EL DIAGRAMA DE DISPERSIÓN Y EL ANÁLISIS DE CORRELACIÓN

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1 CAPÍTULO VIII EL DIAGRAMA DE DISPERSIÓN Y EL ANÁLISIS DE CORRELACIÓN 8. INTRODUCCIÓN A través del Dagrama Causa - Efecto establecemos las posbles causas que provoca u problema de caldad, estas aseveracoes so de carácter subjetvo deberá etoces ser valdadas, pues debemos recordar que el Dagrama de Ishkawa es la úca detro de las 7 herrametas, que o es de aturaleza estadístca. Para realzar esa valdacó causa efecto, os srve la correlacó. El aálss de correlacó es ua herrameta que se puede usar para descrbr el grado e que ua varable está lealmete relacoada co otra. Frecuetemete el aálss de correlacó se usa e cojuto co el aálss de regresó para medr qué ta be la líea de regresó eplca las varacoes de la varable depedete. S embargo, la correlacó també se puede usar por sí msma para medr el grado de asocacó etre dos varables, lo cual e los procesos productvos del ámbto empresaral represeta ua vetaja ua ecesdad, a que sempre este la posbldad de aalzar la flueca que uo o más factores productvos puede teer sobre algua característca del producto que os terese cotrolar. E los medos de produccó, lo típco es aalzar la relacó etre uo o dos atrbutos de caldad uo o varos factores causales posbles. El Dagrama de Dspersó cosste báscamete e ua gráfca que clue al atrbuto de caldad que se desea cotrolar (varable depedete) él o los factores de produccó que se presume lo causa (varables depedetes). Este teto maeja úcamete la relacó de tpo leal, es decr proporcoal. E este teto presetaremos la relacó co uo dos factores causales o varables depedetes, revsado para cada uo de ellos la bodad del ajuste logrado, lo cual sgfca saber qué ta be reproduce los datos obtedos epermetalmete la ecuacó resultate del ajuste, medate el valor del coefcete de correlacó, que etre más prómo esté a la udad, el ajuste será mejor. Presetaremos varos ejemplos co el propósto de lustrar el uso aplcacó de esta herrameta e dferetes crcustacas.

2 8. TABLA DE CORRELACIÓN La Tabla de Correlacó es recomedable elaborarlo ates que el aálss de regresó. Esta tabla es utlzada por el persoal e el proceso, su uso es mu práctco; se establece s este correlacó o o etre varables de qué tpo so estas relacoes pero al ser u método cualtatvo, o es mu precso. Se tee la vetaja que desde el mometo e que se está lleado el formato, os estamos dado cueta de la relacó etre las varables. Alguos de los dferetes casos de relacó etre varables, los podemos observar e las sguetes fguras: Fgura VIII..- Dferetes tpos de relacó etre varables Leal drecta Leal versa Curvlíea drecta Curvlíea versa Leal baja correlacó Ngua relacó LA ELABORACIÓN DE LA TABLA DE CORRELACIÓN La tabla de correlacó es u strumeto predseñado que usa los operaros e el proceso, co el f de recavar los datos del msmo metras estos se geera, co esta formacó podríamos proceder a establecer el tpo de relacó etre las varables mplcadas, prmero de maera vsual después s es el caso medate la estadístca. La tabla de correlacó puede cotemplar o be datos cotuos o datos agrupado, sedo la de datos agrupados la más comú, por lo cual es la que descrbremos paso a paso. Prmer paso. Defr la varable depedete, la cual ocupará el eje de las la varable depedete que ocupará el eje Y. 3

3 Segudo paso. Determar el rago de valores detro de los cuales fluctuará cada ua de las varables. (El rago es gual a la dfereca etre el valor mámo el valor mímo esperados). Tercer paso. Trazar los eje, determado sus escalas e fucó del rago de clases, se sugere tomar u úmero de clases tal que faclte por u lado la toma de datos por parte del usuaro por otro lado que o perda objetvdad la tabla, podemos dar como refereca usar de 5 a 0 clases. Así etoces la determacó del úmero de clases debe cosderar el aspecto práctco de la costruccó de la tabla. Cuarto paso. Defr los límtes superor e feror de cada rago. Se determa c que es la udad míma que maeja la varable, etoces c puede tomar valores de o 0. o 0.0, etc., co el f de evtar cofusoes o dudas; al mometo de clasfcar los datos se aumetará u dígto después del puto decmal a los límtes. La determacó de la catdad cal se obtee sustraedo a la catdad míma la mtad de c. Límte feror = Valor mímo c/ Límte superor = Valor mámo + c/ Límte feror Y = Valor mímo c/ Límte superor Y= Valor mámo + c/ Ec. (VIII.) Ec. (VIII.) Ec. (VIII.3) Ec. (VIII.4) Quto paso. Se toma los datos del proceso, se va clasfcado e la tabla se observa su comportameto vsualmete se determa la esteca el tpo de correlacó. Ejemplo VIII..- E u proceso se desea determar s el problema de humedad del producto termado, está relacoada co la humedad de la matera prma. Para ello se tomaro los sguetes datos: Tabla VIII..- Datos de humedades e la matera prma el producto Muestra Cotedo de humedad e la matera prma. (%) Cotedo de humedad e el producto Y(%) Muestra Cotedo de humedad e la matera prma. (%) Cotedo de humedad e el producto Y(%)

4 Solucó: Como podrá advertrse el procedmeto es mu smlar al usado para costrur hstogramas Paso.-Cosderaremos como varable depedete () al cotedo de humedad e la matera prma como varable depedete (Y) al cotedo de humedad e el producto. Paso. -El valor mímo detro del cual se observa que está es.0 el valor mámo cosderado es.5. Para la varable depedete Y, el valor mímo es. el mámo es.6. Así etoces, el rago de será: Rago = ma m =.5.0 = 0.5 Y el rago de Y será: Rago Y= Yma Y m =.6. = 0.5 Paso 3.-Para este caso cosderamos como úmero mímo de clases 5, co esto podremos defr el tervalo etre ragos; Itervalo = 0.5/5 = 0. Itervalo Y = 0.5/5 = 0. Paso 4.-La udad míma c que maejamos e los datos es 0., de esta maera obteemos los lmtes ferores de las varables sguedo las fórmulas dadas por las EC VIII. a la VIII.4. O sea el valor del cual vamos a partr; Lmte feror = 0./ =.95 Límte feror Y =. 0./ =.05 Y Lmte superor = / =.55 Límte superor Y = / =.65 Paso 5.- Falmete se ubca los datos durate el proceso e la tabla segú sus valores correspodetes de e Y, co lo cual obtedremos lo sguete: Tabla VIII..- Tabla de correlacó para las varables Cotedo de humedad del producto Y F / / // / / // / /.5-.4 // // Cotedo de humedad de la matera prma 5

5 Por la forma que toma los regstros podemos asumr ua certa relacó de tpo leal drecta etre la humedad de la matera prma la humedad del producto termado. 8.3 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Au cuado la utlzacó de la Tabla de Correlacó es mu práctca, tee la desvetaja de o ser precsa, la esteca de correlacó se establece sólo vsualmete, s cotar co u dcador umérco que calfque el vel de correlacó. La sguete maera de probar s varables está relacoadas, es ua forma de determacó cuattatva es medate el aálss de correlacó. Para ello tedremos a la varable depedete que deotaremos por Y, la varable depedete represetada por. Podemos obteer la correlacó etre ellos medate la aplcacó de la sguete fórmula: (Refereca de la fórmula; ver lbro úmero 7 de la bblografía) La r, ( )( ( ) ( ) ( ) Ec.( VIII.5 ) Dode: r, = Coefcete de correlacó etre las varables = = = = Datos de la varable Datos de la varable Meda de los valores Meda de los valores r, adquere valores detro del sguete rago r, = mu buea correlacó, r, se aleje de. r, +, el crtero a segur es: r, la correlacó deja de ser buea e la medda que Ejemplo VIII..- Tomado los datos del ejemplo VIII., se desea determar medate aálss de correlacó s el problema de humedad del producto termado, está relacoada co la humedad de la matera prma. Podemos tomar los datos de la tabla VIII. Solucó: Elaboramos la tabla VIII.3 co los datos proporcoados co la formacó requerda por la fórmula de. Y los resultados los susttumos e la fórmula. r, r 0.39, *

6 Tabla VIII.3.- Datos sumatoras para el ejemplo VIII. - - ( - )( - ) ( - ) ( - ) =.379 =.43 Sumas = De acuerdo al crtero, r, está lo sufcetemete próma a uo para cosderarla como ua buea correlacó, por lo tato podemos coclur que este correlacó etre la humedad de la matera prma el cotedo de humedad del producto. Ahora sí, podemos tetar determar la fórmula que eplca esta relacó. 8.4 REGRESIÓN: APLICACIÓN EN UNA VARIABLE INDEPENDIENTE Para este caso, tedremos a la varable depedete que deotaremos por Y, la varable depedete represetada por. Se parte del hecho de cotar co datos de Y que represeta a los valores epermetales de las varables que se busca relacoar, para las cuales medate la técca de mímos cuadrados, se llegará a obteer la líea recta cua ecuacó típca es: Y = a + b Ec.(VIII.6) Dode a vee sedo la ordeada al orge b, la pedete de la recta que mmza el cuadrado de las dstacas etre los datos reales la recta ecotrada. Ua eplcacó gráfca de esto se muestra e la fgura VIII. 7

7 8 F g u r a V I I I.. - D a g r a m a d e D s p e r s ó b a e E este fgura los rombos so los datos epermetales la líea recta es la que se obtee por la metodología de mímos cuadrados, sedo e el error de cada puto, es decr la dstaca que ha etre el valor de la varable depedete predcho por la ecuacó de la líea recta el valor real que es dóde se ubca el puto, segú se muestra e la fgura VIII. e el últmo puto. Etoces la técca de mímos cuadrados lo que hace es mmzar la sumatora del cuadrado de los errores, de modo que la recta obteda sea la mejor. Al cotar co datos de Y, la técca de mímos cuadrados os da las ecuacoes para obteer la ordeada al orge a la pedete b de la líea recta ates cometada, las cuales so las sguetes: (Refereca de las fórmulas: ver lbro úmero de la bblografía) Ec.(VIII.7) ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( a Ec.(VIII.8) ) ( ) ( ) )( ( ) ( b

8 Por su parte la bodad del ajuste, es decr lo efcaz que pueda ser la ecuacó obteda para calcular valores co ella, se mde por el coefcete de correlacó deotado como R, el cual se calcula por medo de la sguete fórmula: (Refereca de las fórmulas: ver lbro úmero de la bblografía) R S() - S(e) S() Ec.(VIII.9) Dode: R = Coefcete de correlacó o bodad de ajuste. S() = Varaza de los datos para, dada por la Ec.(VIII.0) S(e) = Sumatora del cuadrado de los errores, dada por la Ec.(VIII.) Por su parte, la fórmula para obteer la varaza de los datos para la varable depedete, vee dada por la sguete relacó: S() ( ) Ec.(VIII.0) Metras que la sumatora de los errores se obtee co la sguete fórmula: S(e) * ( ) Ec.(VIII.) Sedo el valor real de la varable depedete, metras que * es el valor calculado co la ecuacó obteda, por lo que la dfereca etre ambas represeta el error de cada puto. A cotuacó presetaremos dos ejemplos lustratvos del uso aplcacó de estas fórmulas. Ejemplo VIII.3.- La empresa Plástcos de la Zoa Meda produce evases de plástco para bebdas gaseosas. Uo de los defectos del producto es la porosdad del plástco, el cual se cree tee que ver co la temperatura de soplado de la matera prma; para ello se cueta co los datos que se preseta e la tabla VIII.4. 9

9 Tabla VIII.4.- Datos para el ejemplo VIII.3 Temperatura de Soplado, C % Defectuoso Elaborar el Dagrama de Dspersó para los datos obteer la ecuacó de ajuste su coefcete de correlacó Solucó: Aquí la varable depedete Y es el porcetaje defectuoso, metras que la varable depedete será la temperatura de soplado. Lo prmero será obteer las sumatoras de,,,, los productos, los cuales se preseta e la tabla VIII.5. Tabla VIII.5.- Datos sumatoras para el ejemplo VIII.3 Número de Dato Sumatora Co estos datos podemos calcular la a la b para la recta respectva medate las ecuacoes VIII.7 VIII.8, e la sguete forma: (.46)(59 04) - (64)(965.9) a (5904) - (64) 7(965.9) - (64)(.4 6) b (5904 ) (64) Co esto, la ecuacó de la líea recta de ajuste para los datos es la sguete: Y =

10 Por su parte para el cálculo del coefcete de correlacó, deberemos obteer los valores de Y calculados, los cuales se logra al aplcar la ecuacó para las dferetes temperaturas, así para el caso del prmer dato, esta estmacó es la sguete: Y = (0.07)(85) = 3.8 Procededo e forma smlar, se geera los datos que se preseta e la tabla VIII.5, los cuales clue el cuadrado del error, el cual cada uo de ellos es la dfereca etra la Y calculada co la ecuacó la Y real Tabla VIII.6.- Valores de las Y real, Y calculada el cuadrado del error respectvo Número de Dato Y real Y calculada e El error e se calcula de la sguete maera: e = Y real Y calculada Ec.(VIII.) El error al cuadrado se obtee de elevar cada dfereca al cuadrado. Aquí la sumatora del cuadrado de los errores mostrados e la tabla VIII.6, S(e) es Co esto calcularemos ahora la varaza de la varable depedete por medo de la ecuacó VIII.0, co lo cual obtedremos: S() (.46) Ahora estamos e posbldad de obteer el coefcete de correlacó medate la ecuacó VIII.9, e la maera sguete: R

11 % Defectuoso Aquí vemos que el ajuste ha sdo bueo, pues el valor del coefcete os dca el grado de eacttud co el cual la ecuacó del ajuste reproduce los datos, es decr el 96.5% para el caso de este ejemplo. Ahora falmete presetamos el Dagrama de Dspersó de los datos. F g u r a V I I I D a g r a m a d e D s p e r s ó d e l c a s o Temperatura C Co esto vemos cómo la recta obteda pasa etre los putos represetatvos de cada dato real, señalados por rombos, tratado de que los errores se mmce, tal como se cometó aterormete, co lo que podemos coclur que a maor temperatura de soplado, será meor la porosdad. Ahora presetaremos otro caso: Ejemplo VIII.4.- La Embotelladora de la Zoa Meda está tratado de aalzar la relacó que pueda estr etre la presó de líqudo e la máqua lleadora el porcetaje de evase mal lleado resultate; para esto se ha tomado dferetes pares de datos, los cuales se preseta e la sguete tabla: 3

12 Tabla VIII.7.- Datos del ejemplo VIII.3 Presó de lleado, Kgf/cm Porcetaje mal lleo Costrúase el Dagrama de Dspersó respectvo para el caso e terprete los resultados. Solucó: Para este caso se cueta co 9 datos, dode la varable depedete es el porcetaje mal lleado, metras que la varable depedete será la presó de lleado. Ahora procederemos a obteer las sumatoras de,,,, los productos, los cuales se preseta e la sguete tabla: Tabla VIII.8.- Datos sumatoras para el ejemplo VIII.3 Número de Dato Sumatora Co esta formacó estamos ahora e posbldades de calcular a b medate la aplcacó de las ecuacoes VIII.7 VIII.8, para obteer: (.7)( ) - (7.07)(4.58) a (3.5335) - (7.07) 9(4.58) - (7.07)(.7) b.087 9(3.5335) - (7.07) 33

13 Co esto, la ecuacó resultate para la recta de ajuste es la sguete: = Ahora calcularemos el coefcete de correlacó, para lo cual deberemos obteer los valores de calculados, los cuales se logra al aplcar la ecuacó para los dferetes valores de. Además, debemos estmar el cuadrado de los errores, lo cual se muestra e la sguete tabla. Tabla VIII.9.- Valores de las real, calculada el cuadrado del error respectvo Número de Dato real calculada e Aquí la sumatora de los errores al cuadrado S(e) es Por su parte la varaza será: S() 8.4 (.7) Co esto el coefcete de correlacó resulta ser: R Ahora presetaremos el Dagrama de Dspersó para los datos, el cual es el sguete: 34

14 % Mal Lleo.7 F g u r a V I I I D a g r a m a d e dspersó del e j e m p l o V I I I Presó de lleado Aquí vemos que la recta pasa mu cerca de varos putos algo retrada de otros, pero la técca de mímos cuadrados os asegura que es la mejor líea, para ur los putos que va a ser relacoados. Co lo ateror podemos asumr que s este ua relacó drecta etre el porcetaje de refrescos mal lleados la presó del gas e la máqua de lleado s pretedemos dsmur este porcetaje, u camo sería mateer esa presó e el puto mímo permtdo por el proceso establzarla. 35

15 8.5 REGRESIÓN: APLICACIÓN EN VARIABLES INDEPENDIENTES Para casos e que se pretede relacoar a u atrbuto de caldad (varable depedete), co factores de produccó (varables depedetes), se utlza la regresó leal múltple, la cual es smlar a la ates descrta, supoedo que el ajuste es del tpo leal, es decr, de líea recta. També se utlza para estos casos la metodología de mímos cuadrados, la cual os proporcoa las ecuacoes para estmar los coefcetes del ajuste. La ecuacó para el ajuste es e este caso la sguete: = b 0 + b + b z Ec. (VIII.3) Dode, z so las varables depedetes. Para estmar los 3 coefcetes b 0, b b para el ajuste, las ecuacoes so las sguetes: (Refereca de las fórmulas: ver lbro úmero 9 de la bblografía) b b b 0 D0 D D D D D Ec.(VIII.4) Ec. (VIII.5) Ec. (VIII.6) Dode D 0, D, D D so determates de tercer orde, los cuales se calcula medate las sguetes ecuacoes: (Refereca de las fórmulas: ver lbro úmero 9 de la bblografía) D 0 Z = = = Z = = = Z Z Z Ec.(VIII.7) 36

16 D Z = = = Z = = = Z Z Z Ec.(VIII.8) D Z = = = Z = = = Z Ec.(VIII.9) D Z = = = Z = = = Z Z Z Ec.(VIII.0) Dode: = Número de datos El subídce se refere a cada dato para calcular las sumatoras que aparece como elemetos de los determates. A cotuacó se preseta u ejemplo lustratvo del uso de estas fórmulas: Ejemplo VIII.5.- La ressteca a la traccó de u acero especal se cree que depede de la temperatura del horo e el cual se procesó del cotedo de carbó. Para esto se ha hecho pruebas epermetales para 3 dferetes temperaturas 3 cotedos de carbó, para lo cual se ha recolectado los datos sguetes: 37

17 Tabla VIII.0.- Datos del ejemplo VIII.5 Ressteca a la Temperatura del traccó, kg/cm horo, C Número de Dato Cotedo de Carbó, % Establezca la posble relacó de ajuste etre las varables la bodad del msmo. Solucó: Deomaremos como a la ressteca, que es e este caso la varable depedete; por su parte será la temperatura del horo; metras que z será el porcetaje de cotedo de carbó. Como puede observarse de las ecuacoes, para determar los coefcetes del ajuste, se ecesta las sumatoras de las 3 varables, de los productos, z, z,,, z, las cuales presetamos e la tabla VIII.: Tabla VIII..- Datos sumatoras para el ejemplo VIII.4 Z z z z , ,04, Ahora podemos proceder a calcular los determates coforme a las ecuacoes VIII.7 a la VIII.0: D ,608,480 38

18 D ,555,00 D , D ,66,400 Co lo cual los coefcetes será: D D 9,608,480,66,400 0 b0 6.8 D 39, D,66,400 b 0.05 D D,555,00,66,400 b.3333 Por lo cual la ecuacó de ajuste es = z 39

19 Co esta ecuacó procedemos a estmar las respectvas calculadas, de las cuales, su cercaía co las reales os dará ua dea de la bodad del ajuste obtedo; por esto, e la tabla VIII. se preseta las reales, las calculadas el cuadrado de los errores respectvos, sedo cada error la dfereca etre las reales las calculadas Tabla VIII..- Valores de las reales, calculadas los cuadrados de los errores respectvos Número de Dato real calculada e Total Para obteer el coefcete de correlacó tedremos que obteer S() medate la ecuacó VIII.0, la cual os dará: S() (46) Luego S(e) es la sumatora de los errores al cuadrado, el cual de la tabla ateror vemos que es , por lo cual al aplcar la ecuacó VIII.9, podemos estmar el coefcete de correlacó, el cual será: R Co esto vemos que el ajuste es satsfactoro (R ) e térmos geerales. O sea que a maor temperatura del horo la ressteca a la traccó será maor a meor cotedo de carbó també la ressteca del acero será maor, lo cual lo podemos proostcar co la fórmula obteda: = z 40

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