Matemática I C.F.E. I.N.E.T. Profesorado de Informática Conjuntos

Transcripción

1 Conjuntos Conceptos primitivos: CONJUNTO, ELEMENTO, PERTENECE. Pertenecer- Elemento Sea el conjunto de los ríos del Uruguay. El Río Negro es un río del Uruguay. Entonces, este río es un elemento del conjunto Ríos del Uruguay. Se dice también: el Río Negro pertenece al conjunto Ríos del Uruguay. Todo esto se abrevia con el símbolo Si representamos un cierto objeto (elemento) con la letra x y un conjunto con la letra, diremos que: x es un elemento de sí y sólo sí x pertenece a Escribimos: x, para indicar la proposición: "x pertenece a " Escribimos: y, para indicar la proposición "y no pertenece a " Determinación de los conjuntos Un conjunto está bien determinado si se sabe exactamente cuáles son los elementos que pertenecen a él y cuáles no. Se puede determinar un conjunto: 1º) Por extensión (o por enumeración). Esta manera de determinar un conjunto consiste en nombrar cada uno de sus elementos. 2º) Por comprensión. Esta forma consiste en indicar la característica o propiedad común a todos los elementos del conjunto. 3º) Hay otra manera de determinar o definir un conjunto: definición de un conjunto por inducción. Lo veremos más adelante. IGULDD DE CONJUNTOS Definición: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos, o sea si son el mismo conjunto. La notación correspondiente es: =, y significa el cumplimiento de dos condiciones: i) Todo elemento de es elemento de ii) Todo elemento de es elemento de. Esto también se puede expresar así: si a entonces a y si b entonces b. Para abreviar se usan los siguientes símbolos: Significa entonces o implica Significa para todo Significa si y solo si La definición anterior de igualdad, entonces, puede escribirse en términos simbólicos del modo siguiente: = a, a a b, b Propiedades básicas de la igualdad 1) Reflexiva: = 2) Simétrica : Si = = 3) Transitiva: Si = y = C = C Página 1 de 10

2 INCLUSIÓN DE CONJUNTOS Definición: Un conjunto está incluido ampliamente en un conjunto, si todo elemento de es también elemento de. Decimos que es un subconjunto de. x x x Observación: hora podríamos definir la igualdad de conjuntos de la siguiente manera = Definición: Un conjunto está incluido estrictamente en un conjunto, si todo elemento de es también elemento de, pero hay elementos de que no pertenecen a. y Para afirmar que un conjunto no está incluido en otro (que un conjunto no es subconjunto de otro) alcanza con encontrar algún elemento del conjunto que no pertenezca al conjunto. equivale a x x x Observación: Todos conjunto es subconjunto de sí mismo. Propiedades básicas de la inclusión, y C tres conjuntos cualesquiera 1) Reflexiva: 2) Transitiva: Si y C C 3) Igualdad: y = Conjunto vacío Un conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío, y lo anotamos { } o. Observación: Cualquiera sea el conjunto, se cumple que Son ejemplos del conjunto vacío: el conjunto de todos los triángulos que tienen 4 lados, el conjunto de todos los números naturales negativos, etc, etc. Conjunto referencial o universal Llamaremos conjunto universal o referencial y lo anotaremos en general con la letra U, al conjunto que contiene al o los conjuntos con que nos encontramos trabajando. En una clase, el conjunto universal pueden ser todos los alumnos, y así referirnos a los alumnos que sacaron más de 7 en el escrito, a los estudiantes que faltaron, etc. Si el conjunto universal es toda la institución educativa, podemos hacer las misma preguntas. Conjunto de Partes de un conjunto o conjunto potencia Definición: Dado un conjunto, se llama conjunto de partes de o conjunto potencia de al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de. = { X / X } Ejemplo: si { 1, 2, ñ } conjuntos: =, { 1 }, { 2 }, { ñ}, { 1,2 }, { 1, ñ}, { 2, ñ}, { 1,2, ñ} = entonces el conjunto de partes de es un conjunto formado por 8 { } Página 2 de 10

3 OPERCIONES ENTRE CONJUNTOS Unión de conjuntos Definición: Sean y dos conjuntos: se llama unión de y a un nuevo conjunto cuyos elementos pertenecen a o pertenecen a. Propiedades de la unión { / } = x x x 1) = (Idempotencia) 2) = (Conmutativa) 3) ( = ( ) C (sociativa) 4) = (Existencia del elemento neutro) 5) 6) = Demostración de la propiedad 5) x x x x (1) (2) (1) Regla lógica adición: p p q (2) Definición de la operación unión Intersección de conjuntos Definición: Sean y dos conjuntos: se llama intersección de y a un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a y a. Propiedades de la intersección { / } = x x x 1) = (Idempotencia) 2) = (Conmutativa) C = C (sociativa) 3) 4) = (bsorción) 5) 6) = Demostración la propiedad 2) = (1) Para demostrar la igualdad demostraremos (2) (1) si x x x x x x x si x x x x x x (2), Página 3 de 10

4 Diferencia de conjuntos Definición: Sean y dos conjuntos. Se llama diferencia de de y y se escribe -, a un nuevo conjunto que tiene por elementos los que pertenecen a y que no pertenecen a. Propiedades de la diferencia { / } = x x y x 1) = 2) = 3) = C = C 4) Diferencia simétrica Definición: Dados dos conjuntos y, llamamos diferencia simétrica de menos al conjunto que anotamos formado por los elementos que pertenecen a uno de los dos conjuntos, y no pertenecen al otro. { / } = x x x x x Complemento Definición: Sean los conjuntos y tales que c ' y se escribe, pertenecen a. c / Propiedades del complemento: 1) = U 2) U = 3) = 4) = U. Se llama complemento de con respecto a o al conjunto formado por los elementos que pertenecen a y que no { } = x x x Par ordenado: Si a y b designan dos objetos matemáticos cualesquiera, el par ordenado asociado con a y b se representa mediante el símbolo (a, b) donde a y b se denominan respectivamente primer componente y segundo componente del par. ab, ab,, a { } = Es un conjunto que tiene dos elementos, uno de ellos es a su vez otro conjunto con dos elementos (las componentes del par), y el segundo Definiremos par ordenado de esta manera: { } elemento nos indica cuál de ellas es la primera componente. Los pares ordenados (, ) (, ) diferentes, ya que { ab, }, a ab,, b { } { } } ab y ba son Producto cartesiano Definición: Sean y dos conjuntos. Se llama producto cartesiano y se escribe x, a un nuevo conjunto formado por todos los pares ordenados tales que el primer componente del par pertenece al conjunto y el segundo al conjunto. = a, b / a b { } Propiedad: Sean y dos conjuntos cualesquiera. Entonces ( ) Página 4 de 10

5 (, ) un par ordenado x y tal que x y ( ) existen elementos a y b tales que a b ( a, b) Todo teorema es equivalente a su contrarecíproco: = = = lgunas propiedades de las operaciones entre conjuntos y sus demostraciones: (1) = (Idempotencia) x x x ( def de ) x (2) = (3) Conmutativa de la intersección = Demostraremos que: a) b) a) si x x x x x x b) nálogamente. (4) Conmutativa de la unión = def de conmutativa de def de si x x x x x x (5) sociativas def de C = C i) conmutativa de si x C x x C def de def de def de x x x C x x x C x x C x C asociativa de Página 5 de 10

6 ii) ( = ( ) C (6) Distributivas i) ( = ( ) ( Demostraremos (a) ( ( ) ( (b) ( ) ( ( (a) Dado cualquier, x x C es decir x y x C x y x x C x y x x x y x C x C Entonces tenemos: x ( ) ( x x y x x y x C x C x x C x y x C x (b) ( ) ( En resumen tenemos x y x C x ( ii) ( = ( ) ( (7) Propiedad involutiva = xx, x x x negación def de complemento negación def de complemento x x doble negación (8) Leyes de De Morgan Dados dos conjuntos y en un universal U, se verifica: i) ( ) = x x U x x U x def de def complemento ( ) De Morgan para ( ( p q) p q) negación ( ) x U x x x U x x Página 6 de 10

7 ( x U ( x x ) ) ( x U x ) ( x U x ) def complemento x x x def complemento def ii) ( ) = Se demuestra en forma análoga a i) Más demostraciones (9) x x x x def simplificación (10) Si y C D ( ( D) x C x x C x x D x D hipótesis (11) Si y C D ( ( D) nálogamente a la parte anterior (12) ( ) x x x x adición (13) ( ) x x x x def (14) Si ( ) = simplificación x x x x x x (15) Si ( ) = hipótesis Ya se demostró que (1) x, como x x x hipótesis ahora demostramos que De (1) y (2) = (2) def Página 7 de 10

8 (16) = x x x x x x (17) ( ) = def diferencia def complemento def = = = prop anterior conmutativa asociativa ( ) = = prop complemento (18) ( ) = = = = U = distributiva (19) ( = ( ) ( De Morgan = C = ( ) ( = ( ) ( C = C = C = C = (20) Ejercicio del parcial de julio 2010:, y C tres conjuntos. Demuestra que ( = ( C ) ( ( ( ( = ( C ) = = = De Morgan De Morgan conmutativa conmutativa Lógica y matemática: un ejemplo extraído de Lógica simbólica de Lewis Carroll. Examina atentamente las siguientes cinco afirmaciones: 1) Ningún gato al que le gusta el pescado es indomesticable. 2) Ningún gato sin cola jugará con un gorila. 3) los gatos con bigotes les gusta el pescado. 4) Ningún gato domesticable tiene ojos verdes. 5) Ningún gato tiene cola a menos que tenga bigotes. Demuestra que estas cinco afirmaciones permiten deducir que: Ningún gato de ojos verdes jugará con un gorila Llamemos U al conjunto de todos los gatos. Consideremos los siguientes subconjuntos de U: Página 8 de 10

9 : con ojos verdes : les gusta el pescado C: con cola D: indomesticable E: con bigotes F: deseosos de jugar con un gorila Tratemos de traducir a lenguaje simbólico las cinco afirmaciones anteriores: 1) Ningún gato al que le gusta el pescado es indomesticable. x x x D x x x D D = 2) Ningún gato sin cola jugará con un gorila. ( x )( x C x F) ( x)( x C x F) ( x)( x C x F) C F F C 3) los gatos con bigotes les gusta el pescado. ( x)( x E x ) E 4) Ningún gato domesticable tiene ojos verdes. ( x)( x D x ) ( x)( x D x ) ( x)( x D x ) D D 5) Ningún gato tiene cola a menos que tenga bigotes. x x C x E C = E sí que tenemos: F C C = E F E ( F E E ) F demás D F D = F = D C E F U Vamos a escribir entonces las afirmaciones de otra forma, equivalente a la anterior. 1 ) Los gatos indomesticables no gustan del pescado. D = ( si x D x ) 2 ) Los gatos que no tienen cola no jugarás con un gorila. ( x C x F) Página 9 de 10

10 3 ) Los gatos a los que no les gusta el pescado no tienen bigote. si x x E ya que E 4 ) Los gatos con ojos verdes son indomesticables. ( si x x D porque D) 5 ) Los gatos que no tienen bigote no tienen cola (y recíprocamente) x E x C ya que C = E Ordenamos en forma conveniente (4 ) (1 ) (3 ) (5 ) (2 ) nexo 1 Principales leyes lógicas. En la elaboración de las siguientes leyes, se ha supuesto que p, q y r son proposiciones que pueden asumir cualquier valor de verdad; mientras que V es una proposición verdadera (tautología) y F es una proposición falsa (contradicción). Doble negación: p p p p p Idempotencia: p p p p F p de la disyunción Elemento neutro: p V p de la conjunción p p V de la disyunción Condiciones de negación: p p F de la conjunción p q q p Leyes conmutativas: p q q p p ( q r) ( p q) r Leyes asociativas: p ( q r) ( p q) r p ( q r) ( p q) ( p r) Leyes distributivas: p ( q r) ( p q) ( p r) Leyes de absorción: De la conjunción respecto a la disyunción: p ( p q) p p q p q Leyes de De Morgan: p q p q De la disyunción respecto a la conjunción: p (p q) p Página 10 de 10