Derivadas de orden superior. Segunda derivada

Transcripción

1 Derivadas de orden superior Segunda derivada La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si ff(xx) es una función y existe su primera derivada ff (xx) en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada y se representa por ff"(xx). Bajo la suposición de que todas las derivadas existen, puede diferenciarse una función yy = ff(xx) tantas veces como se desee. La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada. La cuarta derivada es la derivada de la tercera derivada, y así sucesivamente. Simbolizamos la tercera y cuarta derivada por: En general, si n es un entero positivo, entonces la n ésima derivada se define por: ff nn (xx) = dd dddd ddddnn 1 dddd nn 1

2 Aplicación de las derivadas en la construcción de gráficos Primera derivada Numero o Valor Crítico de una Función El número real xx = cc es un valor crítico de ff(xx), si ff (cc) = 0 o bien si ff (cc) = no existe. Crecimiento y decrecimiento de una función Función Creciente Se dice que una función ff(xx) es creciente en su dominio o un intervalo si ff (xx) > 0 para todo xx en el dominio o intervalo. Función Decreciente Se dice que una función ff(xx) es creciente en su dominio o un intervalo si ff (xx) < 0 para todo xx en el dominio o intervalo. Puntos máximos y mínimos locales Punto máximo Se dice que una función ff(xx) tiene un máximo local en el punto (cc, ff(cc)) si ff (xx) > 0 para todo valor xx justo antes de c y si ff (xx) < 0 para todo valor xx justo después de c. Punto mínimo Se dice que una función ff(xx) tiene un mínimo local en el punto (cc, ff(cc)) si ff (xx) < 0 para todo valor xx justo antes de c y si ff (xx) > 0 para todo valor xx justo después de c. Segunda derivada Concavidad Posible punto de inflexión El número real xx = cc es un valor posible punto de inflexión de ff(xx), si ff (cc) = 0 o bien si ff (cc) = no existe. Concavidad hacia arriba Una función ff(xx) es cóncava hacia arriba en su dominio o un intervalo si ff (xx) > 0 para todo valor xx en el dominio o intervalo

3 Concavidad hacia abajo Una función ff(xx) es cóncava hacia abajo en su dominio o un intervalo si ff (xx) < 0 para todo valor xx en el dominio o intervalo Punto de inflexión Se dice que una función ff(xx) tiene un punto de inflexión en (cc, ff(cc)) si ff(xx) cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo en ese punto o viceversa. 1. Dada la función 4 f( x) = x 4x a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. f '( x) = 8x 8x= 8 x( x 1) = 8 x( x+ 1) ( x 1) = 0 x= 1 x= 0 x= f ''( x) = 4x 8 = 0 x = = x= x= : = 1, = 0, = 1. : =, =. Puntos críticos x x x Posibles puntos de inflexión x x b) Encuentre los intervalos d c) Encuentre los intervalos d Intervalo f(x) f (x) f (x) Conclusión Trazo ], 1[ + f es decreciente y cóncava hacia arriba x = Punto mínimo: ( 1, ) 1, / + + f es creciente y cóncava hacia arriba x = / Punto de inflexión: ( 0.6, 1.1) /, 0 + f es creciente y cóncava hacia abajo x = Punto máximo: (0, 0) 0, / f es decreciente y cóncava hacia abajo x = / Punto de inflexión: (0.6, 1.1) /, 1 + f es decreciente y cóncava hacia arriba x = Punto mínimo: (1, ) ] 1, [ + + f es creciente y cóncava hacia arriba d) Haga un bosquejo de la g

4 . Dada la función f( x) = x + 4x x : a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. x f '( x) = x + 8x = (x 1) ( x + ) = 0 x 4 f ''( x) = 6x + 8 = 0 x = = 1 = b) Encuentre los intervalos d Intervalo ], [ ], 1 / [ ] 1 /, + [ Signo de f (x) + + Conclusión f es creciente f es decreciente f es creciente Cálculos Numéricos: f ( 4) = 1, f (0) =, f (1) = 8, f ( ) = 15, f (1 / ) = 95 / 7.5 c) Encuentre los intervalos d Intervalo ], 4 / [ ] 4 /, + [ Signo de f (x) + Conclusión f es cóncava hacia abajo f es cóncava hacia arriba Cálculos Numéricos: f ( ) = 4, f (0) = 8, f ( 4 / ) = 155 / d) Haga un bosquejo de la g Previamente diseñaremos un cuadro resumen.

5 Intervalo Conclusión ], [ f es creciente y cóncava hacia abajo x = Punto máximo relativo: (, 15) ], 4 / [ f es decreciente y cóncava hacia abajo x = 4 / Punto de inflexión: ( 4 /, 155 / 7) ( 4 /, 5.7) ] 4 /, 1 / [ f es decreciente y cóncava hacia arriba x = 1 / Punto mínimo relativo: ( /, 95 / 7 ) ( /,.5) ] 1 /, + [ f es creciente y cóncava hacia arriba. Dada la función f( x) 5 5 x = 4 x a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. 4 f '( x) = x 4x = x ( x 4) = x ( x + )( x ) ( ) ( )( ) f ''( x) = 4x 8 x = 4x x = 4x x + x

6 Puntos críticos: x =, x = 0, x =. Posibles puntos de inflexión: x =, x= 0, x = b) Encuentre los interval Intervalo ], [ ], 0[ ]0, [ ], + [ Signo de f (x) + + Conclusión f es creciente f es decreciente f es decreciente f es creciente Punto máximo: (, ) Punto mínimo: ( 64 ) (, 4.)., 15 (, 4.). c) Encuentre los intervalos d Intervalo ], [ ], 0 [ ] 0, [ ], + [ Signo de f (x) + + Conclusión f es cóncava hacia abajo Puntos de inflexión:, ( 14., 6.) f es cóncava hacia arriba 8, (0, 0), 15 8, ( 14., 6.) 15 f es cóncava hacia abajo f es cóncava hacia arriba d) Haga un bosquejo de la g 4. Dada la función 1 8 f( x) = x x + x: a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f.

7 f( x) = x x + x: f '( x) = x x + = ( x )( x ) ( ) f ''( x) = x 6 = x Números críticos : x =, x = 4. Posibles puntos de inflexión : x =. b) Encuentre los intervalos d c) Encuentre los intervalos d INTERVALO ], [ F(X) SIGNO F (X) SIGNO F (X) CONCLUSIÓN + f es creciente y cóncava hacia abajo x = ] [ 0 0 Punto máximo:,, f es decreciente y cóncava hacia abajo x = 6 Punto de inflexión: (, 6) ] 4 [, + x = 4 ] 4, [ 16 f es decreciente y cóncava hacia arriba 16 Punto mínimo: 4, f es creciente y cóncava hacia arriba d) Haga un bosquejo de la g 5. Dada la función 4 f( x) = x x + 1: a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f.

8 f'( x) = 4x 4x = 4 xx ( 1) = 4 xx ( + 1)( x 1) 9 9 f ''( x) = 1x 4 = 1 x = 1 x + x Puntos críticos: x = 1, x = 0, x = 1. Posibles puntos de inflexión: x =, x = b) Encuentre los interval Intervalo ], 1[ ] 1, 0[ ]0, 1[ ] 1, + [ Signo de f (x) + + Conclusión f es decreciente f es creciente Puntos mínimos: ( 1, 0) y (1, 0). Punto máximo: (0, 1). f es decreciente f es creciente c) Encuentre los intervalos d Intervalo,, Signo de f (x) + + Conclusión f es cóncava hacia arriba f es cóncava hacia abajo, + f es cóncava hacia arriba Puntos de inflexión:,. 4, 9, 4 9 d) Haga un bosquejo de la g

9 6. Dada la función f( x) = x x + a) Halle los números críticos y posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%) f '( x) = 6x 6x= 6x( x+ 1). 1 ( x ) f ''( x) = 1x 6 = 1 + f '( x) = 0 6x( x+ 1) = 0 x = 0 ó x = 1 ( x ) 1 1 x f ''( x) = = 0 = x f (x) Números críticos: x = 1, x = 0 1 Posible punto de inflexión: (, ) b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f : Números críticos 1 0 Intervalos ], 1[ ] 1, 0[ ] 0, + [ Valor de prueba x = 1 x = x = 1 Signo de f + Crecimiento o decrecimiento de la función Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función. Punto mínimo relativo: ( 1, 1) Punto máximo relativo: (0, ) c) Determine los intervalos donde la función f donde la función f es cóncava hacia abajo. es cóncava hacia arriba y los intervalos Valores donde f es cero o no existe 1

10 Intervalos Valor de prueba 1 Signo de f 1, 1, + x = x = 0 + Concavidad de la función Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función. Punto de inflexión: 1 (, ) d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a continuación). 7. Dada la función f( x) = 4x 6x + 1 a) Halle los números críticos y posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. f '( x) = 1 x 1 x= 1 x( x 1). f '( x) = 0 x= 0 ó x= 1. ( ) 1 1 f ''( x) = 4 x 1 = 4 x. f ''( x) = 0 x=. ( ) ( ) ( ) f() 0 = 4() 0 6() = = 1. f = = + 1 = 0. f () 1 = 41 () 61 () + 1= = 1. Números críticos : x = 0, x = 1. ( ) 1 Posible punto de inflexión :, 0.

11 b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f : Números críticos 0 1 Intervalos ], 0[ ]0, 1[ ]1, + [ Valor de prueba x = 1 x = 0.5 x = Signo de f + + Crecimiento o decrecimiento de la función Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función. c) Determine los intervalos donde la función f Punto máximo relativo: (0, 1) Punto mínimo relativo: (1, 1) es cóncava hacia arriba y los intervalos donde la función f es cóncava hacia abajo. Valores donde f es cero o no existe Intervalos ], 1 [ ] 1, + [ Valor de prueba x = 1 x = 1 Signo de f + 1 Concavidad de la función Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función. Punto de inflexión: ( 1, 0)

12 d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (use el sistema de coordenadas dado a continuación). 8. Dada la función f( x) = x x +. 6 a) Encuentre los números críticos y los posibles puntos de inflexión f '( x) = x 4 x f( x) = x x + f '( x) = x x ( ) ( )( ) x x = x x = x x+ x = Números críticos : x=, x= 0, x= ( ) ( )( ) 4 5x 1x = 0 5x x = 0 5x x+ x = x 1 x = 0 x= 1.55, x= 0, x= x f( x ) Posibles puntos de inflexión: (-1.55, ) (0, ) (1.55, )

13 7. b) Complete la siguiente tabla: Intervalos Valor de prueba Signo de f ' ], - [ x = ] -, 0 [ x = 1 + ] 0, [ x = 1 ], + [ x = + Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función. c) Complete la siguiente tabla: Intervalos Valor de prueba Signo de f '' ], ] ] 1 [ x = + 5 1, 0 [ x = 1 5 ] 0, 1 5 [ x = 1 1 5, + [ x = + Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función. d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función. Crecimiento o decrecimiento de f Punto máximo relativo (0, ) Puntos mínimos relativos; (-, -,), (, -.) Concavidad de f Puntos de inflexión: (-1.55, ), (1.55, )

14 9. Dada la función 4 1 f x x x ( ) = 4, donde 4( x 1) 4( x+ ) f '( x) =, f ''( x) = x 5 9 x a) Encuentre los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión. 4 1/ 4 / 4 / 4( x 1) f '( x) = x x = x ( x 1) = / x 4 / 8 5/ 4 5/ 4( x + ) f ''( x) = x + x = x ( x+ ) = / 9x Números críticos : x = 0, x = 1. Posibles puntos de inflexión en : x =, x = 0. Posibles puntos extremos :( 00, ) y ( 1, ) ( ) Posibles puntos de inflexión : 6, ( 7.6, ) y (, 00) b) Complete la siguiente tabla: Intervalos Valor de prueba Signo de f ' Crecimiento o decrecimiento de f ], 0 [ x = 1 f es decreciente ] 0, 1 [ x = 1 / 8 f es decreciente ] 1, + [ x = 8 + f es creciente

15 Cuáles son los intervalos donde f crece? Cuáles son los intervalos donde f decrece? Cuáles son los puntos extremos relativos de la gráfica de f? f es decreciente en ], 1 [, f es creciente en ] 1, + [. Punto mínimo: (1, ) c) Complete la siguiente tabla: Intervalos Valor de prueba Signo de f '' Concavidad de f ], [ x = 8 + f es cóncava hacia arriba ], 0 [ x = 1 f es cóncava hacia abajo ] 0, + [ x = 1 + f es cóncava hacia arriba Cuáles son los intervalos donde f es cóncava hacia arriba? Cuáles son los intervalos donde f es cóncava hacia abajo? Cuáles son los puntos de inflexión de la gráfica de f? f es cóncava hacia abajo en: ], 0 [, f es cóncava hacia arriba en: ], [ ] 0, + [ Puntos de inflexión: (, 7.6), (0, 0). d) Grafique.

16 x / 10. Dada la función f( x) = 1+ e. y = 1 Donde es una asíntota horizontal y además x / f '( x) = xe x / y f ( x) = e x+ 1 x 1. (Valor Total 0%) '' ( )( ) a) Encuentre los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión. x = 0 x = 0. (, 0) es un punto crítico y un Posible punto extremo. ( )( ) ó x + 1 x 1 = 0 x = 1 x = 1 Posibles puntos de inflexión :( 1,.), ( 1,.) b) Complete la siguiente tabla: Intervalos Valor de prueba Signo de f ' ], 1 [ x = 0 + ] 1, + [ x = Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función. Crecimiento o decrecimiento de f Punto máximo relativo: (, 0) c) Complete la siguiente tabla: Intervalos Valor de prueba Signo de f '' ], [ x = + ] 11, [ x = 0 ] 1, + [ x = + Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función. Concavidad de f Puntos de inflexión: ( 1,.) y (, 1.) d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función.

17 El máximo relativo, en este caso, también es máximo absoluto porque resulta ser el único máximo y supera cualquier otro valor de la función. Esta curva es una versión de la curva NORMAL, ampliamente utilizada en ESTADÍSTICA.