Principio de Superposición
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- Rosa María Quintero Acosta
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1 1 Sistemas en tiempo continuo discreto Un sistema en tiempo continuo discreto e puede ver como una transformación que se aplica a una señal de entrada en tiempo continuo discreto y produce una señal de salida en tiempo continuo discreto Un sistema en tiempo continuo discreto es lineal si cumple el principio de superposición. Utilizaremos la notación para representar la relación entrada/salida del sistema en tiempo continuo discreto Principio de Superposición 1 Aditividad Si Y Entonces 2 Homogeneidad Si Entonces Proyecto Curricular : Ingenieria electrónica Página 1,
2 2, donde es una constante arbitraria Estas dos propiedades se pueden combinar 1 y 2 en una sola ecuación. Donde y, son constantes. Para representar la transformación de entradas a salidas en orma funcional utilizamos la notación = [ ] El sistema es lineal si y solo si [ es una transformación lineal: ] = [ ] [ ], Definición Sean y son espacios vectoriales, un subespacio de y : Es una función tal que =, para todo, reales o complejos y,. En este caso a se le denomina transformación lineal u operador lineal de en. Ejemplos 1 La relación entrada/salida de un sistema está dada por = Es este sistema lineal o no lineal? Proyecto Curricular : Ingenieria electrónica Página 2
3 3 2 Consideremos un circuito cuya relación entrada/salida es = a = = es este sistema lineal o no lineal? Es este sistema lineal o no lineal? 3 Cuál de los siguientes sistemas es lineal a = / b = [ ] c = [ ] 4 Consideremos un circuito cuya entrada es la fuente de voltaje y cuya salida es la corriente en la bobina. Supongamos también que en el instante se tiene que = = La ecuación diferencial de entrada/salida que describe el comportamiento del sistema es = Para encontrar la expresión explicita de en función de resolvemos la ecuación diferencial ED Proyecto Curricular : Ingenieria electrónica Página 3
4 4 La solución se obtiene usando el factor integrante de la ecuación no homogénea =, donde Este sistema es no lineal a menos que = 0. En efecto: Consideremos la entrada = La correspondiente respuesta es = 5 Consideremos un sistema descrito por una ED de entrada/salida de la forma Proyecto Curricular : Ingenieria electrónica Página 4
5 5 = Demostrar que el sistema es lineal suponiendo condiciones iniciales nulas Sistemas variantes e invariantes con el tiempo Los sistemas que se modelan mediante ED lineales con coeficientes que varían en el tiempo, se denominan variantes con el tiempo. Mientras que los sistemas invariantes con el tiempo usualmente se modelan mediante ED lineales con coeficientes constantes. Es posible caracterizar los sistemas invariantes con el tiempo desplazando la señal de entrada. Algoritmo de comprobación de la invariancia temporal Paso 1. Encontremos Paso 2. Sea = y encontremos la salida correspondiente a la entrada Paso 3. Obtengamos a partir da la señal obtenida en el paso 1 y comparamos con Paso 4. Si =, el sistema es invariante con el tiempo. En caso contrario es variante con el tiempo. Ejercicio 1 Determinar si los sistemas descritos por las ecuaciones que se dan son invariantes con el tiempo Proyecto Curricular : Ingenieria electrónica Página 5
6 6 a = [ ] =, 0, 0 = 0 Ejercicio 2 Consideremos un sistema descrito por una ED de entrada/salida de la forma = Demostrar que el sistema es invariante con el tiempo Sistemas LTI Linear Time Invariant Lineales e invariantes con el tiempo El sistema descrito por una ED de entrada/salida de la forma = Demostrar que el sistema es LTI lineal e invariante con el tiempo suponiendo condiciones iniciales nulas La convolucion Ya vimos que los sistemas lineales están gobernados por el principio de superposición: Proyecto Curricular : Ingenieria electrónica Página 6
7 7 Si y Entonces De forma más general, si, = 1, 2,.., Y = = = Entonces = Función impulso y representación de señales en tiempo continúo Nos proponemos descomponer la señal de entrada en una serie de impulsos. La salida se obtiene como suma de respuestas resultantes de cada impulso. La aproximación para es Proyecto Curricular : Ingenieria electrónica Página 7
8 8 / donde / = 1, < /2 0, > /2 Es un pulso de amplitud unitaria y duración igual a. La aproximación se hace mejor si hacemos a medida que decrece y se emplean más pulsos para representar la señal de entrada En el límite cuando 0, la suma se convierte en una integral = lim = lim 1 / / Cada término de la suma representa el área bajo el impulso esimo de la aproximación = lim = 1 1 = En donde hemos sustituido por la variable continua, de forma que 1= y hemos definido Proyecto Curricular : Ingenieria electrónica Página 8
9 9 = lim 1 / O sea = lim 1 / De esta forma la función delta de Dirac o función impulso es un pulso de amplitud infinita y duración cero. Esta función debe ser tratada como una función generalizada, pues no puede definirse su valor puntualmente como en el caso de las funciones ordinarias. Veamos que un sistema LTI está completamente determinado por su respuesta al impulso. La cual se define como la salida correspondiente a la entrada. Es decir: ℎ Debido a la linealidad del sistema ℎ Además puesto que el sistema es invariante con el tiempo ℎ Para encontrar la salida de un sistema LTI a una entrada, representamos la señal de entrada como un tren de impulsos = lim 1 Proyecto Curricular : Ingenieria electrónica Página 9 /
10 10 Remplacemos ahora / por su límite = lim Se aplica la representación anterior al sistema LTI, la salida se puede determinar calculando por separado la respuesta debida a cada impulso, después, sumando todas las respuestas individuales para encontrar la salida total. Este método se puede usar ya que el sistema es LTI La respuesta producida por cada impulso puede calcularse fácilmente El impulso en = 0 produce la salida 0 0ℎ El impulso en = produce la salida ℎ El impulso en = 2 produce la salida 2 2 2ℎ 2 En general el impulso en = produce la salida ℎ La respuesta completa es = lim ℎ Proyecto Curricular : Ingenieria electrónica Página 10
11 11 A medida que 0 y el número de impulsos, se convierte en una variable continua, y la suma se convierte en una integral. Entonces la salida correspondiente a la entrada es = ℎ Proyecto Curricular : Ingenieria electrónica Página 11 = ℎ
12 Proyecto Curricular : Ingenieria electrónica Página 12 12
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