Convolución: Un proceso natural en los sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

Transcripción

1 Convolución: Un proceso natural en los sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Introducción. En este documento se describe como el proceso de convolución aparece en forma natural cuando se trata de determinar la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo a una excitación particular. Se analizan solamente los sistemas continuos pero este proceso tiene su contraparte para los sistemas discretos. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Considere un sistema continuo, lineal e invariante en el tiempo donde la entrada, que se conoce comúnmente como excitación, está representada por la señal x(t) y la salida, conocida como respuesta, está representada por y(t), como se muestra en la figura 1. excitación x(t) sistema lineal continuo e invariante en el tiempo respuesta y(t) Sistema lineal continuo e invariante en el tiempo Figura 1 Si a un sistema se le aplica una excitación x 1 (t), la respuesta que se obtiene se denominará y 1 (t). Si se le aplica otra excitación x 2 (t), se obtiene otra respuesta que se denominará y 2 (t). Si el sistema es lineal, debe satisfacer lo siguiente: x 1 (t) x 2 (t) ax 1 (t)+ bx 2 (t) y 1 (t) y 2 (t) ay 1 (t)+ by 2 (t) Lo anterior significa que, si la excitación se multiplica por una constante, la respuesta también se multiplicará por la misma constante. Además, si se le aplica la suma de dos excitaciones diferentes, la respuesta será la suma de las respuestas a cada una de las excitaciones aplicadas en forma independiente. Un sistema es invariante en el tiempo si satisface lo siguiente: x 1 (t) y 1 (t) x 1 (t t 0 ) y 1 (t t 0 ) 1

2 Esto significa que, si se aplica al sistema una excitación particular x 1 (t) y se obtiene la respuesta y 1 (t); entonces, si se aplica la misma excitación un tiempo después, se obtiene la misma respuesta, desplazada el mismo tiempo que se desplazó la excitación. Lo anterior implica físicamente que las características del sistema no cambian en el tiempo. Su respuesta cambia dependiendo de la excitación que se le aplique y la dinámica interna del sistema mismo, pero la forma en que responde a una excitación particular es siempre la misma, independiente del instante de tiempo en que se le aplique. Una forma de describir un sistema lineal continuo e invariante en el tiempo es especificar su respuesta al impulso. Para comprender que significa la respuesta al impulso es necesario definir primero lo que es un impulso. Función delta de Dirac o función impulso unitario. Esta función es una abstracción matemática creada por el físico inglés Paul Dirac. Se aplica en muchas ramas de la ciencia en las cuales se describen procesos mediante modelación matemática. Esta función es el límite cuando T tiende a cero del pulso rectangular mostrado en la figura 2: La función límite 1/T -T/2 T/2 Función delta de Dirac o función impulso unitario Figura 2 t (seg) 2

3 Cuando T tiende a cero se tiene un pulso rectangular con las siguientes características: Su duración tiende a cero. Su amplitud tiende a infinito. Su área permanece constante y es igual a 1. La representación matemática para esta función es (t) y se dibuja como una flecha vertical donde su altura es proporcional al área bajo el impulso tal como se muestra en la figura 3. (t) t (seg) Representación de la función delta de Dirac o función impulso unitario Figura 3 La función delta de Dirac es una abstracción matemática que no existe físicamente pero es de gran utilidad en las áreas de ingeniería y ciencias. al impulso. Suponga que un sistema lineal continuo e invariante en el tiempo no tiene energía almacenada internamente y se le aplica la excitación x(t)=(t), es decir, se la aplica como excitación un impulso unitario en tiempo cero con condiciones iniciales cero para el sistema. La respuesta del sistema para este caso se conoce como respuesta al impulso y se denominará h(t). A continuación se muestran varias excitaciones y sus correspondientes respuestas, sabiendo que el sistema es lineal e invariante en el tiempo: (t) h(t ) a (t) a h(t ) (t t 0 ) h(t t 0 ) a (t t 0 ) a h(t t 0 ) a (t t 1 ) + b (t t 2 ) a h(t t 1 ) + b h(t t 2 ) x(t )? 3

4 Antes de tratar de determinar la respuesta del sistema para una excitación general x(t) se analizará un caso particular para empezar a analizar el proceso. para un sistema particular. Suponga que la respuesta al impulso de un sistema particular es: h(t ) = 0 para t < 0 2e 2t para t 0 Si se le aplica la excitación dada por x(t ) = 2(t 1) + 3(t 1.5) + (t 3) Cuál será la respuesta del sistema? De acuerdo con la analizado anteriormente, la respuesta del sistema será: y(t ) = 2h(t 1) + 3h(t 1.5) + h(t 3) En la figura 4 se muestra la respuesta del sistema para cada una de las componentes de la excitación y la respuesta del sistema para la excitación x(t). del sistema a la excitación x(t ) = 2(t 1) + 3(t 1.5) + (t 3) Figura 4 4

5 La respuesta del sistema en este caso es: 0 para t < 1 4e 2(t1) para 1 t < 1.5 y(t ) = 4e 2(t1) +6e 2(t1.5 ) para 1.5 t < 3 4e 2(t1) +6e 2(t1.5 ) +2e 2(t3) para t 3 Obsérvese lo siguiente: Para tiempos comprendidos entre 1 y 1.5 segundos, la respuesta del sistema es solamente la respuesta al impulso aplicado en t=1. Para tiempos comprendidos entre 1.5 y 3 segundos, la respuesta del sistema ahora está formada por la respuesta al impulso aplicado en t=1 más la respuesta al impulso aplicado en t=1.5. Para tiempos mayores o iguales a 3 segundos, la respuesta del sistema está compuesta por la respuesta al impulso aplicado en t=1 más la respuesta al impulso aplicado en t=1.5 más la respuesta al impulso aplicado en t=3. Nótese que para cada intervalo de tiempo se toma en cuenta tanto el tamaño del impulso o impulsos que ocurrieron antes del tiempo en que se está evaluando la respuesta así como la diferencia entre este tiempo y el tiempo en que ocurrió cada impulso. La convolución de la excitación y la respuesta al impulso Ahora se procederá a determinar la respuesta del sistema a una excitación general x(t) tomado en cuenta el análisis realizado anteriormente. Se muestra de nuevo la excitación aplicada al sistema y la respuesta obtenida en cada caso: (t) h(t ) a (t) a h(t ) (t t 0 ) h(t t 0 ) x( ) (t ) x( ) h(t ) En la última excitación, x() y son constantes como lo son a y t 0 en los casos anteriores. Ahora, qué pasaría si al sistema se le aplica como excitación una suma de muchos impulsos como el descrito en el último caso? Dado que el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la respuesta sería una suma de las respuestas a cada uno de los impulsos que contiene la excitación. 5

6 La duración de un impulso tiende a cero, es decir, pude ser considerado como una diferencial. La suma de diferenciales es una integral, entonces, se tendría lo siguiente: x( ) (t ) x( ) h(t ) x( ) (t ) d x( ) h(t ) d La integral que representa la respuesta del sistema en el último caso es una integral de convolución. Esta integral representa la convolución de la respuesta al impulso y la excitación aplicada. La excitación es también una convolución de la señal aplicada y la función delta de Dirac. La convolución de cualquier señal y la función impulso unitario da como resultado la misma señal: x( ) (t ) d = x(t ) Entonces, la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo a una excitación general es la convolución de la excitación aplicada y la respuesta al impulso del sistema: y(t ) = x( ) h(t ) d La operación de convolución es conmutativa. Esto se puede observar definiendo t en la integral anterior. Despejando de la definición se tiene que: = t d = d Sustituyendo la definición anterior en la integral, se tiene lo siguiente: y(t ) = x( ) h(t ) d = x(t ) h( ) (-d ) = x(t ) h( ) d Cambiando el signo de la integral se invierten los límites de integración: y(t ) = x(t ) h( ) d = x(t ) h( ) d = h( ) x(t ) d 6

7 Análisis del sistema particular que se utilizó como ejemplo. Se utilizó como ejemplo un sistema particular cuya respuesta al impulso es: h(t ) = 0 para t < 0 2e 2t para t 0 El modelo de este sistema es una ecuación diferencial lineal, de primer orden, con coeficientes constantes. Este modelo es: 1 dy(t ) + y(t ) = x(t ) 2 dt La ecuación diferencial es lineal debido a que el sistema que representa es lineal. Los coeficientes de la ecuación diferencial son constantes porque el sistema es invariante en el tiempo. Ahora se procederá a resolver la ecuación diferencial para una excitación x(t) general. Si se multiplican ambos lados de la ecuación por la función e 2t se tiene lo siguiente: 1 dy(t ) 2 e2t + e 2t y(t ) = e 2t x(t ) dt El lado izquierdo es la derivada de un producto como se muestra: d 1 dt 2 e2t y(t ) = e 2t x(t ) Si ahora se integran ambos lados de la ecuación anterior respecto al tiempo, se obtiene: 1 2 e2t y(t ) = e 2t x(t ) dt + c La constante c depende de las condiciones iniciales. Si se considera que el sistema no tiene energía almacenada internamente, esta constante es cero. La integral que queda en el lado derecho de la ecuación puede escribirse como sigue, donde la variable de integración ahora es : 1 2 e2t y(t ) = e 2t x(t ) dt = e 2 x( ) d Despejando la respuesta del sistema de la ecuación anterior: y(t ) = 2e 2t e 2 x( ) d La integral, como se mencionó anteriormente, está sobre la variable y la variable t es una constante para el proceso de integración. Por consiguiente, el factor que está multiplicando a la integral puede introducirse en el integrando: 7

8 y(t ) = 2e 2t e 2 x( ) d = 2e 2(t ) x( ) d = h(t ) x( ) d Esta es otra forma de ver que la respuesta de este sistema para una excitación general es la convolución de su respuesta al impulso y la excitación aplicada. Este último resultado obtenido para este caso particular realmente se cumple para cualquier sistema lineal e invariante en el tiempo. La respuesta a una excitación particular es la convolución de su su respuesta al impulso y la excitación aplicada.. Si la condición inicial para el ejemplo anterior no fuera cero, es decir, si el sistema tuviera almacenada una cierta energía en un tiempo t 0, la constante c sería igual a y(t 0 ) y la respuesta del sistema estaría dada por: y(t ) = t h(t ) x( ) d + 2e 2(tt 0 ) y(t 0 ) t 0 En esta solución, la integral se conoce como respuesta forzada y depende de la excitación aplicada y las características propias del sistema. La parte que depende de y(t 0 ) se conoce como respuesta natural y depende solamente de las condiciones iniciales, es decir, de la energía almacenada internamente en el sistema. La respuesta natural no depende de la excitación. Obsérvese que si la excitación aplicada al sistema es un impulso unitario en tiempo cero y el sistema no tiene energía almacenada internamente, la respuesta del sistema es precisamente su respuesta al impulso. y(t ) = h(t ) x( ) d = h(t ) ( ) d = h(t ) 8