Derivadas de orden superior. Segunda derivada
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- Claudia Cortés Iglesias
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1 Derivadas de orden superior Segunda derivada La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si ff(xx) es una función y existe su primera derivada ff (xx) en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada y se representa por ff"(xx). Bajo la suposición de que todas las derivadas existen, puede diferenciarse una función yy = ff(xx) tantas veces como se desee. La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada. La cuarta derivada es la derivada de la tercera derivada, y así sucesivamente. Simbolizamos la tercera y cuarta derivada por: En general, si n es un entero positivo, entonces la n ésima derivada se define por: ff nn (xx) = dd dddd ddddnn 1 dddd nn 1
2 Aplicación de las derivadas en la construcción de gráficos Primera derivada Numero o Valor Crítico de una Función El número real xx = cc es un valor crítico de ff(xx), si ff (cc) = 0 o bien si ff (cc) = no existe. Crecimiento y decrecimiento de una función Función Creciente Se dice que una función ff(xx) es creciente en su dominio o un intervalo si ff (xx) > 0 para todo xx en el dominio o intervalo. Función Decreciente Se dice que una función ff(xx) es creciente en su dominio o un intervalo si ff (xx) < 0 para todo xx en el dominio o intervalo. Puntos máximos y mínimos locales Punto máximo Se dice que una función ff(xx) tiene un máximo local en el punto (cc, ff(cc)) si ff (xx) > 0 para todo valor xx justo antes de c y si ff (xx) < 0 para todo valor xx justo después de c. Punto mínimo Se dice que una función ff(xx) tiene un mínimo local en el punto (cc, ff(cc)) si ff (xx) < 0 para todo valor xx justo antes de c y si ff (xx) > 0 para todo valor xx justo después de c. Segunda derivada Concavidad Posible punto de inflexión El número real xx = cc es un valor posible punto de inflexión de ff(xx), si ff (cc) = 0 o bien si ff (cc) = no existe. Concavidad hacia arriba Una función ff(xx) es cóncava hacia arriba en su dominio o un intervalo si ff (xx) > 0 para todo valor xx en el dominio o intervalo
3 Concavidad hacia abajo Una función ff(xx) es cóncava hacia abajo en su dominio o un intervalo si ff (xx) < 0 para todo valor xx en el dominio o intervalo Punto de inflexión Se dice que una función ff(xx) tiene un punto de inflexión en (cc, ff(cc)) si ff(xx) cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo en ese punto o viceversa. 1. Dada la función 4 f( x) = x 4x a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. f '( x) = 8x 8x= 8 x( x 1) = 8 x( x+ 1) ( x 1) = 0 x= 1 x= 0 x= f ''( x) = 4x 8 = 0 x = = x= x= : = 1, = 0, = 1. : =, =. Puntos críticos x x x Posibles puntos de inflexión x x b) Encuentre los intervalos d c) Encuentre los intervalos d Intervalo f(x) f (x) f (x) Conclusión Trazo ], 1[ + f es decreciente y cóncava hacia arriba x = Punto mínimo: ( 1, ) 1, / + + f es creciente y cóncava hacia arriba x = / Punto de inflexión: ( 0.6, 1.1) /, 0 + f es creciente y cóncava hacia abajo x = Punto máximo: (0, 0) 0, / f es decreciente y cóncava hacia abajo x = / Punto de inflexión: (0.6, 1.1) /, 1 + f es decreciente y cóncava hacia arriba x = Punto mínimo: (1, ) ] 1, [ + + f es creciente y cóncava hacia arriba d) Haga un bosquejo de la g
4 . Dada la función f( x) = x + 4x x : a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. x f '( x) = x + 8x = (x 1) ( x + ) = 0 x 4 f ''( x) = 6x + 8 = 0 x = = 1 = b) Encuentre los intervalos d Intervalo ], [ ], 1 / [ ] 1 /, + [ Signo de f (x) + + Conclusión f es creciente f es decreciente f es creciente Cálculos Numéricos: f ( 4) = 1, f (0) =, f (1) = 8, f ( ) = 15, f (1 / ) = 95 / 7.5 c) Encuentre los intervalos d Intervalo ], 4 / [ ] 4 /, + [ Signo de f (x) + Conclusión f es cóncava hacia abajo f es cóncava hacia arriba Cálculos Numéricos: f ( ) = 4, f (0) = 8, f ( 4 / ) = 155 / d) Haga un bosquejo de la g Previamente diseñaremos un cuadro resumen.
5 Intervalo Conclusión ], [ f es creciente y cóncava hacia abajo x = Punto máximo relativo: (, 15) ], 4 / [ f es decreciente y cóncava hacia abajo x = 4 / Punto de inflexión: ( 4 /, 155 / 7) ( 4 /, 5.7) ] 4 /, 1 / [ f es decreciente y cóncava hacia arriba x = 1 / Punto mínimo relativo: ( /, 95 / 7 ) ( /,.5) ] 1 /, + [ f es creciente y cóncava hacia arriba. Dada la función f( x) 5 5 x = 4 x a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f. 4 f '( x) = x 4x = x ( x 4) = x ( x + )( x ) ( ) ( )( ) f ''( x) = 4x 8 x = 4x x = 4x x + x
6 Puntos críticos: x =, x = 0, x =. Posibles puntos de inflexión: x =, x= 0, x = b) Encuentre los interval Intervalo ], [ ], 0[ ]0, [ ], + [ Signo de f (x) + + Conclusión f es creciente f es decreciente f es decreciente f es creciente Punto máximo: (, ) Punto mínimo: ( 64 ) (, 4.)., 15 (, 4.). c) Encuentre los intervalos d Intervalo ], [ ], 0 [ ] 0, [ ], + [ Signo de f (x) + + Conclusión f es cóncava hacia abajo Puntos de inflexión:, ( 14., 6.) f es cóncava hacia arriba 8, (0, 0), 15 8, ( 14., 6.) 15 f es cóncava hacia abajo f es cóncava hacia arriba d) Haga un bosquejo de la g 4. Dada la función 1 8 f( x) = x x + x: a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f.
7 f( x) = x x + x: f '( x) = x x + = ( x )( x ) ( ) f ''( x) = x 6 = x Números críticos : x =, x = 4. Posibles puntos de inflexión : x =. b) Encuentre los intervalos d c) Encuentre los intervalos d INTERVALO ], [ F(X) SIGNO F (X) SIGNO F (X) CONCLUSIÓN + f es creciente y cóncava hacia abajo x = ] [ 0 0 Punto máximo:,, f es decreciente y cóncava hacia abajo x = 6 Punto de inflexión: (, 6) ] 4 [, + x = 4 ] 4, [ 16 f es decreciente y cóncava hacia arriba 16 Punto mínimo: 4, f es creciente y cóncava hacia arriba d) Haga un bosquejo de la g 5. Dada la función 4 f( x) = x x + 1: a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f.
8 f'( x) = 4x 4x = 4 xx ( 1) = 4 xx ( + 1)( x 1) 9 9 f ''( x) = 1x 4 = 1 x = 1 x + x Puntos críticos: x = 1, x = 0, x = 1. Posibles puntos de inflexión: x =, x = b) Encuentre los interval Intervalo ], 1[ ] 1, 0[ ]0, 1[ ] 1, + [ Signo de f (x) + + Conclusión f es decreciente f es creciente Puntos mínimos: ( 1, 0) y (1, 0). Punto máximo: (0, 1). f es decreciente f es creciente c) Encuentre los intervalos d Intervalo,, Signo de f (x) + + Conclusión f es cóncava hacia arriba f es cóncava hacia abajo, + f es cóncava hacia arriba Puntos de inflexión:,. 4, 9, 4 9 d) Haga un bosquejo de la g
9 6. Dada la función f( x) = x x + a) Halle los números críticos y posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. (5%) f '( x) = 6x 6x= 6x( x+ 1). 1 ( x ) f ''( x) = 1x 6 = 1 + f '( x) = 0 6x( x+ 1) = 0 x = 0 ó x = 1 ( x ) 1 1 x f ''( x) = = 0 = x f (x) Números críticos: x = 1, x = 0 1 Posible punto de inflexión: (, ) b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f : Números críticos 1 0 Intervalos ], 1[ ] 1, 0[ ] 0, + [ Valor de prueba x = 1 x = x = 1 Signo de f + Crecimiento o decrecimiento de la función Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función. Punto mínimo relativo: ( 1, 1) Punto máximo relativo: (0, ) c) Determine los intervalos donde la función f donde la función f es cóncava hacia abajo. es cóncava hacia arriba y los intervalos Valores donde f es cero o no existe 1
10 Intervalos Valor de prueba 1 Signo de f 1, 1, + x = x = 0 + Concavidad de la función Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función. Punto de inflexión: 1 (, ) d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a continuación). 7. Dada la función f( x) = 4x 6x + 1 a) Halle los números críticos y posibles puntos de inflexión de la gráfica de f. f '( x) = 1 x 1 x= 1 x( x 1). f '( x) = 0 x= 0 ó x= 1. ( ) 1 1 f ''( x) = 4 x 1 = 4 x. f ''( x) = 0 x=. ( ) ( ) ( ) f() 0 = 4() 0 6() = = 1. f = = + 1 = 0. f () 1 = 41 () 61 () + 1= = 1. Números críticos : x = 0, x = 1. ( ) 1 Posible punto de inflexión :, 0.
11 b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f : Números críticos 0 1 Intervalos ], 0[ ]0, 1[ ]1, + [ Valor de prueba x = 1 x = 0.5 x = Signo de f + + Crecimiento o decrecimiento de la función Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función. c) Determine los intervalos donde la función f Punto máximo relativo: (0, 1) Punto mínimo relativo: (1, 1) es cóncava hacia arriba y los intervalos donde la función f es cóncava hacia abajo. Valores donde f es cero o no existe Intervalos ], 1 [ ] 1, + [ Valor de prueba x = 1 x = 1 Signo de f + 1 Concavidad de la función Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función. Punto de inflexión: ( 1, 0)
12 d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (use el sistema de coordenadas dado a continuación). 8. Dada la función f( x) = x x +. 6 a) Encuentre los números críticos y los posibles puntos de inflexión f '( x) = x 4 x f( x) = x x + f '( x) = x x ( ) ( )( ) x x = x x = x x+ x = Números críticos : x=, x= 0, x= ( ) ( )( ) 4 5x 1x = 0 5x x = 0 5x x+ x = x 1 x = 0 x= 1.55, x= 0, x= x f( x ) Posibles puntos de inflexión: (-1.55, ) (0, ) (1.55, )
13 7. b) Complete la siguiente tabla: Intervalos Valor de prueba Signo de f ' ], - [ x = ] -, 0 [ x = 1 + ] 0, [ x = 1 ], + [ x = + Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función. c) Complete la siguiente tabla: Intervalos Valor de prueba Signo de f '' ], ] ] 1 [ x = + 5 1, 0 [ x = 1 5 ] 0, 1 5 [ x = 1 1 5, + [ x = + Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función. d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función. Crecimiento o decrecimiento de f Punto máximo relativo (0, ) Puntos mínimos relativos; (-, -,), (, -.) Concavidad de f Puntos de inflexión: (-1.55, ), (1.55, )
14 9. Dada la función 4 1 f x x x ( ) = 4, donde 4( x 1) 4( x+ ) f '( x) =, f ''( x) = x 5 9 x a) Encuentre los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión. 4 1/ 4 / 4 / 4( x 1) f '( x) = x x = x ( x 1) = / x 4 / 8 5/ 4 5/ 4( x + ) f ''( x) = x + x = x ( x+ ) = / 9x Números críticos : x = 0, x = 1. Posibles puntos de inflexión en : x =, x = 0. Posibles puntos extremos :( 00, ) y ( 1, ) ( ) Posibles puntos de inflexión : 6, ( 7.6, ) y (, 00) b) Complete la siguiente tabla: Intervalos Valor de prueba Signo de f ' Crecimiento o decrecimiento de f ], 0 [ x = 1 f es decreciente ] 0, 1 [ x = 1 / 8 f es decreciente ] 1, + [ x = 8 + f es creciente
15 Cuáles son los intervalos donde f crece? Cuáles son los intervalos donde f decrece? Cuáles son los puntos extremos relativos de la gráfica de f? f es decreciente en ], 1 [, f es creciente en ] 1, + [. Punto mínimo: (1, ) c) Complete la siguiente tabla: Intervalos Valor de prueba Signo de f '' Concavidad de f ], [ x = 8 + f es cóncava hacia arriba ], 0 [ x = 1 f es cóncava hacia abajo ] 0, + [ x = 1 + f es cóncava hacia arriba Cuáles son los intervalos donde f es cóncava hacia arriba? Cuáles son los intervalos donde f es cóncava hacia abajo? Cuáles son los puntos de inflexión de la gráfica de f? f es cóncava hacia abajo en: ], 0 [, f es cóncava hacia arriba en: ], [ ] 0, + [ Puntos de inflexión: (, 7.6), (0, 0). d) Grafique.
16 x / 10. Dada la función f( x) = 1+ e. y = 1 Donde es una asíntota horizontal y además x / f '( x) = xe x / y f ( x) = e x+ 1 x 1. (Valor Total 0%) '' ( )( ) a) Encuentre los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión. x = 0 x = 0. (, 0) es un punto crítico y un Posible punto extremo. ( )( ) ó x + 1 x 1 = 0 x = 1 x = 1 Posibles puntos de inflexión :( 1,.), ( 1,.) b) Complete la siguiente tabla: Intervalos Valor de prueba Signo de f ' ], 1 [ x = 0 + ] 1, + [ x = Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos extremos relativos de la gráfica de la función. Crecimiento o decrecimiento de f Punto máximo relativo: (, 0) c) Complete la siguiente tabla: Intervalos Valor de prueba Signo de f '' ], [ x = + ] 11, [ x = 0 ] 1, + [ x = + Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos los puntos de inflexión de la gráfica de la función. Concavidad de f Puntos de inflexión: ( 1,.) y (, 1.) d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función.
17 El máximo relativo, en este caso, también es máximo absoluto porque resulta ser el único máximo y supera cualquier otro valor de la función. Esta curva es una versión de la curva NORMAL, ampliamente utilizada en ESTADÍSTICA.
Una función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x
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