Construcción de los números reales.

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1 B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x y ) = 0. Esta relació es de equivalecia. E efecto, claramete es reflexiva y simétrica. Tambié es trasitiva pues si (x ) =1 (y ) =1 y (y ) =1 (z ) =1 teemos lím (x y ) = lím (y z ) = 0, y aplicado propiedades coocidas de las sucesioes: lím (x z ) = lím (x y + y z ) = lím (x y ) + lím m (y z ) = 0, lo que implica que (x ) =1 (z ) =1. El cojuto cociete C/ será deotado por R. Si x R es ua clase de equivalecia y (x ) =1 es u represetate de dicha clase, escribiremos x = [x ]. Vamos a ver que R es u cuerpo ordeado, arquimediao y completo. E primer lugar establezcamos u resultado técico que utilizaremos más adelate. Lema B Si (x ) =1 es ua sucesió de Cauchy de úmeros racioales que o coverge a 0 etoces existe u racioal ε 0 > 0 y 0 N tal que si 0 se cumple que x > ε

2 176 Como (x ) =1 o coverge a 0, existe u úmero racioal ε 0 > 0 tal que para todo N se puede ecotrar u úmero m tal que x m > 2ε 0. Por otra parte, (x ) =1 es ua sucesió de Cauchy, luego para dicho ε 0 existe 0 N tal que si, m 0 se tiee x x m < ε 0, es decir x m ε 0 < x < x m + ε 0. Tomemos m 0 de tal modo que x m > 2ε 0, lo cual implica que o bie x m > 2ε 0, o bie x m < 2ε 0. Si 0 y se da la primera posibilidad, teemos ε 0 = 2ε 0 ε 0 < x m ε 0 < x ; por el cotrario, si ocurre lo segudo, os queda x < x m + ε 0 < 2ε 0 + ε 0 = ε 0, y de las dos últimas desigualdades se deduce que x m > ε 0. Suma y producto Dados dos elemetos x = [x ], y = [y ] R, defiimos las siguietes operacioes: Suma: x + y = [x + y ] Producto: xy = [x y ] Veamos que las defiicioes so cosistetes. E efecto, si [x ] e [y ] so otros represetates de x e y respectivamete, comprobemos que [x + y ] defie la misma clase de equivalecia que [x + y ]. Como [x ] = [x ] e [y ] = [y ] se cumple lím (x x ) = lím (y y ) = 0, luego lím (x + y (x + y )) = lím (x x ) + lím (y y ) = 0, lo que implica que x + y = [x + y ] = [x + y ]. De forma similar para el producto podemos poer x y x y = x y x y + x y x y = x (y y ) + x (y y ) y como toda sucesió de Cauchy es acotada y el producto de ua sucesió covergete a 0 por otra acotada, coverge a 0, teemos que lím (x y x y ) = 0, co lo que xy = [x y ] = [x y ]. Topología de Espacios Métricos

3 B. Costrucció de los úmeros reales. 177 Proposició B R co las operacioes suma y producto es u cuerpo. Es fácil comprobar que R co la suma es u grupo abeliao aditivo cuyo elemeto eutro es 0 = [0], la clase de equivalecia de la sucesió costate co todos sus térmios iguales a 0. Tampoco ofrece dificultad probar que R co el producto es u grupo abeliao multiplicativo cuyo elemeto eutro es 1 = [1], la clase de equivalecia de la sucesió costate cuyos térmios so iguales a 1. Sólo veremos que todo elemeto x R distito de 0, tiee u iverso que deotaremos por x 1. Si x = [x ] la sucesió (x ) =1 es de Cauchy y o coverge a 0; segú el Lema B.0.12 existe u úmero racioal ε 0 > 0 y u úmero 0 N tales que si 0, etoces x > ε 0, es decir, x 0, de tal modo que para todo 0 existe x 1 = 1/x. Defiimos etoces la sucesió (x ) =1 y como y = 0 si < 0 Esta sucesió verifica: x 1 = 1 x si 0 (A) (y ) =1 es ua sucesió de Cauchy. E efecto, dado u úmero racioal ε > 0, por ser (x ) =1 ua sucesió de Cauchy, existe m 0 N, que podemos tomar m 0 0, tal que x p x q < ε 2 0 ε si p, q m 0 ; por tato, podemos escribir y p y q = 1 1 x p y q = x p x q < x p x q x p x q ε 2 < ε2 0 ε 0 ε 2 = ε. 0 (B) [y ] es el iverso de [x ]. Para probar que [x y ] = [1] vamos a demostrar que lím (x y 1) = 0. Si 0 teemos que x y 1 = x x 1 1 = 0, es decir, (x y ) =1 es la sucesió costate 1 a partir del térmio 0. El resto de propiedades de cuerpo so de comprobació imediata. Diremos que u elemeto x = [x ] R es positivo si existe u racioal ε 0 > 0 y u úmero 0 N tales que si 0 se verifica x > ε 0 ; e este caso escribiremos x > 0. Esta defiició o depede del represetate elegido; e efecto, si [x ] = x es otro represetate de x y cosideramos ε 0 > 0, existe m 0, que podemos tomar m 0 > 0, tal que si > m 0 etoces x x < ε 0 /2, de dode se deduce que x = x (x x ) > ε 0 ε 0 2 = ε 0, co lo que queda clara la idepedecia del represetate elegido. OCW-Uiversidad de Murcia

4 178 Proposició B R es u cuerpo totalmete ordeado. Dados x, y R, defiimos la siguiete relació: x y si, y sólo si, x y 0, etediedo que x y 0 si x y es positivo o 0. Veamos que es ua relació de orde total. E primer lugar, es claramete reflexiva. E cuato a la atisimetría, si x y e y x, podemos supoer que x y > 0, pues si x y = 0, etoces x = y (por ser R u cuerpo) y o habría ada que probar. Etoces existe ε 0 > 0 y 0 tales que si 0, se tiee que x y > ε 0. Aálogamete, si supoemos y x > 0, existe ε 0 > 0 racioal y 0 tales que si 0 se tiee que y x > ε 0. Si tomamos ε 0 = mí{ε 0, ε 0 } y máx{ 0, 0 }, se verifica ambas desigualdades a la vez, es decir x y > ε 0 e y x > ε 0, y la seguda desigualdad es equivalete a x y < ε 0, lo cual es ua cotradicció, co lo que tedremos x = y. Tambié satisface la propiedad trasitiva; supogamos x y e y z. Si x = y o hay ada que probar y lo mismo sucede si y = z, de modo que supogamos que y x > 0 y que z y > 0. Etoces existe ε 0 > 0 racioal y 0 tales que 0 implica y x > ε 0 y existe ε 0 > 0 racioal y 0 tales que 0 implica z y > ε 0; si, como e el caso aterior tomamos ε 0 /2 = mí{ε 0, ε 0 } y máx{ 0, 0 } se verifica ambas desigualdades a la vez y tedremos z x = z y + y x > ε ε 0 2 = ε 0, co lo que z y > 0 y por tato x z. Sólo os resta demostrar que el orde es total, es decir, que si x, y R etoces bie x y, bie y x. Si uo de ellos es 0 o so iguales, o hay ada que probar. Supogamos etoces que x e y so distitos y iguo de ellos es 0. Si x = [x ] e y = [y ], se tiee que [y x ] [0] y (x y ) =1 es ua sucesió de Cauchy que o coverge a 0. Por el Lema B.0.12 se tiee que bie x y, bie y x. Co lo que termia la demostració de la proposició. Proposició B El cuerpo ordeado Q de los úmeros racioales es isomorfo a u subcuerpo de R. Es decir, existe u subcuerpo R R y ua aplicació f : Q R que verifica: Topología de Espacios Métricos

5 B. Costrucció de los úmeros reales. 179 (a) f es biyectiva. (b) f(p + q) = f(p) + f(q) para todo p, q Q. (b) f(pq) = f(p)f(q) para todo p, q Q. (d) Si p q, etoces f(q) f(q). Si tomamos R el subcojuto de R formado por los elemetos que tiee por represetates a sucesioes costates, es fácil ver que es u subcuerpo. De modo que defiimos f : Q R como f(p) = (p) la sucesió costate p; es imediato probar que f es biyectiva. La demostració del resto de propiedades se reduce a ua mera comprobació. Veamos, por ejemplo, la propiedad (d). Si p q teemos que bie p = q, y o hay ada que probar, bie q p es positivo; e este caso, las sucesió costate f(q) f(p) tambié es positiva, lo que implica que f(p) f(q). A partir de aquí podemos idetificar Q co el subcuerpo R. Tambié podemos defiir el valor absoluto como { x si x 0 x = x si x < 0 Se comprueba, tambié fácilmete, las propiedades coocidas del valor absoluto y que (R, ) es u espacio métrico. Ates de demostrar que se trata de u espacio métrico completo, veamos dos resultados iteresates. Proposició B Sea x, y R tales que x < y. Etoces existe q Q de maera que x < q < y. Sea x = [x ] e y = [y ]. Como x < y, existe u racioal ε > 0 y u atural 0 tales que si 0 se cumple que y x > ε. Por otra parte, las sucesioes (x ) =1 e (y ) =1 so de Cauchy, por lo que existe m 0 0 (que podemos tomar el mismo para las dos), tal que si m, m 0, se cumple las desigualdades: x x m0 < ε 4 y y y m0 < ε 4, que es equivalete a x m0 ε 4 < x < x m0 + ε 4 y y m0 ε 4 < y < y m0 + ε 4. OCW-Uiversidad de Murcia

6 180 Tomemos q = 1 2 x m 0 +y m0 y veamos que este racioal verifica la tesis del teorema. Si m 0 se verifica q x = 1 2 x m 0 + y m0 x > 1 2 x m 0 + y m0 x m0 ε 4 = 1 2 (y m 0 x m0 ) ε 4 > ε 2 ε 4 = ε 4, lo que sigifica que [x ] < [q]. De forma aáloga se comprueba que si m 0 etoces y q > ε/4, co lo que [q] < [y ]. Proposició B Se verifica: (a) Toda sucesió (x ) =1 de Cauchy e Q es covergete e R y su límite es precisamete x = [x ], es decir, la clase de equivalecia determiada por (x ) =1. (b) Q es deso e R. (a) Teemos que demostrar que para todo úmero real ε > 0 existe 0 tal que si 0, etoces x x < ε. Segú la Proposició B.0.16, existe u racioal ε > 0 cumpliedo 0 < 2ε < ε. Como (x ) =1 es de Cauchy e Q, existe 0 tal que si m, 0 se cumple x x m < ε, lo que es equivalete a que ε < x x m < ε para todo, m 0. Tomemos k 0 fijo. Etoces si m 0 podemos escribir 2ε (x k x m ) > 2ε ε = ε, lo que sigifica que los úmeros reales [x k x m ] = [x k ] [x m ] y [2ε ] cumple [x k x m ] = [x k ] [x m ] < [2ε ] (se etiede que, al haber fijado k, (x k ) represeta la sucesió costate co todos sus térmios iguales a x k y [x m ] es la clase de equivalecia de (x ) =1, ya que (x m) represeta la sucesió (x ) =1 a partir del térmio 0 ). Por tato, [x k x m ] = [x k ] [x m ] es u represetate del úmero real x k x, y así teemos x k x < 2ε. Teiedo e cueta que esto se puede hacer para todo k 0 cocluimos que x x < 2ε < ε, para todo 0. De uevo fijado k 0 y tomado m 0 obteemos que 2ε (x m x k ) > 2ε ε = ε, y co u razoamieto similar al aterior se cocluye que x x < 2ε < ε, para todo 0, Topología de Espacios Métricos

7 B. Costrucció de los úmeros reales. 181 lo que sigifica que y cocluye la demostració. x x < ε para todo 0, (b) Segú el apartado (a) aterior, para todo x = [x ] R, la sucesió (x ) =1 es de Cauchy e Q y coverge a x, co lo que teemos que x es u puto adherete a Q. Por tato, Q es deso (Q = R). Teorema B (R, ) es u espacio métrico completo. Sea (x ) =1 ua sucesió de Cauchy e R. Etoces para todo real ε > 0, existe 0 tal que si, m 0 se tiee que x x m < ε/3. Observemos que podemos tomar 0 > 3/ε para que se cumpla 1/ < ε/3 y 1/m < ε/3. Por otra parte, para cada N se tiee x < x + 1/ de modo que, segú la Proposició B.0.16, existe u racioal q tal que x < q < x + 1/, co lo que teemos defiida ua sucesió (x ) =1q que es de Cauchy e Q. E efecto, si, m 0 teemos q q m q x m + x m x + x q < 1 m + ε < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Etoces la Proposició B.0.17 asegura que (x ) =1q es ua sucesió de Cauchy e R que coverge a x = [q ]. Vamos a probar que la sucesió (x ) =1 tambié tiee por límite a x. Como lím q = x, para todo ε > 0 real existe m 0 (de uevo lo podemos tomar m 0 > 2/ε ) tal que si > m 0 se cumple que q x < ε /2. Etoces tomado > m 0 podemos poer x x x q + q x < 1 + ε 2 < ε 2 + ε 2 = ε, y, por tato, lím x = x. OCW-Uiversidad de Murcia

8 182 Topología de Espacios Métricos

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