sistema Internacional de Unidades (SI) que se creó en También es un sistema métrico decimal. El SI se utiliza en muchos países del mundo, entre ellos España y establece siete unidades básicas o patrón de medida. Las correspondientes a la longitud, la masa y el tiempo son:

6 En el Sistema Internacional se cambia el gramo por el kilogramo como unidad patrón de la masa. Estas tres magnitudes son FUNDAMENTALES. Las demás unidades del SI se derivan a partir de las magnitudes fundamentales. Por ejemplo: La unidad de superficie es el metro cuadrado (m 2 ), el área de un cuadrado de lado 1 m. La unidad de volumen es el metro cúbico (m 3 ), el volumen de un cubo que tiene 1 m de arista. Para expresar la medida de cantidades muy grandes o muy pequeñas de una magnitud, es habitual utilizar múltiplos o submúltiplos de las unidades del SI. Éstos se forman con los prefijos de la tabla siguiente: - El Sistema Sexagesimal, en el que cada unidad múltiplo de la unidad patrón es sesenta veces mayor que la unidad de orden inmediatamente inferior y cada divisor es sesenta veces menor que la unidad de orden inmediatamente superior. Es el que se utiliza para establecer las equivalencias entre las unidades de las magnitudes TIEMPO y AMPLITUD ANGULAR. ========================================================================

7 ACTIVIDADES Lee detenidamente los apuntes anteriores, reflexiona y estudia lo destacado. Cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor. 9.- Describe las ventajas que supone la implantación del Sistema Métrico Decimal en la mayoría de los países Indica cuáles de las siguientes unidades son fundamentales y cuales derivadas en el SI: METRO - METRO CUADRADO - LITRO - KILOGRAMO METRO CÚBICO - SEGUNDO ==================================================================================== LA LONGITUD, MASA Y CAPACIDAD La unidad de longitud en el SI es el metro. Multiplicando o dividiendo el metro por potencias de 10 se obtienen sus múltiplos y submúltiplos. Los múltiplos y submúltiplos más usuales son los que puedes ver en la siguiente tabla: Cambio de unidades de longitud Cada unidad de longitud es 10 veces menor que la anterior y 10 veces mayor que la posterior. Por tanto: Para pasar una medida expresada en una unidad a la situada debajo de ella en la tabla, se multiplica por 10: 1,56 hm = 15,6 dam = 156 m = 1560 dm = cm = Para pasar una medida expresada en una unidad a la situada encima de ella en la tabla, se divide por 10: En general: 543 cm = 54,3 dm = 5,43 m = 0,543 dam = 0,0543 hm = Para pasar de una unidad a otra situada debajo, se multiplica por un uno seguido de tantos ceros como posiciones bajamos. Por ejemplo, para expresar 4,875 km en decímetros, debemos multiplicar por 10000, pues para ir de kilómetro a decímetro en la tabla, debemos bajar cuatro posiciones: 4,875 km = 4, dm = dm

8 Para pasar de una unidad a otra situada encima, se divide por un uno seguido de tantos ceros como posiciones subimos. Por ejemplo, para expresar 15 dm en hectómetros, debemos dividir por 1000, pues para ir de decímetro a hectómetro en la tabla, debemos subir tres posiciones: El cambio de unidades se simplifica con el uso de una tabla como la siguiente: Fíjate en que hemos colocado la cifra de las unidades en la columna correspondiente a la unidad de medida, y las restantes a derecha e izquierda, completando con ceros cuando ha sido necesario. Paso de forma compleja a incompleja, y viceversa Una medida de longitud, como cualquier otra medida, se puede expresar en forma incompleja (una sola unidad) o compleja (varias unidades). Para pasar de forma compleja a forma incompleja basta con reducir todas las cantidades a la misma unidad y sumar. El paso de forma incompleja a compleja resulta sencillo con la ayuda de una tabla como la anterior. EJEMPLOS 1. Expresa 15 m 17 cm 4 mm en forma incompleja (centímetros). Pasamos los 15 m y los 4 mm a centímetros: 15 m = cm = 1500 cm ; 4 mm = 4 : 10 cm = 0,4 cm Sumamos todas las cantidades expresadas en centímetros: 2. Expresa 4,25 hm en forma compleja cm + 17 cm + 0,4 cm = 1517,4 cm Colocamos las cifras en las columnas correspondientes:

9 Masa La unidad de masa en el SI es el kilogramo. Por razones históricas, los múltiplos y submúltiplos se forman añadiendo prefijos a la palabra gramo. En la siguiente tabla puedes ver los más usuales: Para medir masas grandes, se usa la tonelada (t): 1 t = 1000 kg Cambio de unidades de masa Cada unidad de masa es 10 veces menor que la anterior y 10 veces mayor que la posterior. Por tanto: Para pasar de una unidad a otra situada debajo, se multiplica por un uno seguido de tantos ceros como lugares bajamos. Por ejemplo, para pasar de kilogramos a decagramos multiplicamos por 100, pues bajamos dos posiciones: 25 kg = dag = 2500 dag Para pasar de una unidad a otra situada encima, se divide por un uno seguido de tantos ceros como posiciones subimos. Por ejemplo, para pasar de centigramos a decagramos dividimos por 1000, pues subimos tres posiciones: 345 cg = 345 : 1000 dag = 0,345 dag El cambio de unidades, así como el paso de una medida de forma compleja a incompleja, y viceversa, se simplifican también con una tabla:

10 Capacidad La unidad de capacidad en el sistema métrico decimal es el litro. Multiplicando o dividiendo el litro por potencias de 10 se obtienen sus múltiplos y submúltiplos. En la siguiente tabla puedes ver los más usuales: Cambio de unidades de capacidad Cada unidad de capacidad es 10 veces menor que la anterior a ella y 10 veces mayor que la posterior. Por tanto, como en el caso de las unidades de longitud y de masa, tendremos: Para pasar de una unidad a otra situada debajo, se multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como posiciones bajamos. Por ejemplo, para pasar de hectolitros a decilitros multiplicamos por 1000, pues bajamos tres posiciones: 15,3 hl = 15, dl = dl Para pasar de una unidad a otra situada encima, se divide por la unidad seguida de tantos ceros como posiciones subimos. Por ejemplo, para pasar de decilitros a kilolitros dividimos por 10000, pues subimos cuatro posiciones: 359 dl = 359 : 1000 kl = 0,0359 kl El cambio de unidades, así como el paso de una medida de forma compleja a incompleja y viceversa, se simplifican también con el uso de una tabla: ====================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente los apuntes anteriores, reflexiona y estudia lo destacado. Cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor.

11 11.- Expresa las siguientes medidas de longitud en la unidad que se indica: a) 7 34 km en metros. b) km en decímetros. c) 25 3 dm en decámetros Expresa de forma incompleja en metros: a) 9 hm 4 dam 7 m. b) 3 hm 5 dam 3 dms Expresa de forma compleja: a) 758 mm b) m En qué unidad expresarías la masa de a) un elefante? b) una aspirina? c) un televisor? 15.- Cuántas granos de café hay en un paquete de un kg si la masa de un grano es de 50 mg? 16.- Expresa las siguientes medidas de masa en la unidad que se indica: a) 6 hg 5 dag en gramos. b) kg en toneladas. c) 5 g en miligramos Expresa en centilitros: a) 0 75 l = b) 0 4 l = 18.- En qué unidad expresarías la capacidad de a) una cucharilla? b) un bote de refresco? c) un camión cisterna? d) una piscina? 19.- Expresa las siguientes medidas de capacidad en la unidad que se indica: a) 230 ml en litros. b) 0 65 l en centilitros. c) 4 hl 4 dal 4 l en litros Cuántas jarras de 75 cl debes verter en un barril de 30 dl para llenarlo? ======================================================================

12 9.5. SUPERFICIE La unidad de superficie en el SI es el metro cuadrado. Multiplicando o dividiendo el metro cuadrado por potencias de 100 se obtienen sus múltiplos y submúltiplos. En la siguiente tabla se recogen los más usuales: Cambio de unidades de superficie Cada unidad de superficie es 100 veces menor que la anterior y 100 veces mayor que la posterior. Por tanto: Para pasar de una unidad a otra situada debajo, se multiplica por un uno seguido de tantos ceros como el doble de las posiciones que bajamos. Por ejemplo, para pasar de km 2 a dam 2 multiplicamos por 10000, pues bajamos dos posiciones: 15 km 2 = dam 2 = dam 2 Para pasar de una unidad a otra situada encima, se divide por un uno seguido de tantos ceros como el doble de las posiciones que subimos. Por ejemplo, para pasar de mm 2 a dm 2 dividimos por 10000, pues subimos dos lugares: 345 mm 2 = 345 : dm 2 = 0,0345 dm 2 El cambio de unidades y el paso de la expresión compleja a la incompleja, y viceversa, también pueden efectuarse mediante una tabla: UNIDADES AGRARIAS Para expresar la medida de la superficie de fincas, campos, bosques, montes, se suelen utilizar las llamadas unidades agrarias: hectárea (ha), área (a) y centiárea (ca). La relación entre estas unidades es: 1 ha = 100 a 1 a = 100 ca = 100 m 2 Las equivalencias con las unidades de superficie del SI son:

13 EJEMPLO 1 ha = 1 hm 2 = m 2 1 a = 1 dam 2 1 ca = 1 m 2 Expresa en metros cuadrados la extensión de un campo de labranza que mide 9 ha 45 a 23 ca. Utilizamos las equivalencias anteriores para expresar las hectáreas, las áreas y las centiáreas en metros cuadrados: Sumamos estas cantidades: 9 ha = 9 hm 2 = m 2 = m 2 45 a = 45 dam 2 = m 2 = 4500 m 2 23 ca = 23 m m m m 2 = m 2 ====================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente los apuntes anteriores, reflexiona y estudia lo destacado. Cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor Indica cuáles son las unidades más apropiadas para medir las siguientes superficies: a) El continente europeo. b) Una página del cuaderno. c) Una cancha de baloncesto Expresa en metros cuadrados: a) 4 km 2 b) 50 dm 2 c) 0 8 hm 2 d) cm 2 e) 17 dam 2 f) 2 3 km Expresa en metros cuadrados: a) 40 ca. b) 1 2 ha. c) 8 ha. d) 6 ha 15 a e) 9 a f) 3 ha 25 a 67 ca 24.- Para la construcción de un embalse se han expropiado ha. Si se paga a 1 20 el metro cuadrado, cuánto dinero recibirán los propietarios?

14 25.- En un incendio forestal se han quemado ha de bosque. Si había un pino cada 50 m 2, cuántos pinos han ardido? 26.- Una finca tiene un olivar que ocupa 3 ha, una tierra de secano de 8 ha 25 a y una casa de 600 ca. Cuál es superficie de la finca en metros cuadrados? ====================================================================== VOLUMEN La unidad de volumen en el SI es el metro cúbico. Multiplicando o dividiendo el metro cúbico por potencias de 1000 se obtienen sus múltiplos y submúltiplos. En la siguiente tabla se recogen los más usuales: Cambio de unidades de volumen Cada unidad de volumen es 1000 veces menor que la anterior y 1000 veces mayor que la posterior. Por tanto: Para pasar de una unidad a otra situada debajo, se multiplica por un uno seguido de tantos ceros como el triple de las posiciones que bajamos. Por ejemplo, para pasar de km 3 a m 3 multiplicamos por , pues bajamos tres posiciones: 0,15 km 3 = 0, m 3 = m 3 Para pasar de una unidad a otra situada encima, se divide por un uno seguido de tantos ceros como el triple de las posiciones que subimos. Por ejemplo, para pasar de dm 3 a dam 3 dividimos por , pues subimos dos posiciones: dm 3 = : dam 3 = 0,2353 dam 3 El cambio de unidades y el paso de la expresión compleja a la incompleja, y viceversa, también pueden efectuarse mediante una tabla.

15 VOLUMEN Y CAPACIDAD El volumen y la capacidad son la misma magnitud, pero se acostumbra a utilizar el volumen cuando se trata de medir el espacio que ocupa un cuerpo sólido y la capacidad cuando se habla de líquidos o gases. Por definición de litro, se tiene: 1 l = 1 dm 3 De esta relación se deducen las restantes equivalencias con las unidades de volumen del SI: 1 kl = 1000 l = 1000 dm 3 = 1 m 3 1 kl = 1 m 3 1 ml = l = 0'001 dm 3 = 1 cm 3 1 ml = 1 cm 3 Ten en cuenta que muchas veces encontrarás escrito cc en vez de cm 3. Estas equivalencias permiten el paso de unas unidades a otras. Por ejemplo: Para pasar 450 cm 3 a litros, hacemos: 450 cm 3 = 450 ml = 0 45 l Para pasar 13,45 ml a decímetros cúbicos, hacemos: 13,45 ml = 13,45 cm 3 = 0,01345 dm 3 ======================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente los apuntes anteriores, reflexiona y estudia lo destacado. Cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor Indica cuáles son las unidades más apropiadas para medir el volumen de: a) Una caja de zapatos. b) Una vaca. c) Una nave industrial. d) Una goma de borrar. e) Una ampolla de antibiótico. f) Un rascacielos Expresa en metros cúbicos y en decímetros cúbicos los siguientes volúmenes: a) cm 3 b) 78 5 mm 3 c) hm 3 d) 1 56 dam 3 e) 2 35 hm 2 f) 8 4 km 2

16 29.- Cuántas cajas de 600 cm 3 se necesitan para embalar 90 m 3 de arroz? 30.- Expresa las siguientes medidas en litros: a) 7 m 3. b) 45 dm 3. c) cm Expresa estas medidas en metros cúbicos: a) l. b) 15 hl. c) cl Si un barril tiene 200 l de capacidad, cuántos se necesitarían para almacenar 80 m 3 de vino? ====================================================================== SISTEMA DE MEDIDA SEXAGESIMAL: MEDIDA DEL TIEMPO La unidad de tiempo en el SI es el segundo. Respecto de otras unidades, sus múltiplos y submúltiplos más utilizados tienen, por razones históricas, ciertas peculiaridades: Para medir intervalos de tiempo menores que el segundo, se emplean los submúltiplos decimales habituales. Sin embargo, se suele hablar de décimas, centésimas de segundo, no de decisegundos, centisegundos Para medir intervalos de tiempo mayores que el segundo, se emplean múltiplos no decimales: minuto (min), hora (h), día (d) 1 min = 60 s 1 h = 60 min 1 d = 24 h Horas, minutos y segundos se relacionan multiplicando y dividiendo por 60. Se habla entonces de múltiplos sexagesimales. A su vez, los días se agrupan en meses (30 días) y los meses, en años (12 meses). Finalmente, para medir unidades de tiempo mayores que el año se utilizan el lustro (5 años), la década (10 años), el siglo (100 años) EXPRESIÓN COMPLEJA Y EXPRESIÓN INCOMPLEJA Como todas las medidas, una medida de tiempo puede expresarse en forma incompleja (una sola unidad) o compleja (varias unidades). Para pasar de forma incompleja a compleja, y viceversa, se aplican las equivalencias entre unidades. EJEMPLOS 1. Expresa 5 min 27 s en forma incompleja (segundos). Pasamos los minutos a segundos, utilizando que 1 min = 60 s, y sumamos al resultado los 27 s = 300; = 327 => 5 min 27 s = 327 s

17 2. Expresa 9435 s en forma compleja (horas, minutos y segundos). Se divide 9435 s entre 60. El cociente de la división, 157, son minutos, y el resto, 15, son segundos. A continuación, se divide 157 entre 60. El cociente de esta división son las horas, y el resto, los minutos. OPERACIONES Veamos cómo efectuar operaciones con medidas de tiempo. Suma y resta Si las dos medidas están expresadas en forma incompleja de la misma unidad, se efectúa la suma o resta y se expresa el resultado en la misma unidad: 27 h + 34 h = 61 h Si las dos medidas están expresadas en forma compleja debes proceder como en los ejemplos siguientes. EJEMPLOS 1. Suma 14 h 35 min 28 s y 12 h 56 min 59 s. 2. Calcula 90 h 27 h 12 min 53 s. Como no podemos restarle 53 s a 0 s, ni 12 min a 0 min, pasamos 1 h a minutos y 1 min a segundos: 90 h = 89 h 60 min = 89 h 59 min 60 s. Luego: Por tanto, 90 h 27 h 12 min 53 s = 62 h 47 min 7 s. Producto y cociente por un número natural Para multiplicar o dividir una medida de tiempo por un número natural, seguiremos el procedimiento de los siguientes ejemplos. EJEMPLOS 1. Efectúa la multiplicación 4 (12 h 17 min 23 s).

18 Hacemos 4 (12 h 17 min 23 s) = 48 h 68 min 92 s. Como 60 s = 1 min, resulta 48 h 68 min 92 s = 48 h 69 min 32 s. Como 60 min = 1 h, resulta 48 h 69 min 32 s = 49 h 9 min 32 s. 2. Divide 50 h 71 min 30 s en tres partes iguales. Dividimos las horas entre 3: Pasamos el resto a minutos y los sumamos a los 71 min: Dividimos los minutos entre 3: 2 h = 120 min 120 min + 71 min = 191 min Pasamos el resto de la división a segundos y los sumamos a los 30 s. Se dividen los segundos entre 3: 2 min = 120 s 120 s + 30 s = 150 s El resultado de la división es 16 h 63 min 50 s, que, transformando 60 min en 1 h, es 17 h 3 min 50 s. ====================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente los apuntes anteriores, reflexiona y estudia lo destacado. Cuando creas que lo sabes, haz las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor Expresa en segundos las siguientes medidas de tiempo: a) 12 h 45 min 24 s. b) 5 h 45 s. c) 9 h 30 min. d) 1 h 25 min 10 s Expresa en forma compleja: a) s b) min c) s d) s

19 35.- De una fuente manan 15 l por minuto. Cuántos metros cúbicos manan en 1 h? Y en 1 s? 36.- El caudal de un río en la desembocadura es de 42 m 3 por segundo. Cuántos litros de agua del río desembocan en el mar cada día? 37.- Efectúa las siguientes sumas: a) (17 h 45 min 52 s) + (20 h 18 min 57 s) = b) (48 h 15 min 35 s) + (40 h 40 min 40 s) = c) (53 h 10 min 60 s) + (20 h 13 min 50 s) = d) ( 35 h 23 min 54 s) + (24 h 8 min 55 s) = 38.- Efectúa las siguientes restas: a) (3 h 15 min 20 s) (1 h 25 min 30 s) = b) (12 h 30 min) (7 h 50 min 17 s) = c) (48 h 45 s) (5 h 13 min 50 s) = d) ( 52 h 17 min 58 s) + (10 h 55 min 32 s) = 39.- Calcula: 4 (4 h 28 min) = 40.- Halla: 5 (13 h 50 min 12 s) = 41.- Averigua el resultado de esta operación: 3 (50 h 56 min 45 s) (32 h 58 min 48 s) = 42.- Divide: (42 h 58 min 48 s) : 4 = 43.- Divide: (54 h 48 min 28 s) : 2 =

20 44.- Isabel ha estudiado 3 h 20 min por la mañana y 2 h 40 min por la tarde. Cuánto tiempo ha estudiado en total? Cuánto ha estudiado más por la mañana que por la tarde? 45.- Para probar un coche en una fábrica se dan vueltas a un circuito a velocidad constante. Si tarda 1 min 12 s en cada vuelta, cuánto tardará en dar 6 vueltas? Y en dar 10 vueltas? 46.- En un turno de 8 h una cadena ha funcionado sin interrupción y ha fabricado piezas. Cuánto tiempo tarda en fabricar una pieza? ===================================================================== ACIVIDADES FINALES 47.- Indica cuáles de estas medidas son directas y cuáles son indirectas: a) La longitud de una valla, medida con una cinta métrica. b) La superficie del suelo de una habitación rectangular, calculada multiplicando el largo por el ancho. c) La masa de una persona, medida con una báscula. d) La masa de una persona, calculada con una fórmula a partir de la altura y la edad Escribe la unidad que consideres más adecuada para medir cada una de estas magnitudes: a) La distancia desde Barcelona hasta Sevilla. b) La longitud de una mesa. c) La superficie de un Parque Nacional. d) La capacidad de una lata de refresco. e) El tiempo que dura una clase Al medir una distancia de 120 cm se comete un error de 3 cm. Cuál es el error relativo cometido?

21 50.- Expresa en la unidad que se pide: a) m en km. b) 67 cm en mm. c) 48 dm en m. d) hm en m Ordena de menor a mayor: m 1 2 km cm 52.- Pasa las siguientes medidas de masa a la unidad indicada: a) 3 5 g a mg. b) 4 58 kg a g. c) 2 7 cg a g. d) 563 mg a kg e) 2 6 hg a cg. f) 0 76 kg a dg Expresa en toneladas las siguientes medidas de la masa: a) g. b) hg. c) 458 kg. d) dag Convierte las siguientes medidas a la unidad indicada: a) ml a litros. b) 9 47 hl a litros. c) 1 25 litros a cl. d) 665 litros a hl Indica en que unidad es la más apropiada para expresar cada la superficie de... a) un campo de futbol. b) un monte. c) la sección de un cable. d) un país Expresa en la unidad que se indica: a) 3 km 2 en m 2. b) cm 2 en dm 2. c) 1 3 dm 2 en mm 2. d) 0 4 m 2 en dam Expresa en metros cuadrados: a) 40 ha. b) 2 a. c) 500 ca Expresa en metros cúbicos: a) cm 3. b) 84 5 dm 3. c) 0 75 dam 3. d) dm 3. e) 0 3 hm 3. d) km 3.

22 59.- Expresa en metros cúbicos las siguientes medidas de capacidad: a) litros. b) 457 ml. c) 27 dal. d) 482 kl Expresa en centímetros cúbicos las siguientes medidas de capacidad: a) 7 4 litros. b) 65 cl. c) 0 5 kl. d) dal. e) 6 8 hl. d) ml Expresa en litros: a) 54 m 3. b) 0 15 m 3. c) 9 hm 3. d) dam 3.