2. Estabilidad en Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo.

Transcripción

1 Capítulo 3 2. Estabilidad en Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo. 3.1 Introducción Un sistema estable se define como aquel que tiene una respuesta limitada. Es decir, un sistema es estable si estando sujeto a una entrada o perturbación limitada, su respuesta es de magnitud limitada. La entrada o perturbación en correspondencia con las condiciones iníciales dará como resultado en cualquier caso una respuesta decreciente, neutral o creciente. La estabilidad de un sistema se determina a través de su respuesta a entradas o perturbaciones. La definición de estabilidad puede ser precisada en términos de la respuesta al impulso de un sistema, en consecuencia, un sistema es estable sí su respuesta a un impulso finito se aproxima a cero en la misma medida que el tiempo se aproxima a infinito. Existen tres enfoques para el problema de estabilidad: 1. En el dominio de Laplace plano s 2. En el dominio de la frecuencia plano de frecuencia ( ) 3. En el dominio del tiempo plano natural Los polos en la parte izquierda del plano s dan como resultado una respuesta decreciente. En forma semejante, los polos en el eje imaginario ( ) y en el plano de la derecha dan como resultado una respuesta neutral y una creciente, respectivamente, para una entrada de perturbación. En términos de sistemas lineales, se reconoce que el requisito de estabilidad puede definirse en función de la localización de los polos de la función de transferencia. Esta función se puede escribir como: (01) Donde y son los polinomios en el denominador y numerador respectivamente. Se conoce el polinomio como la ecuación característica, cuyas raíces son los polos del sistema. Una condición necesaria y suficiente para que un sistema de realimentación sea estable es que todos los polos de la función de transferencia del sistema tengan partes reales negativas. Para propósitos de análisis y diseño, la estabilidad se puede clasificar como estabilidad absoluta y estabilidad relativa. La estabilidad absoluta se refiere a la condición de sí el sistema es estable o inestable, es una respuesta de si o no. Una vez que se ha encontrado que el sistema es estable, es interesante determinar qué tan estable es, y este grado de estabilidad es una medida de la estabilidad relativa. Antes de definir la estabilidad, se definen los siguientes dos tipos de respuestas de sistemas lineales invariantes en el tiempo: 1. Respuesta de estado cero: se deben a la entrada únicamente; todas las condiciones iníciales del sistema son cero.

2 2 Estabilidad en Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo 2. Respuesta de entrada cero: se deben a las condiciones iníciales únicamente; todas las entradas son ceros. Finalmente, cuando un sistema está sujeto tanto a las entradas como a las condiciones iníciales, se sabe por el principio de superposición que la respuesta total se obtiene de la suma de los aportes de las respuestas de estado cero y las respuestas de entradas cero. Estabilidad Relativa La estabilidad relativa de un sistema puede definirse como la propiedad que mide por los tiempos de estabilización de cada raíz o par de raíces. La estabilidad relativa de un sistema puede definirse en términos de los coeficientes relativos de amortiguación de cada par de raíces complejas y por tanto en términos de la velocidad de respuesta sobre un nivel límite en lugar del tiempo de estabilización. 3.2 Características según la Localización de las Raíces. Esto asegura que se respuesta al impulso decaiga exponencialmente con el tiempo. Sí el sistema tiene algunas raíces con parte real igual a cero, pero no tienen partes reales positivas, el sistema es llamado marginalmente estable. No obstante, un sistema marginalmente estable es inestable. 3.3 Estudio de la Estabilidad en el Dominio de Laplace El estudio de estabilidad en el plano s generalmente se realiza aplicando el criterio de Routh, no obstante existen otros criterios como el criterio de las fracciones continuas y el criterio de Hurwitz Criterio de Routh El método de estabilidad de Routh-Hurwitz proporciona una respuesta al problema de estabilidad considerando la ecuación característica del sistema, que en términos de la variable de Laplace se puede escribir como: El criterio de Routh establece que el número de raíces de con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de la primera columna del arreglo o tabla de Routh. Todas las raíces de una ecuación característica tienen partes reales negativas sí y solo sí los elementos de la primera columna de la tabla de Routh tienen el mismo signo. (02) (03) En caso contrario, el número de raíces con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo. En ocasiones, es necesario determinar un rango de valores de un parámetro particular de un sistema para los cuales el sistema es estable. Esto puede ser realizado escribiendo la inecuación que asegurará que no haya

3 Capítulo 3 3 cambios de signo en la primera columna de Routh. Estas inecuaciones son especificadas del rango de valores permitidos del parámetro. Debido a que los programas para computadoras pueden encontrar raíces para resolver los ceros de un polinomio con facilidad, el valor del criterio de Routh está limitado a ecuaciones con por lo menos un parámetro desconocido. La razón para la conclusión anterior es simple, basada en los requerimientos de los determinantes de Hurwitz. Las relaciones entre los elementos de la primera columna de la tabulación de Routh y los determinantes de Hurwitz son: Por tanto, si todos los determinantes de Hurwitz son positivos, los elementos de la primera columna de la tabulación de Routh deberán ser del mismo signo Casos Especiales 1. El primer elemento en cualquiera de los renglones de la tabulación de Routh es cero, pero los otros no lo son. 2. Los elementos en un renglón de la tabulación de Routh son todos cero. En el primer caso, sí un cero aparece en el primer elemento de un renglón, los elementos en el siguiente renglón se convertirán en infinito, y la tabulación de Routh no puede continuar. Para remediar la situación, se remplaza el elemento cero en la primera columna por un número pequeño positivo y arbitario ε, y después se continúa con la tabulación de Routh. Se procede a resolver normalmente, cuando existen cambios de signo, estos se interpretar como raíces conjugadas con parte real positiva. Debe notarse que el método de ε descrito puede no dar los resultados correctos sí la ecuación tiene raíces imaginarias puras. En el segundo caso especial, cuando todos los elementos en un renglón de la tabulación de Routh son ceros antes de que la tabla esté terminada apropiadamente, indica que una o más de las siguientes condiciones puede existir: La ecuación tiene al menos un par de raíces reales con igual magnitud pero signos opuestos. La ecuación tiene uno o más pares de raíces imaginarias. La ecuación tiene pares de raíces complejas conjugadas que son simétricas con respecto al origen del plano s. La situación con el renglón completo de ceros se puede remediar utilizando la ecuación auxiliar, la cual se forma con los coeficientes del renglón que está justo arriba del renglón de ceros en la tabulación de Routh. La ecuación auxiliar siempre es un polinomio par; esto es, solamente aparece potencias pares de s. Las

4 4 Estabilidad en Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo raíces de la ecuación auxiliar también satisfacen la ecuación original. Por tanto, resolviendo la ecuación auxiliar, también se obtienen algunas raíces de la ecuación original. Para continuar con la tabulación de Routh cuando un renglón de ceros aparece, se siguen los siguientes pasos: 1. Forme la ecuación auxiliar mediante el uso de los coeficientes del renglón que se encuentra justo antes del renglón de ceros. 2. Tome la derivada de la ecuación auxiliar con respecto a s; esto da 3. Remplace el renglón de ceros por los coeficientes de 4. Continúe con la tabulación de Routh en la forma usual con el nuevo renglón de coeficientes remplazando el renglón de ceros. 5. Interprete en la forma usual el cambio de signos, si existe alguno, de los coeficientes de la primera columna de la tabulación de Routh Debe reiterarse que el criterio de Routh-Hurwitz es válido solamente si la ecuación característica es algebraica con coeficientes reales. Si cualquiera de los coeficientes es complejo, o si la ecuación no es algebraica, como que contenga funciones exponenciales o funsiones senoidales de s, simplemente el criterio de Routh-Hurwitz no puede aplicarse. Otra limitación del criterio de Routh-Hurwitz es que sólo es válido para determinar las raíces de la ecuación características con respecto al semiplano izquierdo o al semiplano derecho del plano s. El límite de estabilidad es el eje jω del plano s. El criterio no se puede aplicar a ningún otro límite de estabilidad en el plano complejo Criterio de Estabilidad de Hurwitz El criterio de Hurwitz establece que la condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación estén en el semiplano izquierdo del plano s es que los determinantes de Hurwitz de la ecuación, sean todos positivos. (04) Los coeficientes con índices mayores que o negativos deben remplazarse con ceros. A primera vista, la aplicación de los determinantes de Hurwitz puede parecer demasiado pesada para ecuaciones de orden superior, debido a la cantidad de trabajo involucrado en la evolución de los determinantes de la ecuación. Afortunadamente, Routh simplificó el proceso introduciendo un método de tabulación en lugar de los determinantes de Hurwitz. En conclusión, el criterio de estabilidad de Hurwitz es otro método para determinar sí todas las raíces de la ecuación característica tienen partes reales negativas. Este criterio emplea los determinantes formados con los coeficientes de la ecuación característica.

5 Capítulo Criterio de Estabilidad de Fracciones Continuas El criterio de fracciones continuas puede ser aplicado a ecuaciones características al formar una fracción continua a partir de las porciones pares e impares de la ecuación característica. A continuación se presenta el procedimiento básico, sea la ecuación característica de un sistema de control tal que: Se pueden formar dos (2) funciones a partir de las impares de la ecuación característica del sistema. una correspondiente a las pociones pares y la otra a (05) (06) Se escribe la fracción. Después se divide el denominador entre el denominador, se invierte el resultante formando una nueva fracción continúa y se reitera el proceso tantas veces como sea necesario, hasta lograr la siguiente expresión: (07) Sí h 1, h 2, h 3,, h n son todos positivos, entonces todas las raíces de la ecuación característica tiene partes reales negativas. 3.4 Ejercicios Determine si los sistemas de control con las siguientes ecuaciones características son estables: INESTABLE ESTABLE INESTABLE INESTABLE Para qué valores de k tiene el polinomio raíces con partes reales negativa? ( k > 2 ) Cuántas raíces con la parte real positiva tienen cada uno de los siguientes polinomios? Cuántas con la parte real negativa? Dos (2) Cero (0) Uno (1) Dos (2)

6 6 Estabilidad en Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo 3.5 Referencias de Consulta KUO, BENJAMIN. Sistemas de Control Automático. 7ma Edición. Prentice Hall. México DORF RICHARD. Sistemas de Control Moderno. DISTEFANO III, STUBBERUD, WILLIAMS. Theory and Problems of Feedback and Control Systems. 1ra Edición. Shaum Publishing. USA OGATA KUTSUHIKO. Ingeniería de Control Moderno. 4ta edición. Pearson-Prentice Hall. España GIOVANNI GHELFI. Introducción a los Sistemas Lineales. Ediciones Universidad de Carabobo. Venezuela. 2006